第5章 分式
5．1 分式
知识点1 分式的概念
如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子就是分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母．
[注意] 判断一个式子是不是分式，不能把原式变形(如约分)，而只能根据其原始形式判断．如是分式．π是圆周率，是一个常数，不能看成字母．
1．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
(1)；(2)－；(3)；
(4)；(5)(x2＋1)．
知识点2 分式有意义的条件
(1)分式有意义的条件：分母不为零，即当B≠0时，分式有意义．
(2)分式无意义的条件：分母为零，即当B＝0时，分式无意义．
2. 当x取何值时，下列分式有意义？
(1)；(2)；(3).
探究 一 掌握分式值为零的条件
教材例1(2)的拓展题当x为何值时，下列分式的值为零？
(1)； (2).
[归纳总结] 分式的值为零的条件是分子为零，且分母不为零，即当A＝0且B≠0时，分式的值为零．
探究 二 用分式表示实际问题中的数量关系
教材例2变式题一辆汽车行驶a千米用b小时，它的平均车速为________千米/时；一列火车行驶a千米比这辆汽车少用1小时，它的平均速度为________千米/时．
[反思] 已知分式的值为0，求x的值．
解：因为的值为0，所以x2－1＝0.解得x＝±1.
以上的解答正确吗？若不正确，请改正．
一、选择题
1．下列式子是分式的是( )
A. B.
C.＋y D.
2．若分式有意义，则a的取值范围是( )
A．a＝0 B．a＝1 C．a≠－1 D．a≠0
3．2016·连云港若分式的值为0，则( )
A．x＝－2 B．x＝0
C．x＝1 D．x＝1或x－2
4．若a＝－1，b＝2，则代数式的值是( )
A．5 B．－5 C．6 D．－6
5．下列说法正确的是( )
A．如果A，B都是整式，那么就是分式
B．只要分式的分子为零，分式的值就为零
C．只要分式的分母为零，分式就无意义
D.不是分式，而是整式
6．下列分式一定有意义的是( )
A. B.
C. D.
7．分式中，当x＝－a时，下列结论正确的是( )
A．分式的值为零
B．分式无意义
C．当a≠－时，分式的值为零
D．当a＝－时，分式的值为零
8．某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费a元，之后的每一分钟收费b元．如果某人打该长途电话被收费8元钱，则此人打长途电话的时间是( )
A.分钟 B.分钟
C.分钟 D.分钟
二、填空题
9．2016·衢州当x＝6时，分式的值等于________．
10．2015·上海如果分式有意义，那么x的取值范围是________．
11．已知分式，当x＝2时，分式无意义，则a＝________．
12．当x＝________时，分式的值为0.
13．在一次射箭比赛中，某运动员有m次射中a环，有n次射中b环，则该运动员平均每次射中的环数是________环．
14．如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a克，再称得剩余电线的质量为b克，那么原来这卷电线的总长度是________米．
15．有一组数：，，，，，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n(n为正整数)个数为________．
三、解答题
16．某学校七年级(1)班准备用m元班费买奖品发给同学们．若买了单价为a元/支的铅笔n支，剩下的钱准备买单价为(a＋b)元/本的笔记本，则共能买多少本笔记本？
17．已知分式.
求：(1)当x为何值时，此分式有意义；
(2)当x为何值时，此分式的值为0；
(3)当x＝2时，分式的值．
18．当整数x为何值时，分式的值也是整数？
19．已知分式，当x＝－3时，该分式没有意义；当x＝－4时，该分式的值为0，试求(m＋n)2017的值．
20．若的值为0，试求x的值．
[规律探究题] 观察如图5－1－1的图形(每个正方形的边长均为1)和相应的等式，探究其中的规律．
①1×＝1－
②2×＝2－
③3×＝3－
④4×＝4－
… …
图5－1－1
(1)写出第⑤个等式，并在图5－1－2给出的五个正方形中画出与之对应的图形；
____________
图5－1－2
(2)猜想并写出与第个图形相对应的等式．
详解详析
教材的地位
和作用
分式是代数式的重要组成部分．学生在学习了整式及其运算、一元一次方程及其解法之后学习本章内容，符合学生的认知规律．本节所学习的分式的概念及分式的意义等内容，对后续的学习具有重要作用，是本章学习的基础
教
学
目
标
知识与技能
1.了解分式的概念；
2.了解分式有意义的条件；
3.会用分式表示简单实际问题中的数量关系
过程与方法
能用分式表示简单实际问题中的数量关系，体会分式是表示现实世界中数量关系的一种数学模型
情感、态度
与价值观
培养学生小组合作精神和严谨的思维能力
教学重点难点
重点
分式的概念
难点
理解并能确定分式何时有意义，何时无意义
易错点
求分式的值为零的条件时，容易忽略分母不为零的条件
【预习效果检测】
1．[解析] 分式的分母中必须含有字母．
解：属于整式的有(2)(4)(5)，属于分式的有(1)(3)．
2．[解析] 根据分式的概念，分式的分母不能为零，当分母为零时，分式无意义．因此，当分式的分母不为零时，分式才有意义．
解：(1)当x－3≠0，即x≠3时，分式有意义．
(2)当x2＋9≠0，即x取任意实数时，分式有意义．
(3)当|x|－2≠0，即x≠±2时，分式有意义．
【重难互动探究】
例1 [解析] 当分式的分子等于零，且分母不等于零时，分式的值等于零．解题时可由分子等于零求出x的值，然后再代入分母检验，看是否使分母等于零．
解：(1)当2x－1＝0时，解得x＝，
当x＝时，x＋4≠0.
所以当x＝时，分式的值等于零．
(2)当x2－9＝0时，x＝3或x＝－3.
当x＝3时，x－3＝0，分式无意义，舍去．
当x＝－3时，x－3≠0.
所以当x＝－3时，分式的值等于零．
例2 [答案]
[解析] 在行程问题中，路程、速度、时间三者之间的关系：路程＝速度×时间．所以，汽车的平均速度为千米/时，火车的平均速度为千米/时．
【课堂总结反思】
[反思] 不正确．改正：因为的值为0，所以x2－1＝0.解得x＝±1.当x＝1时，x－1＝0，分式无意义；当x＝－1时，x－1＝－2，分式有意义，所以x＝－1.
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．B 2.C 3.C 4.D
5．[解析] C A项，只有分母B中含有字母，才是分式．
B项，分式的值为零还有一个条件：分母≠0.
D项，的分母中含有字母，所以是分式．
只有C项正确．
6．[解析] D 分式一定有意义，即分母不为0.
A项，当a＝0时，分母为0.
B项，当a＝－2时，分母为0.
C项，当a＝－3时，分母为0.
D项，因为a2≥0，所以a2＋1≥1，分母不可能为0.故只有D项正确．
7．[解析] C 当x＝－a时，分母2x－1＝－2a－1；分子x＋a＝－a＋a＝0.当a≠－时，－2a－1≠0，此时分式的值为零．故选C.
8．[解析] C ＋1＝分钟．
9．[答案] －1
10．[答案] x≠－3
11．[答案] 6
[解析] 由题意可知当x＝2时，分母x2－5x＋a＝22－5×2＋a＝－6＋a＝0，所以a＝6.
12．[答案] －2
[解析] 由分式的值为0可知|x|－2＝0，于是有x＝±2，而当x＝2时，分式的分母为0，分式无意义，所以x＝－2.
