第1章 平行线
1．1 平行线
知识点1 平行线的概念
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．“平行”用符号“∥”表示，直线a和b是平行线，记做a∥b，读做“a平行b”．
平行线的定义包含三层意思：(1)“在同一平面内”是前提条件；(2)“不相交”就是说两条直线没有交点；(3)平行线指的是“两条直线”，而不是“两条射线”或“两条线段”．
1．下列说法正确的是( )
A．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线段
B．不相交的两条直线是平行线
C．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交和平行两种
D．在同一平面内，不相交的两条射线是平行线
知识点2 平行线的画法
用三角尺和直尺画平行线．
如图1－1－1所示，把三角尺的一边紧靠直线CD，用直尺紧靠三角板尺的另一边，沿直尺推动三角尺，然后过三角尺的一边画直线AB，这时就可画出CD的平行线AB.
图1－1－1
2．如图1－1－2所示，过三角形ABC的三个顶点分别作它对边的平行线，标出交点，并将平行线用“∥”符号表示出来．
图1－1－2
知识点3 平行线的性质
过直线外一点只能画一条已知直线的平行线，过直线上一点不能画已知直线的平行线．
3．先在纸上画三角形ABC，再任取一点P，过点P画一条直线与BC平行，则这样的直线( )
A．有且只有一条 B．有两条
C．不存在 D．有一条或不存在
探究 一 利用平行线的性质进行简单的推理
教材例题变式题在同一平面内，已知直线AB∥EF，直线CD与AB相交于点P，试问直线CD与EF相交吗？为什么？
[归纳总结] 由本题可以得出一个常用的结论：在同一平面内，如果一条直线与一组平行线中的一条相交，那么它必定与其余的直线都相交．
探究 二 平面内直线交点个数的探究
教材补充题已知平面内有三条互不重合的直线，请画图探究它们的位置关系并说出它们的交点个数．
[反思] 判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)不相交的两条直线叫做平行线；
(2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
一、选择题
1．在同一平面内两条不重合直线的位置关系有( )
A．两种：平行或相交
B．两种：平行或垂直
C．三种：平行、垂直或相交
D．两种：垂直或相交
2．如图1－1－3，在同一平面内，过点C作线段AB的平行线，下列说法正确的是( )
图1－1－3
A．不能作 B．只能作一条
C．能作两条 D．能作无数条
3．下列关于平行的表示方法正确的是( )
A．a∥A B．AB∥cd
C．A∥B D．a∥b
4．下列四边形中，AB与CD不平行的是( )
图1－1－4
5．在同一平面内，有三条互不重合的直线，其中只有两条是平行的，那么交点有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
6．下列结论正确的是( )
A．不相交的直线互相平行
B．不相交的线段互相平行
C．不相交的射线互相平行
D．有公共点的直线一定不平行
7．已知直线a，b在同一平面内且不相交，直线c也在这一平面内，且c与a相交，则( )
A．b与c相交
B．b与c平行
C．b与c平行或相交
D．b与c的位置关系不确定
二、填空题
8．如图1－1－5所示，AE∥BC，AF∥BC，则A，E，F三点________，理由是____________________．
图1－1－5
9．把图1－1－6中互相平行的线段一一写出来：
______________________________________．
图1－1－6
10．列举现实生活中体现平行的一个例子：________.
11．在同一平面内，有两条直线l1与l2.
(1)若l1与l2没有公共点，则l1与l2________；
(2)若l1与l2有且只有一个公共点，则l1与l2________；
(3)若l1与l2有两个公共点，则l1与l2________．
三、解答题
12．如图1－1－7，在长方体中，A1B1∥AB，AD∥BC，你能找出图中的平行线吗？
图1－1－7
13．如图1－1－8所示，点P在∠AOB的一边OA上，点Q在∠AOB的另一边OB上，按下列要求画图：
(1)过点P，Q的直线；
(2)过点P画平行于OB的直线；
(3)过点Q画平行于OA的直线．
图1－1－8
14．如图1－1－9，点P是∠ABC内一点．
(1)过点P画一条直线平行于直线AB，且与BC交于点D；
(2)过点P画一条直线垂直于直线BC，垂足为E；
(3)过点P作直线AB的垂线段PF.
图1－1－9
1．[实践操作题] 如图1－1－10所示，D，E是线段AC的三等分点．
(1)过点D作DF∥BC交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G；
(2)量出AF，FG，GB的长度(精确到0.1 cm)，你有什么发现？
(3)量出FD，GE，BC的长度(精确到0.1 cm)，你有什么发现？
(4)根据(3)中发现的规律，若FD＝1.5 cm，则EG＝________ cm，BC＝________ cm.
图1－1－10
2.[操作探究] 我们知道在同一平面内，两条平行直线的交点有0个，两条相交直线的交点有1个，平面内三条平行直线的交点有0个，经过同一点的三条直线的交点有1个……
(1)平面上有三条互不重合的直线，请画图探究它们的交点个数；
(2)若平面内的五条直线恰有4个交点，请画出符合条件的所有图形；
(3)在平面内画出10条直线，使它们的交点个数恰好是32.
详解详析
教材的地位
和作用
本节课是在学生对平行线的初步认识的基础上，认识平行线的主要特征及有关性质，教材给学生提供了生活中有关平行的实际情境，让学生通过直观感受，操作确认的实践活动，加强对平行线的认识和感受，深化概念识记，强调图形的区分，学会画平行线，让学生在画图过程中进一步体会平行的含义，为将来学习平行线的判定与性质积累经验
教
学
目
标
知识与技能
认识平行线的概念，知道经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
过程与方法
会用两种方法过直线外一点画这条直线的平行线
情感、态度
与价值观
1.体会在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有两种：相交或平行；
2.体验并效仿由生活情境中抽象出平行线的概念，进而养成从数学观点考查周围事物的习惯
教学重点难点
重点
初步认识平行线及其画法
难点
通过实践操作，体会经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
易错点
在判断两直线的位置关系时，较易忽略“在同一平面内”这一前提
【预习效果检测】
1．[解析] C 根据平行线的概念“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”即可得出答案．
[点评] 正确理解平行线的概念是解决本题的关键．学习此概念时，我们要特别注意“在同一平面内”“不相交”“直线”等关键词．
2．解：如图所示．
过点A作BC边的平行线，过点B作AC边的平行线，过点C作AB边的平行线，两两相交于点D，E，F，所以DE∥BC，EF∥AC，DF∥AB.
3．[解析] D 当点P在直线BC外时，根据“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”这个基本事实，可知有且仅有一条；但当点P在直线BC上时，就不存在这样的直线，故本题应选择D.
【重难互动探究】
例1 [解析] 由于直线AB，EF的位置关系已确定，AB与CD的位置关系也确定了，根据平行线的性质即可确定CD与EF的位置关系．
解：直线CD与EF相交．因为AB∥EF，CD与AB相交于点P，而过点P只能作一条直线AB与EF平行，所以直线CD与EF相交．
例2 [解析] 在同一平面内，两条不重合直线的位置关系只有两种：相交和平行．若在同一平面内有三条或三条以上直线，其位置关系就变得比较复杂，交点个数也不确定，因此需分类讨论进行探究．
解：①如图①，三条直线互相平行，此时交点个数为0；
②如图②，三条直线相交于一点，此时交点个数为1；
③如图③，三条直线两两相交且不交于同一点，此时交点个数为3；
④如图④，其中两条直线互相平行且都与第三条直线相交，此时交点个数为2.
【课堂总结反思】
[反思] (1)不正确，理由：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．(2)不正确，理由：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；过直线上一点，不能画已知直线的平行线．
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．A 2.B 3.D 4.D 5.C 6.D 7.A
8．[答案] 共线 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
9．[答案] GH∥MN，EF∥AB，CD∥PQ
10．[答案] 如双杠．两条笔直的铁轨等(答案不唯一，写出一个即可)
11．[答案] (1)平行 (2)相交 (3)重合
12．解：图中的平行线有AB∥DC∥D1C1∥A1B1，AD∥BC∥B1C1∥A1D1，AA1∥BB1∥CC1∥DD1.
13．[解析] 借助三角尺和直尺画平行线．
用三角尺和直尺画图，其基本步骤如下：
一落：三角尺的一边落在已知直线上；
二靠：紧靠三角尺其余两边中的任意一边放上直尺；
三移：三角尺沿直尺移动，使三角板尺的边经过已知点；
四画：沿三角尺过已知点的一边画直线．
解：如图所示．
14．解：如图所示．
[数学活动]
1．解：(1)如图所示．
(2)测量略，AF＝FG＝GB.
(3)测量略，FD∶GE∶BC＝1∶2∶3或FD＋BC＝2GE.
(4)3 4.5
2．解：(1)如图所示．
(2)如图所示．
(3)如图所示．
课件14张PPT。第1章 平行线1.1 平行线筑方法勤反思学知识第1章 平行线1.1 平行线学知识1．1 平行线不相交的a∥bD1．1 平行线1．1 平行线解：如图所示．
过点A作BC边的平行线 ，过点B作AC边的平行线，过点C作AB边的平行线，两两相交于点D，E，F，所以DE∥BC，EF∥AC，DF∥AB.1．1 平行线筑方法类型一 平行线的基本事实例1 教材补充例题 先在纸上画一个三角形ABC，再任取一点P，过点P画一条直线与BC平行，则这样的直线( )
A．有且只有一条 B．有两条
C．不存在 D．有一条或不存在D1．1 平行线【归纳总结】 关于平行线的基本事实的“两点注意”
(1)“有且只有”强调直线的存在性和唯一性；
(2)前提条件是“经过直线外一点”，若点在直线上，则不可能有平行线．[解析] 当点P在直线BC外时，根据“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”这个基本事实，可知有且仅有一条；但当点P在直线BC上时，就不存在这样的直线．故选D.1．1 平行线类型二 利用平行线的基本事实进行简单的推理例2 教材例题变式题 在同一平面内，已知直线AB∥EF，直线CD与AB相交于点P，则直线CD与EF相交吗？为什么？[解析] 由于直线AB，EF的位置关系已确定，AB与CD的位置关系也已确定，根据平行线的性质即可确定CD与EF的位置关系．1．1 平行线解：直线CD与EF相交．因为AB∥EF，CD与AB相交于点P，而过点P只能作一条直线AB与EF平行，所以直线CD与EF相交．【归纳总结】 在同一平面内，如果一条直线与一组平行线中的一条相交，那么它必定与其余的直线都相交．1．1 平行线类型三 平面内直线交点个数的探究例3 教材补充例题 已知平面内有三条互不重合的直线，请画图探究它们的位置关系并说出它们的交点个数．[解析] 在同一平面内，两条不重合直线的位置关系只有两种：相交和平行．若在同一平面内有三条或三条以上直线，其位置关系就变得比较复杂，交点个数也不确定，因此需分类讨论进行探究．1．1 平行线解：(1)如图①，三条直线互相平行，此时交点个数为0；
(2)如图②，三条直线相交于一点，此时交点个数为1；
(3)如图③，三条直线两两相交且不交于同一点，此时交点个数为3；
(4)如图④，其中两条直线互相平行且都与第三条直线相交，此时交点个数为2.
