4.1 因式分解同步练习

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浙教版七下同步练习第四章因式分解
4.1 因式分解
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人 得 分

一．选择题（共8小题）
1．下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b） D．a（x﹣y）＝ax﹣ay
2．下列是因式分解，且正确的是（　　）
A．（x+2y）2＝x2+4xy+4y2
B．（x﹣y）2+4xy＝（x+y）2
C．（2x+y）2﹣（x+2y）2＝（3x+3y）（x﹣y）
D．﹣x2+2xy﹣y2＝（x﹣y）2
3．若x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），则m的值是（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．2
4．下列四个选项中，哪一个为多项式8x2﹣10x+2的因式？（　　）
A．2x﹣2 B．2x+2 C．4x+1 D．4x+2
5．已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x+1）（x﹣2），则b，c的值为（　　）
A．b＝2，c＝﹣4 B．b＝﹣2，c＝4 C．b＝﹣2，c＝﹣4 D．b＝3，c＝﹣1
6．若（x﹣3）（x+5）是x2+px+q的因式，则p为（　　）
A．﹣15 B．﹣2 C．8 D．2
7．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（　　）
A．a2﹣1 B．a2+a
C．（a﹣1）2﹣a+1 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1
8．下列从左到右的变形：（1）15x2y＝3x?5xy；（2）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）a2﹣2a+1＝（a﹣1）2；（4）x2+3x+1＝x（x+3+）其中是因式分解的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个



第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人 得 分

二．填空题（共6小题）
9．给出六个多项式：①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy+y2；④x4﹣1；⑤x（x+1）﹣2（x+1）；⑥m2﹣mn+n2．其中，能够分解因式的是　 　 （填上序号）．
10．下列变形：①（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1；②9a2﹣12a+4＝（3a﹣2）2；③3abc3＝3c?abc2；④3a2﹣6a＝3a（a﹣2）中，是因式分解的有　 　（填序号）
11．若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a+b的值为　 　．
12．若x+5，x﹣3都是多项式x2﹣kx﹣15的因式，则k＝　 　．
13．已知关于x的二次式x2+mx+n，当m＝　 　，n＝　 　时（写出一组满足条件的整数值即可），它在有理数范围内能够进行因式分解．
14．关于x的二次三项式2x2+7x+m能被x+3整除，则m的值为　 　．
评卷人 得 分

三．解答题（共6小题）
15．已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
16．已知二次三项式2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a），求a和k的值．
17．下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说明理由．
（1）a（x+y）＝ax+ay
（2）x2+2xy+y﹣1＝x（x+2y）+（y+1）（y﹣1）
（3）ax2﹣9a＝a（x+3）（x﹣3）
（4）x2+2+＝
（5）2a3＝2a?a?a．
18．阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，
即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．
如：（1）x2+4x+3＝x2+（1+3）x+1×3＝（x+1）（x+3）；
（2）x2﹣4x﹣5＝x2+（1﹣5）x+1×（﹣5）＝（x+1）（x﹣5）．
请你仿照上述方法，把多项式分解因式：x2﹣7x﹣18．
19．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
20．已知x2+x﹣2与2x﹣1分别是多项式ax3+bx2+cx﹣5及多项式ax3+bx2+cx﹣的因式．求a，b，c．



