5.5 分式方程同步练习

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浙教版七下同步练习第五章分式
5.5 分式方程
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人 得 分

一．选择题（共8小题）
1．下列方程中是分式方程（　　）
A． B． C． D．
2．已知关于x的方程＝﹣1有负根，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜0且a≠﹣3 B．a＞0 C．a＞3 D．a＜3且a≠﹣3
3．如图，在框中解分式方程的4个步骤中，根据等式基本性质的是（　　）

A．①② B．②④ C．①③ D．③④
4．以下是解分式方程，去分母后的结果，其中正确的是（　　）
A．1﹣x﹣3＝1 B．x﹣1﹣3x+6＝1
C．1﹣x﹣3x+6＝1 D．1﹣x﹣3x+6＝﹣1
5．若分式方程+3＝有增根，则a的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
6．已知甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，并且乙车每小时比甲车多行驶15千米．若设甲车的速度为x千米/时，依题意列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．某工厂计划生产1500个零件，但是在实际生产时，……，求实际每天生产零件的个数，在这个题目中，若设实际每天生产零件x个，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（　　）
A．每天比原计划多生产5个，结果延期10天完成
B．每天比原计划多生产5个，结果提前10天完成
C．每天比原计划少生产5个，结果延期10天完成
D．每天比原计划少生产5个，结果提前10天完成
8．若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2



第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人 得 分

二．填空题（共6小题）
9．在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有　 　．
10．若关于x的方程无解，则m的值为　 　．
11．若关于x的分式方程＝2的解为非负数，则m的取值范围是　 　．
12．已知：①x+＝3可转化为x+＝1+2，解得x1＝1，x2＝2，
②x+＝5可转化为x+＝2+3，解得x1＝2，x2＝3，
③x+＝7可转化为x+＝3+4，解得x1＝3，x2＝4，……
根据以上规律，关于x的方程x+＝2n+4的解为　 　．
13．若关于x的方程有增根，则m的值是　 　
14．某学校为了增强学生体质，准备购买一批体育器材，已知A类器材比B类器材的单价低10元，用150元购买A类器材与用300元购买B类器材的数量相同，则B类器材的单价为　 　元．
评卷人 得 分

三．解答题（共6小题）
15．解方程：+﹣＝1．
16．解方程：
（1）
（2）．
17．若关于x的方程+2＝有增根，求增根和k的值．
18．某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
19．某经销商经销的冰箱二月份的售价比一月份每台降价500元，已知卖出相同数量的冰箱一月份的销售额为9万元，二月份的销售额只有8万元．
（1）二月份冰箱每台售价为多少元？
（2）为了提高利润，该经销商计划三月份再购进洗衣机进行销售，已知洗衣机每台进价为4000元，冰箱每台进价为3500元，预计用不多于7.6万元的资金购进这两种家电共20台，设冰箱为y台（y≤12），请问有几种进货方案？
（3）三月份为了促销，该经销商决定在二月份售价的基础上，每售出一台冰箱再返还顾客现金a元，而洗衣机按每台4400元销售，这种情况下，若（2）中各方案获得的利润相同，则a应取何值？
20．为了支援云南人民抗旱救灾，某品牌矿泉水有限公司主动承担了为灾区生产300吨矿泉水的任务．
（1）由于任务紧急，实际加工时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前2天完成任务．该厂实际每天加工生产矿泉水多少吨？
（2）该公司组织A、B两种型号的汽车共16辆，将300吨矿泉水一次性运往灾区．已知A型号汽车每辆可装20吨，运输成本500元/辆、已知B型号汽车每辆可装15吨，运输成本300元/辆．运输成本不超过7420元的情况下，有几种符合题意的运输方案？哪种运输方案更省钱？