13．[答案]
[解析] 平均每次射中的环数＝总环数÷射箭总次数．
14．[答案] (＋1)
[解析] 根据1米长的电线质量为a克，可知剩余电线的质量除以a即为剩余电线的长度．故电线的总长度是(＋1)米．
15．[答案]
16．[解析] 先用准备买奖品的班费减去买铅笔的钱，再除以笔记本的单价，即可求出能买多少本笔记本．
解：根据题意，知买铅笔共用去an元，
所以买笔记本共用(m－an)元，
故共能买本笔记本．
17．解：(1)当(x－1)(x－4)≠0，即x≠1且x≠4时，分式有意义．
(2)当3x－4＝0且(x－1)(x－4)≠0，即x＝时，分式的值为0.
(3)当x＝2时，＝＝＝－1.
18．解：由题意，得x－1的值为±1，±2，
则x的值为2，0，－1，3.
所以当整数x的值为2，0，－1，3时，分式的值也是整数．
19．解：由题意，得m＝3，n＝－4，则(m＋n)2017＝[3＋(－4)]2017＝＝－1.
20．解：由|2x|－4＝0，可知|2x|＝4，
所以2x＝±4，所以x＝±2.
当x＝2时，x2－2x－8＝4－4－8＝－8≠0；
当x＝－2时，x2－2x－8＝4＋4－8＝8－8＝0.
所以x的值为2.
[数学活动]
[解析] (1)根据等式所反映的规律，不难得出第⑤个等式．画图也是根据图形中所反映出的规律进行．
(2)通过归纳上述等式，发现等式左边前面的一个因数是连续的整数，而后面的因数则是一个分数，其分子与前面的因数相同，分母比分子大1.
解：(1)5×＝5－，所画图形如图所示．
(2)n×＝n－.
课件15张PPT。第5章 分式5.1 分式5.1 分式学知识字母A5.1 分式5.1 分式零零x≠25.1 分式筑方法5.1 分式5.1 分式【归纳总结】求分式有意义时字母的取值范围的方法
一般先构造方程求使分式的分母等于零的字母的值，然后令分母中的字母不等于这些值，便可求得分式有意义时字母的取值范围．5.1 分式5.1 分式 [解析] 当分式的分子等于零，且分母不等于零时，分式的值等于零．解题时可由分子等于零求出x的值，然后再代入分母检验，看是否使分母等于零．5.1 分式【归纳总结】分式的值为零的条件及求法
(1)条件：分子为零，分母不为零．
(2)求法：利用分子等于零，构建方程求值，再代入分母检验．
5.1 分式5.1 分式例3 教材例2变式题一辆汽车行驶a千米用b小时，它的平均速度为________千米/时；一列火车行驶a千米比这辆汽车少用1小时，它的平均速度为________千米/时．勤反思分式分式有意义5.1 分式分式的概念分母不为零分母为零分子为零且分母不为零分式无意义分式的值为零5.1 分式解：不正确．改正：因为分式的值为0，所以x2－1＝0，解得x＝±1.当x＝1时，x－1＝0，分式无意义，舍去；当x＝－1时，x－1≠0，分式有意义．所以x＝－1.第5章 分式
5．2 分式的基本性质
第1课时 分式的基本性质
知识点1 分式的基本性质
分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．
＝，＝(其中M是不等于零的整式)．
1．下列分式的变形正确的是( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
知识点2 分式的约分
把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分．约分要约去分子、分母所有的公因式．分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
约分方法：(1)系数：约去分子、分母中各项系数的最大公约数；
(2)字母：约去分子、分母中相同字母的最低次幂；
(3)若分子与分母是多项式，应先分解因式再约分．
2．化简：(1)＝________；
(2)＝________；
(3)＝________．
3．在下列分式中，表示最简分式的是( )
A. B.
C. D.
探究 一 尝试把非整数系数化为整数系数
教材做一做第1题变式题不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数，且使分子与分母不含公因式．
(1)； (2).
探究 二 尝试把最高次项的系数化为正数
教材做一做第2题变式题不改变分式的值，使分式的分子、分母中最高次项的系数化为正数．
(1)； (2).
探究 三 综合运用所学知识，进行分式的约分
教材例1变式题把下列各式约分：
(1)； (2)；
(3)－； (4).
[归纳总结] 分式的约分就是约去分子与分母中的公因式．找公因式的方法：(1)若分子与分母的系数都是整数，取分子与分母中各项系数的最大公约数；(2)取分子与分母中相同字母的最低次幂；(3)如果分子与分母是多项式，应先分解因式，再找公因式．注意约分的最后结果应是整式或最简分式．
[反思] 约分：(1)；(2).
解：(1)＝；
(2)＝＝＝.
上面两道题的约分是否正确？如果不正确，错在哪里？怎样改正？
一、选择题
1．下列各式中，成立的是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝(a≠－1)
2．若分式中a，b的值同时扩大为原来的10倍，则此分式的值( )
A．是原来的20倍 B．是原来的10倍
C．是原来的 D．不变
3．计算的结果是( )
A．x－3 B．x＋3
C. D.
4.不改变分式的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，则所得的结果为( )
A. B.
C. D.
5．有下列分式：，，，，，其中最简分式有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
二、填空题
6．填空：(1)＝；
(2)＝.
7．2016·南充计算：＝________．
8．2016·无锡化简得________．
9．化简：＝________．
三、解答题
10．下列各式正确吗？如果不正确，请写出正确结果．
(1)＝1－a(a≠1)；
(2)＝.
11．约分：
(1)； (2)；
(3)； (4).
12．2016·广州已知A＝(a≠0，b≠0且a≠b)，化简A.
13.今年某厂的生产总值逐月增长，每月的增长率都为p.求今年3月该厂的生产总值与1，2月份这两个月生产总值之和的比．若p＝5%，这个比值是多少？
综合运用光明中学有两块边长为x米的正方形空地，现设想按两种方式种植草皮，方式一：如图5－2－1①，在正方形空地上留两条宽为2m米的路；方式二：如图②，在正方形空地四周各留一块边长为m米的正方形空地植树，其余种植草皮．学校准备两种方式各用5000元购进草皮．
图5－2－1
(1)写出按图①，②两种方式购买草皮的单价；
(2)当x＝14，m＝2时，求按两种方式购买草皮的单价各是多少．(结果均保留整数)
详解详析
教材的地位
和作用
分式的基本性质是分式的约分、通分、运算等变形的依据．本节通过用分数的基本性质引入分式的基本性质，易于使学生理解、接受，同时能让学生了解类比思想在学习中的运用
教
学
目
标
知识与技能
1.理解分式的基本性质；
2.会进行分式的约分
过程与方法
让学生在体会学习分式基本性质的必要性及其意义的过程中了解类比、归纳、分类等思想方法
情感、态度
与价值观
让学生经历观察、实验、推理等活动，类比、归纳得到分式的基本性质及运用其进行恒等变形时的注意要点，并且在这一过程中获得一些探索数学性质的初步体验
教学重点难点
重点
分式的基本性质及利用分式的基本性质进行约分
难点
对符号法则的理解和应用及当分子、分母是多项式时的约分
易错点
在分式变形的过程中，符号较容易出错
【预习效果检测】
1．C [解析] 发现题目中隐含的条件是解本题的关键.成立已隐含着条件b≠0，当分子、分母同乘a，必须附加条件a≠0，因此A项不一定成立，而C项成立.中隐含着a－1≠0，但等号右边的式子中分子、分母同乘(a＋1)，若要等式成立，则必须附加条件a＋1≠0.D项中分子应为ab＋a.故选C.
