4.3 用乘法公式分解因式（第1课时）
课堂笔记
两个数的平方差，等于这两个数的 与这两个数的 的积. 即a2-b2=（a+b）（a-b）.
分层训练
A组 基础训练
1. 下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A. 2x2+y2 B. -x2+y2 C. -x2-y2 D. x3+（-y）2
2. 把多项式-4n2+m2分解因式，其结果正确的是（ ）
A. （m+2n）（m-2n）B. （m+2n）2 C. （m-2n）2 D. （2n+m）（2n-m）
3. 下列因式分解中，正确的有（ ）
①4x2-1=（4x+1）（4x-1） ②m2-n2=（m+n）（m-n）
③-16+9x2=（4+3x）（-4+3x） ④a2+（-b）2=（a+b）（a-b）
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
4. 在一个边长为12.75cm的正方形内挖去一个边长为7.25cm的正方形，则剩下部分的面积是（ ）21·cn·jy·com
A． 11cm2 B． 20cm2 C． 110cm2 D． 200cm2
5. （金华中考）把代数式2x2-18分解因式，结果正确的是（ ）
A. 2（x2-9） B. 2（x-3）2 C. 2（x+3）（x-3） D. 2（x+9）（x-9）
6. 下列各式不是多项式x3-x的因式的是（ ）
A. x B. 3x-1 C. x-1 D. x+1
7． 小敏是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：乡、爱、我、家、游、美，现将（x2－y2）a2－（x2－y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）21*cnjy*com
A. 我爱美 B. 家乡游 C. 爱我家乡 D. 美我家乡
8． 小华在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，且能利用平方差公式分解因式，他抄到作业本上的式子是x□-4y2（□表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． 2种 B． 3种 C． 4种 D． 5种
9. 填空：
（1）36x2y2-49a2=（ ）2-（ ）2；
（2）-4n2+m2=（ ）2-（ ）2；
（3）m4- =（m2+5）（m2- ）.
10． （杭州中考）若整式x2+ky2（k为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是 （写出一个即可）.2·1·c·n·j·y
11． 已知x+y=2，则x2-y2+4y= ．
12. 分解因式：9x2（a-b）+y2（b-a）= .
13. 把下列各式分解因式：
（1）1-16x2；
（2）-n2+0.81m2；
（3）x2-64y2；
（4）（a+b）2-4；
（5）4m2-（m+n）2.
（6）a4-b4；
（7）x3y2-x3；
（8）25（m+n）2-81（m-n）2.
14. 用简便方法计算：
（1）552- 452；
（2）99×100；
（3）已知a+2b=5，a-2b=3，求5a2-20b2的值.
B组 自主提高
15. 两个偶数的平方差，一定是（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 4的倍数
16. 如图，某筑路工程队需要一种空心混凝土管道，它的规格是：内径d=120cm，外径D=150cm，长L=200cm. 利用分解因式计算：浇筑一节这样的管道需要多少立方米的混凝土（π取3.14，结果精确到0.1m3）.www.21-cn-jy.com
17. 阅读题：
我们在计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）时，发现直接运算很麻烦，如果在算式前乘以（2-1）即1，原式的值不变，而且还使整个算式能运用平方差公式计算，解答过程如下：21世纪教育网版权所有
原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=…=264-1.
你能用上述方法算出下列式子的值吗？请试试看.
（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）.