参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列方程中是分式方程（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用分式方程以及一元一次方程的定义分析得出答案．
【解答】解：A、﹣3x＝1是一元一次方程，故此选项错误；
B、2x﹣＝1，是一元一次方程，故此选项错误；
C、﹣2x＝0是一元一次方程，故此选项错误；
D、﹣2＝0，是分式方程，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式方程以及一元一次方程的定义，正确把握相关定义是解题关键．
2．已知关于x的方程＝﹣1有负根，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜0且a≠﹣3 B．a＞0 C．a＞3 D．a＜3且a≠﹣3
【分析】解分式方程得x＝，根据分式方程有负根知＜0且≠3，解之可得．
【解答】解：两边都乘以x﹣3，得：x+a＝3﹣x，
解得：x＝，
∵分式方程有负根，
∴＜0，且≠3，
解得：a＞3，
故选：C．
【点评】本题主要考查分式方程的解，解题的关键是根据题意列出关于a的不等式，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
3．如图，在框中解分式方程的4个步骤中，根据等式基本性质的是（　　）

A．①② B．②④ C．①③ D．③④
【分析】根据等式的性质1，等式的两边都加或减同一个整式，结果不变，根据等式的性质2，等式的两边都乘或除以同一个不为零的整式，结果不变，可得答案．
【解答】解：①根据等式的性质2，等式的两边都乘同一个不为零的整式x﹣2，结果不变，
③根据等式的性质1，等式的两边都加同一个整式3﹣x，结果不变．
故选：C．
【点评】本题考查了等式的性质，利用了等式的性质1，等式的性质2．
4．以下是解分式方程，去分母后的结果，其中正确的是（　　）
A．1﹣x﹣3＝1 B．x﹣1﹣3x+6＝1
C．1﹣x﹣3x+6＝1 D．1﹣x﹣3x+6＝﹣1
【分析】本题考查分式方程确定最简公分母、去分母的能力，因为2﹣x＝﹣（x﹣2），所以可两边同乘以公分母（x﹣2）．
【解答】解：原方程可化为﹣（1﹣x）﹣3（x﹣2）＝1，整理得x﹣1﹣3x+6＝1．故选B．
【点评】分式方程去分母时要注意不要漏乘常数项，注意相反数的转化．
5．若分式方程+3＝有增根，则a的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】根据分式方程有增根可得出x＝2是方程1+3（x﹣2）＝a+1的根，代入x＝2即可求出a值．
【解答】解：∵分式方程+3＝有增根，
∴x＝2是方程1+3（x﹣2）＝a+1的根，
∴a＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的增根，熟记分式方程增根的定义是解题的关键．
6．已知甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，并且乙车每小时比甲车多行驶15千米．若设甲车的速度为x千米/时，依题意列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】设甲车的速度为x千米/时，则乙车的速度为（x+15）千米/时，根据甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，列方程．
【解答】解：设甲车的速度为x千米/时，则乙车的速度为（x+15）千米/时，
由题意得，＝．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
7．某工厂计划生产1500个零件，但是在实际生产时，……，求实际每天生产零件的个数，在这个题目中，若设实际每天生产零件x个，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（　　）
A．每天比原计划多生产5个，结果延期10天完成
B．每天比原计划多生产5个，结果提前10天完成
C．每天比原计划少生产5个，结果延期10天完成
D．每天比原计划少生产5个，结果提前10天完成
【分析】设实际每天生产零件x个，则原计划每天生产零件（x﹣5）个，根据提前10天完成任务，列方程即可．
【解答】解：，
由分式方程可知，实际每天比原计划多生产5个，实际提前10天完成．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．
8．若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式有且只有4个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和．
【解答】解：，
不等式组整理得：，
由不等式组有且只有四个整数解，得到0＜≤1，
解得：﹣2＜a≤2，即整数a＝﹣1，0，1，2，
＝2，
分式方程去分母得：y+a﹣2a＝2（y﹣1），
解得：y＝2﹣a，
由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到a为﹣1，0，2，之和为1．
故选：C．
【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二．填空题（共6小题）
9．在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有　3　．
【分析】根据分式方程的概念，直接得出结果即可．
【解答】解：分式方程有：③④⑤，
故答案为3．
【点评】本题考查了分式方程的概念，分母中含有未知数的方程叫分式方程．
10．若关于x的方程无解，则m的值为　1　．