2．(1) (2)x＋1 (3)
[解析] (1)原式＝＝.
(2)原式＝＝x＋1.
(3)原式＝＝.
3．C
【重难互动探究】
例1 解：(1)原式＝＝.
(2)原式＝＝.
例2 解：(1)＝＝－.
(2)＝＝.
例3 解：(1)原式＝－＝－.
(2)原式＝＝.
(3)原式＝＝.
(4)原式＝＝.
【课堂总结反思】
[反思] 两个都不正确．(1)约分不彻底；(2)最后一步符号错误．
改正：(1)＝＝.
(2)＝＝＝.
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．D 2.D
3．[解析] B ＝＝x＋3.
4．B 5.A
6．[答案] (1)a2＋2a＋1或(a＋1)2
(2)a＋2
[解析] 根据分式的基本性质求解．比较等式两边分子和分母的变化，再将待填的分母或分子作相应的变形即可．(1)中分子由1到a＋1，显然是由1乘(a＋1)得到的，相应地，分母a＋1也应乘(a＋1)，得(a＋1)(a＋1)＝a2＋2a＋1，故填a2＋2a＋1；(2)中分子a2－4＝(a＋2)(a－2)，分子由(a＋2)(a－2)到a－2，显然是除以了(a＋2)，相应地，分母也应除以(a＋2)，故填a＋2.
7．[答案] y
8．[答案]
9．[答案] 8
[解析] 根据完全平方公式，可得原式＝＝＝8.
10．解：(1)正确．
(2)不正确，正确的结果为＝－.
11．解：(1)＝＝.
(2)＝＝.
(3)＝＝.
(4)＝＝3a＋4b.
[点评] 分式约分的关键是找出分子与分母的公因式．如果分式的分子、分母是几个因式的积的形式，要约去系数的最大公约数及相同因式的最低次幂；如果分子、分母是多项式，要先对分子、分母进行因式分解，然后再约分．
12．解：A＝＝.
13．解： 设1月份的生产总值为a，则2月份的生产总值a(1＋p)，3月份的生产总值为a(1＋p)2.
故今年3月份该厂的生产总值与1，2月份这两个月生产总值之和的比为＝.
当p＝5%时，＝.
[数学活动]
解：(1)图①种植草皮的面积为(x－2m)2，图②种植草皮的面积为x2－4m2.
按图①方式购买草皮的单价为元/米2；图②方式购买草皮的单价为元/米2.
(2)x＝14，m＝2时，按方式一购买草皮的单价是50元/米2，按方式二购买草皮的单价是28元/米2.
课件19张PPT。第5章 分式第1课时 分式的基本性质5.2 分式的基本性质学知识不等于零C5.2 分式的基本性质5.2 分式的基本性质5.2 分式的基本性质公因式C5.2 分式的基本性质x＋15.2 分式的基本性质筑方法5.2 分式的基本性质5.2 分式的基本性质【归纳总结】系数化简要点提示
利用分式的基本性质化非整数系数为整数时，分子、分母要乘的数需满足两个条件：(1)使分子、分母中的各项系数都化为整数； (2)使分子、分母中的各项系数不含公因数．5.2 分式的基本性质5.2 分式的基本性质5.2 分式的基本性质5.2 分式的基本性质5.2 分式的基本性质5.2 分式的基本性质勤反思分式的基本性质非整数系数化为整数系数5.2 分式的基本性质最高次项系数化为整数5.2 分式的基本性质5.2 分式的基本性质5.2 分式的基本性质
第2课时 利用约分进行多项式的除法
知识点1 利用分式的基本性质化简求值
当出现含两个字母的等式时，可以先用一个字母表示出另外一个字母，然后再代入所求代数式进行化简求值．
1．已知x－2y＝0，求分式的值．
知识点2 多项式的除法
利用分式的意义和分式的约分，还可以进行一些多项式的除法．把两个多项式相除先表示成分式，然后通过分解因式、约分等把分式化简，用整式或最简分式表示所求的商．
[注意] 把多项式的除法写成分式的形式时，因为分数线具有除号和括号的作用，故原被除式与除式中的括号可以省略．
2．计算：(3x2y＋12xy2＋12y3)÷(x2y2－4y4)．
探究 运用整体思想进行分式的化简求值
教材例2的变式题已知x－y－2xy＝0，求分式的值．
[归纳总结] 已知未知数之间的等量关系，进行分式的化简求值时，将已知等式和分式两者同时变形，再运用整体思想进行约分、化简、求值．
[反思] 多个多项式相除，应如何进行运算？
一、选择题
1．下列约分正确的是( )
A.＝1＋ B.＝1－
C.＝ D.＝
2．计算(x2－x)÷(x－1)的结果为( )
A．x－1 B．x C．x＋1 D．2x
3．已知3x－5y＝0，则的值为( )
A. B. C．4 D.
4．若－＝3，则的值为( )
A．－ B. C. D．－
二、填空题
5．填空：(1)(2a3b3－2a2b4)÷(a－b)＝________；
(2)(4x2－81)÷(2x＋9)＝________；
(3)(4y2＋4y＋1)÷(2y＋1)＝________．
6．若＝，则＝________．
7．2015·河北若a＝2b≠0，则的值为________．
三、解答题
8．计算：
(1)(m2－4m)÷(16－m2)；
(2)(x2－14xy＋49y2)÷(2x－14y)；
(3)(a－6ab＋9ab2)÷(9b－3)；
(4)(10x－5y＋5n)÷[3m(2x－y)2－3mn2]．
9．从三个代数式：①a2－2ab＋b2，②3a－3b，③a2－b2中，任意选择两个代数式相除并化简，然后求当a＝6，b＝3时该式的值．
10．先化简，再求值．
(1)，其中m＝5；
(2)，其中m＝3，n＝4.
11．已知a＋2b＝0，求的值．
12．已知＝5，求的值．
阅读下列解题过程，然后解答后面的问题．
题目：已知＝＝(a，b，c互不相等)，求x＋y＋z的值．
解：设＝＝＝k，
则x＝k(a－b)，y＝k(b－c)，z＝k(c－a)，
∴x＋y＋z＝k(a－b＋b－c＋c－a)＝0，
即z＋y＋z＝0.
依照上述方法解答下列问题：
已知＝＝，其中xyz≠0且x＋y＋z≠0，求的值．
详解详析
教材的地位
和作用
本节内容是对分式的基本性质的进一步运用，前提是熟练掌握分式的基本性质．对于多项式除以多项式，可先将其转化为分式，然后通过约分化简得到结果
教
学
目
标
知识与技能
1.运用整体思想代入分式化简求值；
2.根据分式的基本性质，利用约分进行多项式的除法
过程与方法
1.观察式子的特点，体会整体思想的作用；
2.经历“多项式除以多项式转化为分式约分”的过程，培养学生的创新意识
情感、态度
与价值观
培养学生运用理论进行实践的观点
教学重点难点
重点
利用约分进行多项式的除法运算
难点
运用整体思想代入分式化简求值
易错点
在分式的约分过程中，符号容易出错
【预习效果检测】
1．[解析] 由已知可得x＝2y，再将其代入所求分式，即可得到结果．
解：由x－2y＝0，得x＝2y，
∴原式＝＝＝＝.