1．1 平行线平行线勤反思小结1．1 平行线反思判断下列说法是否正确，若正确，请说明依据；若不正确，请说明理由．
(1)不相交的两条直线叫做平行线；
(2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行．解：(1)不正确，理由：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．(2)不正确，理由：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；过直线上一点，不能画已知直线的平行线．
1．1 平行线第1章 平行线
1．2 同位角、内错角、同旁内角
知识点 同位角、内错角、同旁内角
两条直线被第三条直线所截，构成了8个角．
(1)如果一对角在截线的同旁，并且分别位于被截直线的同一侧，这样的一对角叫做同位角．如图1－2－1中的∠1和∠8.
(2)如果一对角位于截线的异侧(交错)，并且都在被截直线之间(内)，这样的一对角叫做内错角．如图1－2－1中的∠1和∠6.
(3)如果一对角都在截线的同旁，并且在被截直线之间(内)，这样的一对角叫做同旁内角．如图1－2－1中的∠1和∠5.
图1－2－1
[注意] 像上述两条直线AB和CD被第三条直线EF所截得八个角，我们称之为三线八角，这八个角分为三种．同位角、内错角、同旁内角．
图1－2－2
如图1－2－2，如果∠1＝50°，∠2＝110°，那么∠3的同位角等于________°，∠3的内错角等于________°，∠3的同旁内角等于________°.
探究 一 在较复杂的图形中识别角的位置关系
教材补充题如图1－2－3，标有角标的7个角中共有________对内错角，________对同位角，________对同旁内角．
图1－2－3
教材补充题(1)如图1－2－4，直线AB，CD被直线AC所截，所产生的内错角是____________；
图1－2－4
(2)如图1－2－4，直线AD，BC被直线DC所截，产生了________角，它们是____________．
[归纳总结] 1.识别同位角、内错角、同旁内角的方法：
角的
名称
位置特征
基本图形
图形结
构特征
同位角
在两条被截直线同侧，截线同旁
去掉多余的线显现基本图形
形如字母“F”
内错角
在两条被截直线之间(内)，截线两侧(交错)
去掉多余的线显现基本图形
形如字母“Z”
同旁
内角
在两条被截直线之间(内)，截线同旁
去掉多余的线显现基本图形
形如字母“U”
2.上述各类角的共同特点：①它们都是两条直线被第三条直线所截而成的两个角；②每对角都没有公共顶点；③每对角都各有一条边在第三条直线上，即在“截线”上．
探究 二 三线八角与对顶角、邻补角的综合应用
如图1－2－5所示，两条直线AB，CD被第三条直线EF所截，交点分别为G，H.已知∠AGE＝∠DHF.请分别说出下列各式成立的理由．
(1)∠1＝∠3；
(2)∠2＋∠3＝180°；
(3)∠3＝∠4.
图1－2－5
[归纳总结] 在求角的度数或说明角相等时，经常运用对顶角与邻补角的性质．
[反思] 在两条直线被第三条直线所截形成的三线八角中，有几对同位角？几对内错角？几对同旁内角？
一、选择题
1．2016·福州如图1－2－6，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2是( )
图1－2－6
A．同位角 B．内错角
C．同旁内角 D．对顶角
2．如图1－2－7，直线AB，CD被直线EF所截，则∠3的同旁内角是( )
A．∠1 B．∠2 C．∠4 D．∠5
图1－2－7
3．如图1－2－8所示，下列说法错误的是( )
图1－2－8
A．∠A与∠B是同旁内角
B．∠1与∠2是内错角
C．∠A与∠C是内错角
D．∠A与∠1是同位角
4．如图1－2－9，∠1与∠2不是同位角的是( )
图1－2－9
5.如图1－2－10，∠1和∠2是内错角，可看成是由直线( )
A．AD，BC被直线AC所截形成
B．AB，CD被直线AC所截形成
C．AB，CD被直线AD所截形成
D．AB，CD被直线BC所截形成
图1－2－10
6.如图1－2－11，有下列6种说法：(1)∠1与∠4是内错角；(2)∠1与∠2是同位角；(3)∠2与∠4是内错角；(4)∠4与∠5是同旁内角；(5)∠2与∠4是同位角；(6)∠2与∠5是内错角．其中正确的有( )
图1－2－11
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．对于任意一个三角形，有________对同旁内角．
8．如图1－2－12所示，(1)∠BED与∠CBE是直线________，________被直线________所截形成的________角；
(2)∠A与∠CED是直线________，________被直线________所截形成的________角；
(3)∠CBE与∠BEC是直线________，________被直线________所截形成的________角；
(4)∠AEB与∠CBE是直线________，________被直线________所截形成的________角．
图1－2－12
9．如图1－2－13，若一对同位角∠1＝∠4，则∠1与________也相等．
图1－2－13
10．如图1－2－14，直线l1，l2被直线l3所截，若一对同位角∠1与∠3相等，则一对内错角∠2与∠4相等吗？说明理由．
图1－2－14
解：∵∠1＋∠2＝________(平角的意义)，
∠1＝∠3，
∴∠3＋________＝180°.
又∵∠4＋________＝180°，
∴∠2＝∠4(______________________)．
三、解答题
11．如图1－2－15，(1)∠1与∠2，∠3与∠4分别是具有怎样位置关系的角？
(2)当∠1＝∠2时，∠3与∠4具有怎样的数量关系？
图1－2－15
12．请在图1－2－16中添加一条直线，使得有两个角，记做∠2和∠3，且都与∠1构成同位角，并且∠2和∠3是同旁内角．
图1－2－16
13．如图1－2－17所示，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，如果∠B＝∠ADE，求∠B＋∠BDE的大小．
图1－2－17
14．如图1－2－18所示，在标出的7个角中，与∠1是内错角、同旁内角的各有哪几个？与∠5是同位角的有哪几个？
图1－2－18
1．[拓展题] 如图1－2－19，与∠1构成同位角的角有a个，与∠1构成内错角的角有b个，则a与b之间的数量关系为________．
图1－2－19
2．[拓展题] 如图1－2－20所示，其中同旁内角有多少对？
图1－2－20
详解详析
教材的地位
和作用
三线八角是有关平行线内容的延续，也是以后学习“空间与图形”的起点，注意辨别它们之间的联系与区别，为以后的学习打下良好的基础
教
学
目
标
知识与技能
1.了解同位角、内错角、同旁内角的概念，并学会识别；
2.会在给定的某个条件下进行同位角、内错角、同旁内角的判定和计算
过程与方法
经历同位角、内错角、同旁内角的识别过程，提升学生的辨别能力和想象能力
情感、态度
与价值观
通过识别同位角、内错角、同旁内角的意义，丰富学生学习几何的成功体验
教学重点难点
重点
同位角、内错角、同旁内角的概念
难点
从复杂图形中识别同位角、内错角和同旁内角
易错点
对概念理解不清，导致不能正确判断角的位置关系
【预习效果检测】
[答案] 70 70 110
[解析] 在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的另一旁找内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系．
∵∠2＝110°，∴∠3的同位角＝∠4＝180°－∠2＝180°－110°＝70°，∠3的内错角＝∠5＝180°－∠2＝180°－110°＝70°，∠3的同旁内角＝∠6＝∠2＝110°.
【重难互动探究】
例1 [答案] 4 2 4
[解析] 如题图，共有4对内错角，分别是∠1和∠4，∠2和∠5，∠6和∠1，∠5和∠7；2对同位角，分别是∠7和∠1，∠5和∠6；4对同旁内角，分别是∠1和∠5，∠3和∠4，∠3和∠2，∠4和∠2.
例2 [答案] (1)∠BAC和∠ACD
(2)同旁内 ∠D和∠BCD
例3 解：(1)∵∠1＋∠AGE＝180°，∠3＋∠DHF＝180°，∠AGE＝∠DHF，
∴∠1＝∠3.
(2)由(1)得∠1＝∠3，
又∵∠1＋∠2＝180°，∴∠2＋∠3＝180°.
(3)由(1)得∠1＝∠3，
又∵∠1＝∠4，∴∠3＝∠4.
【课堂总结反思】
[反思] 有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．B
2．[解析] B 同旁内角要在被截的两条直线之间，即AB，CD之间，这样的角只有∠2，∠5，所以不可能是∠1和∠4.又因为同旁内角在截线的同侧，故选B.
3．[解析] C A，B，D选项都符合它们的位置特征，只有C选项是在被截直线之间，截线同侧，应是同旁内角．
4．C 5.B 6.C
7．[答案] 3
[解析] 根据同旁内角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样的一对角叫做同旁内角．如图所示，∠A与∠B，∠B与∠C，∠C与∠A都是同旁内角．
8．[答案] (1)DE BC BE 内错
(2)AD DE AC 同位
(3)BC EC BE 同旁内
(4)AE BC BE 内错
[解析] 找所关注的两角的两边，其中公共边就是截线，另外两直线是被截直线，再根据同位角、内错角、同旁内角的概念进行判断．
9．[答案] ∠2
10．[答案] 180° ∠2 ∠3 同角的补角相等
11．[解析] (2)∠2与∠4互补，即∠2＋∠4＝180°.再由∠2＝∠1＝∠3，可以得到∠3＋∠4＝180°.
解：(1)∠1与∠2是同位角，∠3与∠4是同旁内角．
(2)∵∠1＝∠2，∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3.
又∵∠2＋∠4＝180°，
∴∠3＋∠4＝180°.
12．解：如图所示．
13．解：∵∠ADE＋∠BDE＝180°，
∠B＝∠ADE，
∴∠B＋∠BDE＝180°.
14．[解析] 利用分形法把复杂图形分成一些三线八角的基本图形．
解：与∠1是内错角的有∠4，∠7；与∠1是同旁内角的有∠5，∠6；与∠5是同位角的有∠7.
[数学活动]
1．[答案] 2a＝b
[解析] 与∠1构成内错角的有∠FBD，∠ABD，与∠1构成同位角的是∠E，所以a＝1，b＝2，所以2a＝b.
2．[解析] AD，EF被AB所截；AD，EF被CD所截；AD，BC被AB所截；AD与BC被CD所截；EF，BC被AB所截；BC，EF被CD所截；AB，CD被AD所截；AB，CD被EF所截；AB，CD被BC所截，共9种情形进行分类讨论．
解：AD，EF被AB所截得的同旁内角是∠A与∠AEF；AD，EF被CD所截得的同旁内角是∠D与∠DFE；EF，BC被AB所截得的同旁内角是∠FEB与∠B；EF，BC被CD所截得的同旁内角是∠EFC与∠C；AB，CD被AD所截得的同旁内角是∠A与∠D；AB，CD被EF所截得的同旁内角是∠AEF与∠DFE，∠BEF与∠EFC；AB，CD被BC所截得的同旁内角是∠B与∠C；AD，BC被AB所截得的同旁内角是∠A与∠B；AD，BC被CD所截得的同旁内角是∠D与∠C，故同旁内角共有10对．
课件12张PPT。第1章 平行线1．2 同位角、内错角、同旁内角筑方法勤反思学知识第1章 平行线1.2 同位角、内错角、同旁内角学知识1．2 同位角、内错角、同旁内角同位角内错角同旁内角两条直线被第三条直线所截，构成了8个角(如图1－2－1)．
图1－2－1
注意： 像上述两条直线AB和CD被第三条直线EF所截得的八个角，我们称之为三线八角，这八个角分为三种：_______、_______、________．
C1．2 同位角、内错角、同旁内角70701101．2 同位角、内错角、同旁内角[解析] 在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的另一旁找内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系．
?
∵∠2＝110°，∴∠3的同位角＝∠4＝180°－∠2＝180°－110°＝70°，∠3的内错角＝∠5＝180°－∠2＝180°－110°＝70°，∠3的同旁内角＝∠6＝∠2＝110°.
