4.3 公式法（2）同步练习

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4.3 公式法（2）同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式 分解因式 ,这种分解因式 的方法叫做运用公式法．
２．形如a２＋２ab＋b２或a２－２ab＋b２ 的式子称为完全平方式;
完全平方公式:a２＋２ab＋b２＝ (a＋b)２ ,a２－２ab＋b２＝(a－b)２ ．
能运用完全平方公式分解因式的条件:①三项式;②两项可化为两个数(或整式)的平方;③另一项为这两个数(或整式)积的２倍(或－２倍)．
３．分解因式的一般步骤: (１)若多项式各项有公因式,应先提取公因式 ．(２)若多项式有两项,应考虑用平方差公式分解;若多项式有三项,应考虑用完全平方公式分解．(３)分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．若x2+mxy+y2是一个完全平方式，则m=（　　）
A. 2 B. 1 C. ±1 D. ±2
2．多项式①2x2﹣x，②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4，③（x+1）2﹣4x（x+1）+4，④﹣4x2﹣1+4x；分解因式后，结果含有相同因式的是（　　）
A. ①④ B. ①② C. ③④ D. ②③
3．a是有理数，则整式a （a -2）-2a +4的值（ ）
A. 不是负数 B. 恒为正数 C. 恒为负数 D. 不等于0
4．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是( )
A. B. C. D.
5．已知能运用完全平方公式分解因式，则的值为（ ）
A. 12 B. C. 24 D.
二、填空题
6．因式分解：ab2﹣2ab+a=_____．
7．利用完全平方公式计算：
1032=（100+______）2=1002+2×100×_______+（_____）2=_______．
8．若a2+b2﹣2a+4b+5=0，则2a+b=______．
9．右图中的四边形均是矩形，根据图形，写出一个正确的等式：____________
10．已知a+b=2，则a2+ab+b2=________．
三、解答题
11．用完全平方公式因式分解
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
12．利用因式分解计算:
(1)29×20.16+72×20.16-20.16;
(2) ;
(3)1012+101×198+992.
13．阅读材料：
分解因式：x2+2x-3
解：原式=x2+2x+1-1-3
=（x2+2x+1）-4
=（x+1）2-4
=（x+1+2）（x+1-2）
=（x+3）（x-1）
此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项成为完全平方式，我们把这种分解因式的方法叫配方法．请仔细体会配方法的特点，然后尝试用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2-4mn+3n2；
（2）无论m取何值，代数式m2-3m+2015总有一个最小值，请你尝试用配方法求出它的最小值．
14．仔细阅读材料，再尝试解决问题：
完全平方式 以及的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用，比如探求 的最大（小）值时，我们可以这样处理：
解：原式 = .
因为无论 取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为0；此时 时，进而 的最小值是 ；所以当时，原多项式的最小值是 .
请根据上面的解题思路，探求：
⑴.多项式 的最小值是多少，并写出对应的的取值；
⑵.多项式的最大值是多少，并写出对应的的取值.
15．下面是某同学对多项式（x2﹣4x﹣3）（x2﹣4x+1）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x=y
原式=（y﹣3）（y+1）+4（第一步）
=y2﹣2y+1 （第二步）
=（y﹣1）2 （第三步）
=（x2﹣4x﹣1）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　 　．
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．
16．商贸大楼共有四层，第一层有商品(a＋b)2种，第二层有商品a(a＋b)种，第三层有商品b(a＋b)种，第四层有商品(b＋a)2种．若a＋b＝10，则这座商贸大楼共有商品多少种？
17．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为、宽为的全等小矩形，且> ．（以上长度单位：cm）
（1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ；
（2）若每块小矩形的面积为10，四个正方形的面积和为58，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．
参考答案
1．D
【解析】根据完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2与(a-b)2=a2-2ab+b2可知，要使x2+mxy+y2符合完全平方公式的形式，该式应为：x2+2xy+y2=(x+y)2或x2-2xy+y2=(x-y)2. 对照各项系数可知，系数m的值应为2或-2.
故本题应选D.
点睛：
本题考查完全平方公式的形式，应注意完全平方公式有(a+b)2、(a-b)2两种形式. 考虑本题时要全面，不要漏掉任何一种形式.
2．A
【解析】∵①2x2﹣x=x(2x-1)，②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4=(x﹣3)2，③（x+1）2﹣4x（x+1）+4不能因式分解，④﹣4x2﹣1+4x=-(2x-1)2；
∴①和③含有相同的因式(2x-1).
故选A.
3．A
【解析】a （a -2）-2a +4=a4-2a2-2a +4= a4-4a2+4=(a2-2)2≥0,
故选A.
点睛：本题考查了完全平方公式法因式分解及偶次方的非负性，因为a （a -2）-2a +4分解因式后得(a2-2)2，而(a2-2)2≥0，所以选A.
4．C
【解析】根据完全平方公式： ，可以进行判断出答案是C选项正确.
故选：C.