[点评] 本题还可以采用特殊值法求解，例如取x＝2，y＝1，代入原式求值．
2．解：(3x2y＋12xy2＋12y3)÷(x2y2－4y4)
＝
＝
＝＝.
【重难互动探究】
例 解：由x－y－2xy＝0，得x－y＝2xy.
∴
＝
＝
＝
＝－9.
【课堂总结反思】
[反思] 先把多项式相除表示成分式，被除式作为分子，几个除式相乘作为分母，能分解因式的先分解因式，然后再约分．
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．C
2．[解析] B ÷＝＝＝x.
3．[解析] C 由3x－5y＝0，得x＝y，
∴＝＝＝4.
4．B
5．[答案] (1)2a2b3 (2)2x－9 (3)2y＋1
6．[答案]
7．[答案]
[解析] ∵a＝2b≠0，
∴＝＝＝＝.
8．解：(1)(m2－4m)÷(16－m2)
＝
＝
＝
＝－.
(2)(x2－14xy＋49y2)÷(2x－14y)
＝
＝
＝.
(3)(a－6ab＋9ab2)÷(9b－3)
＝
＝
＝
＝.
(4)(10x－5y＋5n)÷[3m(2x－y)2－3mn2]
＝
＝
＝.
9．解：本题答案不唯一，如
(a2－2ab＋b2)÷(3a－3b)
＝
＝.
当a＝6，b＝3时，＝1.
10．解：(1)原式＝＝.
当m＝5时，原式＝＝.
(2)原式＝＝.
当m＝3，n＝4时，原式＝＝－4.
11．解：由a＋2b＝0，得a＝－2b，
∴＝＝＝－.
12．解：由＝5，得x＋y＝5xy，
∴＝
＝＝＝1.
[数学活动]
解：设＝＝＝k，则y＋z＝kx，z＋x＝ky，x＋y＝kz，
∴y＋z＋z＋x＋x＋y＝k(x＋y＋z)，即2(x＋y＋z)＝k(x＋y＋z)．
∵x＋y＋z≠0，
∴k＝2，
∴x＋y＝2z，
∴＝＝.
课件12张PPT。第5章 分式第1课时 利用约分进行多项式的除法5.2 分式的基本性质学知识5.2 分式的基本性质5.2 分式的基本性质5.2 分式的基本性质筑方法5.2 分式的基本性质【归纳总结】化简求值中的整体思想
已知未知数之间的等量关系，进行分式的化简求值时，将已知等式和分式两者同时变形，再运用整体思想进行约分、化简、求值．
5.2 分式的基本性质5.2 分式的基本性质5.2 分式的基本性质勤反思分式的基本性质运用整体思想代入分式化简求值5.2 分式的基本性质利用约分进行多项式的除法5.2 分式的基本性质5.3 分式的乘除
知识点1 分式的乘除法运算
分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即·＝.
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即÷＝·＝.
1．(1)·＝＝________；
(2)·＝＝________；
(3)计算÷时，先把除法运算转化为乘法运算，得________，计算该乘法算式得________．
知识点2 分式的乘方运算
分式的乘方法则：分式的乘方是把分子、分母各自乘方，即＝.
2. 计算：(1)；
(2)·÷(－ab4)．
探究 一 分式的乘法运算
计算：
(1)3xy·； (2)·；
(3)(x2－x)·； (4)·.
[归纳总结] 1.在分式的乘法运算中：①当分式的分子、分母是单项式时，可直接约分，再进行乘法运算；②当分式的分子、分母是多项式时，要先对分子、分母进行因式分解，再利用分式的乘法法则运算；③当分式与整式相乘时，可以将整式的分母看成1，再根据乘法法则计算．
2．在分式的乘法运算中，既可以用法则来计算，也可以根据情况先约去公因式再相乘，后者有时更简便．
3．分式乘法运算的结果要化成最简分式或整式．
探究 二 分式的乘除混合运算
教材补充题计算：÷·.
[归纳总结] 1.乘除是同级运算，应按从左到右的顺序进行，如果有括号，那么应先算括号内的．
2．分式的乘除混合运算应先将除法转化为乘法，再利用分式的乘法法则进行计算．
3．运算结果必须化成最简分式或整式．
探究 三 分式乘除法在生活中的实际应用
教材例2变式题购买西瓜时，希望可以食用的部分占整个西瓜的比例越大越好．如果一批西瓜的皮厚都是d，试问买大西瓜合算还是买小西瓜合算？(把西瓜都看成球形，并设西瓜内物质的密度分布是均匀的，V球＝πR3)
[反思] 计算：a÷·.
解：a÷·＝a÷＝a.
以上的计算是否正确？如果不正确，错在哪里？怎样改正？
一、选择题
1．计算·等于( )
A. B. C. D.
2．化简÷的结果是( )
A. B.
C. D．2(x＋1)
3．计算a÷a·÷a的结果为( )
A．1 B．a C. D.
4．下列各式计算正确的是( )
A.÷(a＋b)＝1 B.＝a＋1
C.÷＝a－1 D．2ab÷＝3b2
5．计算1÷·(m2－1)的结果是( )
A．－m2－2m－1 B．－m2＋2m－1
C．m2－2m－1 D．m2－1
6．神龙汽车公司某车间a人b天可生产c个零件，那么a2个人c2天可生产的零件数为( )
A. B. C. D．a2c2
二、填空题
7．计算xy÷的结果是________．
8．2015·吉林计算：·＝________．
9．计算：÷＝________．
10．化简： ＝________．
11．某服装厂新进一种布料，已知n m布料可以做y件上衣，2n m布料可以做3y条裤子，则一件上衣的用料是一条裤子的________倍．
三、解答题
12．计算：
(1)·；
(2)(a2＋3a)÷.
13.[2016·黄石]先化简，再求值：÷·，其中a＝2016.
把m棵树分别栽在如图5－3－1所示的甲、乙两块地上(阴影部分)．求甲、乙两块地中平均每棵树所占地的面积的比．
图5－3－1
详解详析
教材的地位
和作用
分式的乘除法是分式运算的重要内容，一方面，本节是在学习了分式的基本性质、分式的约分和因式分解的基础上进一步学习分式的乘除法；另一方面，本节内容的学习又为分式的加减法和分式方程等知识的学习奠定了基础
教
学
目
标
知识与技能
1.掌握分式的乘除法法则；
2.会进行分式的乘除运算，并会用其解决简单的实际问题
过程与方法
经历从分数的乘除法运算到分式的乘除法运算的过程，培养学生类比的探究能力，加深对从特殊到一般的数学思想的认识
情感、态度
与价值观
教学中让学生在主动探究、合作交流中渗透类比、转化的思想，使学生在学知识的同时感受探索的乐趣和成功的体验
教学重点难点
重点
分式的乘除法法则
难点
分子、分母是多项式的分式的乘除法运算及其应用
易错点
在分式的乘除混合运算中，没有按照从左到右的顺序依次进行，导致错误
【预习效果检测】
1．(1)x 3a 2y b
(2)x2 6y 3y x 2x
(3)·
2．[解析] 运用分式的乘方法则，把分子、分母各自乘方，再运算．
解：(1)原式＝＝＝－.
(2)原式＝··＝··＝.
