3.7 整式的除法同步练习

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浙教版七下同步练习第三章整式的乘除
3.7 整式的除法
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人 得 分

一．选择题（共8小题）
1．（a4﹣16b4）÷（a2+4b2）÷（2b﹣a）等于（　　）
A．a﹣2b B．a+2b C．﹣a﹣2b D．﹣a+2b
2．下列计算正确的是（　　）
A．2a2?a3＝2a6 B．（3a2）3＝9a6 C．a6÷a2＝a3 D．（a﹣2）3＝a﹣6
3．计算3﹣2的结果是（　　）
A．﹣9 B．﹣6 C．﹣ D．
4．7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（　　）

A．a＝b B．a＝3b C．a＝b D．a＝4b
5．受国际金融危机影响，我国的服装业也受到冲击，一个现实问题是今年的服装换季提前到来，为了减少库存回笼资金，商场都采取了降价处理的策略，现有甲、乙、丙三个商场销售同一品牌、同一价格、同一规格的某种服装，三个商场的降价措施分别是：设p≠q，甲：第一次降价p%，第二次降价q%；乙：第二次降价p%，第一次降价q%；丙：两次均降价%．假如你是消费者，从节约资金的角度你应该选择的商场是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．甲或乙
6．若a＝﹣0.32，b＝﹣32，，，则a、b、c、d从大到小依次排列的是（　　）
A．a＜b＜c＜d B．d＜a＜c＜b C．b＜a＜d＜c D．c＜a＜d＜b
7．如果等式（2a﹣1）a+2＝1成立，则a的值可能有（　　）
A．4个 B．1个 C．2个 D．3个
8．初中毕业时，张老师买了一些纪念品准备分发给学生．若这些纪念品可以平均分给班级的（n+3）名学生，也可以平均分给班级的（n﹣2）名学生（n为大于3的正整数），则用代数式表示这些纪念品的数量不可能是（　　）
A．n2+n﹣6 B．2n2+2n﹣12 C．n2﹣n﹣6 D．n3+n2﹣6n



第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人 得 分

二．填空题（共6小题）
9．计算（π﹣1）0+2﹣1＝　 　．
10．一个矩形的面积为a2+2a，若一边长为a，则另一边长为　 　．
11．已知被除式是x3+2x2﹣1，商式是x，余式是﹣1，则除式是　 　．
12．若n是正整数，且x2n＝5，则（2x3n）2÷（4x2n）＝　 　．
13．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：若n＝449，则第449次“F运算”的结果是　 　．

14．若代数式x（x+1）（x+2）（x+3）+p恰好能分解为两个二次整式的乘积（其中二次项系数均为1且一次项系数相同），则p的最大值是　 　．
评卷人 得 分

三．解答题（共6小题）
15．计算下列各小题．
（1）4a﹣2b3?（﹣ab﹣2）3?（）﹣2?（2013）0；
（2）（3×10﹣3）3÷（2×10﹣2）2．
16．化简：．
17．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝5﹣3i．
（1）填空：i3＝　 　，i4＝　 　．
（2）计算：①（2+i）（2﹣i）；②（2+i）2；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：（x+y）+3i＝（1﹣x）﹣yi，（x，y为实数），求x，y的值．
（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成a+bi的形式．
18．材料：①1的任何次幂都为1；②﹣1的奇数次幂为﹣1； ③﹣1的偶数次幂也为1；④任何不等于零的数的零次幂都为1．请问当x为何值时，代数式（2x+3）x+2011的值为1．
19．若实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，求a2﹣b2+（cd）﹣1÷（1﹣2m+m2）的值．
20．已知a是大于1的实数，且有a3+a﹣3＝p，a3﹣a﹣3＝q成立．
（1）若p+q＝4，求p﹣q的值；
（2）当q2＝22n+﹣2（n≥1，且n是整数）时，比较p与（a3+）的大小，并说明理由．



