4.3 用乘法公式分解因式同步练习

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浙教版七下同步练习第四章因式分解
4.3 用乘法公式分解因式
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人 得 分

一．选择题（共8小题）
1．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x+1的是（　　）
A．x2﹣1 B．x2﹣2x+1
C．x（x﹣2）+（x﹣2） D．x2+2x+1
2．下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（　　）
A．﹣a2﹣4b2 B．﹣1+25a2 C．﹣9a2 D．﹣a4+1
3．把多项式ax3﹣2ax2+ax分解因式，结果正确的是（　　）
A．ax（x2﹣2x） B．ax2（x﹣2）
C．ax（x+1）（x﹣1） D．ax（x﹣1）2
4．因式分解与整数乘法一样，都是一种恒等变形，即在变形的过程中，形变值不变，于是将多项式x2﹣y2+（2x+2y）分解因式的结果为（　　）
A．（x+y）（x﹣y+2） B．（x+y）（x﹣y﹣2）
C．（x﹣y）（x﹣y+2） D．（x﹣y）（x﹣y﹣2）
5．把多项式x2﹣ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（　　）
A．a＝﹣2，b＝﹣3 B．a＝2，b＝﹣3 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝2，b＝3
6．把x2﹣1+2xy+y2的分解因式的结果是（　　）
A．（x+1）（x﹣1）+y（2x+y） B．（x+y+1）（x﹣y﹣1）
C．（x﹣y+1）（x﹣y﹣1） D．（x+y+1）（x+y﹣1）
7．如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
8．设a、b、c是三角形的三边长，且a2+b2+c2＝ab+bc+ca，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是斜三角形．其中正确的说法的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个



第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人 得 分

二．填空题（共6小题）
9．因式分解：9x2﹣4＝　 　．
10．分解因式：3x3﹣27x＝　 　．
11．分解因式：2a2﹣8a+8＝　 　．
12．y2﹣x2﹣x+y分解因式：　 　．
13．若x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），则m+n的值为　 　．
14．将（x2﹣x﹣6）（x2+3x﹣4）+24分解因式得　 　．
评卷人 得 分

三．解答题（共6小题）
15．分解因式：
（1）a2b﹣b3；
（2）﹣（x2+2）2+6（x2+2）﹣9
16．因式分解
（1）a2（x﹣2a）2+a（2a﹣x）3
（2）2xy+9﹣x2﹣y2．
17．如图，四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，设AB＝a，DE＝b（a＞b）．
（1）写出AG的长度（用含字母a，b的代数式表示）；
（2）观察图形，当用不同的方法表示图形中阴影部分的面积时，你能获得一个因式分解公式，请将这个公式写出来；
（3）如果正方形ABCD的边长比正方形DEFG的边长多16cm，它们的面积相差960cm2，试利用（2）中的公式，求a，b的值．

18．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a4+b2c2＝b4+a2c2，试判断△ABC的形状．
阅读下面解题过程：
解：由a4+b2c2＝b4+a2c2得：a4﹣b4＝a2c2﹣b2c2①
（a2+b2）（a2﹣b2）＝c2（a2﹣b2） ②
即 a2+b2＝c2③
∴△ABC 为RT△．④
试问：以上解题过程是否正确：　 　．
若不正确，请指出错在哪一步？　 　（填代号）
错误原因是　 　．
本题的结论应为　 　．
19．仔细阅读下面例题，解答问题；
例题，已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式3x2+5x﹣m有一个因式是（3x﹣1），求另一个因式以及m的值．
20．阅读下列材料：
材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m） （x+n）
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．