参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b） D．a（x﹣y）＝ax﹣ay
【分析】依据因式分解的定义判断即可．
【解答】解：A、（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，从左边到右边的变形属于整式的乘法，故A错误；
B、x2+2x+1＝x（x+2）+1，右边不是几个因式的积的形式，故B错误；
C、a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）是因式分解，故C正确；
D、（x﹣y）＝ax﹣ay，从左边到右边的变形属于整式的乘法，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是因式分解的意义，掌握因式分解的定义是解题的关键．
2．下列是因式分解，且正确的是（　　）
A．（x+2y）2＝x2+4xy+4y2
B．（x﹣y）2+4xy＝（x+y）2
C．（2x+y）2﹣（x+2y）2＝（3x+3y）（x﹣y）
D．﹣x2+2xy﹣y2＝（x﹣y）2
【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
【解答】解：A、结果不是积的形式，故本选项错误；
B、正确；
C、还能进一步因式分解，提取3，故本选项错误；
D、应为﹣x2+2xy﹣y2＝﹣（x﹣y）2，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的定义，既要判断是否为因式分解，还要判断其正误．
3．若x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），则m的值是（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．2
【分析】把等式的右边展开得：x2+mx﹣15＝x2+nx+3x+3n，然后根据对应项系数相等列式求解即可．
【解答】解：∵x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），
∴x2+mx﹣15＝x2+nx+3x+3n，
∴3n＝﹣15，m＝n+3，
解得n＝﹣5，m＝﹣5+3＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查因式分解与多项式的乘法是互为逆运算，根据对应项系数相等列出等式是解本题的关键．
4．下列四个选项中，哪一个为多项式8x2﹣10x+2的因式？（　　）
A．2x﹣2 B．2x+2 C．4x+1 D．4x+2
【分析】将8x2﹣10x+2进行分解因式得出8x2﹣10x+2＝（4x﹣1）（2x﹣2），进而得出答案即可．
【解答】解：8x2﹣10x+2＝2（4x2﹣5x+1），
＝2（4x﹣1）（x﹣1），
＝（4x﹣1）（2x﹣2），
故多项式8x2﹣10x+2的因式为（4x﹣1）与（2x﹣2），
故选：A．
【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确将多项式8x2﹣10x+2分解因式是解题关键．
5．已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x+1）（x﹣2），则b，c的值为（　　）
A．b＝2，c＝﹣4 B．b＝﹣2，c＝4 C．b＝﹣2，c＝﹣4 D．b＝3，c＝﹣1
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
【解答】解：由多项式2x2+bx+c分解因式为2（x+1）（x﹣2），得
2x2+bx+c＝2（x+1）（x﹣2）＝2x2﹣2x﹣4，
b＝﹣2，c＝﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义，利用因式分解得出相等整式是解题关键．
6．若（x﹣3）（x+5）是x2+px+q的因式，则p为（　　）
A．﹣15 B．﹣2 C．8 D．2
【分析】把多项式相乘展开，再根据对应项系数相等求解即可．
【解答】解：∵（x﹣3）（x+5）＝x2+2x﹣15，
∴p＝2，q＝﹣15；
故选：D．
【点评】主要考查因式分解与多项式相乘是互逆运算，注意正确计算多项式的乘法，然后系数对应相等．
7．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（　　）
A．a2﹣1 B．a2+a
C．（a﹣1）2﹣a+1 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1
【分析】根据因式分解的意义求解即可．
【解答】解：A、原式＝（a+1）（a﹣1），故A不符合题意；
B、原式＝a（a+1），故B不符合题意；
C、原式＝（a﹣1）（a﹣1﹣1）＝（a﹣2）（a﹣1），故C符合题意；
D、原式＝（a+1）2，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义，利用因式分解是解题关键．
8．下列从左到右的变形：（1）15x2y＝3x?5xy；（2）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）a2﹣2a+1＝（a﹣1）2；（4）x2+3x+1＝x（x+3+）其中是因式分解的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】因式分解就是把多项式分解成几个整式积的形式，根据定义即可进行判断．
【解答】解：（1）不是对多项式进行变形，故错误；
（2）多项式的乘法，故错误；
（3）正确；
（4）结果不是整式，故错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算．
二．填空题（共6小题）
9．给出六个多项式：①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy+y2；④x4﹣1；⑤x（x+1）﹣2（x+1）；⑥m2﹣mn+n2．其中，能够分解因式的是　②③④⑤⑥　 （填上序号）．
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：①x2+y2不能因式分解，故①错误；
②﹣x2+y2利用平方差公式，故②正确；
③x2+2xy+y2完全平方公式，故③正确；
④x4﹣1平方差公式，故④正确；
⑤x（x+1）﹣2（x+1）提公因式，故⑤正确；
⑥m2﹣mn+n2完全平方公式，故⑥正确；
故答案为：②③④⑤⑥．
【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，因式分解的方法有：提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，注意分解要彻底．
10．下列变形：①（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1；②9a2﹣12a+4＝（3a﹣2）2；③3abc3＝3c?abc2；④3a2﹣6a＝3a（a﹣2）中，是因式分解的有　②④　（填序号）
【分析】直接利用因式分解的意义分析得出答案．
【解答】解：①（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，是多项式乘法，故此选项错误；