1．2 同位角、内错角、同旁内角筑方法类型一 在较复杂的图形中识别角的位置关系∠BAC和∠ACD例1 教材补充例题 (1)如图1－2－4，直线AB，CD被直线AC所截，所产生的内错角是________________；
(2)如图1－2－4，直线AD，BC被直线DC所截，产生了________角，它们是____________．
图1－2－4同旁内∠D与∠BCD1．2 同位角、内错角、同旁内角【归纳总结】1．2 同位角、内错角、同旁内角类型二 三线八角与对顶角、邻补角的综合应用例2 教材例题变式题 如图1－2－5所示，两条直线AB，CD被第三条直线EF所截，交点分别为G，H.已知∠AGE＝∠DHF.请分别说出下列各式成立的理由．
(1)∠1＝∠3；(2)∠2＋∠3＝180°.
图1－2－5
1．2 同位角、内错角、同旁内角解：(1)∵∠1＋∠AGE＝180°，∠3＋∠DHF＝180°，∠AGE＝∠DHF，
∴∠1＝∠3.
(2)由(1)得∠1＝∠3，
又∵∠1＋∠2＝180°，∴∠2＋∠3＝180°.【归纳总结】 在求角的度数或说明角相等时，经常运用对顶角与邻补角的性质．1．2 同位角、内错角、同旁内角三线八角勤反思小结1．2 同位角、内错角、同旁内角反思在两条直线被第三条直线所截形成的三线八角中，有几对同位角？几对内错角？几对同旁内角？解：有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．1．2 同位角、内错角、同旁内角1.3 平行线的判定
第1课时 平行线的判定(一)
知识点1 “同位角相等，两直线平行”
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单地说，同位角相等，两直线平行．
[几何语言] 如图1－3－1所示，
图1－3－1
∵∠1＝∠2，∴AB∥CD.
1．如图1－3－2所示，∠1＝∠C，∠2＝∠C，请你找出图中互相平行的直线，并说明理由．
图1－3－2
知识点2 “同位角相等，两直线平行”的特殊情况
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
2．设a，b，c为同一平面内三条不同的直线，若a⊥c，b⊥c，则a与b的位置关系是________．
探究 一 利用“同位角相等，两直线平行”进行简单的推理应用
教材例1变式题如图1－3－3，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁DE，使DE∥BC.如果∠ABC＝31°，那么∠ADE应为多少度？
图1－3－3
[归纳总结] 此题是对“同位角相等，两直线平行”的应用，只有熟练掌握此判定方法，才能正确解答此题．
探究 二 平行线的判定与其他知识的综合运用
教材补充题如图1－3－4所示，已知直线EF与AB相交于点D，∠B＋∠ADE＝180°，这时EF与BC平行吗？
图1－3－4
[归纳总结] 要判断两条直线的位置关系，需转化为寻找角的关系，解题时要注意隐含条件(对顶角相等、邻补角互补等)
.
[反思] 如图1－3－5，已知∠1＋∠2＝180°，试找出图中的平行线，并说明理由．
图1－3－5
解：AD∥CB.①
理由：因为∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠CDB＝180°(平角的定义)，②
所以∠1＝∠CDB，所以AD∥CB(同位角相等，两直线平行)．③
(1)找错：从第________步开始出现错误；
(2)纠错：
一、选择题
1．如图1－3－6所示，∠1＝∠2，则下列结论正确的是( )
A．AD∥BC B．AB∥CD
C．AD∥EF D．EF∥BC
图1－3－6
2．如图1－3－7所示，直线l1和l2被直线l所截，下面说法正确的是( )
图1－3－7
A．因为∠1和∠2互补，所以l1∥l2
B．当∠2＝∠3时，l1∥l2
C．当∠1＝∠2时，l1∥l2
D．当∠1＝∠3时，l1∥l2
3．已知同一平面内的直线l1，l2，l3，如果l1⊥l2，l2⊥l3，那么l1与l3的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．垂直 D．以上都不对
4．如图1－3－8中标记的各角，能够由下列条件推理得到a∥b的是( )
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠4
C．∠3＝∠4 D．∠1＋∠4＝180°
图1－3－8
二、填空题
5．如图1－3－9给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是__________________．
图1－3－9
6．如图1－3－10所示，若∠1＝∠B，则_________∥________，理由是________________________________________________________________________．
图1－3－10
7．如图1－3－11，∠1＝60°，∠2＝60°，则直线a与b的位置关系是________．
图1－3－11
8.如图1－3－12所示，若∠1＝∠B，则______∥______；若∠1＝∠E，则______∥______.
图1－3－12
图1－3－13
9．如图1－3－13，已知∠3＝∠4，则l1∥l2.试说明理由(填空)．
解：∵∠3＝∠4( )，
________＝∠3( )，
∴________＝∠4，
∴l1∥l2( )．
三、解答题
10．如图1－3－14所示，直线AB，CD被直线EF所截，且∠1＝60°，∠2＝120°，那么AB与CD平行吗？为什么？
图1－3－14
11．已知：如图1－3－15，直线AB，CD被直线EF所截，H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°.AB与CD平行吗？请说明理由．
图1－3－15
12．如图1－3－16所示，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝∠2，∠CNF＝∠BME，那么AB∥CD，MP∥NQ都成立吗？请说明理由．
图1－3－16
13．如图1－3－17所示，已知直线a，b，c被直线d所截，若∠1＝∠2，∠2＋∠3＝180°，则a与c平行吗？并说明理由．
图1－3－17
如图1－3－18所示，EF⊥BC，DE⊥AB，∠B＝∠ADE，那么AD与EF平行吗？请说明理由．
图1－3－18
详解详析
教材的地位
和作用
本课时以学生合作学习的方式引入，探究平行线的画法和判定方法，在活动中要求学生能进行简单的推理和表述
教
学
目
标
知识与技能
1.从“用三角尺画平行线”的活动过程中，发现“同位角相等，两直线平行”；
2.掌握平行线的判定方法“同位角相等，两直线平行”；
3.会用“同位角相等，两直线平行”判定两直线平行，会进行简单的推理和表述
过程与方法
经历平行线的判定方法和推理的过程，学会用数学语言进行简单推理，提升学生的识图能力和逻辑推理能力
情感、态度
与价值观
结合实例合作学习，体验用实验的方法得出几何规律的重要性与合理性
教学重点难点
重点
利用“同位角相等，两直线平行”判定两直线平行
难点
“同位角相等，两直线平行”的推理过程的正确表达
易错点
对已知同位角的组成不清，导致平行线的判断错误
【预习效果检测】
1．[解析] 在图中找到∠1，∠C，∠2的位置，易知∠1与∠C是同位角，∠C与∠2是同位角，由“同位角相等，两直线平行”可知，AB∥CD，AC∥BD.
解：(1)AB∥CD.
理由：因为∠1与∠C是直线AB，CD被直线AC所截形成的同位角，且∠1＝∠C，所以AB∥CD.
(2)AC∥BD.
理由：因为∠2与∠C是直线BD，AC被直线CD所截形成的同位角，且∠2＝∠C，所以AC∥BD.
[点评] (1)首先掌握两个角是同位角需满足的条件，即在被截直线的同侧，截线的同旁；
(2)“同位角相等，两直线平行”是判定两条直线平行的有效方法．
2．[答案] a∥b
[解析] ∵在同一平面内，a⊥c，b⊥c，
即a，b被c所截的同位角都为90°，
∴a∥b.
【重难互动探究】
例1 解：∠ADE应为31°.
理由：∵∠ABC＝31°，∠ADE＝31°，
∴∠ABC＝∠ADE，
∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行)．
例2 [解析] 要运用“同位角相等，两直线平行”来判断两直线是否平行，必须先说明∠ADF＝∠B，而∠ADF＋∠ADE＝180°，∠B＋∠ADE＝180°，故可知结果．
解：EF∥BC.理由：因为∠ADF＋∠ADE＝180°，∠B＋∠ADE＝180°，所以∠ADF＝∠B，所以EF∥BC.
【课堂总结反思】
[知识框架]
同位角 互相平行
[反思] (1)①
(2)AE∥CD.理由：因为∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠CDB＝180°(平角的定义)，
所以∠1＝∠CDB，所以AE∥CD(同位角相等，两直线平行)．
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．[解析] C ∠1和∠2是直线AD，EF被直线CD所截得的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”可知AD∥EF.
2．D
3．[解析] A 利用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”可做出判断．
4．[解析] D ∵∠1＋∠4＝180°，∠1＋∠2＋∠3＝180°，∴∠2＋∠3＝∠4.根据“同位角相等，两直线平行”，可得a∥b.故选D.
5．[答案] 同位角相等，两直线平行
6．[答案] DE BC 同位角相等，两直线平行
[解析] ∠1和∠B是直线DE，BC被AB所截得的同位角，同位角相等，两直线平行．
7．[答案] 平行
[解析] 根据对顶角相等，得∠2＝∠3.因为∠1＝60°，∠2＝60°，所以∠1＝∠2，所以∠1＝∠3.根据同位角相等，两直线平行判定直线a与b的位置关系是平行．
8．[答案] AB DE BC EF
[解析] 利用“同位角相等，两直线平行”判定．
9．[答案] 已知 ∠1 对顶角相等 ∠1
同位角相等，两直线平行
10．[解析] 本题主要考查“同位角相等，两直线平行”，利用∠1，∠2的度数将其转化为一对同位角相等，从而确定两条直线平行．
解：方法一：AB∥CD.理由：如图，因为∠2＝120°，所以∠3＝60°.又因为∠1＝60°，所以∠1＝∠3，根据同位角相等，两直线平行，所以AB∥CD.
方法二：AB∥CD.理由：如图，因为∠1＝60°，所以∠4＝120°.又因为∠2＝120°，所以∠4＝∠2，根据同位角相等，两直线平行，所以AB∥CD.
11．[解析] 如图，要说明AB∥CD，只需说明∠1＝∠4，由已知条件结合垂直定义和对顶角性质，易得∠4＝60°，故可以说明AB∥CD.
解：AB∥CD.理由：如图，∵GH⊥CD(已知)，
∴∠CHG＝90°(垂直定义)．
又∵∠2＝30°(已知)，∴∠3＝60°，
∴∠4＝60°(对顶角相等)．
又∵∠1＝60°(已知)，∴∠1＝∠4，
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
12．[解析] 利用对顶角相等，找出一对同位角相等，不难说明AB∥CD和MP∥NQ.
解：AB∥CD，MP∥NQ.
理由：因为∠MND＝∠CNF(对顶角相等)，
∠BME＝∠CNF，
所以∠MND＝∠BME，
所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
又因为∠1＝∠2，
所以∠1＋∠BME＝∠2＋∠MND(等式的性质)，
即∠EMP＝∠MNQ，
所以MP∥NQ(同位角相等，两直线平行)．
13．[解析] 如图，要说明a∥c，只需说明∠3＝∠4即可，而∠2＋∠3＝180°，∠1＝∠2，由同角的补角相等即可说明．
解：a∥c.理由：如图，因为∠1＋∠4＝180°，∠1＝∠2，
所以∠2＋∠4＝180°.
又因为∠2＋∠3＝180°，
所以∠3＝∠4(同角的补角相等)，
所以a∥c(同位角相等，两直线平行)．
[数学活动]
[解析] 正确识图，从图中找到相等的同位角∠ADF与∠EFB，从而得出AD∥EF.
解：AD∥EF.
理由：因为DE⊥AB，
所以∠B＋∠BDE＝90°.