参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（a4﹣16b4）÷（a2+4b2）÷（2b﹣a）等于（　　）
A．a﹣2b B．a+2b C．﹣a﹣2b D．﹣a+2b
【分析】此题首先把第一个多项式分解因式，然后再和后面的多项式做除法即可得到结果．
【解答】解：（a4﹣16b4）÷（a2+4b2）÷（2b﹣a），
＝（a2﹣4b2）（a2+4b2）÷（a2+4b2）÷（2b﹣a），
＝（a2﹣4b2）÷（2b﹣a），
＝（a﹣2b）（a+2b）÷（2b﹣a），
＝﹣a﹣2b．
故选：C．
【点评】本题是考查平方差公式分解因式和多项式的除法的计算，难度较大．
2．下列计算正确的是（　　）
A．2a2?a3＝2a6 B．（3a2）3＝9a6 C．a6÷a2＝a3 D．（a﹣2）3＝a﹣6
【分析】根据幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘除法、负整数指数幂的知识点进行判断．
【解答】解：A、错误，应等于2a5；
B、错误，应等于27a6；
C、错误，应等于a4；
D、正确．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点比较多，特别注意负整数指数幂的运算．
3．计算3﹣2的结果是（　　）
A．﹣9 B．﹣6 C．﹣ D．
【分析】根据负整数指数幂的运算法则进行计算．
【解答】解：原式＝＝．故选D．
【点评】幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．
4．7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（　　）

A．a＝b B．a＝3b C．a＝b D．a＝4b
【分析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出a与b的关系式．
【解答】解：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，
∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+a，BC＝BP+PC＝4b+PC，
∴AE+a＝4b+PC，即AE﹣PC＝4b﹣a，
∴阴影部分面积之差S＝AE?AF﹣PC?CG＝3bAE﹣aPC＝3b（PC+4b﹣a）﹣aPC＝（3b﹣a）PC+12b2﹣3ab，
则3b﹣a＝0，即a＝3b．

解法二：既然BC是变化的，当点P与点C重合开始，然后BC向右伸展，
设向右伸展长度为X，左上阴影增加的是3bX，右下阴影增加的是aX，因为S不变，
∴增加的面积相等，
∴3bX＝aX，
∴a＝3b．
故选：B．