【重难互动探究】
例1 [解析] (2)分子与分母的公因式是a2bcd，所以只要约去这个公因式即可；(4)把分式中的多项式分解因式，可以看出分子、分母的公因式为(x＋2)(x－2)，约分即可．
解：(1)原式＝＝.
(2)·＝－·＝－.
(3)原式＝＝＝x.
(4)·＝－＝－.
例2 解：÷·
＝··＝.
例3 解：设西瓜的半径为R，西瓜可食用部分的体积V1＝π(R－d)3，整个西瓜的体积为V2＝πR3.
＝＝＝.
因为R越大，越小，越大，越大，
所以买大西瓜合算．
【课堂总结反思】
[反思] 不正确．运算顺序错误，同级运算应按从左到右的顺序进行．
原式＝a··＝.
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．D 2.C
3．[解析] D 注意运算顺序，乘除混合运算按从左到右的顺序进行．a÷a·÷a＝1·÷a＝·＝.
4．C 5.B
6．[解析] C 由a人b天可生产c个零件可求一人一天生产零件的个数为，那么a2个人一天可生产·a2个零件，a2个人c2天可生产·a2·c2＝(个)零件．故选C.
7．[答案] x2
8．[答案] x＋y
9．[答案]
[解析] ÷＝·＝.
10．[答案] x2
11．[答案] 1.5
[解析] ÷＝.
12．[解析] 按运算法则进行计算，注意运算顺序和符号的处理．
解：(1)原式＝＝.
(2)原式＝a(a＋3)÷
＝a(a＋3)·＝a.
13．解：原式＝··＝a＋1.
当a＝2016时，原式＝2017.
[数学活动]
解： ÷＝.
课件14张PPT。第5章 分式5.3 分式的乘除5.3 分式的乘除学知识分子分母x 5.3 分式的乘除3a 2yb2xx2 6y3yx相乘5.3 分式的乘除－m筑方法5.3 分式的乘除5.3 分式的乘除【归纳总结】分式乘法运算的“两点注意”
(1)在分式的乘法运算中，既可以用法则来计算，也可以根据情况先约去公因式再相乘，后者有时更简便．
(2)分式乘(除)法的运算结果要化成最简分式或整式．5.3 分式的乘除5.3 分式的乘除【归纳总结】分式乘除混合运算的法则
(1)乘除是同级运算，应按从左到右的顺序进行，如果有括号，那么应先算括号内的；
(2)分式的乘除混合运算应先将除法转化为乘法，再利用分式的乘法法则进行计算；
(3)运算结果必须化成最简分式或整式．5.3 分式的乘除5.3 分式的乘除5.3 分式的乘除勤反思分式的乘除解决简单的实际问题5.3 分式的乘除5.3 分式的乘除5.4 分式的加减
第1课时 同分母分式的加减
知识点1 同分母分式的加减运算
同分母的分式相加减，分式的分母不变，把分子相加减，即±＝.
1．计算：
(1)＋； (2)－.
知识点2 分母互为相反数的分式的加减
当分式的分母互为相反数时，可先利用符号法则将其化为同分母的分式，然后再进行同分母分式的加减运算．
2．计算：－.
探究 体验同分母分式的加减运算在化简求值中的应用
教材例2变式题先化简，再求值：
＋－，其中x＝13，y＝12.
[归纳总结] 在进行分式的化简求值时，应先化简再代入求值，这样可以简化运算过程．
[反思] 判断下面同分母分式的加减运算过程是否正确，若不正确，请写出正确的运算过程．
－＝＝.
一、选择题
1．计算－的结果为( )
A. B．－
C．－1 D．1－a
2．化简－的结果是( )
A．a＋b B．a－b
C．a2－b2 D．1
3．化简＋的结果是( )
A．x＋1 B．x－1 C．－x D．x
4．计算－＋的结果是( )
A．1 B. C. D．－1
5．下列各式中，与相加得0的是( )
A. B. C. D.
6．2015·山西化简－的结果是( )
A. B.
C. D.
7．当m≠0且m－7n＝0时，计算－的结果为( )
A. B. C．1 D．7
二、填空题
8．化简－的结果是________．
9．2016·临沂计算：＋＝________．
10．与分式的和等于的分式是________．
11．若＝2，则－＝________．
三、解答题
12．分析下面的计算过程是否正确，若不正确，请改正．
－＋
＝
＝
＝－.
13．计算：(1)－； (2)－.
14．2016·山西先化简，再求值：－，其中x＝－2.
15．先化简＋，再选取一个你喜欢的数代入求值．
16．从甲地到乙地有两条路，每条路都有6 km，其中第一条路是平路，第二条路有3 km的上坡路，3 km的下坡路．小丽在上坡路上的骑车速度为v km/h，在平路上的骑车速度为2v km/h，在下坡路上的骑车速度为3v km/h.
(1)当走第二条路时，她从甲地到乙地需要多长时间？
(2))她走哪条路花费的时间少？少多长时间？
[创新题] 已知P＝，Q＝，用“＋”或“－”连接P，Q共有三种不同的形式：P＋Q，P－Q，Q－P，请选择其中一种进行化简求值，其中a＝3，b＝2.
详解详析
教材的地位
和作用
分式的加减是分式的基本运算之一．本节课是同分母分式的加减，是分式加减法中最简单的一种运算．本节内容的学习将为下一节异分母分式加减的学习奠定基础
教
学
目
标
知识与技能
1.掌握同分母分式的加减法法则；
2.会进行同分母分式的加减运算
过程与方法
通过对计算过程的反思，获得解决问题的经验，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性
情感、态度
与价值观
激发学生强烈的求知欲，培养学生学习数学的热情，并使学生体会运用数学思想解决生活问题的成功体验
教学重点难点
重点
同分母分式的加减运算
难点
分母中只有符号不同的分式加减运算时的符号处理
易错点
在分子相减的过程中，由于未把多项式的分子当作整体来处理，导致符号错误
【预习效果检测】
1．[解析] 观察可知这些分式有共同的特点：分母相同．(1)中，它们的分母同为a；(2)中，它们的分母同为a＋1.我们只需要依照同分母分式的加减法法则，把它们的分子相加减即可．
解：(1)＋＝.
(2)－＝＝＝.
2．[解析] 先利用分式的符号法则，把分式化为同分母分式，再运算．
解：原式＝＋＝.
【重难互动探究】
例 [解析] 原代数式可通过分式的符号法则转化为同分母的分式，再根据同分母分式的加、减法的法则化简，最后代入求值．
解：原式＝－－
＝
＝＝－.
当x＝13，y＝12时，原式＝－＝－.
【课堂总结反思】
[反思] 不正确．
－＝＝＝.
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．[解析] C 同分母分式相加减，分母不变、分子相加减，因此－＝＝－1.故选C.
2．[解析] A －＝＝＝a＋b.故选A.
3．[解析] D 原式＝－＝＝x.
4．[解析] C 原式＝＋－
＝＝.
5．[解析] B 互为相反数的两个数之和为0，两个分式也一样，因此选B.
6．A
7．[解析] B －＝＝＝.因为m≠0且m－7n＝0，所以m＝7n.当m＝7n时，原式＝＝＝.
8．[答案]
9．[答案] a＋1
10．[答案]
[解析] 因为－＝＝，所以与的和等于.
11．[答案]
[解析] 由题意得x＝2y，
原式＝＝＝.
12．解：不正确．
正确解法：
原式＝
＝＝－.
