4.2 提取公因式法同步练习

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浙教版七下同步练习第四章因式分解
4.2 提取公因式法
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人 得 分

一．选择题（共8小题）
1．将多项式﹣6a3b2﹣3a2b2因式分解时，应提取的公因式是（　　）
A．﹣3a2b2 B．﹣3ab C．﹣3a2b D．﹣3a3b3
2．在m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x）中，公因式是（　　）
A．m B．m（a﹣x）
C．m（a﹣x）（b﹣x） D．（a﹣x）（b﹣x）
3．把多项式（x+2）（x﹣2）+（x﹣2）提取公因式（x﹣2）后，余下的部分是（　　）
A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3
4．把多项式﹣8a2b3c+16a2b2c2﹣24a3bc3分解因式，应提的公因式是（　　）
A．﹣8a2bc B．2a2b2c3 C．﹣4abc D．24a3b3c3
5．若m﹣n＝﹣2，mn＝1，则m3n+mn3＝（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．多项式（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）可以因式分解成2（x+m）（x+n），则m﹣n的值是（　　）
A．0 B．4 C．3或﹣3 D．1
7．观察下列各式：①2a+b和a+b；②5m（a﹣b）和﹣a+b；③3（a+b）和﹣a﹣b；④x2﹣y2和x2+y2；其中有公因式的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
8．计算：（﹣2）2016+（﹣2）2017所得的结果是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣22016 D．22016



第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人 得 分


二．填空题（共6小题）
9．多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是　 　．
10．代数式15ax2﹣15a与10x2+20x+10的公因式是　 　．
11．a2﹣2ab+b2、a2﹣b2的公因式是　 　．
12．分解因式：（x+y）2﹣3（x+y）＝　 　．
13．因式分解：（a+1）（a﹣1）﹣2a+2＝　 　．
14．已知a、b分别是长方形的长和宽，它的周长为16，面积为10，那么a2b+ab2的值为　 　．
评卷人 得 分

三．解答题（共6小题）
15．老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别对这个多项式进行描述，（甲）：这是一个三次四项式；
（乙）：常数项系数为1；（丙）：这个多项式的前三项有公因式；（丁）：这个多项式分解因式时要用到公式法；若这四个同学的描述都正确，请你构造两个同时满足这些描述的多项式，并将它因式分解．
16．已知：A＝3x2﹣12，B＝5x2y3+10xy3，C＝（x+1）（x+3）+1，问多项式A、B、C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．
17．通过因式分解求下列多项式的公因式：a2﹣1，a2﹣a，a2﹣2a+1．
18．已知：x2+bx+c（b、c为整数）是3（x4+6x2+25）及3x4+4x2+28x+5的公因式，求b、c的值．
19．在三个整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．
20．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
＝（1+x）[1+x+x（x+1）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是　 　，共应用了　 　次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法　 　次，结果是　 　．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．