【点评】此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．
5．受国际金融危机影响，我国的服装业也受到冲击，一个现实问题是今年的服装换季提前到来，为了减少库存回笼资金，商场都采取了降价处理的策略，现有甲、乙、丙三个商场销售同一品牌、同一价格、同一规格的某种服装，三个商场的降价措施分别是：设p≠q，甲：第一次降价p%，第二次降价q%；乙：第二次降价p%，第一次降价q%；丙：两次均降价%．假如你是消费者，从节约资金的角度你应该选择的商场是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．甲或乙
【分析】根据题意可分别得出甲、乙、丙两次降价后的售价的表达式，并进行计算，再比较大小即可．
【解答】解：设此种服装的售价是x元，那么
甲两次降价后的售价＝（1﹣p%）（1﹣q%）x；
乙两次降价后的售价＝（1﹣q%）（1﹣p%）x；
丙两次降价后的售价＝（1﹣%）2x，
通过观察可知甲＝乙，
而（1﹣p%）（1﹣q%）x＝x＝x；
（1﹣%）2x＝x，
∵（p+q）2≥4pq，
∴丙＞甲．
故选：D．
【点评】本题考查了整式的混合运算．解题的关键是计算出甲、乙、丙两次降价后的售价．
6．若a＝﹣0.32，b＝﹣32，，，则a、b、c、d从大到小依次排列的是（　　）
A．a＜b＜c＜d B．d＜a＜c＜b C．b＜a＜d＜c D．c＜a＜d＜b
【分析】依次计算出各数的值，然后比较大小即可．
【解答】解：a＝﹣0.09，b＝﹣9，c＝9，d＝1，
∴可得：b＜a＜d＜c．
故选：C．
【点评】此题考查；了零指数幂、负整数指数幂及有理数的大小比较，属于基础题，解答本题的关键正确得出各数的值，难度一般．
7．如果等式（2a﹣1）a+2＝1成立，则a的值可能有（　　）
A．4个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据等式（2a﹣1）a+2＝1成立，可得，2a﹣1＝1，2a﹣1＝﹣1（此时a+2是偶数），据此求出a的值可能有哪些即可．
【解答】解：∵等式（2a﹣1）a+2＝1成立，
∴，2a﹣1＝1，2a﹣1＝﹣1（此时a+2是偶数），
（1）由，
解得a＝﹣2．
（2）由2a﹣1＝1，
解得a＝1．
（3）由2a﹣1＝﹣1，
解得a＝0，
此时a+2＝2，（﹣1）2＝1．
（4）由2a﹣1＝0，
解得a＝0.5．
综上，可得
a的值可能有3个：﹣2、1、0．
故选：D．
【点评】此题主要考查了零指数幂的运算，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0＝1（a≠0）；②00≠1．
8．初中毕业时，张老师买了一些纪念品准备分发给学生．若这些纪念品可以平均分给班级的（n+3）名学生，也可以平均分给班级的（n﹣2）名学生（n为大于3的正整数），则用代数式表示这些纪念品的数量不可能是（　　）
A．n2+n﹣6 B．2n2+2n﹣12 C．n2﹣n﹣6 D．n3+n2﹣6n
【分析】根据题意及数的整除性对每个选项分析解答得出正确选项．
【解答】解：A、（n2+n﹣6）÷[（n+3）（n﹣2）]＝1，即n2+n﹣6能被n+3和n﹣2整除，即能平均分，故本选项错误；
B、（2n2+2n﹣12）÷[（n+3）（n﹣2）]＝2，即2n2+2n﹣12能被n+3和n﹣2整除，即能平均分，故本选项错误；
C、n2﹣n﹣6不能被（n+3）和（n﹣2）整除，即不能平均分，故本选项正确；
D、（n3+n2﹣6n）÷[（n+3）（n﹣2）]＝n，即n3+n2﹣6n能被n+3和n﹣2整除，即能平均分，故本选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查的知识点列代数式，解答此题的关键是用数的整除性分析论证得出正确选项．
二．填空题（共6小题）
9．计算（π﹣1）0+2﹣1＝　　．
【分析】分别根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：（π﹣1）0+2﹣1
＝1+
＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂的运算．负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．
10．一个矩形的面积为a2+2a，若一边长为a，则另一边长为　a+2　．
【分析】根据矩形的面积和已知边长，利用多项式除以单项式的法则计算即可求出另一边长．
【解答】解：∵（a2+2a）÷a＝a+2，
∴另一边长为a+2，
故答案为：a+2．
【点评】本题主要考查多项式除以单项式的法则；熟练掌握多项式除以单项式的法则是解决问题的关键．
11．已知被除式是x3+2x2﹣1，商式是x，余式是﹣1，则除式是　x2+2x　．
【分析】根据被除式减余式，可得商式与除式的积，根据积除以商式，可得除式．
【解答】解：x3+2x2﹣1﹣（﹣1）＝x3+2x2，
（x3+2x2）÷x＝x2+2x，
故答案为：x2+2x．
【点评】本题考查了整式的除法，多项式的每一项除以，把所得的商相加．
12．若n是正整数，且x2n＝5，则（2x3n）2÷（4x2n）＝　25　．
【分析】根据积的乘方得出4x6n÷（4x2n），根据单项式除以单项式法则得出x4n，根据幂的乘方得出（x2n）2，代入求出即可．
【解答】解：∵n是正整数，且x2n＝5，
∴（2x3n）2÷（4x2n）
＝4x6n÷（4x2n）
＝（4÷4）x6n﹣2n
＝x4n
＝（x2n）2
＝52
＝25．
故答案为：25．
【点评】本题考查了整式的除法、幂的乘方与积的乘方的应用，关键是检查学生能否熟练地运用法则进行计算和变形，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．
13．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：若n＝449，则第449次“F运算”的结果是　8　．

