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平行线 常考经典较难题、压轴题例题
例1 翻折
（2018 仙居县一模）如图，把一张长方形纸带沿着直线GF折叠，∠CGF=30°，则∠1的度数是 ．
【练习】
（2018春 莒县期中）如图，生活中将一个宽度相等的纸条按图所示折叠一下，如果∠2=100°，那么∠1的度数为 ．
例2 旋转
（2017 上海中考）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果EF∥AB，那么n的值是 ．
【练习】
1.（2017秋 前郭县期末改编）将一副直角三角尺ABC和CDE按如图方式放置，其中直角顶点C重合，∠D=45°，∠A=30°．将三角形CDE绕点C旋转，若DE∥BC，则直线AB与直线CE的较大的夹角∠1的大小为 度．
2.（2018春 滨海县期中）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2=0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°
（1）求a、b的值；
（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．
例3 平行线的性质
（2017春 南沙区期末）已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．
（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC．
（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．
【练习】
1. （2017春 武侯区校级期中）如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，
第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
若∠En=1度，那∠BEC等于 度
2．（2018春 宿豫区期中）如图，两直线AB、CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 720° ．
3.（2018春 黄陂区期中）已知直线AB∥CD．
（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为 ；
（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则= ．
4.（2017春 丰城市期末）数学思考：（1）如图1，已知AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并证明你的结论
推广延伸：（2）①如图2，已知AA1∥BA1，请你猜想∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜想；
②如图3，已知AA1∥BAn，直接写出∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、…∠Bn﹣1、∠An的关系
拓展应用：（3）①如图4所示，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为( )
A.180°+α+β﹣γ B.180°﹣α﹣γ+β C．β+γ﹣α D．α+β+γ
②如图5，AB∥CD，且∠AFE=40°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，请你根据上述结论直接写出∠GHM的度数是 ．
例4 平移
（2017春 上虞区期末）如图1所示，已知BC∥OA，∠B=∠A=120°
（1）说明OB∥AC成立的理由．
（2）如图2所示，若点E，F在BC上，且∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF，求∠EOC的度数．
（3）在（2）的条件下，若左右平移AC，如图3所示，那么∠OCB：∠OFB的比值是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个比值．
（4）在（3）的条件下，当∠OEB=∠OCA时，求∠OCA的度数．
【练习】
如图，已知AM∥BN，∠A=60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）求∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，∠ABC的度数是 ．
例5 作图—应用
作图题
（1）如图1，一个牧童从P点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线．
（2）如图2，在一条河的两岸有A，B 两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段CD表示．试问：桥CD建在何处，才能使A到B的路程最短呢？请在图中画出桥CD的位置．
【练习】
（2016春 湖州市吴兴区期末）如图，平面上有直线a及直线a外的三点A、B、P．
（1）过点P画一条直线m，使得m∥a；
（2）过B作BH⊥直线m，并延长BH至B′，使得BB′为直线a、m之间的距离；
（3）若直线a、m表示一条河的两岸，现要在这条河上建一座桥（桥与河岸垂直），使得从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，试问桥应建在何处？画出示意图．
【巩固练习】
一、选择题
1．（2018春 洪山区期中）如图，AB∥DE，∠ABC的角平分线BP和∠CDE的角平分线DK的反向延长线交于点P且∠P﹣2∠C=57°，则∠C等于（ ）
A．24° B．34° C．26° D．22°
第1题图 第2题图
2．（2018春 高新区校级期中）如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（ ）
A．76° B．78° C．80° D．82°
3．（2017春 祁阳县期末）在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定
4．（2013春 汉阳区期末）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：
①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC=180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值
其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第4题图 第5题图
5．（2018 丰南区一模）如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
二、填空题
6．（2018春 雁塔区校级月考）平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数为 个．
7．（2018 河南模拟）如图所示，AB∥EF，∠B=35°，∠E=25°，则∠C+∠D的值为 ．
第7题图 第8题图 第9题图
8．（2018 昆山市二模）如图所示，AB∥CD，∠E=35°，∠C=20°，则∠EAB的度数为 ．