5．D
【解析】试题解析：由于（3x±4y）2=9x2±24xy+16y2=9x2-mxy+16y2，
∴m=±24．
故选D．
【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．要求掌握完全平方公式，并熟悉其特点．
6．a（b﹣1）2
【解析】试题解析： ，故本题的答案为 .
点睛：本题考查了因式分解的提公因式法与公式法，解题的关键在于判断公因式并熟练地运用完全平方公式.
7．； ； ； .
【解析】试题解析：
故答案为：
8．0
【解析】解：由题意得：a2+b2﹣2a+4b+5=0
a2﹣2a+1+b2+4b+4=0
即：（a﹣1）2+（b+2）2=0，
由非负数的性质得a=1，b=﹣2．则2a+b=0．故答案为：0；
点睛：本题考查了配方法的应用，解题的关健在于要理解偶次方是非负数．当两个偶次方相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
9．或或
【解析】∵大正方形的边长为（a+b），故面积为(a+b)2;由图可得：大方形的面积由一个边长为a、一个边长为b的正方形和两个长为a、宽为b的长方形组成，即a2+b2+2ab,
∴;
故答案是： 或或
10．2
【解析】试题分析：原式＝ (a2＋2ab＋b2)＝ (a＋b)2＝×22＝2．
故答案为：2．
点睛：本题主要考查了利用完全平方公式分解因式，发现两个平方项的系数相同，并且提出凑成完全平方式是解决此题的关键．
11．（1）-(2a-1)2；（2）-y(2x-3y)2；（3）(3x-3y+1)2；（4）3(1-x)2；（5）；（6）-2axn-1(1-3x)2.
【解析】试题分析：（1）、（2）、（3）小题都是根据完全平方公式的特点，进行因式分解即可得；
（4）、（5）、（6）小题都是先提公因式，然后再根据完全平方公式的特点进行分解即可得.
试题解析：（1）原式=-(4a2-4a+1)=-(2a-1)2；
（2）原式=-y(4x2-12x+9)=-y(2x-3y)2；
（3）原式=[3(x-y)]2+6(x-y)+1=(3x-3y+1)2；
（4）原式=3(1-2x+x2)=3(1-x)2；
（5）原式=n2()=；
（6）原式=-2axn-1(1+9x2-6x)=-2axn-1(1-3x)2.
12．（1）2 016；（2）；（3）40 000
【解析】试题分析： 提取公因式法.
平方差公式.
完全平方公式.
试题解析： (1)原式=20.16×(29+72-1)=20.16×100=2 016;
(2)原式=
=100×;
(3)原式=1012+2×101×99+992
=(101+99)2=2002=40000.
13．（1） （m-3n）（m-n）；
（2）代数式m2-3m+2015的最小值为
【解析】试题分析：（1）二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方；
（2）利用配方法将代数式m2-3m+2015转化为完全平方与和的形式=(m )2+2012，然后利用非负数的性质进行解答．
试题解析：（1）m2-4mn+3n2=m2-4mn+4n2-n2
=（m-2n）2-n2
=（m-3n）（m-n）；
（2）m2-3m+2015=m2 3m+()2 ()2+2015
=(m )2 ()2+2015
=(m )2+2012，
∵(m )2≥0，
∴(m )2+2012≥2012，
即代数式m2-3m+2015的最小值为2012．
14．（1）时，原多项式的最小值是6；（2）时，原多项式的最小值是.
【解析】试题分析：（1）先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案；
（2）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案．
试题解析：⑴.
∵ ∴当值最小，解得.此时原式的最小值为.
∴时，原多项式的最小值是.
⑵.
∵
∴当值最大， 解得，此时原式的最大值为.
∴时，原多项式的最小值是.
15．（1）C（2）（y+1）2，（x+1）4
【解析】试题分析：利用换元法、完全平方公式进行因式分解即可．
试题解析：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法，
故选C．
（2）设x2+2x=y，
原式=y2+2y+1，
=（y+1）2，
则（x2+2x）（x2+2x+2）+1=（x2+2x+1）2=[（x+1）2]2=（x+1）4．
16．300
【解析】试题分析：先根据题意列出算式a（a+b）+b（a+b）+（a+b）2，再将a+b=10代入求出即可．
试题解析：
解：(a＋b)2＋a(a＋b)＋b(a＋b)＋(b＋a)2
＝2(a＋b)2＋(a＋b)(a＋b)
＝2(a＋b)2＋(a＋b)2
＝3(a＋b)2.
因为a＋b＝10，所以3(a＋b)2＝300.
答：这座商贸大楼共有商品300种．
17．（1） (m＋2n)(2m＋n)；（2）42 cm.
【解析】试题分析：（1）根据图象由长方形面积公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可；
（2）根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用每块小矩形的面积为10厘米2，得出等式求出m+n，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可．
试题解析：（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；
（2）依题意得，2m2+2n2=58，mn=10，
∴m2+n2=29，
∵（m+n）2=m2+2mn+n2，
∴（m+n）2=29+20=49，
∵m+n＞0，
∴m+n=7，
∴．图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42cm．
【点睛】此题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图形得出是解题关键．
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