5.4 分式的加减（2）同步练习

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5.4 分式的加减（2）同步练习
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本节应掌握和应用的知识点
1．最简公分母
（1）最简公分母的定义：
通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．
②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
2．通分
1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
（2）通分的关键是确定最简公分母．
①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．
（3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．
3．异分母分式加减法法则
异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．：
说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1．分式，﹣， 的最简公分母是（　　）
A. x2y B. 2x3y C. 4x2y D. 4x3y
2．化简+的结果是（　　）
A. 1 B. ﹣1 C. 8 D. ﹣8
3．分式a-b+的值为（ ）
A. B. a+b C. D. 以上都不对
4．化简等于（ ）
A. B. C. D.
5．把分式， ， 进行通分，它们的最简公分母是（ ）
A. B. C. D.
6．已知两个分式： ， ，其中x≠±2，则A与B的关系是（　　）
A. 相等 B. 互为倒数 C. 互为相反数 D. A大于B
7．如果分式，那么A，B的值是(　　)
A. A＝－2，B＝5 B. A＝2，B＝－3
C. A＝5，B＝－2 D. A＝－3，B＝2
8．甲、乙两人同时从地出发至地，如果甲的速度保持不变，而乙先用 的速度到达中点，再用的速度到达地，则下列结论中正确的是( )
A. 甲、乙同时到达地 B. 甲先到达地
C. 乙先到达地 D. 谁先到达地与速度有关
9．已知实数a、b满足：ab=1且， ，则M、N的关系为（　　）
A. M＞N B. M＜N C. M=N D. M、N的大小不能确定
二、填空题
10．化简： ________.
11．如果，那么代数式 _______ 0(填“>” “”“<”“”或“=”).
12．当分式的值等于零时，则_________．
13．已知x－y=xy,则_______________.
14．泰兴某企业有吨煤，计划用天，为积极响应市政府“节能减排”的号召，现打算多用天，则现在比原计划每天少用煤_______吨.
15．已知 (其中A，B为常数)，求A2 014B=____________.
16．计算： =______________．
三、解答题
17．已知分式＋，回答下列问题．
(1)化简这个分式；
(2)“当x＝1时，该分式的值为0”，这个说法正确吗？请说明理由．
18．计算
（1） （2）
（3） （4）
19．我们把分子为1的分数叫做单位分数，如： ， ， ，….任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如： ， ， ，….
(1)根据对上述式子的观察，你会发现请写出口，○所表示的数；
(2)进一步思考，单位分数（n是不小于2的正整数）,请写出□,△所表示的式子，并加以验证.
20．已知，其中、为常数，求的值．
21．在计算的过程中，三位同学给出了不同的方法：
甲同学的解法：原式=；
乙同学的解法：原式==1；
丙同学的解法：原式=（x+3）（x﹣2）+2﹣x=x2+x﹣6+2﹣x=x2﹣4．
（1）请你判断一下，　 　同学的解法从第一步开始就是错误的，　 　同学的解法是完全正确的．
（2）乙同学说：“我发现无论x取何值，计算的结果都是1”．请你评价一下乙同学的话是否合理，并简要说明理由．
参考答案
1．D
【解析】系数的最小公倍数是4，字母x的最高次数是3，y的最高次数是1，所以最简公分母是4x3y，故选D.
2．A
【解析】原式=﹣==1，
故选：A．
3．C
【解析】试题解析：a-b+
=
=.
故选C.
4．C
【解析】试题分析：
＝
＝．
故选C．
5．C
【解析】试题解析：分式， ， 的分母分别是（x-y）、（x－y）、（x+y）（x-y）．
则最简公分母是（x+y）（x-y）=x2-y2．
故选C．
【点睛】本题考查了最简公分母的定义及确定方法，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．
6．C
【解析】试题解析：∵B====，
又∵A=，
∴A+B=+=0，
∴A与B的关系是互为相反数；
故选C.