9．（2017秋 遂宁期末）如图，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，∠B﹣∠D=24°，则∠GEF= ．
10．（2017秋 福田区校级期末）已知D是△ABC的边BC所在直线上的一点，与B，C不重合，过D分别作DF∥AC交AB所在直接于F，DE∥AB交AC所在直线于E．若∠A=80°，则∠FDE的度数是 ．
11．（2018春 开福区校级期末）学行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知小敏画平行线的依据可以是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行；②同位角相等，两直线平行；③内错角相等，两直线平行；④同旁内角互补，两直线平行．
12．（2018春 青山区期中）把一张对边互相平行的纸条折成如图那样，EF是折痕，若∠EFB=32°，则∠D′FD的度数为 ．
13．（2018春 宁波期中）如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图（2），再沿BF折叠成图（3），继续沿EF折叠成图（4），按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG；整个过程共折叠了9次，问图（1）中∠DEF的度数是 ．
三、解答题
14. （余姚市校级期中）按要求解答下列问题：
（1）分别按下列要求作出经过平移后的图形
①把三角形ABC向右平移3格．
②把第①题所得图形向上平移4格．
（2）经（1）中二次平移后所得的图形，能通过三角形ABC一次平移得到吗？如果你认为可以，描述这个平移过程．
（3）如图：直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在河上建一座桥．桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路程最短？画出示意图，并用平移的原理说明理由
15．（2018春 甘井子区期中）如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BG⊥AD，垂足为点G．
（1）求证：∠MAG+∠PBG=90°；
（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；
（3）若直线AD的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．
16．（2017春 嘉祥县期中）（1）如图甲，AB∥CD，∠2与∠1+∠3的关系是什么？并写出推理过程；
（2）如图乙，AB∥CD，直接写出∠2+∠4与∠1+∠3+∠5的数量关系；
（3）如图丙，AB∥CD，试问∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7还有类似的数量关系吗？若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．
17．（2017春 成都期中）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 ；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．
18．（2017春 乐亭县期中）已知，∠AOB=90°，点C在射线OA上，CD∥OE．
（1）如图1，若∠OCD=120°，求∠BOE的度数；
（2）把“∠AOB=90°”改为“∠AOB=120°”，射线OE沿射线OB平移，得O′E，其他条件不变，（如图2所示），探究∠OCD、∠BO′E的数量关系；
（3）在（2）的条件下，作PO′⊥OB垂足为O′，与∠OCD的平分线CP交于点P，若∠BO′E=α，请用含α的式子表示∠CPO′（请直接写出答案）．
19．（2017春 碑林区校级期中）探究：如图①，已知直线l1∥l2，直线l3和l1，l2分别交于点C和D，直线l3上有一点P．
（1）若点P在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间有怎样的关系？并说明理由．
（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（点P与点C、D不重合），请尝试自己画图，写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并说明理由．
（3）如图②，AB∥EF，∠C=90°，我们可以用类似的方法求出∠α、∠β、∠γ之间的关系，请直接写出∠α、∠β、∠γ之间的关系．
20．（2017春 汉阳区期中）如图1，AB∥CD，E是AB、CD之间的一点．
（1）判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F．直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；
（3）将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．
21．（2015春 越秀区校级期中）已知：如图，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：
（1）如图①所示，求证：OB∥AC．（注意证明过程要写依据）
（2）如图②，若点E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．
（ⅰ）求∠EOC的度数；
（ⅱ）求∠OCB：∠OFB的比值；
（ⅲ）如图③，若∠OEB=∠OCA．此时∠OCA度数等于 ．（在横线上填上答案即可）
22．（2015春 巴南区校级期末）如图，已知两条射线OM∥CN，动线段AB的两个端点A、B分别在射线OM、CN上，且∠C=∠OAB=108°，F在线段CB上，OB平分∠AOF，OE平分∠COF．
（1）请在图中找出与∠AOC相等的角，并说明理由；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC与∠OFC的度数比是否随着AB位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=2∠OBA？若存在，请求出∠OBA度数；若不存在，说明理由．
23．（2017春 江北区校级期中）已知直线AB∥CD．
（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是 ．
（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系 ．
24．（2017春 锡山区校级月考）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°）：
（1）若∠DCE=35°，求∠ACB的度数；
（2）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
（3）请你动手操作，现将三角尺ACD固定，三角尺BCE的CE边与CA边重合，绕点C顺时针方向旋转，当0°＜∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
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平行线 常考经典较难题、压轴题例题和巩固练习（解析）