因为∠B＝∠ADE，
所以∠ADE＋∠BDE＝∠ADF＝90°.
因为EF⊥BC，
所以∠EFB＝90°，
所以∠ADF＝∠EFB，
所以AD∥EF.
课件11张PPT。第1章 平行线1.3 平行线的判定筑方法勤反思学知识第1章 平行线第1课时 平行线的判定(一)学知识1．3 平行线的判定同位角相等，两直线平行两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单地说，________________________．DEBC同位角相等，两直线平行[解析] ∠1和∠B是直线DE，BC被AB所截得的同位角，同位角相等，两直线平行．1．3 平行线的判定在同一平面内，____________________的两条直线互相平行．垂直于同一条直线2．设a，b，c为同一平面内三条不同的直线，若a⊥c，b⊥c，则a与b的位置关系是________. a∥b [解析] ∵在同一平面内，a⊥c，b⊥c，
即a，b被c所截得的同位角都为90°，∴a∥b.
1．3 平行线的判定筑方法类型一 利用“同位角相等，两直线平行”进行简单的推理应用例1 教材例1变式题 如图1－3－2，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁DE，使DE∥BC.如果∠ABC＝31°，那么∠ADE应为多少度？
图1－2－4 1．3 平行线的判定解：∠ADE应为31°.
理由：∵∠ABC＝31°，∠ADE＝31°，
∴∠ABC＝∠ADE，
∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行)．【归纳总结】 此题是对“同位角相等，两直线平行”这一基本事实的应用，只有熟练掌握此基本事实，才能正确解答此题．
1．3 平行线的判定类型二 平行线的判定与其他知识的综合运用例2 教材补充例题 如图1－3－3所示，已知直线EF与AB相交于点D，∠B＋∠ADE＝180°，这时EF与BC平行吗？
图1－2－5
1．3 平行线的判定解：EF∥BC.理由：因为∠ADF＋∠ADE＝180°，∠B＋∠ADE＝180°，所以∠ADF＝∠B，所以EF∥BC.【归纳总结】 要判断两条直线的位置关系，需转化为寻找角的关系，解题时要注意隐含条件(对顶角相等、邻补角互补等)．
[解析] 要运用“同位角相等，两直线平行”来判断两直线是否平行，必须先说明∠ADF＝∠B，而∠ADF＋∠ADE＝180°，∠B＋∠ADE＝180°，故可知结果．1．3 平行线的判定用三角尺和直尺画平行线勤反思小结 平行线的判定同位角互相平行1．3 平行线的判定反思我们知道“同位角相等，两直线平行”．思考：内错角满足怎样的关系或同旁内角满足怎样的关系，也可得到两直线平行？解：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．1．3 平行线的判定1.3 平行线的判定
第2课时 平行线的判定(二)
知识点1 “内错角相等，两直线平行”
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单地说，内错角相等，两直线平行．
[几何语言] 如图1－3－19，
图1－3－19
∵∠1＝∠2，∴AB∥CD.
1．如图1－3－22所示，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠DAC＝∠ACD，试说明：AB∥CD.
图1－3－22
知识点2 “同旁内角互补，两直线平行”
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单地说，同旁内角互补，两直线平行．
[几何语言] 如图1－3－23，
图1－3－23
∵∠1＋∠2＝180°，∴AB∥CD.
2．如图1－3－24所示，已知QR平分∠PQN，NR平分∠QNM，∠1＋∠2＝90°，PQ与MN平行吗？为什么？
图1－3－24
探究 一 平行线的判定的简单应用
教材补充题如图1－3－25，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，AB与CD平行吗？为什么？
图1－3－25
[归纳总结] 正确理解“同旁内角互补，两直线平行”是解答此题的关键．
探究 二 平行线的判定的综合应用
教材补充题如图1－3－26，∠E＝∠1，∠2＋∠ABC＝180°，BE是∠ABC的平分线．
试说明：DF∥AB.
图1－3－26
[归纳总结] 综合应用平行线的判定方法解题是这一节的难点也是重点．
[反思] 如图1－3－27，由∠1＝∠3，∠BAD＝∠DCB，可以判定哪两条直线平行？
解：因为∠1＝∠3，所以AB∥CD①.
又因为∠BAD＝∠DCB，∠2＝∠BAD－∠1，∠4＝∠DCB－∠3，所以∠2＝∠4②，所以AD∥BC③.
(1)找错：从第________步开始出现错误；
(2)纠错：
图1－3－27
一、选择题
1．两条直线被第三条直线所截，下列条件不能判定这两条直线平行的是( )
A．同位角相等 B．内错角相等
C．同旁内角互补 D．同旁内角相等
2．如图1－3－28所示，点E在AD的延长线上，下列条件中能判定BC∥AD的是( )
图1－3－28
A．∠3＝∠4 B．∠A＋∠ADC＝180°
C．∠1＝∠2 D．∠A＝∠5
3．如图1－3－29所示，下列条件能判定GE∥CH的是( )
图1－3－29
A．∠FEB＝∠ECD
B．∠AEG＝∠DCH
C．∠GEC＝∠HCF
D．∠HCE＝∠AEG
二、填空题
4．如图1－3－30，直线a，b被直线c所截，若满足________，则a，b平行．
图1－3－30
5．如图1－3－31所示，点A在直线l上，如果∠B＝75°，∠C＝43°，那么当∠1＝________°时，直线l∥BC；当∠2＝________°时，直线l∥BC.
图1－3－31
6.如图1－3－32所示，直线a，b与直线c相交，给出下列条件：
①∠1＝∠2；②∠4＝∠6；
③∠4＋∠7＝180°；④∠5＋∠3＝180°.
其中能判定a∥b的条件是________．(只填序号)
图1－3－32
7．如图1－3－33，∠1与∠3互余，∠2与∠3的余角互补，直线l1与l2的位置关系是__________，判定理由是________________________________________________________________________．
图1－3－33
8．如图1－3－34所示，如果∠DBC＝∠ADB，那么________∥________；如果∠ADC＋∠DCB＝180°，那么________∥________；如果∠CBE＝________，那么AD∥BC；如果∠CBE＝______，那么AB∥CD.
图1－3－34
9．阅读下列推理过程，在括号中填写理由：
已知：如图1－3－35，∠1＝78°，∠2＝78°，∠3＝78°，∠4＝102°.
图1－3－35
解：∵∠1＝∠2＝78°，
∴AB∥CD( )．
∵∠2＝∠3＝78°，
∴AB∥CD( ).
∵∠2＋∠4＝78°＋102°＝180°，
∴AB∥CD( ).
三、解答题
10．如图1－3－36，如果∠1＋∠2＝180°，那么l1∥l2吗？请说明理由．
图1－3－36
11．2016·淄博如图1－3－37是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°，找出图中的平行线，并说明理由．
图1－3－37
12．如图1－3－38，已知∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，∠ABC＝50°，那么AB∥CD吗？为什么？
图1－3－38
13．如图1－3－39所示，AC⊥BC，∠1与∠2互余，这些条件能够判定哪两条直线平行？并说明理由．
图1－3－39
14．如图1－3－40所示，∠BAF＝46°，∠ACE＝136°，CE⊥CD，CD与AB平行吗？为什么？
图1－3－40
[创新题] 我们知道，光线从空气射入水中会发生折射现象，光线从水中射入空气中，同样会发生折射现象．如图1－3－41是光线从空气射入水中，再从水中射入空气中的示意图．由于折射率相同，因此∠1＝∠4，∠2＝∠3.请你用所学知识判断c与d是否平行，并说明理由．
图1－3－41
详解详析
教材的地位
和作用
本课时内容是第1课时内容的延续，是在第1课时的基本事实的基础上推导出来的，是判定两直线平行的另外两种常用方法．注意以合作探究的方式来学习本课时知识
教
学
目
标
知识与技能
1.掌握平行线的另外两种判定方法：“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”；
2.会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”判定两直线平行，会进行简单的推理及表述
过程与方法
培养学生主动探索、勇于实践、善于发现、乐于合作交流的品质和素养
情感、态度
与价值观
在探索的学习生活中获得成功的体验，学会与人合作与交流
教学重点难点
重点
平行线的另外两种判定方法：“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”
难点
添加辅助线，判定两直线平行
易错点
对截得的两个角的被截直线判断不清，导致平行线的判断错误
【预习效果检测】
1．[解析] 要说明AB∥CD，只需说明∠ACD＝∠BAC.
解：∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC.
又∵∠DAC＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
2．[解析] 观察图形，可知图中只具备同旁内角∠PQN和∠QNM，且它们的度数分别是∠1和∠2度数的2倍，易知它们的度数之和是180°.
解：PQ∥MN.理由如下：
因为QR平分∠PQN，NR平分∠QNM，
所以∠PQN＝2∠1，∠QNM＝2∠2.
因为∠1＋∠2＝90°，
所以∠PQN＋∠QNM＝2(∠1＋∠2)＝180°，
所以PQ∥MN(同旁内角互补，两直线平行)．
【重难互动探究】
例1 解：AB∥CD.
理由：∵∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°，
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
例2 解：如图，∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠1＝∠3.
∵∠E＝∠1，∴∠E＝∠3，
∴AE∥BC，∴∠ABC＋∠A＝180°.
∵∠2＋∠ABC＝180°，
∴∠2＝∠A，
∴DF∥AB.
【课堂总结反思】
[知识框架]
相等 互补
[反思] (1)①
(2)因为∠1＝∠3，所以AD∥BC.
又因为∠BAD＝∠DCB，∠2＝∠BAD－∠1，∠4＝∠DCB－∠3，所以∠2＝∠4，所以AB∥CD.
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．[解析] D 根据平行线的判定方法可知选项A，B，C能判定两条直线平行，D不能判定两条直线平行．故选D.
2．[解析] C 由∠3＝∠4，∠A＋∠ADC＝180°，∠A＝∠5都可得AB∥CD，故选项A，B，D都不正确．
3．[解析] C 图中直线GE，CH被直线CE所截，形成一组内错角∠GEC和∠HCF，当它们相等时，可判定GE∥CH.
4．[答案] ∠1＝∠2(答案不唯一)
[解析] 答案不唯一，如∠1＝∠2，∠3＝∠2，∠3＋∠4＝180°，∠1＋∠4＝180°等．
5．[答案] 75 43
[解析] 根据内错角相等，两直线平行，当∠1＝∠B＝75°或∠2＝∠C＝43°时，直线l∥BC.
6．[答案] ①③④
[解析] 根据同位角相等，两直线平行对①进行判断．根据同旁内角互补，两直线平行对③进行判断．由于∠2＝∠3，∠5＋∠3＝180°，则∠5＋∠2＝180°，然后再根据同旁内角互补，两直线平行对④进行判断．
7．[答案] 平行 同旁内角互补，两直线平行
[解析] 因为∠1＋∠3＝90°，∠2＋(90°－∠3)＝180°，所以∠2－90°＝∠3，所以∠1＋∠2＝180°.因为同旁内角互补，两直线平行，所以l1∥l2.
8．[答案] BC AD AD BC ∠BAD ∠BCD
[解析] 图中∠DBC与∠ADB是内错角，由∠DBC＝∠ADB，可知BC∥AD；∠ADC与∠DCB是同旁内角，它们互补，可知AD∥BC；∠CBE与∠BAD是同位角，由∠CBE＝∠BAD，可知AD∥BC；∠CBE与∠BCD是内错角，由∠CBE＝∠BCD，可知AB∥CD.