【分析】解决此类问题的关键在于将新运算转化为学过的数的有关运算法则进行计算，只有转化成功，才能有的放矢．
【解答】解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n＝449为奇数应先进行F①运算，
即3×449+5＝1352（偶数），
需再进行F②运算，
即1352÷23＝169（奇数），
再进行F①运算，得到3×169+5＝512（偶数），
再进行F②运算，即512÷29＝1（奇数），
再进行F①运算，得到3×1+5＝8（偶数），
再进行F②运算，即8÷23＝1，
再进行F①运算，得到3×1+5＝8（偶数），…，
即第1次运算结果为1352，…，
第4次运算结果为1，第5次运算结果为8，…，
可以发现第6次运算结果为1，第7次运算结果为8，
从第6次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1，而第499次是奇数，
这样循环计算一直到第449次“F运算”，得到的结果为8．
故本题答案为：8．
【点评】本题考查了整式的运算能力，既渗透了转化思想、分类思想，又蕴涵了次数、结果规律探索问题，检测学生阅读理解、抄写、应用能力．
14．若代数式x（x+1）（x+2）（x+3）+p恰好能分解为两个二次整式的乘积（其中二次项系数均为1且一次项系数相同），则p的最大值是　1　．
【分析】设x（x+1）（x+2）（x+3）+p＝（x2+ax+m）（x2+ax+n），把左右两边分别相乘，再整理进行比较求解．
【解答】解：设x（x+1）（x+2）（x+3）+p＝（x2+ax+m）（x2+ax+n），
则x4+6x3+11x2+6x+p＝x4+2ax3+（a2+m+n）x2+a（m+n）x+mn．
两端比较系数有∴p＝m（2﹣m）＝2m﹣m2＝1﹣（m﹣1）2．
∴当（m﹣1）2去最小值0时，P的最大值是1．
故答案为：1．
【点评】此题考查整数的混合运算，读懂题意，列出等式是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
15．计算下列各小题．
（1）4a﹣2b3?（﹣ab﹣2）3?（）﹣2?（2013）0；
（2）（3×10﹣3）3÷（2×10﹣2）2．
【分析】（1）根据积的乘方的性质，负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数，任何非零数的零次幂等于1进行计算，再根据单项式的乘法运算法则进行计算即可得解；
（2）先算乘方，再根据单项式的除法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：（1）4a﹣2b3?（﹣ab﹣2）3?（）﹣2?（2013）0，
＝4a﹣2b3?（﹣a3b﹣6）?4?1，
＝﹣2ab﹣3，
＝﹣；

（2）（3×10﹣3）3÷（2×10﹣2）2，
＝（27×10﹣9）÷（4×10﹣4），
＝（27÷4）×（10﹣9﹣（﹣4）），
＝6.75×10﹣5．
【点评】本题考查了负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数的性质，零指数幂的运算，以及积的乘方的性质，单项式的乘法，熟记各性质并理清指数的变化是解题的关键．
16．化简：．
【分析】先根据单项式乘多项式的法则计算并整理，再根据多项式除单项式的法则计算．
【解答】解：
＝
＝
＝2x﹣4．
【点评】本题考查单项式乘多项式，多项式除单项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝5﹣3i．
（1）填空：i3＝　﹣i　，i4＝　1　．
（2）计算：①（2+i）（2﹣i）；②（2+i）2；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：（x+y）+3i＝（1﹣x）﹣yi，（x，y为实数），求x，y的值．
（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成a+bi的形式．
【分析】（1）根据i2＝﹣1，则i3＝i2?i，i4＝i2?i2，然后计算；
（2）根据平方差公式和完全平方公式计算，出现i2，化简为﹣1计算；
（3）把原式化简后，根据实部对应实部，虚部对应虚部列出方程，求得x，y的值；
（4）分子分母同乘以（1+i）后，把分母化为不含i的数后计算．
【解答】解：（1）∵i2＝﹣1，
∴i3＝i2?i＝﹣1?i＝﹣i，
i4＝i2?i2＝﹣1?（﹣1）＝1，