参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．将多项式﹣6a3b2﹣3a2b2因式分解时，应提取的公因式是（　　）
A．﹣3a2b2 B．﹣3ab C．﹣3a2b D．﹣3a3b3
【分析】提取公因式时：系数取最大公约数；字母取相同字母的最低次幂．
【解答】解：﹣6a3b2﹣3a2b2＝﹣3a2b2（2a+3）．
所以应提取的公因式是﹣3a2b2．
故选：A．
【点评】本题主要考查公因式的确定，注意找公因式的方法，特别不要漏掉找系数的最大公约数．
2．在m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x）中，公因式是（　　）
A．m B．m（a﹣x）
C．m（a﹣x）（b﹣x） D．（a﹣x）（b﹣x）
【分析】首先把式子进行变形，可变为m（a﹣x）（x﹣b）+mn（a﹣x）（x﹣b），进而可得到公因式m（a﹣x）（b﹣x）．
【解答】解：m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x），
＝m（a﹣x）（x﹣b）+mn（a﹣x）（x﹣b），
＝m（a﹣x）（x﹣b）（1+n）
＝﹣m（a﹣x）（b﹣x）（1+n），
故选：C．
【点评】此题主要考查了找公因式的方法，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
3．把多项式（x+2）（x﹣2）+（x﹣2）提取公因式（x﹣2）后，余下的部分是（　　）
A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3
【分析】根据提公因式，可得答案．
【解答】解：（x+2）（x﹣2）+（x﹣2）
＝（x﹣2）（x+2+1），
故选：D．
【点评】本题考查了公因式，利用提公因式是解题关键．
4．把多项式﹣8a2b3c+16a2b2c2﹣24a3bc3分解因式，应提的公因式是（　　）
A．﹣8a2bc B．2a2b2c3 C．﹣4abc D．24a3b3c3
【分析】考查了对一个多项式因式分解的能力．本题属于基础题，在做题时首先要准确确定公因式，然后做出选择．
【解答】解：﹣8a2b3c+16a2b2c2﹣24a3bc3，
＝﹣8a2bc（ab2﹣2bc+3ac2），
公因式是﹣8a2bc．
故选：A．
【点评】本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
5．若m﹣n＝﹣2，mn＝1，则m3n+mn3＝（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】直接利用完全平方公式得出m2+n2＝6，进而提取公因式分解因式得出答案．
【解答】解：∵m﹣n＝﹣2，mn＝1，
∴（m﹣n）2＝4，
∴m2+n2﹣2mn＝4，
则m2+n2＝6，
∴m3n+mn3＝mn（m2+n2）
＝1×6
＝6．
故选：A．
【点评】此题主要考查了提取公因式法的应用以及完全平方公式的应用，正确得出m2+n2＝6是解题关键．
6．多项式（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）可以因式分解成2（x+m）（x+n），则m﹣n的值是（　　）
A．0 B．4 C．3或﹣3 D．1
【分析】直接利用提取公因式法分解因式进而得出答案．
【解答】解：∵（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）可以因式分解成2（x+m）（ x+n），
∴（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）＝（x+2）（2x﹣2）＝2（x+2）（x﹣1）＝2（x+m）（x+n），
故m＝2，n＝﹣1或m＝﹣1，n＝2，
则m﹣n＝3或m﹣n＝﹣1﹣2＝﹣3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
7．观察下列各式：①2a+b和a+b；②5m（a﹣b）和﹣a+b；③3（a+b）和﹣a﹣b；④x2﹣y2和x2+y2；其中有公因式的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【分析】要熟悉一些符号的变化，如②和③中，提出“﹣”后即可出现公因式．
【解答】解：①2a+b和a+b没有公因式；
②5m（a﹣b）和﹣a+b＝﹣（a﹣b）的公因式为（a﹣b）；
③3（a+b）和﹣a﹣b＝﹣（a+b）的公因式为（a+b）；
④x2﹣y2和x2+y2没有公因式．
故选：B．
【点评】本题主要考查公因式的确定，对于互为相反数的两数，对一个式子提取负号后便可以找到公因式．
8．计算：（﹣2）2016+（﹣2）2017所得的结果是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣22016 D．22016
【分析】直接提取公因式（﹣2）2016，进而提取公因式得出答案．
【解答】解：（﹣2）2016+（﹣2）2017
＝（﹣2）2016×（1﹣2）
＝﹣22016．
故选：C．
【点评】此题主要考查了提取公因式的应用，正确找出公因式是解题关键．
二．填空题（共6小题）
9．多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是　﹣5mx　．
【分析】根据公因式是多项式中每项都有的因式，可得答案．
【解答】解：多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是﹣5mx，
故答案为：﹣5mx．
【点评】本题考查了公因式，公因式的系数是各项系数的最大公约数，字母是相同的字母，指数是相同字母的指数最底的指数．
10．代数式15ax2﹣15a与10x2+20x+10的公因式是　5（x+1）　．
【分析】分别将多项式15ax2﹣15a与10x2+20x+10进行因式分解，再寻找他们的公因式．
【解答】解：∵15ax2﹣15a＝15a（x2﹣1）＝15a（x+1）（x﹣1），
10x2+20x+10＝10（x2+2x+1）＝10（x+1）2，
∴15ax2﹣15a与10x2+20x+10的公因式是5（x+1），
故答案为：5（x+1）．
【点评】本题主要考查公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式．
11．a2﹣2ab+b2、a2﹣b2的公因式是　a﹣b　．
【分析】将原式分解因式，进而得出其公因式即可．
【解答】解：∵a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣2ab+b2、a2﹣b2的公因式是：a﹣b．
故答案为：a﹣b．