参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x+1的是（　　）
A．x2﹣1 B．x2﹣2x+1
C．x（x﹣2）+（x﹣2） D．x2+2x+1
【分析】直接利用平方差公式以及完全平方公式和十字相乘法分解因式，进而得出答案．
【解答】解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故此选项不合题意；
B、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，故此选项符合题意；
C、x（x﹣2）+（x﹣2）＝（x+1）（x﹣2），故此选项不合题意；
D、x2+2x+1＝（x+1）2，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了公式法以及十字相乘法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
2．下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（　　）
A．﹣a2﹣4b2 B．﹣1+25a2 C．﹣9a2 D．﹣a4+1
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】解：不能用平方差公式分解的是﹣a2﹣4b2．
故选：A．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键．
3．把多项式ax3﹣2ax2+ax分解因式，结果正确的是（　　）
A．ax（x2﹣2x） B．ax2（x﹣2）
C．ax（x+1）（x﹣1） D．ax（x﹣1）2
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝ax（x2﹣2x+1）＝ax（x﹣1）2，
故选：D．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4．因式分解与整数乘法一样，都是一种恒等变形，即在变形的过程中，形变值不变，于是将多项式x2﹣y2+（2x+2y）分解因式的结果为（　　）
A．（x+y）（x﹣y+2） B．（x+y）（x﹣y﹣2）
C．（x﹣y）（x﹣y+2） D．（x﹣y）（x﹣y﹣2）
【分析】先将前两项做一组利用平方差公式分解，再提取x+y即可得．
【解答】解：x2﹣y2+（2x+2y）＝（x+y）（x﹣y）+2（x+y）＝（x+y）（x﹣y+2），
故选：A．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
5．把多项式x2﹣ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（　　）
A．a＝﹣2，b＝﹣3 B．a＝2，b＝﹣3 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝2，b＝3
【分析】由（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3知x2﹣ax+b＝x2﹣2x﹣3，据此可得．
【解答】解：（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，
∵x2﹣ax+b＝（x+1）（x﹣3），即x2﹣ax+b＝x2﹣2x﹣3，
∴a＝2，b＝﹣3，
故选：B．
【点评】本题主要考查因式分解，解题的关键是熟练掌握十字相乘法和公式法分解因式的能力．
6．把x2﹣1+2xy+y2的分解因式的结果是（　　）
A．（x+1）（x﹣1）+y（2x+y） B．（x+y+1）（x﹣y﹣1）
C．（x﹣y+1）（x﹣y﹣1） D．（x+y+1）（x+y﹣1）
【分析】观察发现：一、三、四项一组，符合完全平方公式，然后运用平方差公式继续分解．
【解答】解：x2﹣1+2xy+y2，
＝（x2+2xy+y2）﹣1，
＝（x+y）2﹣1，
＝（x+y+1）（x+y﹣1）．
故选：D．
【点评】本题考查了分组分解法分解因式，观察各项之间的联系，能够合理分组是解题的关键．
7．如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】先把12分成2个因数的积的形式，共有6总情况，所以对应的p值也有6种情况．
【解答】解：设12可分成m?n，则p＝m+n（m，n同号），
∵m＝±1，±2，±3，
n＝±12，±6，±4，
∴p＝±13，±8，±7，共6个值．
故选：C．
【点评】主要考查了分解因式的定义，要熟知二次三项式的一般形式与分解因式之间的关系：x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n），即常数项与一次项系数之间的等量关系．
8．设a、b、c是三角形的三边长，且a2+b2+c2＝ab+bc+ca，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是斜三角形．其中正确的说法的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据已知条件和三角形三边关系判断三角形的形状．三边相等的为等边三角形，且一定也是等腰三角形和三个角都为60度的锐角三角形，又由于三角形按照角形可以分为直角三角形和斜三角形，除了直角三角形就是斜三角形，包括锐角三角形和钝角三角形，等边三角形也属于斜三角形．