9．[答案] 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行
10．解：如图，∵∠1＝∠3，∠2＝∠4(对顶角相等)，
∠1＋∠2＝180°，
∴∠3＋∠4＝180°，
∴l1∥l2(同旁内角互补，两直线平行)．
11．解：OB∥AC，OA∥BC.
理由：∵∠1＝50°，∠2＝50°，
∴∠1＝∠2，∴OB∥AC.
∵∠2＝50°，∠3＝130°，∴∠2＋∠3＝180°，
∴OA∥BC.
12．解：AB∥CD.
理由：∵∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝130°.
∵∠ABC＝50°，∴∠ABC＋∠BCD＝180°，
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
13．[解析] 由垂直定义可知∠ACB＝90°，又知∠1与∠2互余，所以可得∠2与∠ACD互补，推出AB∥CD.
解：AB∥CD.理由如下：
因为AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.
又因为∠1与∠2互余，
所以∠2＋∠ACB＋∠1＝180°，
即∠2＋∠ACD＝180°，
所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
14．[解析] CD和AB被直线CF所截，要说明CD∥AB，只需说明截出的一组内错角相等即可．
解：CD∥AB.
理由：因为CE⊥CD，
所以∠DCE＝90°，
所以∠ACD＝360°－∠ACE－∠DCE＝134°.
因为∠BAF＝46°，
所以∠BAC＝180°－∠BAF＝134°，
所以∠BAC＝∠ACD，
所以CD∥AB(内错角相等，两直线平行)．
[数学活动]
[解析] 如图，欲说明c∥d，结合图形只要先说明∠2＋∠5＝∠3＋∠6，再利用内错角相等，两直线平行即可．
解：c∥d.
理由：如图，∵∠1＋∠5＝∠4＋∠6，∠1＝∠4，
∴∠5＝∠6.
又∵∠2＝∠3，
∴∠2＋∠5＝∠3＋∠6，
∴c∥d(内错角相等，两直线平行)．
[点评] 正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是解题的关键，不能遇到相等或互补的角就误认为直线平行，只有同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，才能推出被截的两条直线平行．
课件13张PPT。第1章 平行线1.3 平行线的判定筑方法勤反思学知识第1章 平行线第2课时 平行线的判定(二)学知识1．3 平行线的判定内错角相等，两直线平行两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单地说，______________________________．AD∥BC1．3 平行线的判定两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单地说，________________________________．同旁内角互补，两直线平行1051．3 平行线的判定2．如图1－3－5，已知∠A＝75°，则当∠B＝________°时，AD∥BC.
图1－3－5筑方法类型一 “内错角相等， 两直线平行”的简单应用1．3 平行线的判定例1 教材例3变式题 如图1－3－6，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠DAC＝∠ACD，试说明：AB∥CD.
图1－3－6解：∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC.
又∵∠DAC＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．1．3 平行线的判定[解析] 要说明AB∥CD，只需说明∠ACD＝∠BAC.类型二 “同旁内角互补，两直线平行”的简单应用1．3 平行线的判定例2 教材例4变式题 如图1－3－7所示，已知QR平分∠PQN，NR平分∠QNM，∠1＋∠2＝90°，PQ与MN平行吗？为什么？
图1－3－7
解： PQ∥MN.理由如下：
因为QR平分∠PQN，NR平分∠QNM，
所以∠PQN＝2∠1，∠QNM＝2∠2.
因为∠1＋∠2＝90°，
所以∠PQN＋∠QNM＝2(∠1＋∠2)＝180°，
所以PQ∥MN(同旁内角互补，两直线平行)．
[解析] 要观察图形，可知图中只具备同旁内角∠PQN和∠QNM，且它们的度数分别是∠1和∠2度数的2倍，易知它们的度数之和是180°.1．3 平行线的判定【归纳总结】 判定两直线平行的方法
方法一：平行线的定义，即在同一个平面内，不相交的两条直线就是平行线．
方法二：同位角相等，两直线平行．
方法三：内错角相等，两直线平行．
方法四：同旁内角互补，两直线平行．
方法五：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
1．3 平行线的判定平行线的判定勤反思小结相等互补1．3 平行线的判定反思1．3 平行线的判定如图1－3－8，由∠1＝∠3，∠BAD＝∠DCB，可以判定哪两条直线平行？
解：因为∠1＝∠3，所以AB∥CD①.
又因为∠BAD＝∠DCB，∠2＝∠BAD－∠1，
∠4＝∠DCB－∠3，所以∠2＝∠4②，所
以AD∥BC③.
(1)找错：从第________步开始出现错误；
(2)纠错：①解：(2)因为∠1＝∠3，所以AD∥BC.
又因为∠BAD＝∠DCB，∠2＝∠BAD－∠1，∠4＝∠DCB－∠3，所以∠2＝∠4，
所以AB∥CD.
1．3 平行线的判定1.4 平行线的性质
第1课时 平行线的性质(一)
知识点 “两直线平行，同位角相等”
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单地说，两直线平行，同位角相等．
[说明] 此性质的前提是两条平行线被第三条直线所截，特别要注意“平行”二字不能缺，如果丢掉“平行”，就变成：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，这显然是错误的．
如图1－4－1，已知a∥b，∠2＝130°，则∠1＝________°.
图1－4－1
探究 一 利用平行线的性质计算角的度数
教材补充题如图1－4－2所示，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H，直线MN过点G，且垂直于AB，交CD于点P，∠CHG＝124°，求：
(1)∠GPH的度数；
(2)∠BGE的度数．
图1－4－2
[归纳总结] (1)仔细分析题目中给出的数量关系，找出各个量之间的关系；(2)将平行线的性质作为主要依据；(3)说理过程要做到每一步有理有据．
探究 二 平行线的性质与判定的综合运用
教材例2的补充题如图1－4－3所示，已知∠1＋∠2＝180°，试说明：∠3＝∠4.
图1－4－3
[归纳总结] 本题既用到了平行线的性质，又用到了平行线的判定，要明确应用的判定方法，才能准确解题．
[反思] 判断：两条直线被另外一条直线所截形成的同位角一定相等．( )
一、选择题
1．2016·重庆B卷如图1－4－4，直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠1＝55°，则∠2等于( )
A．35° B．45° C．55° D．125°
图1－4－4
2．2015·宁波如图1－4－5，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1＝50°，则∠2的度数为( )
图1－4－5
A．150° B．130° C．100° D．50°
3．如图1－4－6，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝38°时，∠1的度数为( )
A．52° B．38°
C．42° D．60°
图1－4－6
4．如图1－4－7所示，AB∥CD，AF分别交AB，CD于点A，C，CE平分∠DCF，∠1＝100°，则∠2的度数为( )
图1－4－7
A．40° B．50°
C．60° D．70°
5．2015·佛山如图1－4－8，在△ABC中，D，E，F分别是三条边上的点，EF∥AC，DF∥AB，∠B＝45°，∠C＝60°，则∠EFD的度数为( )
图1－4－8
A．80° B．75° C．70° D．65°
二、填空题
6．如图1－4－9，直线a∥b，直线a，b被直线c所截，∠1＝37°，则∠2＝________．
图1－4－9
7．用吸管喝易拉罐内的饮料时，如图1－4－10，∠1＝110°，则∠2＝________度．(易拉罐的上下底面互相平行)
图1－4－10
8．如图1－4－11所示，直线a，b被直线c截成8个角，若a∥b，那么这8个角中与∠1相等的角共有________个．
图1－4－11
9.如图1－4－12所示，已知AB∥DE，EF∥BC，∠B＝60°，求∠E的度数．
图1－4－12
解：∵AB∥DE(已知)，
∴∠B＝∠COE( )．
∵EF∥BC(已知)，
∴∠BOD＝∠E( )．
又∵∠BOD＝∠COE( )，
∴∠E＝∠B＝60°.
10．完成下列推理：
如图1－4－13所示，已知∠AFE＝36°，∠C＝74°，∠B＝36°，求∠AEF的度数．
解：因为∠AFE＝________＝36°，
所以________∥________(同位角相等，两直线平行)，
所以∠AEF＝________＝________(两直线平行，同位角相等)．
图1－4－13
三、解答题
11．如图1－4－14所示，已知点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB，∠1与∠2相等吗？为什么？
图1－4－14
12．如图1－4－15，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A＝37°，求∠D的度数．
图1－4－15
13．如图1－4－16所示，已知∠1＝∠2，∠3＝90°，求∠4的度数．
图1－4－16
14．如图1－4－17所示，平行线AB，CD被EF所截，MN平分∠EMB，PQ平分∠EPD，试说明：MN∥PQ.
图1－4－17
15．2015·益阳如图1－4－18，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝65°，求∠2的度数．
图1－4－18
如图1－4－19所示，水渠的两岸互相平行，修渠时要求拐弯处∠1＝110°，那么∠2应等于多少度？
图1－4－19
详解详析
教材的地位
和作用
本课时内容是在掌握了平行线的判定方法后，进一步研究平行线的性质，主要解决“两直线平行，同位角相等”这一定理的推理过程和应用．学习本节课时应注意和所学过的平行线的判定进行对比和综合
教
学
目
标
知识与技能
1.掌握平行线的性质：“两直线平行，同位角相等”；
2.会用“两直线平行，同位角相等”进行简单的推理和判断，并学会表述
过程与方法
经历探索两直线平行的性质的过程，体验数学学习的探究方法，培养学生的观察、推理能力
情感、态度
与价值观
在合作交流活动中，学会与他人合作交流，获得成功的体验
教学重点难点
重点
平行线的性质——两直线平行，同位角相等
难点
“两直线平行，同位角相等”的推理过程
易错点
在“两直线平行，同位角相等”的应用过程中，容易忽略“平行”两字，从而导致误判同位角相等
【预习效果检测】
[答案] 50
[解析] 如图，∵a∥b，
∴∠1＝∠3.
∵∠3＝180°－∠2＝180°－130°＝50°，
∴∠1＝∠3＝50°.
【重难互动探究】
例1 [解析] 根据题意易知MN⊥CD，而∠BGE的度数可利用平行线的性质求出．
解：(1)因为AB∥CD，
所以∠AGM＝∠GPH(两直线平行，同位角相等)．
因为MN⊥AB，
所以∠AGM＝90°，
所以∠GPH＝90°.
(2)因为AB∥CD，
所以∠BGE＝∠PHG(两直线平行，同位角相等)．
因为∠CHG＋∠PHG＝180°，
所以∠PHG＝180°－∠CHG＝180°－124°＝56°，
所以∠BGE＝∠PHG＝56°.
例2 [解析] 由图可知∠1＋∠5＝180°，结合已知可得∠2＝∠5，利用同位角相等，两直线平行可得AB∥CD，通过平行可得∠3＝∠6，易求∠3＝∠4.
解：因为∠1＋∠2＝180°(已知)，
∠1＋∠5＝180°(邻补角定义)，
所以∠2＝∠5(同角的补角相等)，
所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)，
所以∠3＝∠6(两直线平行，同位角相等)．
又因为∠4＝∠6(对顶角相等)，
所以∠3＝∠4(等量代换)．
【课堂总结反思】
[反思] 错．因为只有当被截的两条直线为平行线时，所形成的同位角才相等．
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．C 2.B 3.A
4．[解析] B 由AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等，可得∠DCF＝∠1＝100°.因为CE平分∠DCF，所以∠2＝∠DCF＝×100°＝50°.故选B.
