4.3 公式法（1）同步练习

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4.3 公式法（1）同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．把乘法公式(a＋b)(a－b)＝a２－b２反过来,就得到a２－b２＝(a＋b)(a－b)．运用这一公式,可将一个二项式的平方差分解因式．
２．能运用平方差公式分解因式的条件:①二项式;②两项的符号相反;③每项 都能化成平方的形式．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ）
A. B. C. D.
2．把-16+a2分解因式，结果是（ ）
A. (a+8) (a-8) B. (a+4) (a-4)
C. (a+2) (a-2) D. (a-4)2
3．边长为a的正方形，边长减少b以后所得较小正方形的面积比原来正方形的面积减少了（　　）
A. B. ＋2ab C. 2ab D. b(2a—b)
4．计算1052－952的结果为( )
A. 1000 B. 1980 C. 2000 D. 4000
5．已知a-b=3，则 的值是（ ）
A. 4 B. 6 C. 9 D. 12
6．如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形。根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题
7．因式分解：（a+b）2﹣4b2=_______．
8．若|m﹣1|+=0，将mx2﹣ny2因式分解得_____．
9．分解因式：m2（x-y）-4（x-y）=___________________ .
10．能被20至30之间的两个整数整除，那么这两个整数是____________．
11．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：(x－y)=0，(x+y)=18，(x2+y2)=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式9x3-4xy2，取x=10，y=9时，用上述方法产生的密码是：
___________ (写出一个即可)．
12．利用简便方法计算： =_____________．
三、解答题
13．用平方差公式因式分解
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
14．利用因式分解简便计算（要求写出完整计算过程）
(1) （2）
15．如图，在一块边长为a的正方形纸板四周，各剪去一个边长为b(b＜0)的正方形．
(1)用代数式表示阴影部分的面积；
(2)利用因式分解的方法计算当a＝15.4，b＝3.7时，阴影部分的面积．
16．已知实数m，n满足， ，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
17．阅读下列解题过程：已知、、为△ABC的三边，且满足，
试判断△ABC的形状.
解：∵　　　　　　　①　
∴　 ②
∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③
∴△ABC为直角三角形.
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号________；
　（2）错误的原因是____________________________；
（3）本题的正确结论是_________________________.
18．老师在黑板上写出三个算式:52-32=8×2,92-72=8×4,152-32=8×27,王华接着又写了两个具有同样规律的算式:112-52=8×12,152-72=8×22,……
(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式;
(2)用文字写出反映上述算式的规律;
(3)证明这个规律的正确性.
参考答案
1．C
【解析】A选项-a2+b2=b2-a2=（b+a）（b-a）；B选项49x2y2-m2=（7xy+m）（7xy-m）；C选项-x2-y2是两数的平方和，不能进行分解因式；D选项16m4-25n2=(4m)2-(5n)2=（4m+5n）（4m-5n），
故选C．
【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，解题的关键是要熟记平方差公式的特征.
2．B
【解析】试题解析：原式
故选B.
点睛：因式分解的常用方法：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法.
3．D
【解析】试题解析：由题意得．
故选D．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，关键是正确掌握正方形的面积公式．
4．C
【解析】1052－952=（105+95）（105-95）=200×10=2000，故选C.
5．C
【解析】∵a-b=3，
∴
=(a+b)(a-b)-6b
=(a+b)(a-b)-6b
=3(a+b) -6b
=3a+3b-6b
=3(a-b)
=3×3
=9.
故选C.
6．D
【解析】由题意可知：
（1）左边图中：阴影部分的面积= ；
（2）右边长方形的长为，宽为，因此右边长方形的面积=；
∵左边图中阴影部分面积=右边长方形的面积，
∴.
故选D.
7．(a＋3b)(a－b)
【解析】试题分析：根据因式分解的步骤，先根据平方差公式分解，然后再化简即可得：(a＋b)2－4b2=（a+b+2b）（a+b-2b）=(a＋3b)(a－b).
故答案为：(a＋3b)(a－b)
8．（x+3y）（x﹣3y）
【解析】试题解析：∵|m﹣1|+=0，
∴m=1，n=9，
则mx2﹣ny2
=x2﹣9y2
=（x+3y）（x﹣3y）．
故答案为：（x+3y）（x﹣3y）．
9．（x-y）（m+2）（m-2）
【解析】m2（x-y）-4（x-y），
＝（x-y）（m2-4），
＝（x-y）（m+2）（m-2）.
故答案为：（x-y）（m+2）（m-2）.