例1 翻折
（2018 仙居县一模）如图，把一张长方形纸带沿着直线GF折叠，∠CGF=30°，则∠1的度数是 60° ．
【解答】解：∵把一张长方形纸带沿着直线GF折叠，∠CGF=30°，
∴∠EGF=∠FGC=30°，
∵AD∥BC，
∴∠CGF=∠GFE=30°，
∴∠2=60°，
∵GE∥FH，
∴∠1=∠2=60°，
故答案为：60°
【练习】
（2018春 莒县期中）如图，生活中将一个宽度相等的纸条按图所示折叠一下，如果∠2=100°，那么∠1的度数为 160o ．
【解答】解：如图，
∵将一个宽度相等的纸条按右图所示折叠，
∴∠3=∠4，
∵a∥b，
∴∠1=∠3+∠4，∠2+∠3=180°，
∴∠3=80°，
∴∠1=160°．
故答案为：160°
例2 旋转
（2017 上海中考）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果EF∥AB，那么n的值是 45 ．
【解答】解：①如图1中，EF∥AB时，∠ACE=∠A=45°，
∴旋转角n=45时，EF∥AB．
②如图2中，EF∥AB时，∠ACE+∠A=180°，
∴∠ACE=135°
∴旋转角n=360﹣135=225，
∵0＜n＜180，
∴此种情形不合题意，
故答案为45
【练习】
1.（2017秋 前郭县期末改编）将一副直角三角尺ABC和CDE按如图方式放置，其中直角顶点C重合，∠D=45°，∠A=30°．将三角形CDE绕点C旋转，若DE∥BC，则直线AB与直线CE的较大的夹角∠1的大小为 105 度．
【解答】解：①如图1，∵DE∥BC，∴∠E=∠ECB=45°，∴∠1=∠ECB+∠B=45°+60°=105°；
②如图2，∵DE∥BC，∴∠E=∠ECB=45°，∴∠1=∠ECB+∠CBF=45°+120°=165°。
故答案为：105或165
2.（2018春 滨海县期中）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2=0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°
（1）求a、b的值；
（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．
【解答】解：（1）∵a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2=0，
∴a﹣3b=0，且a+b﹣4=0，
∴a=3，b=1；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜60时，
3t=（20+t）×1，
解得t=10；
②当60＜t＜120时，
3t﹣3×60+（20+t）×1=180°，
解得t=85；
③当120＜t＜160时，
3t﹣360=t+20，
解得t=190＞160，（不合题意）
综上所述，当t=10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；
（3）设A灯转动时间为t秒，
∵∠CAN=180°﹣3t，
∴∠BAC=45°﹣（180°﹣3t）=3t﹣135°，
又∵PQ∥MN，
∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°﹣3t=180°﹣2t，
而∠ACD=90°，
∴∠BCD=90°﹣∠BCA=90°﹣（180°﹣2t）=2t﹣90°，
∴∠BAC：∠BCD=3：2，
即2∠BAC=3∠BCD．
例3 平行线的性质
（2017春 南沙区期末）已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．
（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC．
（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．
【解答】解：（1）如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°；
（2）∠AKC=∠APC．
理由：如图2，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，
∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，
∴∠BAK+∠DCK=∠BAP+∠DCP=（∠BAP+∠DCP）=∠APC，
∴∠AKC=∠APC；
（3）∠AKC=∠APC．
理由：如图3，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，
∴∠AKC=∠AKE﹣∠CKE=∠BAK﹣∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC=∠BAP﹣∠DCP，
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，
∴∠BAK﹣∠DCK=∠BAP﹣∠DCP=（∠BAP﹣∠DCP）=∠APC，
∴∠AKC=∠APC．
【练习】
1. （2017春 武侯区校级期中）如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，
第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
若∠En=1度，那∠BEC等于 2n 度
【解答】解：如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；
如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC．
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；
如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=∠ABE2+∠DCE2=∠CE2B=∠BEC；
…
以此类推，∠En=∠BEC．
∴当∠En=1度时，∠BEC等于2n度．
故答案为：2n ．
2．（2018春 宿豫区期中）如图，两直线AB、CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 720° ．
【解答】解：分别过F点，G点，H点作L2，L3，L4平行于AB
利用内错角和同旁内角，把这五个角转化一下，可得，有4个180°的角，
∴180×4=720°．
故答案为：720°．
3.（2018春 黄陂区期中）已知直线AB∥CD．
（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为 ∠E=∠END﹣∠BME ；
（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则= ．
【解答】解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠END=∠EFB，
∵∠EFB是△MEF的外角，
∴∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME，
故答案为：∠E=∠END﹣∠BME；
（2）如图2，∵AB∥CD，
∴∠CNP=∠NGB，
∵∠NPM是△GPM的外角，
∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，
∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，
∴∠CNE=2∠CNP，∠FME=2∠BMQ=2∠PMA，
∵AB∥CD，
∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP，
∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE=180°，
∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，
即∠E+2（∠PMA+∠CNP）=180°，
∴∠E+2∠NPM=180°；
（3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，
∵AB∥CD，
∴∠CDG=∠AGE，
∵∠ABE是△BEG的外角，
∴∠E=∠ABE﹣∠AGE=∠ABE﹣∠CDE，①
∵∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，
∴∠ABM=∠ABE=∠CHB，∠CDN=∠CDE=∠FDH，
∵∠CHB是△DFH的外角，
∴∠F=∠CHB﹣∠FDH=∠ABE﹣∠CDE=（∠ABE﹣∠CDE），②
由①代入②，可得∠F=∠E，
即．
故答案为：．
4.（2017春 丰城市期末）数学思考：（1）如图1，已知AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并证明你的结论
推广延伸：（2）①如图2，已知AA1∥BA1，请你猜想∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜想；
②如图3，已知AA1∥BAn，直接写出∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、…∠Bn﹣1、∠An的关系
拓展应用：（3）①如图4所示，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为 B
A.180°+α+β﹣γ B.180°﹣α﹣γ+β C．β+γ﹣α D．α+β+γ
②如图5，AB∥CD，且∠AFE=40°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，请你根据上述结论直接写出∠GHM的度数是 30° ．
【解答】解：（1）证明：如图1，过点P作OP∥AB，
∵AB∥CD，
∴OP∥AB∥CD，
∴∠1=∠PAB，∠2=∠PCD，
∴∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD，
即∠APC=∠PAB+∠PCD；
（2）①如图2，过点A2作A2O∥AA1，
由（1）可知∠B1=∠A1+∠1，∠B2=∠2+∠A3，
所以，∠B1+∠B2=∠A1+∠A2+∠A3；
②如图3，由①可知：
∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1；
（3）①如图4，过∠x的顶点作CD∥AB，
则∠x=（180°﹣α）+（β﹣γ）=180°﹣α﹣γ+β，
②如图5，由（1）可知，40°+∠GHM+50°=∠G+∠M，
∵∠G=90°，∠M=30°，
∴∠GHM=90°+30°﹣40°﹣50°=30°．
故答案为：B；30°．
例4 平移
（2017春 上虞区期末）如图1所示，已知BC∥OA，∠B=∠A=120°
（1）说明OB∥AC成立的理由．
（2）如图2所示，若点E，F在BC上，且∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF，求∠EOC的度数．
（3）在（2）的条件下，若左右平移AC，如图3所示，那么∠OCB：∠OFB的比值是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个比值．
（4）在（3）的条件下，当∠OEB=∠OCA时，求∠OCA的度数．
【解答】解：（1）∵BC∥OA，
∴∠B+∠O=180°，
∴∠O=180°﹣∠B=60°，
而∠A=120°，
∴∠A+∠O=180°，
∴OB∥AC；
（2）∵OE平分∠BOF，
∴∠BOE=∠FOE，
而∠FOC=∠AOC，
∴∠EOF+∠COF=∠AOB=×60°=30°，
即∠EOC=30°；
（3）比值不改变．
∵BC∥OA，
∴∠OCB=∠AOC，∠OFB=∠AOF，
∵∠FOC=∠AOC，
∴∠AOF=2∠AOC，
∴∠OFB=2∠OCB，
即∠OCB：∠OFB的值为1：2；
（4）设∠AOC的度数为x，则∠OFB=2x，
∵∠OEB=∠AOE，
∴∠OEB=∠EOC+∠AOC=30°+x，
而∠OCA=180°﹣∠AOC﹣∠A=180°﹣x﹣120°=60°﹣x，
∵∠OEB=∠OCA，
∴30°+x=60°﹣x，
解得x=15°，
∴∠OCA=60°﹣x=60°﹣15°=45°．
【练习】
如图，已知AM∥BN，∠A=60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）求∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，∠ABC的度数是 30° ．
【解答】解：（1）∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN=180°，
∵∠A=60°，
∴∠ABN=120°，
∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP=∠ABP，∠DBP=∠NBP，
∴∠CBD=∠ABN=60°；
（2）不变化，∠APB=2∠ADB，
证明：∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，
∠ADB=∠DBN，
又∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠DBN，
∴∠APB=2∠ADB；
（3）∵AD∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
又∵∠ACB=∠ABD，
∴∠CBN=∠ABD，
∴∠ABC=∠DBN，
由（1）可得，∠CBD=60°，∠ABN=120°，
∴∠ABC=（120°﹣60°）=30°，
故答案为：30°．
例5 作图—应用
作图题
（1）如图1，一个牧童从P点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线．
（2）如图2，在一条河的两岸有A，B 两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段CD表示．试问：桥CD建在何处，才能使A到B的路程最短呢？请在图中画出桥CD的位置．
【解答】解：（1）如图1所示，PM即为所求； （2）如图2，CD即为所求。
【练习】
（2016春 湖州市吴兴区期末）如图，平面上有直线a及直线a外的三点A、B、P．
（1）过点P画一条直线m，使得m∥a；
（2）过B作BH⊥直线m，并延长BH至B′，使得BB′为直线a、m之间的距离；