5．[解析] B 因为DF∥AB，所以∠DFC＝∠B＝45°.因为EF∥AC，所以∠EFB＝∠C＝60°，所以∠EFD＝180°－45°－60°＝75°.故选B.
6．[答案] 143°
[解析] 先由a∥b，得∠1的同位角为37°，然后根据互补的性质，可得∠2＝180°－37°＝143°.
7．[答案] 70
8．[答案] 3
[解析] 由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，知∠2＝∠1，∠2与∠3是对顶角，∠4与∠1是对顶角，所以∠3＝∠1，∠4＝∠1，共3个．
9．[答案] 两直线平行，同位角相等 两直线平行，同位角相等 对顶角相等
10．∠B EF BC ∠C 74°
11．[解析] 本题主要考查两直线平行，同位角相等．由DE∥BC，EF∥AB，分别得到∠1＝∠B，∠2＝∠B，从而得到∠1＝∠2.
解：∠1＝∠2.理由如下：
因为DE∥BC，
所以∠1＝∠B(两直线平行，同位角相等)．
因为EF∥AB，
所以∠2＝∠B(两直线平行，同位角相等)，
所以∠1＝∠2.
12．解：∵AB∥CD，∠A＝37°，
∴∠ECD＝∠A＝37°.
∵DE⊥AE，
∴∠D＝180°－90°－∠ECD＝90°－37°＝53°.
13．解：∵∠1＝∠2，
∴a∥b(同位角相等，两直线平行)，
∴∠3＝∠4(两直线平行，同位角相等)．
∵∠3＝90°，
∴∠4＝90°.
14．[解析] 如图，联想平行的条件，要使MN∥PQ，需要有∠1＝∠2，再从已知条件入手，说明∠1＝∠2即可．
解：如图，因为AB∥CD，
所以∠EMB＝∠EPD(两直线平行，同位角相等)．
又因为MN平分∠EMB，PQ平分∠EPD，
所以∠1＝∠EMB，∠2＝∠EPD(角平分线定义)，
所以∠1＝∠2(等量代换)，
所以MN∥PQ(同位角相等，两直线平行)．
15．解：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠1＝65°.
∵BC平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠ABC＝130°，∴∠3＝180°－∠ABD＝50°，∴∠2＝∠3＝50°.
[数学活动]
[解析] 通过添加辅助线，来构造“三线八角”，两次利用两直线平行，同位角相等，可求得∠2＝∠1＝110°.
解：延长DE交BC于点G.因为AB∥DG，
所以∠1＝∠CGD(两直线平行，同位角相等)．
又因为EF∥BC，
所以∠CGD＝∠2(两直线平行，同位角相等)，
所以∠2＝∠1＝110°.
课件16张PPT。第1章 平行线1.4 平行线的性质筑方法勤反思学知识第1章 平行线第1课时 平行线的性质(一)学知识1．4 平行线的性质两直线平行，同位角相等两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单地说，________________________．A1．4 平行线的性质 502.如图1－4－2，已知a∥b，∠2＝130°，则∠1＝________°.
图1－3－51．4 平行线的性质[解析] 如图，∵a∥b，
∴∠1＝∠3.
∵∠3＝180°－∠2＝180°－130°＝50°，
∴∠1＝∠3＝50°.1．4 平行线的性质筑方法类型一 利用平行线的性质计算角的度数例1 教材补充例题 如图1－4－3所示，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点G，H，直线MN过点G，且垂直于AB，交CD于点P，∠CHG＝124°，求：
(1)∠GPH的度数；
(2)∠BGE的度数．
图1－3－61．4 平行线的性质解： (1)因为AB∥CD，
所以∠AGM＝∠GPH(两直线平行，同位角相等)．
因为MN⊥AB，所以∠AGM＝90°，所以∠GPH＝90°.
(2)因为AB∥CD，
所以∠BGE＝∠PHG(两直线平行，同位角相等)．
因为∠CHG＋∠PHG＝180°，
所以∠PHG＝180°－∠CHG＝180°－124°＝56°，
所以∠BGE＝∠PHG＝56°.[解析] 根据题意易知MN⊥CD，而∠BGE的度数可利用平行线的性质求出．
1．4 平行线的性质【归纳总结】 应用平行线的性质求角的度数
(1)平行线的性质是由直线的位置关系确定角的数量关系，应用时必须正确识别图形特征及角的关系，并与前面学过的对顶角、邻补角、垂直、角平分线等知识相结合，有时还会用到三角形的内角和等于180°，计算角的度数．(2)利用平行线的性质求角的度数时，一定要弄清楚所求角与已知角的关系．1．4 平行线的性质类型二 平行线的性质与判定的综合运用例2 教材补充例题 如图1－4－4所示，若∠1＝∠2＝45°，∠3＝70°，则∠4等于( )
图1－4－4
A．70° B．45° C．110° D．135° A1．4 平行线的性质[解析] ∵∠1与∠5是对顶角，
∴∠1＝∠5＝45°.
∵∠1＝∠2＝45°，
∴∠2＝∠5，
∴a∥b，
∴∠4＝∠3＝70°.
1．4 平行线的性质例3 教材例2变式题 如图1－4－5所示，已知∠1＋∠2＝180°，试说明：∠3＝∠4.
图1－4－51．4 平行线的性质[解析] 由图可知∠1＋∠5＝180°，结合已知可得∠2＝∠5，利用“同位角相等，两直线平行”可得AB∥CD，通过平行可得∠3＝∠6，易求∠3＝∠4.
1．4 平行线的性质解： 因为∠1＋∠2＝180°(已知)，
∠1＋∠5＝180°(邻补角定义)，
所以∠2＝∠5(同角的补角相等)，
所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)，
所以∠3＝∠6(两直线平行，同位角相等)．
又因为∠4＝∠6(对顶角相等)，
所以∠3＝∠4(等量代换)．1．4 平行线的性质平行线勤反思小结1．4 平行线的性质反思判断：两条直线被另外一条直线所截形成的同位角一定相等．( )×[解析] 因为只有当被截的两条直线为平行线时，所形成的同位角才相等．
1．4 平行线的性质1.4 平行线的性质
第2课时 平行线的性质(二)
知识点1 “两直线平行，内错角相等”
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单地说，两直线平行，内错角相等．
1．如图1－4－20，AB∥CD，∠CDA＝40°，则∠A的度数为( )
图1－4－20
A．140° B．60°
C．50° D．40°
知识点2 “两直线平行，同旁内角互补”
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单地说，两直线平行，同旁内角互补．
2．如图1－4－2，AB∥CD∥EF，求∠BAC＋∠ACE＋∠CEF的度数．
图1－4－2
探究 一 平行线性质和判定的综合运用
教材例4变式题如图1－4－3所示，已知∠1＝73°，∠2＝107°，∠3＝79°，求∠4的度数．
图1－4－3
[归纳总结] 由角的关系得到两直线平行是平行线的判定，由直线的平行关系得到角相等或互补是平行线的性质，要注意它们的区别与联系．
探究 二 利用平行线的性质和判定获取新知
教材补充题如图1－4－4，在同一平面内，a∥b，b∥c，其中∠1，∠2，∠3是由直线l与a，b，c相交所得，请问a∥c吗？请说明理由．
图1－4－4
[归纳总结] 结合平行线的性质和判定，并通过简单推理，我们得出了一个重要结论：“平行于同一条直线的两条直线平行”，其实这是平行线的又一基本事实.
[反思] 判断：两条直线被第三条直线所截，所形成的同旁内角互补．( )
一、选择题
1．如果两条直线被第三条直线所截，那么( )
A．同位角相等 B．内错角相等
C．同旁内角互补 D．以上都不对
2．2016·成都如图1－4－5，l1∥l2，∠1＝56°，则∠2的度数为( )
图1－4－5
A．34° B．56° C．124° D．146°
3．下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是( )
图1－4－6
4．2015·泸州如图1－4－7，AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠C＝40°，则∠D的度数为( )
图1－4－7
A．90° B．100° C．110° D．120°
5．如图1－4－8，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数为( )
图1－4－28
A．55° B．60°
C．70° D．75°
6．如图1－4－29所示，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠ADE＝72°，∠ACB＝40°，那么∠BDC等于( )
图1－4－29
A．78° B．90°
C．88° D．92°
7．两个角的两边分别平行，其中一个角是60°，则另一个角是( )
A．60° B．120°
C．60°或120° D．无法确定
二、填空题
8．2015·衡阳如图1－4－10，已知直线a∥b，∠1＝120°，则∠2的度数是________．
图1－4－10
9.如图1－4－11，若AB∥CD∥EF，∠B＝40°，∠F＝30°，则∠BCF＝________．
图1－4－11
10．已知一副三角板按如图1－4－12所示方式摆放，其中AB∥DE，那么∠CDF＝________．
图1－4－12
11．如图1－4－13所示，∠1＝85°，∠ACD＝95°，∠2＝134°，则直线AB与CD的位置关系是________，∠ECD＝________.
图1－4－13
12．如图1－4－14所示，DH∥EG∥BC，DC∥EF，则与∠1相等的角有________个．
图1－4－14
三、解答题
13．如图1－4－15，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠AEF，∠1＝40°，求∠2的度数．
图1－4－15
14．如图1－4－16，OA⊥BD于点O，OC∥AB，若∠1＝40°，求∠2和∠3的度数．
图1－4－16
1．[创新题] 如图1－4－17是举世闻名的三星堆考古中挖掘出的一个四边形残缺玉片示意图，工作人员从玉片上已经量得∠A＝115°，∠D＝100°，AD∥BC，请你求出另外两个角的度数．
图1－4－37
2.[创新题] 如图1－4－38所示，潜望镜中的两个镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，入射角等于反射角(∠1＝∠2，∠3＝∠4)，那么∠2和∠3有什么关系？进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的吗？为什么？
图1－4－38
详解详析
教材的地位
和作用
本课时的两个性质是由上一课时“两直线平行，同位角相等”推导而来的，是平行线的另外两条重要性质．在教学中充分发挥学生的主体作用，引导学生类比平行线的判定学习本课时内容
教
学
目
标
知识与技能
1.掌握平行线的性质：“两直线平行，内错角相等”和“两直线平行，同旁内角互补”；
2.会用平行线的性质——“两直线平行，内错角相等”和“两直线平行，同旁内角互补”进行简单的推理和判断
过程与方法
经历合作学习的过程，培养学生的合作交流能力和探索解决问题的能力
情感、态度
与价值观
使学生初步理解“从特殊到一般，又从一般到特殊”是认识客观事物的基本方法
教学重点难点
重点
平行线的性质：“两直线平行，内错角相等”和“两直线平行，同旁内角互补”
难点
平行线的性质和判定两方面的应用
易错点
由于对平行的判定和性质理解不透彻，导致两者间的混淆
【预习效果检测】
1．[解析] D 根据AB∥CD，得∠A＝∠CDA＝40°.
2．[解析] 先根据AB∥CD求出∠BAC＋∠ACD的度数，再由CD∥EF求出∠CEF＋∠ECD的度数，把两式相加即可得出答案．
解：∵AB∥CD，
∴∠BAC＋∠ACD＝180°.①
∵CD∥EF，
∴∠CEF＋∠ECD＝180°.②
由①＋②，得
∠BAC＋∠ACD＋∠CEF＋∠ECD＝180°＋180°＝360°，
即∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°.
