5.5 分式方程（1）同步练习

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5.5 分式方程（1）同步练习
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本节应掌握和应用的知识点
1．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．
2．分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
3．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
4．分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1．方程的解是（　　）
A. x﹣9 B. x=3 C. x=9 D. x=﹣6
2．一根蜡烛经凸透镜成一实像，物距u，像距v．和凸透镜的焦距f满足关系式： ，若u=12cm，f=3cm，则v的值为（　　）
A. 8cm B. 6cm C. 4cm D. 2cm
3．下列关于x的方程是分式方程的是( )
A. ; B. ; C. ; D.
4．对于实数、，定义一种新运算“”为： ，这里等式右边是实数运算．例如： ．则方程的解是（　　）
A. B. C. D.
5．若关于x的方程有解,则必须满足条件( )
A. c≠d B. c≠-d C. bc≠-ad C.a≠b
6．当与的和为时， 的值为（ ）
A. -5 B. 5 C. D. 无解
7．方程的根的情况，说法正确的是（　 ）
A. 0是它的增根 B. －1是它的增根 C. 原分式方程无解 D. 1是它的根
8．关于x的分式方程的解是正数，则字母m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9．关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　）
A. 2 B. ﹣1 C. 0 D. 1
二、填空题
10．若分式方程有增根，则这个增根是________．
11．关于x的方程无解，则k的值为____。
12．分式方程＋＝的解为x＝____________.
13．若+=（a≠b≠0），用含a、b的代数式表示m，则m＝___________.
14．若分式方程的解为x=3，则a的值为_______．
三、解答题
15．解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
16．小明解方程=1的过程如图．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．
17．m 是什么数时，分式方程有根.
18．已知方程的解为x=2，求的值．
19．已知关于x的分式方程
（1）若方程的增根为x=1，求m的值
（2）若方程有增根，求m的值
（3）若方程无解，求m的值．
参考答案
1．C
【解析】分式方程去分母得：2x=3x﹣9，
解得：x=9，
经检验，x=9是分式方程的解，
故选：C．
2．C
【解析】解：∵ ，u=12cm，f=3cm，∴，解得：v=4cm．故选C．
3．D
【解析】根据分式方程的定义——分母中含有未知数的方程.故选D.
4．B
【解析】根据新定义的运算规律，可得=，根据题意可得=，解方程可求得x=5.
故选：B.
5．A
【解析】方程变形为(c+d)x=ad+bc，所以当c+d≠0，即c≠d时，原方程有解，故选A.
6．B
【解析】根据题意得， +=，解得x=5，经检验，x=5是方程的解，故选B.
7．C
【解析】方程两边同乘x(x+1)(x-1)，得
3(x+1)-6x=7(x-1)，
解得：x=1，
检验：当x=1时，x(x+1)(x-1)=0，所以x=1不是原方程的解，原方程无解，
故选C.
8．D
【解析】试题分析：分式方程去分母得：2x－m＝3x＋3，
解得：x＝－m－3，
由分式方程的解为正数，得到－m－3＞0，且－m－3≠－1，
解得：m＜－3，
故选：D．
点睛：此题考查了分式方程的解，要注意分式方程分母不为0这个条件．
9．B
【解析】方程两边都乘(x﹣2)，得2x+m﹣3=3x﹣6，∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣2=0，解得x=2，当x=2时，4+m﹣3=0．解得m=﹣1．故选B．
10．x=1
【解析】两边都乘以x-1，得
x+m=2x-2，
∵方程有增根，
最简公分母x-1=0,即增根是x=1，
把x=1代入整式方程,得m=-1，
故答案是: x=1.
点睛：本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
11．3
【解析】试题分析：两边同乘以(x－3)可得：x=2(x－3)+k，解得：x=6－k，根据分式方程无解可得：x=3，即6－k=3，解得：k=3．
12．
【解析】＋＝，去分母得： 移项及合并得： 系数化为1得： .
故答案： .
13．
【解析】根据+=得， ，得： .
故答案： .
14．5
【解析】由题意得： ，
解得：a=5，
经检验a=5符合原方程，
故答案为：5.
15．（1）0.5；（2）无解；（3）无解；（4）
【解析】试题分析：（1）、（2）、（3）、（4）都是方程两边同时乘以最简公分母，化为整式方程，解整式方程后进行检验即可得.
试题解析：（1）方程两边同时乘以2（x-1），得
2=3+2（x-1），
解得：x=0.5，
检验：当x=0.5时，2（x-1）≠0，
所以x=0.5是原方程的解；
（2）方程两边同时乘以x(x+1)(x-1)，得
7（x-1）+3(x+1)=6x，
解得：x=1，
检验：当x=1时，x(x+1)(x-1)=0，所以原方程无解；
（3）方程两边同时乘以x(x-1)，得
x2+x-2=x(x-1)，
解得：x=1，
检验：当x=1时，x(x-1)=0，所以原方程无解；
（4）方程两边同时乘以2（x-2），得
3-2x=2(x-2)，
解得：x=，
检验：当x=时，2(x-2)≠0，
所以x=是原方程的解.
16．小明的解法有三处错误：步骤①去分母有误； 步骤②去括号有误；步骤⑥少检验；正确解法见解析
【解析】试题分析：小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥少检验，写出正确的解题过程即可．
试题解析：解：小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥少检验；
正确解法为：方程两边乘以x，得：1﹣（x﹣2）=x，去括号得：1﹣x+2=x，移项得：﹣x﹣x=﹣1﹣2，合并同类项得：﹣2x=﹣3，解得：x=，经检验x=是分式方程的解，则方程的解为x=．
点睛：本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
17．m ≠－3且m≠5
【解析】试题分析：方程两边都乘以x(x 1)得到整式方程3x 3+6x x m=0，求出方程的解，根据求出的范围，即可得出进而求出的取值范围.
试题解析：方程两边都乘以x(x 1)得：3x 3+6x x m=0，
8x=m+3，
∵要使分式方程有解，
∴x≠0，x 1≠0，
∴x≠0，x≠1，
∴
解得：m≠ 3且m≠5，
所以，当m≠ 3且m≠5时，
分式方程 有根.
18．， .
【解析】试题分析：根据分式方程的解为x=2，代入到分式方程，求出a的值，把通分化简，再把a的值代入计算即可求出代数式的值．
把x=2代入得，a=3，
∴原式=﹣
=
=，
当a=3时，原式==．
19．（1）m=-6;(2) 当x=﹣2时，m=1.5；当x=1时，m=﹣6；（3）m的值为﹣1或﹣6或1.5
【解析】试题分析：方程两边同时乘以最简公分母（x-1）(x+2)，化为整式方程；
（1）把方程的增根x=1代入整式方程，解方程即可得；
（2）若方程有增根，则最简公分母为0，从而求得x的值，然后代入整式方程即可得；
（3）方程无解，有两种情况，一种是原方程有增根，一种是所得整式方程无解，分别求解即可得.
试题解析：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），得
2（x+2）+mx=x-1，
整理得（m+1）x=﹣5，
（1）∵x=1是分式方程的增根，
∴1+m=﹣5，
解得：m=﹣6；
（2）∵原分式方程有增根，
∴（x+2）（x﹣1）=0，
解得：x=﹣2或x=1，
当x=﹣2时，m=1.5；当x=1时，m=﹣6；
（3）当m+1=0时，该方程无解，此时m=﹣1；
当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m=﹣6或m=1.5，
综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5．
【点睛】本题考查了分式方程无解的问题，正确的将分式方程转化为整式方程，明确方程产生无解的原因，能正确地根据产生的原因进行解答是关键.
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