C组 综合运用
18． 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”． 如4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．
（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？21·世纪*教育网
（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为 ．
参考答案
4.3 用乘法公式分解因式（第1课时）
【课堂笔记】
和 差
【分层训练】
1—6. BABCC 6. B
7. C 【点拨】原式＝（x2－y2）（a2－b2）＝（x＋y）（x－y）（a＋b）（a－b）． ∵x＋y，x－y，a＋b，a－b四个代数式分别对应我、爱、家、乡，∴结果呈现的密码信息可能是“爱我家乡”．21教育网
8. D
9. （1）6xy 7a （2）m 2n （3）25 5
10. 答案不唯一，如-1，-4等
11. 4
12. （a-b）（3x+y）（3x-y）
13. （1）（1+4x）（1-4x） （2）（0.9m+n）（0.9m-n）
（3）（x+8y）（x-8y） （4）（a+b+2）（a+b-2）
（5）（3m+n）（m-n） （6）（a-b）（a+b）（a2+b2）
（7）x3（y+1）（y-1） （8）4（7m-2n）（7n-2m）
14. （1）1000 （2）9999 （3）75
15. D
16. 所需混凝土为[π（）2-π（）2]L=πL（-）（+）≈3.14×200（75-60）（75+60）=1271700（cm3）=1.2717（m3）≈1.3（m3）. 所以浇筑一节这样的管道需要1.3立方米的混凝土.21cnjy.com
【点拨】混凝土的立方数即为图中阴影部分的体积，亦即大圆柱体与小圆柱体的体积差.
17. 原式=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=…=×（332-1）=.www-2-1-cnjy-com
18. （1）36是“和谐数”，2016不是“和谐数”． 理由如下：36=102-82，2016=1008×2；（2）∵两个连续偶数为2k+2和2k（k为自然数），∵（2k+2）2-（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2-2k）=（4k+2）×2=4（2k+1），∵4（2k+1）能被4整除，∴“和谐数”一定是4的倍数；（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和，S=（22-02）+（42-22）+（62-42）+…+（502-482）=502=2500. 故答案：2500．2-1-c-n-j-y
4.3 用乘法公式分解因式（第2课时）
课堂笔记
两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的 倍，等于这两数和（或者差）的平方. 即a2+2ab+b2=（a+b）2； a2-2ab+b2=（a-b）2.21·cn·jy·com
注意：一般地，利用公式a2-b2=（a-b）（a+b），或a2±2ab+b2=（a±b）2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法. 公式中的a，b可以是数，也可以是整式.
分层训练
A组 基础训练
1. 下列各式是完全平方式的是（ ）
A. x2-x+1 B. 4x2+4xy+1 C. x2+xy+y2 D. x2-4xz+z2
2. （长春中考）把多项式x2-6x+9分解因式，结果正确的是（ ）
A． （x-3）2 B． （x-9）2
C． （x+3）（x-3） D. （x+9）（x-9）
3. 若等式x2-x+k=（x-）2成立，则k的值是（ ）
A. B. - C. D. ±
4. 把代数式ax2-4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A. a（x-2）2 B. a（x+2）2 C. a（x-4）2 D. a（x+2）（x-2）
5. 如果A（5a+2b）=25a2+20ab+4b2，则A等于（ ）
A. 5a+2b B. 5a-2b C. 5a+2ab+2b D. a2-2b2
6. 已知正方形的面积是（16-8x+x2）cm2（x>4），则正方形的周长是（ ）
A．（4-x）cm B．（x-4）cm C．（16-4x）cm D．（4x-16）cm
7. 下列多项式中，①x2+2xy+4y2；②a2-2a+3；③x2-xy+y2；④m2-（-n）2可以进行因式分解的个数有（ ）2·1·c·n·j·y
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 分解因式，若5a2+ma+=5（a-）2，则m的值是（ ）
A. -2 B. 2 C. D. -
9. 在括号内填入适当的数或单项式.
（1）9a2-（ ）+b2=（ -b）2；
（2）x4+4x2+（ ）=（ ）2；
（3）p2-3p+（ ）=（p- ）2；
（4）（a-b）2-2（a-b）+1=（ -1）2.
10. 多项式a3c-4a2bc+4ab2c因式分解的结果是 .
11. 若x=156，y=144，则多项式x2+xy+y2= .
12． 填空：
（1）分解因式：x2－4x＋4＝ ．
（2）4x2 ＋9y2＝（ ）2.