13．[解析] 先观察各分式是不是同分母，如果不是同分母，应先转化为同分母，再利用同分母分式加减法法则计算．
解：(1)原式＝－＝＝
＝.
(2)原式＝＋＝＝
＝＝.
14．解：原式＝－＝－＝.
当x＝－2时，原式＝＝＝2.
15．解：＋＝＝x＋1.代入求值不唯一(除x＝1外的任何实数都可以)，如取x＝2，原式＝2＋1＝3.
16．解：(1)当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为＋＝＋＝(h)．
(2)她走第一条路花费的时间少，少用 h.
[数学活动]
解：答案不唯一，如选P＋Q进行化简求值：
P＋Q＝＋＝＝＝.
当a＝3，b＝2时，P＋Q＝＝5.
课件11张PPT。第5章 分式第1课时 同分母分式的加减5.4 分式的加减学知识不变加减5.4 分式的加减筑方法5.4 分式的加减5.4 分式的加减【归纳总结】互为相反数的分式的加减
当分式的分母互为相反数时，可先利用符号法则将其化为同分母的分式，然后再进行同分母分式的加减运算．5.4 分式的加减5.4 分式的加减5.4 分式的加减勤反思同分母分数的加减同分母分式的加减5.4 分式的加减同分母分式的加减法法则类比归纳5.4 分式的加减5.4 分式的加减
第2课时 异分母分式的加减
知识点1 分式的通分
把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分．
通分的关键是确定最简公分母．
求几个分式的最简公分母的方法：
(1)取各分式的分母中系数的最小公倍数；
(2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
(3)相同字母(或因式)的幂，取指数最大的；
(4)所得的系数的最小公倍数与各字母(或因式)的最高次幂的积(其中系数都取正数)，即为最简公分母．
1．分式，，的最简公分母是( )
A．36a3b4c3 B．3a3b4c3
C．36a6b8c6 D．3a6b8c6
知识点2 异分母分式的加减运算
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减，即±＝±＝.
2．计算：
(1)－； (2)－； (3)＋.
探究 一 异分母分式的加减运算
[教材例2补充题] 计算：
(1)＋； (2)－； (3)＋x－1;
(4)－＋.
[归纳总结] (1)异分母分式的加减法中，通分是关键．通过通分达到“化异(分母)为同(分母)”的目的；(2)若一个分式和一个整式相加减，可以把整式看成是分母为1的式子，先通分，再进行加减运算；(3)分式加减的运算结果要化为最简分式或整式．
探究 二 分式的化简求值
教材P128例4变式化简：＋－，并求当x＝－1时，代数式的值．
探究 三 分式的加减在实际生活中的应用
教材补充题五一期间，王叔叔一家人去安徽黄山旅游．已知王叔叔家到黄山的距离是s km，王叔叔从家驾车按v km/h的速度行驶，可按预定时间到达黄山．为了让家人到山顶看日出，王叔叔驾车每小时需多行驶a km，则他们可提前多长时间到达？
[反思] 1.计算：－.
解：原式＝＝.
上面的解法是否正确？如果不正确，请指出错误的原因，并改正．
2．下面是小明化简分式的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题．
－
＝－第一步
＝2(x－2)－(x－6)第二步
＝2x－4－x＋6第三步
＝x＋2.第四步
请写出小明的解法从第几步开始出现错误，并写出正确的化简过程．
一、选择题
1．分式，，的最简公分母是( )
A．36ab B．12ab C．6a2b D．6ab2
2．下列运算正确的是( )
A.－＝1
B.－＝
C.－＝
D.－＝
3．·丽水＋的运算结果正确的是( )
A. B.
C. D．a＋b
4．化简－，可得( )
A. B．－
C. D.
5．·德州化简－等于( )
A. B.
C．－ D．－
6．·荆门化简÷的结果是( )
A. B.
C．x＋1 D．x－1
7．若x＋y＝xy，则＋的值为( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
8．已知两个分式：A＝，B＝＋，其中x≠±2，则A与B的关系是( )
A．相等 B．互为倒数
C．互为相反数 D．A大于B
二、填空题
9．计算：－＝________．
10．[2015·包头] 化简：÷＝________.
11．若＝＋，则m＝________.
12．已知ab＝1，则＋＝________．
13．阅读下列解题过程：
－
(1)上述计算过程中，从第________开始出现错误；
(2)错误的原因是________________________________________________________________________；
(3)正确的结果是________．
三、解答题
14．计算：(1)－；
(2)＋；
(3)－＋.
15．[·长沙]先化简，再求值：＋，其中a＝2，b＝.
16．先化简：÷，再从0，－1，2中选取一个适当的数作为x的值代入求值．
17．已知x＋y＝xy，求代数式＋－(1－x)(1－y)的值．
18．已知＝＋，求A，B的值．
[规律探索题] 我们把分子为1的分数叫做单位分数，如，，，….任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如＝＋，＝＋，＝＋，….
(1)通过对上述式子的观察，你会发现＝＋.请写出□，○所表示的数；
(2)进一步思考，单位分数(n是不小于2的正整数)满足＝＋，请写出△，☆所表示的数，并加以验证．
详解详析
教材的地位
和作用
异分母分式的加减是分式的基本运算之一，是在学生学习了同分母分式相加减的基础上学习的．通过类比异分母分数的加减，容易知道只要把异分母分式转化为同分母分式就可以了，即通分．异分母的分式相加减是分式混合运算的基础，所以本节课的教学内容是前面知识的综合应用
教
学
目
标
知识与技能
1.会进行异分母分式的通分；
2.会进行异分母分式的加减运算
过程与方法
通过对计算过程的反思，获得解决问题的经验，体会在解决问题的过程中新旧知识综合运用的重要性
情感、态度
与价值观
激发学生强烈的求知欲，培养学生学习数学的兴趣，并使学生享受运用数学思想解决生活问题的成功体验，体会类比与转化的数学思想
教学重点难点
重点
异分母分式的加减运算
难点
分母是多项式的异分母分式的通分
易错点
在进行分式的通分时，符号易弄错
【预习效果检测】
1．A [解析] 通分时一般取各分母的系数的最小公倍数与各分母所有字母的最高次幂的积为公分母．因为6，9，12的最小公倍数是36；ab2c，a3bc2，a2b4c3各字母的最高次幂是a3b4c3，所以各分式的最简公分母是36a3b4c3.
2．解：(1)－＝－＝.
(2)－
＝－
＝
＝
＝.
(3)＋＝－＝－＝＝＝.
【重难互动探究】
例1 [解析] (1)最简公分母是abc；(3)确定最简公分母后将各式通分，再加减．
解： (1)原式＝＋＝.
(2)原式＝－＝.
(3)＋x－1＝＋＝＋＝.
(4)原式＝－＋
＝
＝
＝.
例2 解：原式＝＋－
＝
＝
＝＝.
当x＝－1时，原式＝＝3.
例3 [解析] 此题要根据路程公式进行计算，即s＝vt.
解：－＝－＝＝，故他们可提前小时到达．
【课堂总结反思】
[反思]
1．不正确．忽略了分数线的括号作用，导致符号错误．
原式＝＝＝＝1.
2．解：从第二步开始出现错误．
－＝－＝
＝＝
＝.