【点评】此题主要考查了公因式，正确分解因式是解题关键．
12．分解因式：（x+y）2﹣3（x+y）＝　（x+y）（x+y﹣3）　．
【分析】根据提公因式法，可得答案．
【解答】解：原式＝（x+y）（x+y﹣3），
故答案为：（x+y）（x+y﹣3）．
【点评】本题考查了因式分解，利用提公因式法是解题关键．
13．因式分解：（a+1）（a﹣1）﹣2a+2＝　（a﹣1）2　．
【分析】直接提取公因式（a﹣1），进而分解因式得出答案．
【解答】解：（a+1）（a﹣1）﹣2a+2
＝（a+1）（a﹣1）﹣2（a﹣1）
＝（a﹣1）（a+1﹣2）
＝（a﹣1）2．
故答案为：（a﹣1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，掌握找出公因式是解题关键．
14．已知a、b分别是长方形的长和宽，它的周长为16，面积为10，那么a2b+ab2的值为　80　．
【分析】直接利用已知得出a+b＝8，ab＝10，再将原式分解因式代入即可．
【解答】解：∵a、b分别是长方形的长和宽，它的周长为16，面积为10，
∴2（a+b）＝16，ab＝10，
则a+b＝8，
a2b+ab2＝ab（a+b）
＝10×8
＝80．
故答案为：80．
【点评】此题主要考查了提取公因式法的应用，正确得出a+b，ab的值是解题关键．
三．解答题（共6小题）
15．老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别对这个多项式进行描述，（甲）：这是一个三次四项式；
（乙）：常数项系数为1；（丙）：这个多项式的前三项有公因式；（丁）：这个多项式分解因式时要用到公式法；若这四个同学的描述都正确，请你构造两个同时满足这些描述的多项式，并将它因式分解．
【分析】根据分组法、提公因式法分解因式分解，可得答案．
【解答】解：x3﹣x2﹣x+1＝x2（x﹣1）﹣（x﹣1）＝（x﹣1）2（x+1）
4x3﹣4x2﹣x+1＝4x2（x﹣1）﹣（x﹣1）＝（x﹣1）（2x+1）（2x﹣1）
【点评】本题考查了公因式，利用分组法、提公因式分解因式是解题关键．
16．已知：A＝3x2﹣12，B＝5x2y3+10xy3，C＝（x+1）（x+3）+1，问多项式A、B、C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．
【分析】分别将多项式A＝3x2﹣12，B＝5x2y3+10xy3，C＝（x+1）（x+3）+1，进行因式分解，再寻找他们的公因式．
【解答】解：多项式A、B、C有公因式．
∵A＝3x2﹣12＝3（x2﹣4）＝3（x+2）（x﹣2），
B＝5x2y3+10xy3＝5xy3（x+2），
C＝（x+1）（x+3）+1＝x2+4x+3+1＝x2+4x+4＝（x+2）2．
∴多项式A、B、C的公因式是：x+2．
【点评】本题主要考查公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式．
17．通过因式分解求下列多项式的公因式：a2﹣1，a2﹣a，a2﹣2a+1．
【分析】根据每个多项式中都含有因式是公因式，可得答案．
【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）；
a2﹣a＝a（a﹣1），
a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，
∴a2﹣1，a2﹣a，a2﹣2a+1的公因式是（a﹣1）．
【点评】本题主要考查公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式．
18．已知：x2+bx+c（b、c为整数）是3（x4+6x2+25）及3x4+4x2+28x+5的公因式，求b、c的值．
【分析】根据二次三项式x2+bx+c既是x4+6x2+25的一个因式，也是3x4+4x2+28x+5的一个因式，我们可得到x2+bx+c也必定是x4+6x2+25与3x4+4x2+28x+5差的一个因式．通过做差，就实现了降次，最高次幂成为2，与二次三项式x2+bx+c关于x的各次项系数对应相等，解得b、c的值．
【解答】解：∵二次三项式x2+bx+c既是x4+6x2+25的一个因式，也是3x4+4x2+28x+5的一个因式，
∴也必定是x4+6x2+25与3x4+4x2+28x+5差的一个因式，而3（x4+6x2+25）﹣（3x4+4x2+28x+5）＝14（x2﹣2x+5），
∴x2﹣2x+5＝x2+bx+c，
∴b＝﹣2，c＝5．
【点评】本题考查因式分解．解决本题的关键是通过作差，实现了降次，再根据两代数式相等必是x的各次项系数对应相等．
19．在三个整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．
【分析】选择第一、三项相加，利用提取公因式法分解即可．
【解答】解：x2+2xy+x2＝2x2+2xy＝2x（x+y）（答案不唯一）．
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
20．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
＝（1+x）[1+x+x（x+1）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是　提公因式法　，共应用了　2　次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法　2004　次，结果是　（1+x）2005　．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．
【分析】此题由特殊推广到一般，要善于观察思考，注意结果和指数之间的关系．
【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．

（2）需应用上述方法2004次，结果是（1+x）2005．

（3）解：原式＝（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+…+x（x+1）n，
＝（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+…+x（x+1）n，
＝（1+x）3+x（x+1）3+…+x（x+1）n，
＝（x+1）n+x（x+1）n，
＝（x+1）n+1．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式的推广，要认真观察已知所给的过程，弄清每一步的理由，就可进一步推广．
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