10．26、24
【解析】∵58 1=(54+1)(54 1) =(54+1)(52+1)(52 1)=(54+1)×26×24.
∴58 1能被20至30之间的26和24两个整数整除.
故答案为：26、24.
11．104812或101248或481012或481210或121048或124810任意一个均对
【解析】先将多项式9x3-4xy2因式分解可得:,因为x=10,y=9,则各因式的值是:,则密码是:104812或101248或481012或481210或121048或124810.
点睛:本题考查因式分解,解决本题的关键是要弄清题意,能够正确对多项式进行因式分解.
12．
【解析】试题解析： =
=
=
13．（1）-3xy(y+3x)(y-3x)；（2）4a2(x+2y)(x-2y)；（3）(a+4)(a-4)；（4）；（5）(7p+5q)(p+7q)；（6）-(27a+b)(a+27b).
【解析】试题分析：（1）、（2）小题都是先提公因式，然后再根据平方差公式的特点进行因式分解即可得；
（3）先进行展开，合并同类项后再利用平方差公式进行因式分解即可；
（4）、（5）、（6）小题都是根据平方差公式的特点进行因式分解即可得.
试题解析：（1）原式=-3xy(y2-9x2)=-3xy(y+3x)(y-3x)；
（2）原式=4a2(x2-4y2)=4a2(x+2y)(x-2y)；
（3）原式=a2-8a+2a-16+6a=a2-16= (a+4)(a-4)；
（4）原式=(9x2+y2)(9x2-y2)= ；
（5）原式=[2(2p+3q)+(3p-q)][(2(2p+3q)-(3p-q))= (7p+5q)(p+7q)；
（6）原式=[13(a-b)+14(a+b)][13(a-b)-14(a+b)]=-(27a+b)(a+27b).
14．(1)800;(2)3.98.
【解析】试题分析：（1）利用平方差公式得到原式=（201+199）×（201-199），然后进行有理数运算；
（2）利用提公因式得到原式=1.99×（1.99+0.01），然后进行有理数运算．
试题解析：（1）原式=（201+199）×（201-199）
=400×2
=800；
（2）原式=1.99×（1.99+0.01）
=1.99×2
=3.98．
15．(1) a2－4b ;(2) 182.4.
【解析】试题分析：
试题解析：（1）用大正方形的面积减去四个小正方形的面积即可求得阴影部分的面积；（2）把所得的代数式用平方差公式因式分解后，代入求值即可.
(1)S阴影＝a2－4b2；
(2)S阴影＝(a＋2b)(a－2b)＝(15.4＋2×3.7)(15.4－2×3.7)＝22.8×8＝182.4.
16．（1）-1；（2）-3.
【解析】试题分析：(1)利用作差法和平方差公式因式分解可得(m-n)(m+n+1)=0,从而可求出m+n=-1;
(2)由已知两式相加,得由（1）知m+n=-1,代入可得,再根据完全平方公式进行变形可求得然后通分代入即可;
解：（1）∵， ，∴， ∴，
又∵， ∴．
（2）∵， ， ∴．
又∵，∴．
∵，
∴． ∴．
17． （1）③； （2）没有考虑的情况； （3）△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.
【解析】整体分析：
等式两边同时除以同一个式子时，要注意这个式子是否能够为0，要注意xy=0的意义是x，y至少有一个为0.
解：(1)从②到③时，等式两边同时除以了，但有可能为0，所以第③步开始出现错误，错误代号为③，故答案为③；
(2)等式两边同时除以一个数或式子时，这个数或式子不能为0，但有可能为0，故答案为没有考虑的情况
(3)∵,
∴,
∴()()=0,
∴=0或=0,
则△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.
18．（1）72-52=8×3;92-32=8×9；（2）任意两个奇数的平方差是8的倍数；（3）证明见解析
【解析】试题分析：通过观察可知，等式左边一直是两个奇数的平方差，右边总是8乘以一个数．根据平方差公式，把等式左边进行计算，即可得出结论任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
试题解析：
(1)72-52=8×3;92-32=8×9等.
(2)规律:任意两个奇数的平方差是8的倍数.
(3)证明 设m,n(m≠n)为整数,两个奇数可表示为 2m+1和2n+1,则(2m+1)2-(2n+1)2=4(m-n)(m+n+1).
∵当m,n同是奇数或偶数时,m-n一定为偶数,
∴4(m-n)一定是8的倍数;
∵当m,n一偶一奇时,则m+n+1一定为偶数,
∴4(m+n+1)一定是8的倍数.
∴任意两个奇数的平方差是8的倍数.
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