【解答】解：由已知条件a2+b2+c2＝ab+bc+ca化简得，则2a2+2b2+2c2＝2ab+2bc+2ca，
即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0
∴a＝b＝c，此三角形为等边三角形，同时也是等腰三角形，锐角三角形，斜三角形
故选：A．
【点评】此题要根据三角形三条边的关系判断三角形的形状，要知道两边相等的三角形为等腰三角形，三边相等的三角形为等边三角形，且等边三角形一定是等腰三角形、锐角三角形和斜三角形．另外还要知道平方差公式，如（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
二．填空题（共6小题）
9．因式分解：9x2﹣4＝　（3x﹣2）（3x+2）　．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：9x2﹣4＝（3x﹣2）（3x+2）．
故答案为：（3x﹣2）（3x+2）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应乘法公式是解题关键．
10．分解因式：3x3﹣27x＝　3x（x+3）（x﹣3）　．
【分析】首先提取公因式3x，再进一步运用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：3x3﹣27x
＝3x（x2﹣9）
＝3x（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力．
一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11．分解因式：2a2﹣8a+8＝　2（a﹣2）2　．
【分析】首先提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：2a2﹣8a+8
＝2（a2﹣4a+4）
＝2（a﹣2）2．
故答案为：2（a﹣2）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
12．y2﹣x2﹣x+y分解因式：　（y﹣x）（y+x+1）　．
【分析】将y2﹣x2、﹣x+y各为一组，利用平方差公式分解后，再提取公因式y﹣x可得．
【解答】解：原式＝（y+x）（y﹣x）+（y﹣x）
＝（y﹣x）（y+x+1），
故答案为：（y﹣x）（y+x+1）．
【点评】本题主要考查因式分解﹣分组分解法，分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．
13．若x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），则m+n的值为　﹣1　．
【分析】先把（x+2）（x﹣1）展开，求得m，n的值，再求m+n的值即可．
【解答】解：∵x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），
∴x2+mx+n＝x2+x﹣2，
∴m＝1，n＝﹣2，
∴m+n＝1﹣2＝﹣1，
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，求得m，n的值是解题的关键．
14．将（x2﹣x﹣6）（x2+3x﹣4）+24分解因式得　　．
【分析】先将（x2﹣x﹣6）（x2+3x﹣4）因式分解，再用首尾法相乘，将x2+x看作一个整体，将式子展开，再运用十字相乘法和求根公式法分解因式即可．
【解答】解：（x2﹣x﹣6）（x2+3x﹣4）+24
＝（x﹣3）（x+2）（x﹣1）（x+4）+24
＝（x﹣3）（x+4）（x﹣1）（x+2）+24
＝（x2+x﹣12）（x2+x﹣2）+24
＝（x2+x）2﹣14（x2+x﹣2）+48
＝（x2+x﹣6）（x2+x﹣8）
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了整式的乘法及实数范围内分解因式，解题的关键是整式的乘法中先因式分解，再采取首尾法相乘，将x2+x看作一个整体展开．
三．解答题（共6小题）
15．分解因式：
（1）a2b﹣b3；
（2）﹣（x2+2）2+6（x2+2）﹣9
【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式整理后，利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝b（a2﹣b2）＝b（a+b）（a﹣b）；
（2）原式＝﹣[（x2+2）2﹣6（x2+2）+9]＝﹣（x2﹣1）2＝﹣（x+1）2（x﹣1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16．因式分解
（1）a2（x﹣2a）2+a（2a﹣x）3
（2）2xy+9﹣x2﹣y2．
【分析】（1）直接提取公因式a（x﹣2a）2，进而分解因式即可；
（2）重新分组，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：（1）a2（x﹣2a）2+a（2a﹣x）3
＝a2（x﹣2a）2﹣a（x﹣2a）3
＝a（x﹣2a）2[a﹣（x﹣2a）]
＝a（x﹣2a）2（3a﹣x）；