【分析】把原方程去分母化为整式方程，求出方程的解得到x的值，由分式方程无解得到分式方程的分母为0，求出x的值，两者相等得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．
【解答】解：
去分母得：x﹣2＝m+2（x﹣3），
整理得：x＝4﹣m，
∵原方程无解，得到x﹣3＝0，即x＝3，
∴4﹣m＝3，解得m＝1．
故答案为：1
【点评】此题的关键是让学生理解分式方程无解就是分母等于0，同时要求学生掌握解分式方程的方法，以及转化思想的运用．学生在去分母时，不要忽略分母为1的项也要乘以最简公分母．
11．若关于x的分式方程＝2的解为非负数，则m的取值范围是　m≥﹣1且m≠1　．
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非负数”建立不等式求m的取值范围．
【解答】解：去分母得，m﹣1＝2（x﹣1），
∴x＝，
∵方程的解是非负数，
∴m+1≥0即m≥﹣1
又因为x﹣1≠0，
∴x≠1，
∴≠1，
∴m≠1，
则m的取值范围是m≥﹣1且m≠1．
故选：m≥﹣1且m≠1．
【点评】本题考查了分式方程的解，由于我们的目的是求m的取值范围，因此也没有必要求得x的值，求得m﹣1＝2（x﹣1）即可列出关于m的不等式了，另外，解答本题时，易漏掉m≠1，这是因为忽略了x﹣1≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．
12．已知：①x+＝3可转化为x+＝1+2，解得x1＝1，x2＝2，
②x+＝5可转化为x+＝2+3，解得x1＝2，x2＝3，
③x+＝7可转化为x+＝3+4，解得x1＝3，x2＝4，……
根据以上规律，关于x的方程x+＝2n+4的解为　x1＝n+3，x2＝n+4　．
【分析】仿照已知方程与解的特征，归纳总结得到一般性规律，确定出所求方程的解即可．
【解答】解：根据题意将方程变形得：x﹣3+＝n+n+1，
可得x﹣3＝n或x﹣3＝n+1，
则方程的解为x1＝n+3，x2＝n+4，
故答案为：x1＝n+3，x2＝n+4
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
13．若关于x的方程有增根，则m的值是　﹣1　
【分析】将方程两边都乘以x﹣2得1﹣x﹣m＝x﹣2，求得x＝，由方程有增根得出＝2，解之可得m的值．
【解答】解：将方程两边都乘以x﹣2，得：1﹣x﹣m＝x﹣2，
解得：x＝，
∵x的方程有增根，
∴增根x＝＝2，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14．某学校为了增强学生体质，准备购买一批体育器材，已知A类器材比B类器材的单价低10元，用150元购买A类器材与用300元购买B类器材的数量相同，则B类器材的单价为　20　元．
【分析】设B类器材的单价为x元，则A类器材的单价是x﹣10元，根据150元购买A类器材与用300元购买B类器材的数量相同列出方程解答即可．
【解答】解：设B类器材的单价为x元，则A类器材的单价是x﹣10元，由题意得
＝
解得：x＝20
经检验x＝20是原方程的解，
答：B类器材的单价为20元．
故答案为：20．
【点评】此题考查分式方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
三．解答题（共6小题）
15．解方程：+﹣＝1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边同乘（x+2）（x﹣2）得 x﹣2+4x﹣2（x+2）＝x2﹣4，
整理，得x2﹣3x+2＝0，
解这个方程得x1＝1，x2＝2，
经检验，x2＝2是增根，舍去，
所以，原方程的根是x＝1．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
16．解方程：
（1）
（2）．
【分析】各分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：1﹣x﹣x﹣3＝﹣x+2，
解得：x＝﹣4，
经检验x＝﹣4是分式方程的解；
（2）方程去分母得：2x﹣6﹣3x﹣9＝14x，
解得：x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
17．若关于x的方程+2＝有增根，求增根和k的值．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣3＝0，得到x＝3，然后代入化为整式方程的方程算出k的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣3），
得k+2（x﹣3）＝﹣x+4
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x﹣3）＝0，
解得x＝3，
当x＝3时，k＝1．
【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
18．某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为y元．根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；
（2）设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式．
【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．
根据题意，得，＝，
解得 x＝40．
经检验，x＝40是原方程的解．
答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；