（3）若4x2＋mx＋25是一个完全平方式，则实数m＝ ．
（4）分解因式：x3＋2x2＋x＝ ．
（5）分解因式：a2－2ab＋b2－1= ．
13. 多项式9x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个多项式的完全平方，那么加上的单项式可以是 （填上一个你认为正确的即可）.www.21-cn-jy.com
14. 把下列各式分解因式：
（1）x2+8x+16；
（2）-4x2+12xy-9y2；
（3）m2+mn+n2；
（4）a3+2a2+a；
（5）（a+b）2-18（a+b）+81；
（6）（x2+2x）2+2（x2+2x）+1.
15. 利用因式分解计算下列各式：
（1）872+87×26+132；
（2）20182-4034×2018+20172.
B组 自主提高
16． 把下列各式分解因式：
（1）3x2－12xy＋12y2；
（2）a2－ab＋b2；
（3）－2x3＋24x2－72x；
（4）9（p－q）2－6p＋6q＋1；
（5）（x2－7）2－4（x2－7）＋4.
17. （1）已知b-a=-3，ab=-2，求-a3b+a2b2-ab3的值.
（2）已知x2+y2-2x+6y+10=0，求x+y的值.
C组 综合运用
问题背景：对于形如x2-120x+3600这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成（x-60）2，对于二次三项式x2-120x+3456，就不能直接用完全平方公式分解因式了． 此时常采用将x2-120x加上一项602，使它与x2-120x的和成为一个完全平方式，再减去602，整个式子的值不变，于是有：x2-120x+3456=x2-2×60x+602-602+3456=（x-60）2-144=（x-60）2-122=（x-60+12）（x-60-12）=（x-48）（x-72）.21教育网
问题解决：
（1）请你按照上面的方法分解因式：x2-140x+4756；
（2）已知一个长方形的面积为a2+8ab+12b2，长为a+2b，求这个长方形的宽．
参考答案
4.3 用乘法公式分解因式（第2课时）
【课堂笔记】
2
【分层训练】
1—5. CACAA 6—8. DBA
9. （1）6ab 3a （2）4 x2+2 （3）
（4）a-b
10. ac（a-2b）2
11. 45000
12. （1）（x－2）2 （2）±12xy 2x±3y （3）±20
（4）x（x＋1）2 （5）（a－b＋1）（a－b－1）
13. 6x或-6x或x4
14. （1）（x+4）2 （2）-（2x-3y）2 （3）（m+n）2
（4）a（a+1）2 （5）（a+b-9）2 （6）（x+1）4
15. （1）10000 （2）1
16. （1）原式＝3（x2－4xy＋4y2）＝3（x－2y）2
（2）原式＝a2－2·a·b＋（b）2＝（a－b）2
（3）原式＝－2x（x2－12x＋36）＝－2x（x－6）2
（4）原式＝9（p－q）2－6（p－q）＋1＝[3（p－q）－1]2
＝（3p－3q－1）2
（5）原式＝（x2－7－2）2＝（x2－9）2＝[（x＋3）（x－3）]2
＝（x＋3）2（x－3）2
17. （1）-a3b+a2b2-ab3=-ab（a2-2ab+b2）=-ab（a-b）2=921世纪教育网版权所有
（2）由题意，得（x2-2x+1）+（y2+6y+9）=0，（x-1）2+（y+3）2=0. ∵（x-1）2与（y+3）2的值都是非负数，∴（x-1）2=0且（y+3）2=0，∴x=1，y=-3，∴x+y=-2.
18. （1）x2-140x+4756=x2-2×70x+702-702+4756
=（x-70）2-144=（x-70）2-122=（x-70+12）（x-70-12）=（x-58）（x-82）
（2）∵a2+8ab+12b2=a2+2×a×4b+（4b）2-（4b）2+12b2=（a+4b）2-4b2=（a+4b+2b）（a+4b-2b）=（a+2b）（a+6b），∴长为a+2b时这个长方形的宽为a+6b.21cnjy.com