7．A
【解析】因为=，所以，解得，故选A.
8．B
【解析】设从A地到B地的距离为2s,而甲的速度v保持不变,
∴甲所用时间为,
又乙先用v的速度到达中点,再用2v的速度到达B地,
∴乙所用时间为,
∴甲先到达B地,故选B.
9．C
【解析】先通分，再利用作差法可由= ， =，因此可得M﹣N=﹣==，由ab=1，可得2﹣2ab=0，即M﹣N=0，即M=N．
故选：C．
点睛：此题主要考查了分式的加减，先注意通分，然后再通过求差约分即可判断，解题关键是通过求差来判断大小的关系.
10．
【解析】试题解析：
=
=
=.
故答案为： .
11．＜
【解析】因为,且,所以,,所以,故答案为:<.
12．
【解析】试题分析： ＝＝，
∵分式的值等于零，
∴3y－2＝0，y2－1≠0，
∴y＝．
故答案为： ．
点睛：本题考查了分式的加减运算和分式值为零的条件，正确的将分式进行化简是解决此题的关键．
13．－1
【解析】试题分析：
＝
＝
＝
＝－1．
故答案为－1．
点睛：本题考查了分式的加减运算，解决此类问题要认真观察已知与要求之间关系，然后进行整体代入．
14．
【解析】由题意可得：原计划每天用煤吨，现在每天用煤吨，
∴现在比原计划每天少用煤： （吨）.
故答案为： .
15．-2
【解析】试题解析：∵
∴
整理得：
∴
解得：
∴A2 014B=-2.
16．
【解析】试题分析：原式＝
＝．
故答案为： ．
17．(1) ；（2）不正确．理由如下：当x＝1时，原分式无意义．
【解析】整体分析：
(1)先通分，把异分母转化为同分母，相加后，再分解因式，约分化简为最简分式；（2）判断当x=1时，原分式是否有意义.
解：（1）＋
=+
=
=
=.
(2)不正确，理由如下：
当x＝1时，
x-1=0，原分式无意义．
18．（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】试题分析：（1）同分母分式相减，分母不变，把分子相减，最后结果化成最简即可；
（2）把整式看成是分母为1的分式，通分后把分子相减即可；
（3）把两个分母分解因式后通分，再利用同分母分式减法法则进行计算即可；
（4）把括号内的分式通分相减，化成最简后，再把除法转化为乘法，分母分解因式后再进行约分即可．
试题解析：
解：（1）原式＝
＝
＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝；
（3）原式＝
＝
＝
＝；
（4）原式＝
＝
＝
＝．
点睛：本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确运算顺序和运算法则．
19．（1） 6，30；（2）n+1，n(n+1)
【解析】试题分析：（1）通过观察直接写出口，○所表示的数分别为：6 ，30 ；（2）通过前面几个式子找出规律，再对找出的规律验证即可.
试题解析：
(1) 6 ，30 ；
(2)n=2时， =；
n=3时， ；
n=4时， ；
……
=+.
所以□，△所表示的式子n+1, n(n+1).
验证： .
点睛：掌握分式的加法运算.
20．8
【解析】试题分析：已知等式右边利用同分母分式的加法法则计算，利用分式相等的条件求出A与B的值，即可确定出4A-2B的值．
试题解析：
∴，
∴，
∴．
21．（1）丙，乙；（2）不合理，理由见解析.
【解析】试题分析：（1）根据分式的加减法，由分解因式和同分母的分式加减，可知甲第2步去括号时没变号；乙正确；丙第一步的计算漏掉了分母，由此可知答案；
（2）根据乙的正确化简结果可知最终结果与x值无关，但是要注意所选取的x不能使分式无意义.
试题解析：（1）丙同学的解法从第一步开始就是错误的，乙同学的解法是完全正确的；
故答案为：丙，乙；
（2）不合理，
理由：∵当x≠±2时，==1，
∴乙同学的话不合理，
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