（3）若直线a、m表示一条河的两岸，现要在这条河上建一座桥（桥与河岸垂直），使得从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，试问桥应建在何处？画出示意图．
【解答】解：（1）直线m如图所示 （2）线段BB’如图所示 （3）桥应建在图中MN处，如图所示。
【巩固练习】
一、选择题
1．（2018春 洪山区期中）如图，AB∥DE，∠ABC的角平分线BP和∠CDE的角平分线DK的反向延长线交于点P且∠P﹣2∠C=57°，则∠C等于（ ）
A．24° B．34° C．26° D．22°
【解答】解：如图，延长KP交AB于F，
∵AB∥DE，DK平分∠CDE，
∴∠BPF=∠EDK=∠CDK，
设∠C=α，则∠BPG=2α+57°，
∵∠BPG是△BPF的外角，∠CDK是△CDG的外角，
∴∠BFP=∠BPG﹣∠ABP=2α+57°﹣∠ABP，∠CDK=∠C+∠CGD=α+∠BGP=α+（180°﹣∠BPG﹣∠CBP），
∴2α+57°﹣∠ABP=α+180°﹣（2α+57°）﹣∠CBP，
∵PB平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∴2α+57°=α+180°﹣（2α+57°），
解得α=22°，
故选：D．
2．（2018春 高新区校级期中）如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（ ）
A．76° B．78° C．80° D．82°
【解答】解：如图，分别过K、H作AB的平行线MN和RS，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥RS∥MN，
∴∠RHB=∠ABE=∠ABK，∠SHC=∠DCF=∠DCK，∠NKB+∠ABK=∠MKC+∠DCK=180°，
∴∠BHC=180°﹣∠RHB﹣∠SHC=180°﹣（∠ABK+∠DCK），
∠BKC=180°﹣∠NKB﹣∠MKC=180°﹣（180°﹣∠ABK）﹣（180°﹣∠DCK）=∠ABK+∠DCK﹣180°，
∴∠BKC=360°﹣2∠BHC﹣180°=180°﹣2∠BHC，
又∠BKC﹣∠BHC=27°，
∴∠BHC=∠BKC﹣27°，
∴∠BKC=180°﹣2（∠BKC﹣27°），
∴∠BKC=78°，
故选：B．
3．（2017春 祁阳县期末）在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定
【解答】解：∵l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，l5⊥l6，l6∥l7，l7⊥l8，∴l2⊥l4，l4⊥l6，l6⊥l8，
∴l2⊥l8．∵l1⊥l2，∴l1∥l8．故选：A．
4．（2013春 汉阳区期末）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：
①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC=180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值
其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠1=∠DEC，
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠DEC+∠2=90°，
∴∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，故①正确；
∴∠ADN=∠BAD，
∵∠ADC+∠ADN=180°，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
又∵∠AEB≠∠BAD，
∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；
∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，
∴∠2=∠4，
∴ED平分∠ADC，故③正确；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠EAM+∠EDN=360°﹣90°=270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°．
∵AE⊥DE，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠FAD+∠FDA=135°﹣90°=45°，
∴∠F=180°﹣（∠FAD+∠FDA）=180﹣45°=135°，故④正确．
故选：C．
5．（2018 丰南区一模）如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【解答】解：作EM∥AB，FN∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD．
∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°，
∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°．
故选：C．
二、填空题
6．（2018春 雁塔区校级月考）平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数为 0，1，3，4，5，6 个．
7．（2018 河南模拟）如图所示，AB∥EF，∠B=35°，∠E=25°，则∠C+∠D的值为 240° ．
【解答】解：如图所示，过C作CG∥AB，过D作DH∥EF，
∵AB∥EF，
∴AB∥EF∥CG∥DH，
∴∠1=∠B=35°，∠2=∠E=25°，∠GCD+∠HDC=180°，
∴∠BCD+∠CDE=35°+180°+25°=240°，
故答案为：240°．
8．（2018 昆山市二模）如图所示，AB∥CD，∠E=35°，∠C=20°，则∠EAB的度数为 55° ．
【解答】解：∵∠E=35°，∠C=20°，
∴∠DFE=∠E+∠C=35°+20°=55°，
∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠DFE=55°．
故答案为：55°．
9．（2017秋 遂宁期末）如图，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，∠B﹣∠D=24°，则∠GEF= 30° ．
【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠B=∠BEF，
∵EF∥CD，
∴∠D=∠DEF．
∵∠BED=∠BEF+∠DEF，
∴∠BED=∠B+∠D．
∵∠B+∠BED+∠D=192°，
∴2∠B+2∠D=192°
∴∠B+∠D=96°，
∵∠B﹣∠D=24°，
∴∠B=60°，
∴∠BEF=∠B=60°．
∵EG平分∠BEF
∴∠GEF=∠GEB=30°，即∠GEF为30°．
故答案为30°．
10．（2017秋 福田区校级期末）已知D是△ABC的边BC所在直线上的一点，与B，C不重合，过D分别作DF∥AC交AB所在直接于F，DE∥AB交AC所在直线于E．若∠A=80°，则∠FDE的度数是 80°或100°． ．
【解答】解：分为三种情况：
第一种情况：如图①，∵∠A=80°，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠A=∠DFB，∠FDE=∠DFB，