（2）①（2+i）（2﹣i）＝﹣i2+4＝1+4＝5；
②（2+i）2＝i2+4i+4＝﹣1+4i+4＝3+4i；

（3）∵（x+y）+3i＝（1﹣x）﹣yi，
∴x+y＝1﹣x，3＝﹣y，
∴x＝2，y＝﹣3；

（4）＝．
【点评】本题考查了平方差公式，完全平方公式，是信息给予题，解题步骤为：（1）阅读理解，发现信息；（2）提炼信息，发现规律；（3）运用规律，联想迁移；（4）类比推理，解答问题．
18．材料：①1的任何次幂都为1；②﹣1的奇数次幂为﹣1； ③﹣1的偶数次幂也为1；④任何不等于零的数的零次幂都为1．请问当x为何值时，代数式（2x+3）x+2011的值为1．
【分析】分别根据题中所给的条件得出代数式（2x+3）x+2011的值为1的条件，求出符合题意的x的值即可．
【解答】解：①当2x+3＝1时，x＝﹣1；
②当2x+3＝﹣1时，x＝﹣2，但此时x+2011＝2009是奇数，所以x≠﹣2；
③当x+2011＝0时，x＝﹣2011此时2x+3＝﹣4019≠0；
综上所述：当x＝﹣1或x＝﹣2011时，代数式（2x+3）x+2011的值为1．
故答案为：x＝﹣1或x＝﹣2011．
【点评】本题考查的是0指数幂，解答此题的关键是根据题中所给的条件分三种情况讨论x的值．
19．若实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，求a2﹣b2+（cd）﹣1÷（1﹣2m+m2）的值．
【分析】根据相反数，绝对值，倒数，平方的概念及性质，得出未知数，化简原式，代入求值即可．
【解答】解：由题意得：a+b＝0，cd＝1，m＝±2，
原式＝（a+b）（a﹣b）+×＝0+1×＝
当m＝2时，原式＝＝1，
当m＝﹣2时，原式＝．
∴原式的值为1或．
【点评】主要考查相反数，绝对值，倒数，平方的概念及性质．
相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
20．已知a是大于1的实数，且有a3+a﹣3＝p，a3﹣a﹣3＝q成立．
（1）若p+q＝4，求p﹣q的值；
（2）当q2＝22n+﹣2（n≥1，且n是整数）时，比较p与（a3+）的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据已知条件可得a3＝2，代入可求p﹣q的值；
（2）根据作差法得到p﹣（a3+）＝2﹣n﹣，分三种情况：当n＝1时；当n＝2时；当n≥3时进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）∵a3+a﹣3＝p①，a3﹣a﹣3＝q②，
∴①+②得，2a3＝p+q＝4，
∴a3＝2；
①﹣②得，p﹣q＝2a﹣3＝＝1．

（2）∵q2＝22n+﹣2（n≥1，且n是整数），
∴q2＝（2n﹣2﹣n）2，
∴q＝2n﹣2﹣n，
又由（1）中①+②得2a3＝p+q，a3＝（p+q），
①﹣②得2a﹣3＝p﹣q，a﹣3＝（p﹣q），
∴p2﹣q2＝4，
p2＝q2+4＝（2n+2﹣n）2，
∴p＝2n+2﹣n，
∴a3+a﹣3＝2n+2﹣n③，
a3﹣a﹣3＝2n﹣2﹣n④，
∴③+④得2a3＝2×2n，
∴a3＝2n，
∴p﹣（a3+）＝2n+2﹣n﹣2n﹣＝2﹣n﹣，
当n＝1时，p＞a3+；
当n＝2时，p＝a3+；
当n≥3时，p＜a3+．
【点评】考查了负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数），关键是加减消元法和作差法的熟练掌握．
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