（2）2xy+9﹣x2﹣y2
＝﹣（x2+y2﹣2xy）+9
＝9﹣（x﹣y）2
＝（3+x﹣y）（3﹣x+y）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
17．如图，四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，设AB＝a，DE＝b（a＞b）．
（1）写出AG的长度（用含字母a，b的代数式表示）；
（2）观察图形，当用不同的方法表示图形中阴影部分的面积时，你能获得一个因式分解公式，请将这个公式写出来；
（3）如果正方形ABCD的边长比正方形DEFG的边长多16cm，它们的面积相差960cm2，试利用（2）中的公式，求a，b的值．

【分析】（1）结合图示，由线段间的和差关系进行计算即可；
（2）图中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积；或者把阴影部分分割为两个矩形的面积进行计算；
（3）利用（2）中的平方差公式进行计算．
【解答】解：（1）AG＝a﹣b；
（2）能． a2﹣b2或a?（a﹣b）+b?（a﹣b）；
a2﹣b2＝a?（a﹣b）+b?（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），
即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（3）由题意，得a﹣b＝16①，
a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝960，
∴a+b＝60②，
由 ①、②方程组解得a＝38，b＝22．
故a的长为38cm，b的长为22cm
【点评】本题考查了因式分解的应用．利用不同的方法表示同一个图形的面积也是证明公式的一种常用方法．
18．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a4+b2c2＝b4+a2c2，试判断△ABC的形状．
阅读下面解题过程：
解：由a4+b2c2＝b4+a2c2得：a4﹣b4＝a2c2﹣b2c2①
（a2+b2）（a2﹣b2）＝c2（a2﹣b2） ②
即 a2+b2＝c2③
∴△ABC 为RT△．④
试问：以上解题过程是否正确：　不正确　．
若不正确，请指出错在哪一步？　③　（填代号）
错误原因是　等式的两边同除以a2﹣b2时，必须a2﹣b2≠0，但这里不确定a2﹣b2≠0　．
本题的结论应为　△ABC为等腰三角形或直角三角形　．
【分析】由题意可得：（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝0，推出a＝b或a2+b2＝c2，由此即可解决问题；
【解答】解：这个解题过程不正确．③有问题，
理由：等式的两边同除以 a2﹣b2 时，必须 a2﹣b2≠0，但这里不确定 a2﹣b2≠0，
由a4+b2c2＝b4+a2c2得：a4﹣b4＝a2c2﹣b2c2①
（a2+b2）（a2﹣b2）＝c2（a2﹣b2） ②
（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝0，
∴a＝b或a2+b2＝c2，
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
故答案为：不正确，③，等式的两边同除以 a2﹣b2时，必须 a2﹣b2≠0，但这里不确定 a2﹣b2≠0，△ABC 为等腰三角形或直角三角形；
【点评】本题考查因式分解的应用，等式的性质等知识，解题的关键是熟练掌握等式的性质，属于中考创新题目．
19．仔细阅读下面例题，解答问题；
例题，已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式3x2+5x﹣m有一个因式是（3x﹣1），求另一个因式以及m的值．
【分析】首先设另一个因式为（x+n），得3x2+5x﹣m＝（3x﹣1）（x+n），继而可得方程组，解此方程即可求得答案．
【解答】解：设另一个因式为（x+n），得3x2+5x﹣m＝（3x﹣1）（x+n），
则3x2+5x﹣m＝3x2+（3n﹣1）x﹣n，
∴，
解得：n＝2，m＝2，
∴另一个因式为（x+2），m的值为2．
【点评】此题考查了十字相乘法分解因式的知识．注意理解题意，结合题意求解是关键．
20．阅读下列材料：
材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m） （x+n）
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
【分析】（1）利用十字相乘法变形即可得；
（2）①根据材料2的整体思想可以对（x﹣y）2+4（x﹣y）+3分解因式；
②根据材料1和材料2可以对m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3分解因式．
【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；

（2）①令A＝x﹣y，
则原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），
所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；
②令B＝m2+2m，
则原式＝B（B﹣2）﹣3
＝B2﹣2B﹣3
＝（B+1）（B﹣3），
所以原式＝（m2+2m+1）（m2+2m﹣3）
＝（m+1）2（m﹣1）（m+3）．
【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，可以根据材料中的例子对所求的式子进行因式分解．3.com；学号：6322261









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