【重难互动探究】
例1 [解析] 观察图形，可以看到∠1和∠2，∠3和∠4均是同旁内角，由∠1＋∠2＝180°，可得c∥d，所以∠3＋∠4＝180°.又因为∠3＝79°，故可求得∠4的度数．
解：因为∠1＝73°，∠2＝107°，
所以∠1＋∠2＝73°＋107°＝180°，
所以c∥d(同旁内角互补，两直线平行)，
所以∠3＋∠4＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
因为∠3＝79°，
所以∠4＝180°－∠3＝180°－79°＝101°.
例2 [解析] 如果∠1＝∠3，则可由“同位角相等，两直线平行”得到a∥c.
解：a∥c.理由：∵a∥b，b∥c，
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，∴a∥c.
【课堂总结反思】
[知识框架]
相等 互补
[反思] 错．只有当被截的两条直线平行时，同旁内角才互补．
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．[解析] D 本题主要考查平行线的性质，只有两条平行线被第三条直线所截，才可得A，B，C选项．故选D.
2．C
3．[解析] B A项，∠1和∠2互补；C，D项，不能得到∠1和∠2的数量关系．
4．B 5.A
6．[解析] C 因为∠ADE＝72°，所以∠BDE＝108°.因为CD平分∠ACB，所以∠BCD＝∠ACB＝20°.因为BC∥DE，所以∠EDC＝∠BCD＝20°，所以∠BDC＝88°.故选C.
7．[解析] C 根据题意分两种情况画出图形，再根据平行线的性质解答．
如图(1)，∵AB∥DE，∴∠1＝∠A＝60°.
∵AC∥EF，∴∠E＝∠1，∴∠E＝∠A＝60°.
如图(2)，∵AC∥EF，∴∠1＝∠A＝60°.
∵DE∥AB，∴∠E＋∠1＝180°，
∴∠A＋∠E＝180°，
∴∠E＝180°－∠A＝180°－60°＝120°.
故一个角是60°，则另一个角是60°或120°.故选C.
[点评] 本题考查的是平行线的性质，解答此题的关键是要分两种情况讨论，容易漏解．
8．[答案] 60°
9．[答案] 70°
[解析] 因为AB∥CD∥EF，所以∠BCD＝∠B＝40°，∠DCF＝∠F＝30°，所以∠BCF＝∠B＋∠F＝70°.
10．[答案] 60°
[解析] 由AB∥DE，得∠ADE＝∠A＝30°，所以∠CDF＝180°－∠ADE－∠EDF＝60°.
11．[答案] 平行 46°
[解析] 因为∠1＝85°，∠ACD＝95°，所以∠BAC＝85°，由同旁内角互补，两直线平行，可推出AB∥CD.由∠BEC＝∠2＝134°，得∠ECD＝180°－∠BEC＝180°－134°＝46°.
12．[答案] 5
[解析] 根据平行线的性质可得到∠DCB，∠HDC，∠DME，∠GMC，∠FEG都与∠1相等．
13．解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠AEG.
∵EG平分∠AEF，
∴∠AEG＝∠GEF，∠AEF＝2∠AEG＝2∠1.
又∵∠AEF＋∠2＝180°，
∴∠2＝180°－2∠1＝180°－80°＝100°.
14．[解析] 先根据OC∥AB求出∠AOC的度数，再由OA⊥BD可得出∠2的度数，根据对顶角相等求出∠4的度数，由平行线的性质即可得出∠3的度数．
解：如图，∵OC∥AB，∠1＝40°，
∴∠AOC＝∠1＝40°.
∵OA⊥BD，
∴∠2＝90°－∠AOC＝90°－40°＝50°，
∴∠4＝∠2＝50°.
∵OC∥AB，∴∠3＋∠4＝180°，
∴∠3＝180°－∠4＝180°－50°＝130°.
[数学活动]
1．[解析] 本题已知两个角的大小，求另外两个角的大小，利用两直线平行，同旁内角互补即可．
解：∵AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴∠B＝180°－∠A＝180°－115°＝65°.
同理∠C＝180°－∠D＝180°－100°＝80°.
∴四边形的另外两个角的度数分别是65°，80°.
2．解：∠2＝∠3，进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的．
理由：如图，∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3.
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4.
∵∠5＝180°－(∠1＋∠2)，
∠6＝180°－(∠3＋∠4)，
∴∠5＝∠6，
∴EF∥HG.
课件15张PPT。第1章 平行线1.4 平行线的性质筑方法勤反思学知识第1章 平行线第2课时 平行线的性质(二)学知识1．4 平行线的性质两直线平行，内错角相等两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单地说，________________________．D1．4 平行线的性质[解析] 根据AB∥CD，得∠A＝∠CDA＝40°.1．4 平行线的性质两直线平行，同旁内角互补两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单地说，____________________．C1．4 平行线的性质筑方法类型一 平行线性质和判定的综合运用1．4 平行线的性质例1 教材例4变式题 如图1－4－8所示，已知∠1＝73°，∠2＝107°，∠3＝79°，求∠4的度数．
图1－4－8解：因为∠1＝73°，∠2＝107°，
所以∠1＋∠2＝73°＋107°＝180°，
所以c∥d(同旁内角互补，两直线平行)，
所以∠3＋∠4＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
因为∠3＝79°，
所以∠4＝180°－∠3＝180°－79°＝101°.[解析] 观察图形，可以看到∠1和∠2，∠3和∠4均是同旁内角，由∠1＋∠2＝180°，可得c∥d，所以∠3＋∠4＝180°.又因为∠3＝79°，故可求得∠4的度数．1．4 平行线的性质例2 教材补充例题 已知：如图1－4－9，AD∥BE，∠1＝∠2，试说明：∠A＝∠E.
图1－4－9解：∵AD∥BE，∴∠A＝∠EBC.
∵∠1＝∠2，∴DE∥AC，∴∠E＝∠EBC，
∴∠A＝∠E.1．4 平行线的性质【归纳总结】 平行线性质和判定的综合应用的“两点注意”
(1)在利用平行线的性质或判定时，一定要看清楚同位角、内错角、同旁内角是由哪两条直线被哪条直线所截而成的；(2)搞清平行线的判定与性质的区别，由已知角的关系得平行时用判定，由已知平行的关系得角的关系时用性质．1．4 平行线的性质类型二 利用平行线的性质和判定获取新知1．4 平行线的性质例3 教材补充例题 如图1－4－10，在同一平面内，a∥b，b∥c，其中∠1，∠2，∠3分别是由直线l与a，b，c相交所得的，a与c平行吗？请说明理由．
图1－4－4[解析] 如果∠1＝∠3，那么可由“同位角相等，两直线平行”得到a∥c.1．4 平行线的性质解： a∥c.理由：∵a∥b，b∥c，
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，∴a∥c.【归纳总结】 平行的传递性
平行于同一条直线的两条直线平行．平行线的性质勤反思小结1．4 平行线的性质相等互补反思判断：两条直线被第三条直线所截，所形成的内错角相等、同旁内角互补．( )×[解析] 只有当被截的两条直线平行时，内错角才相等，同旁内角才互补．1．4 平行线的性质1.5 图形的平移
知识点1 平移
一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移．
[注意] 要描述一个平移，必须指出平移的方向和移动的距离．
1．下面几种情况是我们身边经常发生的现象，请你判断图中描述的运动是不是平移，并说明理由．
(1)抛出的篮球的运动；
(2)沿水平直线飞行的飞机的运动；
(3)荡秋千的小龙的运动．
知识点2 平移的性质
(1)平移不改变图形的形状和大小．
(2)一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等．
[注意] 平移的基本性质从局部刻画了平移过程中的不变因素，它是作图的依据．
2．设△ABC经过平移得到△A′B′C′，且点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，点C的对应点为点C′.在下列说法中，正确的有( )
①AA′＝BB′＝CC′，且AA′∥(或共线)BB′∥(或共线)CC′；
②△ABC和△A′B′C′一定能完全重合；
③△ABC和△A′B′C′的形状一定相同；
④△ABC和△A′B′C′的面积一定相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点3 平移作图
(1)平移作图的要点：
①平移的方向；②平移的距离．
(2)图形平移的几种基本类型与画法：
①点的平移：以已知点为一个端点，按要求的方向和距离作线段，则线段另一端的点即为所求；
②线段的平移：先平移线段的两个端点，再连结这两点即可；
③角的平移：通过三个点(顶点、两边上各取一点)的平移来实现；
④多边形的平移：按要求的平移方式平移各顶点，然后用线段顺次连结即可；
⑤圆的平移：通过平移圆心，然后以原来圆的半径为半径作圆来实现．
3．已知如图1－5－1所示的图案及图案上的一点A，且图案经过平移后，点A的对应点为点B.请画出平移后的图形，并写出画法．
图1－5－1
探究 一 复杂的平移作图及计算
教材例题变式题△ABC在方格纸中的位置如图1－5－2所示，方格纸中每个小正方形的边长均为1.
(1)将△ABC向下平移3格，再向右平移2格，画出平移后的△A1B1C1；
(2)计算△A1B1C1的面积．
图1－5－2
[归纳总结] 平移作图的关键是确定原图的位置、平移的方向以及平移的距离．
探究 二 平移性质的应用
教材补充题图1－5－3是小李家电视机的背景墙上的装饰板，它是一块底色为蓝色的正方形板，边长为18 cm，上面横、竖方向上各有两道红条用于装饰，红条宽都是2 cm，则蓝色部分的面积是多少？
图1－5－3
[反思] 现实生活中存在着大量的平移现象，在判断物体的运动是否属于平移时，小明说：“时钟上时针的运行过程是平移．”小强说：“电梯的上升过程是平移．”小倩说：“足球被踢飞后的运动是平移．”请你判断他们谁的说法正确，为什么？
一、选择题
1．将如图1－5－4所示的图案平移后可以得到下图中的( )
图
1－5－4
图1－5－5
2．如图1－5－6，将直线l1沿由A到B的方向平移得到直线l2，若∠1＝50°，则∠2的度数是( )
图1－5－6
A．40° B．50°
C．90° D．130°
3．下列说法：①△ABC在平移过程中，对应线段一定相等；②△ABC在平移过程中，对应线段一定平行或共线；③△ABC在平移过程中，周长不变；④△ABC在平移过程中，面积不变．其中正确的有( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
4．确定一个图形平移后的位置，不需要的条件是( )
A．原来的位置 B．图形的形状
C．平移的方向 D．平移的距离
5．如图1－5－7，在10×6的网格中，每个小方格的边长都是1个单位，将△ABC平移到△DEF的位置，下面正确的平移步骤是( )
图1－5－7
A．先把△ABC向左平移5个单位，再向下平移2个单位
B．先把△ABC向右平移5个单位，再向下平移2个单位
C．先把△ABC向左平移5个单位，再向上平移2个单位
D．先把△ABC向右平移5个单位，再向上平移2个单位
二、填空题
6．举一个生活中的物体作平移运动的例子：____________．
7．如图1－5－8，边长为3 cm的正方形ABCD沿BA的方向平移2 cm得到正方形A1B1C1D1，则CD1＝________，C1D＝________．
图1－5－8
8．如图1－5－9所示，△DBC是由△EAF平移得到的，且平移距离为AF，则图中与线段AB相等的线段分别是____________．
图1－5－9
9．如图1－5－10所示的是“俄罗斯方块”游戏的一个画面，若使左上角的阴影部分的图形经过平移插入到下面空白处，应先向________平移________个单位，再向________平移________个单位．
图1－5－10
10．如图1－5－11，直径为4 cm的圆O1平移5 cm到圆O2，则图中阴影部分的面积为________ cm2.