（2）甲乙两种商品的销售量为＝50．
设甲种商品按原销售单价销售a件，则
（60﹣40）a+（60×0.7﹣40）（50﹣a）+（88﹣48）×50≥2460，
解得 a≥20．
答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润＝售价﹣进价．
19．某经销商经销的冰箱二月份的售价比一月份每台降价500元，已知卖出相同数量的冰箱一月份的销售额为9万元，二月份的销售额只有8万元．
（1）二月份冰箱每台售价为多少元？
（2）为了提高利润，该经销商计划三月份再购进洗衣机进行销售，已知洗衣机每台进价为4000元，冰箱每台进价为3500元，预计用不多于7.6万元的资金购进这两种家电共20台，设冰箱为y台（y≤12），请问有几种进货方案？
（3）三月份为了促销，该经销商决定在二月份售价的基础上，每售出一台冰箱再返还顾客现金a元，而洗衣机按每台4400元销售，这种情况下，若（2）中各方案获得的利润相同，则a应取何值？
【分析】（1）设二月份冰箱每台售价为x元，则一月份冰箱每台售价为（x+500）元，根据数量＝总价÷单价结合卖出相同数量的冰箱一月份的销售额为9万元而二月份的销售额只有8万元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据总价＝单价×数量结合预计用不多于7.6万元的资金购进这两种家电共20台，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，结合y≤12及y为正整数，即可得出各进货方案；
（3）设总获利为w，购进冰箱为m台，洗衣机为（20﹣m）台，根据总利润＝单台利润×购进数量，即可得出w关于m的函数关系式，由w为定值即可求出a的值．
【解答】解：（1）设二月份冰箱每台售价为x元，则一月份冰箱每台售价为（x+500）元，
根据题意，得：＝，
解得：x＝4000，
经检验，x＝4000是原方程的根．
答：二月份冰箱每台售价为4000元．
（2）根据题意，得：3500y+4000（20﹣y）≤76000，
解得：y≥8，
∵y≤12且y为整数，
∴y＝8，9，10，11，12．
∴洗衣机的台数为：12，11，10，9，8．
∴有五种购货方案．
（3）设总获利为w，购进冰箱为m台，洗衣机为（20﹣m）台，
根据题意，得：w＝（4000﹣3500﹣a）m+（4400﹣4000）（20﹣m）＝（100﹣a）m+8000，
∵（2）中的各方案利润相同，
∴100﹣a＝0，
∴a＝100．
答：a的值为100．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）利用总利润＝单台利润×购进数量，找出w关于m的函数关系式．
20．为了支援云南人民抗旱救灾，某品牌矿泉水有限公司主动承担了为灾区生产300吨矿泉水的任务．
（1）由于任务紧急，实际加工时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前2天完成任务．该厂实际每天加工生产矿泉水多少吨？
（2）该公司组织A、B两种型号的汽车共16辆，将300吨矿泉水一次性运往灾区．已知A型号汽车每辆可装20吨，运输成本500元/辆、已知B型号汽车每辆可装15吨，运输成本300元/辆．运输成本不超过7420元的情况下，有几种符合题意的运输方案？哪种运输方案更省钱？
【分析】（1）关键描述语是：“提前2天完成任务”．等量关系为：原计划用的时间﹣实际用的时间＝2；
（2）关系式为：A型号汽车所能装载的矿泉水吨数+B型号汽车所能装载的矿泉水吨数≥300；A型号汽车所能装载的矿泉水需要的运费+B型号汽车所能装载的矿泉水需要的运费≤7420，找到相应的方案比较即可．
【解答】解：（1）设该厂原计划每天加工生产矿泉水x吨．
依题意得：，
∴解得x＝25，
经检验：x＝25是原方程的解．
25×（1+20%）＝30吨．
答：该厂实际每天加工生产矿泉水30吨；
（2）设A型号汽车y辆．
依题意得：，
解得12≤y≤13.1，
∵y是整数，∴y的值是12、13，
∴有2种符合题意的运输方案，
方案1：A型号汽车12辆，B型号汽车4辆；
方案2：A型号汽车13辆，B型号汽车3辆；
当y＝12时，500y+300（16﹣y）＝7200（元）；
当y＝13时，500y+300（16﹣y）＝7400（元）；
∴方案1更省钱．
【点评】考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，分析题意，找到合适的关系式是解决问题的关键．
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