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．C
2．[解析] D 按照分式的加减运算法则进行计算，可以得出A，B，C三个选项的计算结果都是错误的，其中A选项正确的结果应该是－＝＋＝；B选项中是异分母分式相减，需先通分，正确的结果是－＝；C选项中是同分母分式相减，正确的结果是－＝＝－.D项正确．
3．C 4.B 5.B 6.A
7．[解析] B ＋＝＝1.
8．[解析] C 因为B＝＋＝－＝＝－，所以A与B互为相反数．
9．[答案]
[解析] －＝＝.
10．[答案]
11．[答案] 1
[解析] 原式可化简为＝＝，所以m＝1.
12．[答案] 1
13．[答案] (1)② (2)通分后，分母不变，分子相减，这里把分母丢掉了 (3)－
14．(1)
(2)
(3)1
15．解：原式＝·＋＝.
当a＝2，b＝时，原式＝6.
16．解：原式＝÷＝÷＝·x(x－2)＝x(x＋3)．
取x＝－1，原式＝－2(本题中x的值不能为0，2)．
17．解：∵x＋y＝xy，
∴原式＝－(1－x－y＋xy)＝－1＋x＋y－xy＝1－1＋0＝0.
18．解：将原式化为
＝
＝
＝，
∴∴
[数学活动]
解：(1)□表示的数为6，○表示的数为30.
(2)△表示的数为n＋1，☆表示的数为n(n＋1)．
验证：＋＝＋＝＝.
课件14张PPT。第5章 分式第2课时 异分母分式的加减5.4 分式的加减学知识相同5.4 分式的加减A5.4 分式的加减通分同分母筑方法5.4 分式的加减5.4 分式的加减【归纳总结】求几个分式的最简公分母的方法
(1)取各分式的分母中系数的最小公倍数；
(2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
(3)相同字母(或因式)的幂，取指数最大的；
(4)所得的系数的最小公倍数与各字母(或因式)的最高次幂的积(其中系数都取正数)，即为最简公分母．5.4 分式的加减5.4 分式的加减5.4 分式的加减5.4 分式的加减勤反思异分母分式相加减先通分5.4 分式的加减化为同分母的分式关键是确定最简公分母分式的乘除混合运算注意运算顺序5.4 分式的加减5.4 分式的加减5.5 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
知识点1 分式方程的定义
只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
1．下列方程中，哪些是整式方程？哪些是分式方程？
(1)－＝1.6；(2)2－＝2x；
(3)＋1＝；(4)x＋3＋＝4＋.
知识点2 解分式方程
解分式方程的步骤：(1)分式方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程；(2)解这个整式方程，得出未知数的值；(3)检验所得到的值是不是原分式方程的根；(4)写出答案．
使分式方程的分母为零的根是增根，增根使分式方程无意义，应该舍去．
[注意] 检验是解分式方程的一个十分重要的步骤，切不可省略．
2．解分式方程＝的步骤：
(1)去分母，方程两边同乘________，得整式方程____________；
(2)解这个整式方程，得x＝________；
(3)检验：把x＝________代入最简公分母x(x－3)，得x(x－3)________(填“＝0”或“≠0”)，所以x＝________是原分式方程的解．
探究 一 解分式方程
[教材例2变式题] 解下列方程：
(1)＝；
(2)＝2－；
(3)－＝1.
[归纳总结] 解分式方程时，要注意以下几点：
①不要忘记验根；②去分母时不要漏乘整式项；③当分式的分子是多项式时，去分母后不要忘记添括号．
探究 二 利用分式方程的增根求字母系数的值
[教材例题补充题] 若关于x的分式方程＋＝2有增根，则m的值是( )
A．m＝－1 B．m＝0
C．m＝3 D．m＝0或m＝3
[归纳总结] 利用分式方程的增根求待定字母的值，可按如下步骤进行：(1)先将分式方程转化为整式方程；(2)令最简公分母为0确定增根；(3)将增根代入所得的整式方程，求出待定字母的值．
探究 三 利用分式方程根的取值范围确定字母系数的取值范围
[教材例题补充题] [2015·荆州] 若关于x的分式方程＝2的解为非负数，则m的取值范围是( )
A．m>－1 B．m≥1
C．m>－1且m≠1 D．m≥－1且m≠1
[归纳总结] 确定根的取值范围时，要去掉使分式方程产生增根的情况．
[反思] 下面是小马虎同学解分式方程的步骤，你认为他的解法正确吗？如果不正确，请指出错在哪里，然后写出正确答案．
解方程：＝1－.
解：原方程可化为＝－，
即＝.
方程两边约去x，得＝.
去分母，得2x＋4＝2x－1.
所以此方程无解．
一、选择题
1．在方程＝7，－＝2，－＝4，＝1中，分式方程有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．把分式方程＝转化为一元一次方程时，方程两边需同乘( )
A．x B．2x
C．x＋4 D．x(x＋4)
3．2015·济宁解分式方程＋＝3时，去分母后正确的为( )
A．2＋(x＋2)＝3(x－1)
B．2－x＋2＝3(x－1)
C．2－(x＋2)＝3
D．2－(x＋2)＝3(x－1)
4．若x＝3是关于x的分式方程－＝0的根，则a的值是( )
A．5 B．－5 C．3 D．－3
5．[2015·常德] 分式方程＋＝1的解为( )
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝ D．x＝0
6．分式方程－＝的解是( )
A．x＝0 B．x＝－1
C．x＝±1 D．无解
7．下列分式方程中，有解的是( )
A.＝0 B.＝0
C.＝1 D.＝1
8．对于非零的两个实数a，b，规定a?b＝－.若1?(x＋1)＝1，则x的值为( )
A. B. C. D．－
二、填空题
9．解分式方程－＝去分母时，两边都乘______________．
10．2016·湖州方程＝1的根是x＝________．
11．若关于x的分式方程＝－的解为x＝3，则a的值为________．
12．已知关于x的方程－＝1有增根，则a的值等于________．
三、解答题
13．解分式方程：
(1)2016·连云港解方程：－＝0；
(2)2016·绍兴解分式方程：＋＝4.
14．是否存在实数x，使得代数式－的值与代数式1＋的值相等？
15．若关于x的分式方程－＝1的解与方程＝3的解相同，求a的值．
16．当k取何值时，关于x的分式方程＝－有解？
17．若关于x的分式方程－＝1无解，求m的值．
1．[规律探索题] 已知：＝1－，＝－，＝－，…
(1)根据这个规律写出第n个式子是________________________________________________________________________；
(2)利用这个规律解方程：＋＋…＋＝.
2.阅读下面一段话：
关于x的分式方程x＋＝c＋的解是x＝c或x＝；
关于x的分式方程x＋＝c＋的解是x＝c或x＝；
关于x的分式方程x＋＝c＋的解是x＝c或x＝；
…
(1)写出方程x＋＝的解：________；
(2)猜想关于x的分式方程x＋＝c＋(m≠0)的解，并将所得解代入方程检验．
详解详析
教材的地位
和作用
本节是在学生认识和学习了分式及其基本运算的基础上介绍分式方程的解法，符合学生的认知规律．通过对本节内容的学习，能让学生体验转化这一重要的数学思想，同时，本节课的学习将为下一节课的学习打下基础
教
学
目
标
知识与技能
1.了解分式方程的概念和增根的概念；
2.掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会对分式方程进行根的检验
过程与方法
通过分式方程的求解过程，初步体会数学研究中的转化思想
情感、态度
与价值观
在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值
教学重点难点
重点
解可化为一元一次方程的分式方程
难点
增根的概念和对验根必要性的理解
易错点
解分式方程的过程中容易忘记检验
【预习效果检测】
1．[解析] 分式方程与整式方程的区别在于分母中是否含有未知数．
解：(1)(2)是整式方程，(3)(4)是分式方程．
2．(1)x(x－3) 2x＝3(x－3) (2)9
(3)9 ≠0 9
【重难互动探究】
例1 [解析] 首先确定各分母的最简公分母，然后去分母，解整式方程．
解：(1)方程两边同时乘x(x＋1)，得2(x＋1)＝3x，解得x＝2.经检验，x＝2是原分式方程的解．
(2)方程两边同时乘(3x－1)，得x＝2(3x－1)＋1，解得x＝.经检验，x＝是原分式方程的解．
(3)方程两边同乘(x－1)(x＋1)，得
x(x＋1)－2＝(x－1)(x＋1)．
去括号，得x2＋x－2＝x2－1.