图1－5－11
三、解答题
11．作图题．
(1)如图1－5－12所示，将线段AB沿水平方向向左平移5 cm，作出平移后的图形；
图1－5－12
(2)如图1－5－13所示，经过平移，∠ABC的顶点B移到了点D，作出平移后的∠D；
图1－5－13
(3)将如图1－5－14所示的图形按箭头所指的方向平移3 cm，作出平移后的图形．
图1－5－14
12.如图1－5－15，方格中有一条可爱的小金鱼．
图1－5－15
(1)若小方格的边长均为1，则小金鱼的面积为________；
(2)画出小金鱼向左平移3格后的图形(不要求写画法)．
13．如图1－5－16，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，哪些线段可看成是由线段C′D′平移得到的？哪些线段可看成是由线段BB′平移得到的？线段A′D′是否也可由线段C′D′或BB′平移得到？
图1－5－16
14．如图1－5－17所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF.如果AB＝8 cm，BE＝4 cm，DH＝3 cm，求图中阴影部分的面积．
图1－5－17
15．如图1－5－18是一块长方形的场地，它的长是16米，宽是10米，中间有两条宽度相等的小路，其余部分种草，求种草部分(阴影部分)的面积．
图1－5－18
1．[实践操作题] 某宾馆在重新装修后考虑在大厅内的主楼梯上铺设地毯，已知主楼梯宽3米，其剖面图如图1－5－19所示，请你计算一下：铺此楼梯，需要购买地毯多长？购买地毯多少平方米？
图1－5－19
2.[操作与探究] 对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘，再把所得的数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′.对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′.如图1－5－20，点A，B′在数轴上，若点A表示的数是－3，则点A′表示的数是________；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是________；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是多少？
图1－5－20
详解详析
教材的地位
和作用
前面章节所学的几何知识，使学生对图形有了基本的认识，但这些认识多限于“静态”，学习图形的变换使得学生以“动态”的角度去认识图形，是一次认知角度的大转变，具有重要的现实意义．本节内容是对生活中的一种图形变换所进行的探索，为今后进一步学习其他图形的变换和相关的应用打下基础
教
学
目
标
知识与技能
1.通过具体实例认识图形的平移；
2.理解平移的性质，并会按要求作出图形经平移后所得的像，同时能描述一个图形的平移
过程与方法
1.学生通过观察、分析、操作、运用以及抽象概括等过程，经历探索图形平移的性质、探求图形平移的作法；
2.进一步发展空间观念
情感、态度
与价值观
1.使学生懂得观察生活、联系实际，体验用数学知识解释生活问题的乐趣，感受数学美．
2.培养学生热爱数学的情感，激发学生探索客观世界的好奇心和求知欲
教学重点难点
重点
图形平移的概念和性质
难点
图形的平移的作图方法
易错点
当原图关键点较多时，平移后的对应点容易找错
【预习效果检测】
1．[解析] 判断对象是不是平移，其理论依据是平移的概念，即在平面内，将一个图形沿着某一方向移动一定的距离，且不改变图形的形状和大小．
解：(1)抛出的篮球的运动不是平移，因为篮球的运动方向时刻在改变．(2)沿水平直线飞行的飞机的运动是平移，因为飞机的运动符合平移的概念．(3)荡秋千的小龙的运动不是平移，因为小龙做的是曲线运动．
2．D
3．[解析] 已知图形上的一点A及平移后的对应点B，连结AB，则射线AB的方向就是图形平移的方向，线段AB的长度就是图形平移的距离．
解：画法一：连结AB，过图形的各个端点分别作AB的平行线，并在射线上截取与线段AB相等的长度，得到各端点的对应点，顺次连结各对应点，所得的图形即平移后的图形，画图略．
画法二：由点A和点B之间的位置关系，可以知道原图形先向下平移1格，再向右平移4格，则得到平移后的图形．因此只要把原图形上的各个端点都按上述方法平移即可得到平移后的图形，画图略．
【重难互动探究】
例1 解：(1)如图所示．
(2)△A1B1C1的面积＝2×2－×2×1×2－×1×1＝1.5.
例2 解：如图，可将红条装饰平移至正方形一侧，则蓝色部分的面积为14×14＝196(cm2)．
【课堂总结反思】
[知识框架]
大小 平行 在同一条直线上 相等
[反思] 小强的说法正确．理由：根据平移的定义，一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移．时钟上时针的运动方向发生了变化，时针的运行过程不是平移，故小明的说法错误；电梯的上升过程是电梯沿指定的方向移动一定的距离，符合平移的定义，故小强的说法正确；足球被踢飞后会发生旋转，其运动不是平移，故小倩的说法错误．
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．A 2.B 3.D 4.B 5.A
6．[答案] 答案不唯一，如电梯的升降
7．[答案] 5 cm 1 cm
8．[答案] BF，FC，ED
[解析] 平移后对应点的连线平行且相等，可知与线段AB相等的线段有三条，分别是线段BF，FC，ED.
9．[答案] 右 1 下 3
[解析] 注意平移的方向和距离．
10．[答案] 20
11．[解析] (1)分别找到A，B两点沿水平方向向左平移5 cm的对应点C，D，连结CD即可；
(2)过点D作射线DE∥AB，DF∥BC，则∠D即为所求；
(3)只要确定六个关键点平移后的位置，就可以作出符合要求的图形．
解：略．
12．[解析] (1)可将小金鱼分割成3个三角形来求；
(2)将每个关键点向左平移3格，顺次连结各点即可．
解：(1)小金鱼的面积为×4×5＋×4×2＋×2×2＝16.
(2)图略．
13．解：线段AB，CD，A′B′可看成是由线段C′D′平移得到的；线段AA′，CC′，DD′可看成是由线段BB′平移得到的；线段A′D′不能由线段C′D′或BB′平移得到．
14．解：由平移可得DE＝AB＝8 cm，
∴EH＝5 cm.
∵S△ABC＝S△DEF，
∴S△ABC－S△EHC＝S△DEF－S△EHC，
即S四边形ABEH＝S四边形DHCF.
∵S四边形ABEH＝×(5＋8)×4＝26(cm2)，
∴图中阴影部分的面积为26 cm2.
15．[解析] 将阴影部分进行平移，转化成长为(16－2)米，宽为(10－2)米的长方形，再利用长方形的面积公式即可求解．
解：(16－2)×(10－2)＝14×8＝112(米2)．
答：种草部分(阴影部分)的面积是112平方米．
[数学活动]
1．[解析] 地毯的长度应等于楼梯的长度，而楼梯的长度应包括所有楼梯每节的横长与每节的竖长．运用图形的平移，把所有的横长通过平移都移到BC边上，发现所有的横长之和等于BC的长．再把所有的竖长平移到AB边上，发现所有的竖长之和等于AB的长．
解：AB＋BC＝1.2＋2.4＝3.6(米)，
S＝3.6×3＝10.8(米2)．
答：需要购买3.6米长的地毯，购买10.8平方米的地毯．
2．解：0 3 点E表示的数是.
课件17张PPT。第1章 平行线1.5 图形的平移筑方法勤反思学知识第1章 平行线1.5 图形的平移学知识1．5 图形的平移相等的距离一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动__________，这样的图形运动叫做图形的平移．1．下面几种情况是我们身边经常发生的现象，请你判断图中描述的运动是不是平移．
(1)抛出的篮球的运动；
(2)沿水平直线飞行的飞机的运动；
(3)荡秋千的小龙的运动．1．5 图形的平移解：(1)抛出的篮球的运动不是平移．(2)沿水平直线飞行的飞机的运动是平移．(3)荡秋千的小龙的运动不是平移．[解析] 判断对象是不是平移，其理论依据是平移的概念，即在平面内，将一个图形沿着某一方向移动一定的距离，且不改变图形的形状和大小．
1．5 图形的平移(1)平移不改变图形的________和________．
(2)一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且________．形状 大小相等1．5 图形的平移2．设三角形ABC经过平移得到三角形A′B′C′，且点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，点C的对应点为点C′.在下列说法中，正确的有( )
①AA′＝BB′＝CC′，且AA′∥(或共线)BB′∥(或共线)CC′；
②三角形ABC和三角形A′B′C′一定能完全重合；
③三角形ABC和三角形A′B′C′的形状一定相同；
④三角形ABC和三角形A′B′C′的面积一定相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D1．5 图形的平移平移作图的要点：
①原图形的位置；②平移的方向；③平移的距离．3．已知如图1－5－1所示的图案及图案上的一点A，且图案经过平移后，点A的对应点为点B.请画出平移后的图形．
图1－5－11．5 图形的平移[解析] 已知图形上的一点A及平移后的对应点B，连结AB，则射线AB的方向就是图形平移的方向，线段AB的长度就是图形平移的距离．解：如图所示：1．5 图形的平移筑方法类型一 复杂的平移作图及计算例1 教材例题变式题 三角形ABC在方格纸中的位置如图1－5－2所示，方格纸中每个小正方形的边长均为1.
(1)将三角形ABC向下平移3格，再向右平移2格，
画出平移后的三角形A1B1C1；
(2)计算三角形A1B1C1的面积．
图1－5－21．5 图形的平移1．5 图形的平移【归纳总结】 1.平移作图的三要素
(1)原图形的位置；(2)平移的方向；(3)平移的距离．
2．平移作图的方法
(1)作平移后的图形的关键是找关键点，关键点一般是多边形的顶点，然后观察平移的方向和距离，通过平移后的关键点的对应点确定平移后的图形．
(2)在网格中平移作图时，可根据原图形的位置和形状，利用网格找准各关键点的对应点，然后连线．1．5 图形的平移类型二 平移性质的应用例2 教材补充例题 图1－5－3是小李家电视机的背景墙上的装饰板，它是一块底色为蓝色的正方形板，边长为18 cm，上面横、竖方向上各有两道红条用于装饰，红条宽都是2 cm，则蓝色部分的面积是多少？
图1－2－5
1．5 图形的平移解：如图，可将红条装饰平移至正方形一侧，则蓝色部分的面积为14×14＝196(cm2)．1．5 图形的平移平移勤反思小结大小平行 在同一条直线上 相等1．5 图形的平移反思现实生活中存在着大量的平移现象，在判断物体的运动是否属于平移时，小明说：“时钟上时针的运行过程是平移．”小强说：“电梯的上升过程是平移．”小倩说：“足球被踢飞后的运动是平移．”请你判断他们谁的说法正确，为什么？1．5 图形的平移解：小强的说法正确．理由：根据平移的定义，一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移．时钟上时针的运动方向发生了变化，时针的运行过程不是平移，故小明的说法错误；电梯的上升过程是电梯沿指定的方向移动一定的距离，符合平移的定义，故小强的说法正确；足球被踢飞后会发生旋转，其运动不是平移，故小倩的说法错误．1．5 图形的平移课件21张PPT。第1章 平行线本章总结提升整合提升知识框架第1章 平行线 知识框架本章总结提升整合提升问题1 同位角、内错角、同旁内角的概念本章总结提升本章总结提升本章总结提升本章总结提升问题2 平行线的性质与判定判定两条直线平行的条件是什么？平行线有什么性质？对比平行线的性质和平行线的判定方法，它们有什么异同？
本章总结提升本章总结提升本章总结提升本章总结提升本章总结提升本章总结提升本章总结提升本章总结提升本章总结提升本章总结提升问题3 平移及平移作图平移在日常生活、生产中有怎样的应用？图形平移时，连结各对应点的线段有什么关系？你能利用平移设计一些图案吗？本章总结提升本章总结提升25本章总结提升本章总结提升