∴∠FDE=∠A=80°；
第二种情况：如图②，∵∠BAC=80°，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠BAC=∠E=80°，∠FDE+∠E=180°，
∴∠FDE=100°；
第三种情况：如图③，∵∠BAC=80°，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠BAC=∠E=80°，∠FDE+∠E=180°，
∴∠FDE=100°；
故答案为：80°或100°．
11．（2018春 开福区校级期末）学行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知小敏画平行线的依据可以是 ②③④ ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行；②同位角相等，两直线平行；③内错角相等，两直线平行；④同旁内角互补，两直线平行．
【解答】解：如图，由题图（2）的操作可知PE⊥CD，所以∠PEC=∠PED=90°．由题图（3）的操作可知AB⊥PE，所以∠APE=∠BPE=90°，所以∠PEC=∠PED=∠APE=∠BPE=90°，所以可依据结论②，③或④判定AB∥CD，
故答案为②③④．
12．（2018春 青山区期中）把一张对边互相平行的纸条折成如图那样，EF是折痕，若∠EFB=32°，则∠D′FD的度数为 64° ．
【解答】解：∵EF 是折痕，∠EFB=32°，AC′∥BD′，
∴∠C′EF=∠GEG=32°，
∴∠C′EG=64°，
∵CE∥FD，
∴∠D′FD=∠EGB=64°．
故答案为：64°．
13．（2018春 宁波期中）如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图（2），再沿BF折叠成图（3），继续沿EF折叠成图（4），按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG；整个过程共折叠了9次，问图（1）中∠DEF的度数是 18° ．
【解答】解：设∠DEF=α，则∠EFG=α，
∵折叠9次后CF与GF重合，
∴∠CFE=9∠EFG=9α，
如图2，∵CF∥DE，
∴∠DEF+∠CFE=180°，
∴α+9α=180°，
∴α=18°，
即∠EF=180°，
故答案为：18°．
三、解答题
14. （余姚市校级期中）按要求解答下列问题：
（1）分别按下列要求作出经过平移后的图形
①把三角形ABC向右平移3格．
②把第①题所得图形向上平移4格．
（2）经（1）中二次平移后所得的图形，能通过三角形ABC一次平移得到吗？如果你认为可以，描述这个平移过程．
（3）如图：直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在河上建一座桥．桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路程最短？画出示意图，并用平移的原理说明理由．
【解答】解：（1）
（2）由图可知，将△ABC沿直线AA″的方向平移线段AA″的长即可．
（3）先确定AA′＝CD，且AA′∥CD，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．如图（3）
根据“两点之间线段最短”，A′B最短，即AD＋BC最短．
15．（2018春 甘井子区期中）如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BG⊥AD，垂足为点G．
（1）求证：∠MAG+∠PBG=90°；
（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；
（3）若直线AD的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．
【解答】解：（1）如图1，∵MN∥PQ，
∴∠MAG=∠BDG，
∵∠AGB是△BDG的外角，BG⊥AD，
∴∠AGB=∠BDG+∠PBG=90°，
∴∠MAG+∠PBG=90°；
（2）2∠AHB﹣∠CBG=90°或2∠AHB+∠CBG=90°，证明：
①如图，当点C在AG上时，
∵MN∥PQ，
∴∠MAC=∠BDC，
∵∠ACB是△BCD的外角，
∴∠ACB=∠BDC+∠DBC=∠MAC+∠DBC，
∵AH平分∠MAC，BH平分∠DBC，
∴∠MAC=2∠MAH，∠DBC=2∠DBH，
∴∠ACB=2（∠MAH+∠DBH），
同理可得，∠AHB=∠MAH+∠DBH，
∴∠ACB=2（∠MAH+∠DBH）=2∠AHB，
又∵∠ACB是△BCG的外角，
∴∠ACB=∠CBG+90°，
∴2∠AHB=∠CBG+90°，即2∠AHB﹣∠CBG=90°；
②如图，当点C在DG上时，
同理可得，∠ACB=2∠AHB，
又∵Rt△BCG中，∠ACB=90°﹣∠CBG，
∴2∠AHB=90°﹣∠CBG，即2∠AHB+∠CBG=90°；
（3）（2）中的结论不成立．存在：2∠AHB+∠CBG=270°；2∠AHB﹣∠CBG=270°．
①如图，当点C在AG上时，由MN∥PQ，可得：
∠ACB=360°﹣∠MAC﹣∠PBC=360°﹣2（∠MAH+∠PBH），
∠AHB=∠MAH+∠PBH，
∴∠ACB=360°﹣2∠AHB，
又∵∠ACB是△BCG的外角，
∴∠ACB=90°+∠CBG，
∴360°﹣2∠AHB=90°+∠CBG，
即2∠AHB+∠CBG=270°；
②如图，当C在DG上时，
同理可得，∠ACB=360°﹣2（∠MAH+∠PBH），
∠AHB=∠MAH+∠PBH，
∴∠ACB=360°﹣2∠AHB，
又∵Rt△BCG中，∠ACB=90°﹣∠CBG，
∴360°﹣2∠AHB=90°﹣∠CBG，
∴2∠AHB﹣∠CBG=270°．
16．（2017春 嘉祥县期中）（1）如图甲，AB∥CD，∠2与∠1+∠3的关系是什么？并写出推理过程；
（2）如图乙，AB∥CD，直接写出∠2+∠4与∠1+∠3+∠5的数量关系；
（3）如图丙，AB∥CD，试问∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7还有类似的数量关系吗？若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．
【解答】解：（1）∠2=∠1+∠3．
证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF=∠1，∠CEF=∠3，
∴∠2=∠BEF+∠CEF=∠1+∠3；
（2）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5．
理由：分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，
∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠CMN=∠5，
∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN=∠1+∠EGH+∠MGH+∠5=∠1+∠3+∠5；
（3）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7．
理由：分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，
∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠KMN=∠LKM，∠LKP=∠KPQ，∠QPC=∠7，
∴∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7．
结论：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等．
17．（2017春 成都期中）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 ∠A+∠C=90° ；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．
【解答】解：（1）如图1，∵AM∥CN，
∴∠C=∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠A+∠AOB=90°，
∴∠A+∠C=90°，
故答案为：∠A+∠C=90°；
（2）如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵AM∥CN，BG∥AM，
∴CN∥BG，
∴∠C=∠CBG，
∴∠ABD=∠C；
（3）如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
由（2）可得∠ABD=∠CBG，
∴∠ABF=∠GBF，
设∠DBE=α，∠ABF=β，则
∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α，
∴∠AFC=3α+β，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得
（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α=90°，②
由①②联立方程组，解得α=15°，
∴∠ABE=15°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
18．（2017春 乐亭县期中）已知，∠AOB=90°，点C在射线OA上，CD∥OE．
（1）如图1，若∠OCD=120°，求∠BOE的度数；
（2）把“∠AOB=90°”改为“∠AOB=120°”，射线OE沿射线OB平移，得O′E，其他条件不变，（如图2所示），探究∠OCD、∠BO′E的数量关系；
（3）在（2）的条件下，作PO′⊥OB垂足为O′，与∠OCD的平分线CP交于点P，若∠BO′E=α，请用含α的式子表示∠CPO′（请直接写出答案）．
【解答】解：（1）∵CD∥OE，
∴∠AOE=∠OCD=120°，
∴∠BOE=360°﹣90°﹣120°=150°；
（2）如图2，过O点作OF∥CD，
∵CD∥OE，
∴OF∥OE，
∴∠AOF=180°﹣∠OCD，∠BOF=∠EO′O=180°﹣∠BO′E，
∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°﹣∠OCD+180°﹣∠BO′E=360°﹣（∠OCD+∠BO′E）=120°，
∴∠OCD+∠BO′E=240°；
（3）∵CP是∠OCD的平分线，
∴∠OCP=∠OCD，
∴∠CPO′=360°﹣90°﹣120°﹣∠OCP
=150°﹣∠OCD
=150°﹣（240°﹣∠BO′E）
=30°+α．
19．（2017春 碑林区校级期中）探究：如图①，已知直线l1∥l2，直线l3和l1，l2分别交于点C和D，直线l3上有一点P．
（1）若点P在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间有怎样的关系？并说明理由．
（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（点P与点C、D不重合），请尝试自己画图，写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并说明理由．
（3）如图②，AB∥EF，∠C=90°，我们可以用类似的方法求出∠α、∠β、∠γ之间的关系，请直接写出∠α、∠β、∠γ之间的关系．
【解答】解：（1）如图①，当P点在C、D之间运动时，∠APB=∠PAC+∠PBD．
理由如下：过点P作PE∥l1，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2∥l1，
∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，
∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；
（2）如图甲，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l1上方时，∠PBD=∠PAC+∠APB．
理由如下：∵l1∥l2，
∴∠PEC=∠PBD，
∵∠PEC=∠PAC+∠APB，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．
如图乙，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l2下方时，∠PAC=∠PBD+∠APB．
理由如下：∵l1∥l2，
∴∠PED=∠PAC，
∵∠PED=∠PBD+∠APB，
∴∠PAC=∠PBD+∠APB．
（3）∠α+∠β﹣∠γ=90°．
证明：如图②，分别过C、D作AB的平行线CM和DN，
∵AB∥EF，
∴AB∥CM∥DN∥EF，
∴∠α=∠BCM，∠MCD=∠NDC，∠NDE=∠γ，
∴∠α+∠β=∠BCM+∠CDN+∠NDE=∠BCM+∠MCD+∠γ，
又∵BC⊥CD，
∴∠BCD=90°，
∴∠α+∠β=90°+∠γ，
即∠α+∠β﹣∠γ=90°．
20．（2017春 汉阳区期中）如图1，AB∥CD，E是AB、CD之间的一点．
（1）判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F．直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；
（3）将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．
【解答】解：（1）∠BAE+∠CDE=∠AED．
理由如下：
作EF∥AB，如图1，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠1=∠BAE，∠2=∠CDE，
∴∠BAE+∠CDE=∠AED；
（2）如图2，由（1）的结论得∠AFD=∠BAF+∠CDF，
∵∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F，
∴∠BAF=∠BAE，∠CDF=∠CDE，
∴∠AFD=（∠BAE+∠CDE），
∵∠BAE+∠CDE=∠AED，
∴∠AFD=∠AED；
（3）由（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG，
而射线DC沿DE翻折交AF于点G，
∴∠CDG=4∠CDF，
∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=∠BAE+2∠CDE=∠BAE+2（∠AED﹣∠BAE）=2∠AED﹣∠BAE，