②9a2﹣12a+4＝（3a﹣2）2，是因式分解；
③3abc3＝3c?abc2，不是因式分解；
④3a2﹣6a＝3a（a﹣2），是因式分解；
故答案为：②④．
【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握定义是解题关键．
11．若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a+b的值为　﹣3　．
【分析】利用整式的乘法计算（x+1）（x﹣2），按二次项、一次项、常数项整理，与多项式x2+ax+b对应，得出a、b的值代入即可．
【解答】解：（x+1）（x﹣2）
＝x2﹣2x+x﹣2
＝x2﹣x﹣2
所以a＝﹣1，b＝﹣2，
则a+b＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题考查利用整式的计算方法，计算出的代数式与因式分解前代数式比较，得出结论，进一步解决问题．
12．若x+5，x﹣3都是多项式x2﹣kx﹣15的因式，则k＝　﹣2　．
【分析】根据因式分解与多项式相乘是互逆运算，把多项式乘法展开再利用对应项系数相等即可求解．
【解答】解：根据题意得
（x+5）（x﹣3）
＝x2+2x﹣15，
＝x2﹣kx﹣15，
∴﹣k＝2，
解得k＝﹣2．
【点评】本题主要考查了因式分解与整式的乘法是互为逆运算，并且考查了代数式相等条件：对应项的系数相同．
13．已知关于x的二次式x2+mx+n，当m＝　5　，n＝　6　时（写出一组满足条件的整数值即可），它在有理数范围内能够进行因式分解．
【分析】根据因式分解的意义，可得答案．
【解答】解：由x2+5x+6＝（x+2）（x+3），得
已知关于x的二次式x2+mx+n，当m＝5，n＝6时，它在有理数范围内能够进行因式分解，
故答案为：5，6．
【点评】本题考查了因式分解的意义，利用因式分解的意义是解题关键．
14．关于x的二次三项式2x2+7x+m能被x+3整除，则m的值为　3　．
【分析】根据题意设出多项式分解因式的结果，利用多项式乘多项式法则及多项式相等的条件即可求出m的值．
【解答】解：根据题意设2x2+7x+m＝（x+3）（2x+a）＝2x2+（a+6）x+3a，
∴a+6＝7，m＝3a，
解得：a＝1，m＝3，
则m的值为3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了因式分解的意义，弄清题意是解本题的关键．
三．解答题（共6小题）
15．已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
【分析】设另一个因式为x+a，根据多项式乘以多项式法则得出（x+3）（x+a）＝x2+（3+a）x+3a，即可求出a、m．
【解答】解：设另一个因式为x+a，
则（x+3）（x+a）＝x2+（3+a）x+3a，
∵x2﹣4x+m＝（x+3）（x+a），
∴3+a＝﹣4，3a＝m，
∴a＝﹣7，m＝﹣21，
即另一个因式为x﹣7，m＝﹣21．
【点评】本题考查了因式分解的意义和多项式乘以多项式法则，能熟练运用多项式乘以多项式法则展开是解此题的关键．
16．已知二次三项式2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a），求a和k的值．
【分析】化简后两边都为二次三项式，根据对应项系数相等，列式求解即可．
【解答】解：由2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）得
2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a，
∴，
解得：a＝4，k＝20．
∴a的值为4，k的值为20．
【点评】本题比较简单，考查多项式，认真分析即可．
17．下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说明理由．
（1）a（x+y）＝ax+ay
（2）x2+2xy+y﹣1＝x（x+2y）+（y+1）（y﹣1）
（3）ax2﹣9a＝a（x+3）（x﹣3）
（4）x2+2+＝
（5）2a3＝2a?a?a．
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：（1）是整式的乘法，故（1）不是因式分解；
（2）没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故（2）不是因式分解；
（3）一个多项式转化成几个整式积的形式，故（3）是因式分解；
（4）没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故（4）不是因式分解；
（5）乘方的意义，左边是单项式，故（5）不是因式分解．
【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
18．阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，
即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．
如：（1）x2+4x+3＝x2+（1+3）x+1×3＝（x+1）（x+3）；
（2）x2﹣4x﹣5＝x2+（1﹣5）x+1×（﹣5）＝（x+1）（x﹣5）．
请你仿照上述方法，把多项式分解因式：x2﹣7x﹣18．
【分析】把﹣18分成﹣9×2，﹣9+2＝﹣7是一次项系数，由此类比分解得出答案即可．
【解答】解：x2﹣7x﹣18＝x2+（﹣9+2）x+（﹣9）×2＝（x﹣9）（x+2）．
【点评】此题考查因式分解的意义，注意常数项的分解结果与一次项系数的关系是解决问题的关键．
19．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
【解答】解：设另一个因式为（x+a），得（1分）
2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）（2分）
则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a（4分）
∴（6分）
解得：a＝4，k＝20（8分）
故另一个因式为（x+4），k的值为20（9分）
【点评】正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．
20．已知x2+x﹣2与2x﹣1分别是多项式ax3+bx2+cx﹣5及多项式ax3+bx2+cx﹣的因式．求a，b，c．
【分析】把x2+x﹣2进行因式分解，根据题意得到方程组，解方程组即可．
【解答】解：∵x2+x﹣2＝（x+2）（x﹣1），x2+x﹣2与2x﹣1分别是多项式ax3+bx2+cx﹣5，
∴x＝﹣2或x＝1时，ax3+bx2+cx﹣5＝0，
即﹣8a+4b﹣2c﹣5＝0，a+b+c﹣5＝0，
∵2x﹣1是多项式ax3+bx2+cx﹣的因式，
∴x＝时，ax3+bx2+cx﹣＝0，
即a+b+c﹣＝0，
，
解得．
所以a＝，b＝3，c＝．
【点评】本题考查的是因式分解的意义，根据题意列出关于a、b、c的三元一次方程组是解题的关键．
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