∵90°﹣∠AGD=180°﹣2∠AED，
∴90°﹣2∠AED+∠BAE=180°﹣2∠AED，
∴∠BAE=60°．
21．（2015春 越秀区校级期中）已知：如图，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：
（1）如图①所示，求证：OB∥AC．（注意证明过程要写依据）
（2）如图②，若点E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．
（ⅰ）求∠EOC的度数；
（ⅱ）求∠OCB：∠OFB的比值；
（ⅲ）如图③，若∠OEB=∠OCA．此时∠OCA度数等于 60° ．（在横线上填上答案即可）
【解答】解：（1）∵BC∥OA，
∴∠B+∠O=180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠A=∠B，
∴∠A+∠O=180°，（等量代换）
∴OB∥AC．（同旁内角互补，两直线平行）
（2）（ⅰ）∵∠A=∠B=100°，
由（1）得∠BOA=180°﹣∠B=80°；
∵∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF，
∴∠EOF=∠BOF，∠FOC=∠FOA，
∴∠EOC=∠EOF+∠FOC=（∠BOF+∠FOA）=∠BOA=40°．
（ⅱ）∵BC∥OA，
∴∠FCO=∠COA，
又∵∠FOC=∠AOC，
∴∠FOC=∠FCO，
∴∠OFB=∠FOC+∠FCO=2∠OCB，
∴∠OCB：∠OFB=1：2．
（ⅲ）∵OB∥AC，
∴∠OCA=∠BOC，
设∠BOE=∠EOF=α，∠FOC=∠COA=β，
∴∠OCA=∠BOC=2α+β，
∠OEB=∠EOC+∠ECO=α+β+β=α+2β，
∵∠OEB=∠OCA，
∴2α+β=α+2β，
∴α=β，
∵∠AOB=80°，
∴α=β=20°，
∴∠OCA=2α+β=40°+20°=60°．
故答案是：60°．
22．（2015春 巴南区校级期末）如图，已知两条射线OM∥CN，动线段AB的两个端点A、B分别在射线OM、CN上，且∠C=∠OAB=108°，F在线段CB上，OB平分∠AOF，OE平分∠COF．
（1）请在图中找出与∠AOC相等的角，并说明理由；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC与∠OFC的度数比是否随着AB位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=2∠OBA？若存在，请求出∠OBA度数；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵OM∥CN，
∴∠AOC=180°﹣∠C=180°﹣108°=72°，
∠ABC=180°﹣∠OAB=180°﹣108°=72°，
又∵∠BAM=∠180°﹣∠OAB=180°﹣108°=72°，
∴与∠AOC相等的角是∠AOC，∠ABC，∠BAM；
（2）∵OM∥CN，
∴∠OBC=∠AOB，∠OFC=∠AOF，
∵OB平分∠AOF，
∴∠AOF=2∠AOB，
∴∠OFC=2∠OBC，
∴∠OBC：∠OFC=；
（3）设∠OBA=x，则∠OEC=2x，
在△AOB中，∠AOB=180°﹣∠OAB﹣∠ABO=180°﹣x﹣108°=72°﹣x，
在△OCE中，∠COE=180°﹣∠C﹣∠OEC=180°﹣108°﹣2x=72°﹣2x，
∵OB平分∠AOF，OE平分∠COF，
∴∠COE+∠AOB=∠COF+∠AOF=∠AOC=×72°=36°，
∴72°﹣x+72°﹣2x=36°，
解得x=36°，
即∠OBA=36°，
此时，∠OEC=2×36°=72°，
∠COE=72°﹣2×36°=0°，
点C、E重合，
所以，不存在．
23．（2017春 江北区校级期中）已知直线AB∥CD．
（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是 ∠ABE+∠CDE=∠BED ．
（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系 2∠BFD+∠BED=360° ．
【解答】解：（1）∠ABE+∠CDE=∠BED．
理由：如图1，作EF∥AB，
∵直线AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，
∴∠ABE+∠CDE=∠1+∠2=∠BED，
即∠ABE+∠CDE=∠BED．
故答案为：∠ABE+∠CDE=∠BED．
（2）∠BFD=∠BED．
理由：如图2，∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，
∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，
∴∠ABF+∠CDF=∠ABE+∠CDE=（∠ABE+∠CDE），
由（1），可得∠BFD=∠ABF+∠CDF=（∠ABE+∠CDE）
∠BED=∠ABE+∠CDE，
∴∠BFD=∠BED．
（3）2∠BFD+∠BED=360°．
理由：如图3，过点E作EG∥CD，，
∵AB∥CD，EG∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，
∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，
由（1）知，∠BFD=∠ABF+∠CDF，
又∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，
∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，
∴∠BFD=（∠ABE+∠CDE），
∴2∠BFD+∠BED=360°．
故答案为：2∠BFD+∠BED=360°．
24．（2017春 锡山区校级月考）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°）：
（1）若∠DCE=35°，求∠ACB的度数；
（2）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
（3）请你动手操作，现将三角尺ACD固定，三角尺BCE的CE边与CA边重合，绕点C顺时针方向旋转，当0°＜∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵∠ECB=90°，∠DCE=35°，
∴∠DCB=90°﹣35°=55°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+55°=145°；
（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由：
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB，
∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°；
（3）存在，
当∠ACE=30°时，AD∥BC，
当∠ACE=∠E=45°时，AC∥BE，
当∠ACE=120°时，AD∥CE，
当∠ACE=135°时，BE∥CD，
当∠ACE=165°时，BE∥AD．
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