移项、合并同类项，得x＝1.
检验：当x＝1时，(x－1)(x＋1)＝0，
所以x＝1是原分式方程的增根．
所以原方程无解．
例2 A [解析] 方程两边都乘(x－3)，得2－x－m＝2(x－3)．因为分式方程有增根，所以x＝3，所以2－3－m＝2(3－3)，解得m＝－1.故选A.
例3 D [解析] 去分母，得m－1＝2x－2，解得x＝.由题意得≥0且≠1.解得m≥－1且m≠1.故选D.
【课堂总结反思】
[反思] 小马虎的解答不正确，错在“方程两边约去x”这一步．
正解：原方程可化为＝.
去分母，得2x(x＋2)＝x(2x－1)．
去括号，得2x2＋4x＝2x2－x.
解得x＝0.
经检验，x＝0是原方程的解．
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．[解析] B 方程－＝2和＝1中的分母含有未知数，是分式方程．故选B.
2．D 3.D 4.A 5.A 6.D
7．[解析] D 选项A中，当x＋1＝0时，x＝－1，而当x＝－1时，分母的值等于0，所以该方程无解；选项B中，因为x取任意值，x2＋1≥0恒成立，所以方程无解；选项C中，因为x取任意值，x＋1的值总不等于x－1的值，所以分式的值总不等于1，方程无解；选项D中，方程的解为x＝2.
8．[解析] D 由规定知，1?(x＋1)＝1可化为－1＝1，即＝2，解得x＝－.∵－＋1≠0，∴符合条件．故选D.
9．[答案] (x＋1)(x－1)
10．[答案] －2
11．[答案] 5
[解析] 因为关于x的方程＝－的解为x＝3，所以＝－，即＝－.解这个方程得a＝5.经检验，a＝5满足题意．
12．[答案] －
[解析] 方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得
a(x－1)－3＝(x＋1)(x－1)．
∵原方程有增根，
∴最简公分母(x＋1)(x－1)＝0，
∴增根是x＝1或x＝－1.
当x＝－1时，a＝－；
当x＝1时，a无解．
13．(1)x＝－2 (2)x＝
14．解： 根据题意，得－＝1＋，
去分母，得(x－2)2－16＝x2－4＋4(x＋2)，
去括号，得x2－4x＋4－16＝x2－4＋4x＋8，
移项、合并同类项，得8x＝－16，
解得x＝－2.
经检验，x＝－2是原方程的增根，故原分式方程无解．
所以不存在满足条件的实数x.
15．解：由＝3，得x＝2.
∵关于x的分式方程－＝1的解与方程＝3的解相同，
∴把x＝2代入方程－＝1中，
得－＝1，
即＝3，
解得a＝－3.
经检验，a＝－3是方程－＝1的根，
∴a＝－3.
16．解：＝－，
方程两边同乘x(x－1)，得
6x＝x＋k－3(x－1)，
∴k＝8x－3.
∵原分式方程有解，
∴x≠0且x－1≠0，即x≠0且x≠1
∴8x－3≠3且8x－3≠5，
∴当k≠－3且k≠5时，原分式方程有解．
17．解：去分母，得x(x－m)－3(x－1)＝x(x－1)，－mx－3x＋3＝－x，
整理，得(2＋m)x－3＝0.
∵关于x的分式方程－＝1无解，
∴x＝1或x＝0.
当x＝1时，2＋m－3＝0，解得m＝1.
当x＝0时，－3＝0，无解．
当2＋m＝0时，方程(2＋m)x－3＝0无解，此时m＝－2.
∴m＝1或m＝－2.
[数学活动]
1．解：(1)＝－
(2)原方程可化为＋＋…＋＝，
即－＝，解得x＝10.
当x＝10时，原分式方程的最简公分母不为0.
所以x＝10是原分式方程的解．
2．解：(1)方程x＋＝可化为x＋＝2＋，可得该方程的解为x＝2或x＝.
(2)猜想：方程的解为x＝c或x＝.分别将x＝c和x＝代入原方程可得方程的左边＝右边，故方程x＋＝c＋(m≠0)的解为x＝c或x＝.
课件14张PPT。第5章 分式第1课时 分式方程及其解法5.5 分式方程学知识未知数5.5 分式方程（3）（4）5.5 分式方程零5.5 分式方程x(x－3)2x＝3(x－3)99≠09筑方法5.5 分式方程5.5 分式方程【归纳总结】解分式方程的步骤
(1)分式方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程；(2)解这个整式方程，得出未知数的值；(3)检验所得的未知数的值是不是原分式方程的根；(4)写出答案．5.5 分式方程5.5 分式方程A5.5 分式方程勤反思分式方程整式方程5.5 分式方程去分母解方程并代入检验转化（若分母等于零，则为增根）5.5 分式方程5.5 分式方程5.5 分式方程
第2课时 分式方程的应用
知识点 列分式方程解决实际问题的步骤
列分式方程解决相关实际问题，其一般步骤如下：
(1)审：审清题意，弄清题中的已知量、未知量及它们之间的等量关系；
(2)设：设未知数；
(3)列：找出题中已知量与未知量之间的等量关系，列出方程；
(4)解：求出所列方程中未知数的值；
(5)检：用分式方程解决实际问题时，必须进行检验；
(6)答：写出答案．
[2015·十堰] 在我市开展的“五城联创”活动中，某工程队承担了某小区900米长的污水管道改造任务．工程队在改造完360米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用27天完成了任务．引进新设备前工程队每天改造管道多少米？
(1)审：审清题意，找等量关系．本题中包含两个等量关系：①引进新设备后每天改造管道的米数＝引进新设备前每天改造管道的米数×________；②引进新设备前改造________米管道所用时间＋引进新设备后改造________米管道所用时间＝27天．
(2)设：引进新设备前工程队每天改造管道x米，则引进新设备后工程队每天改造管道________米．
(3)列：根据等量关系，列分式方程为________________________．
(4)解：解分式方程，得x＝________．
(5)检：先检验所求的解是不是分式方程的解，再检验是否符合题意．
经检验，________是原方程的解，且符合题意．
(6)答：写出答案(不要忘记单位)．
答：引进新设备前工程队每天改造管道________．
探究 用分式方程解决工程问题
教材例3变式题甲、乙两人学习计算机打字．甲打一篇3000字的文章与乙打一篇2400字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打12个字．甲、乙两人每分钟各打多少个字？
[反思] 七年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑自行车学生速度的2倍，求骑自行车学生的速度．
解：设骑自行车学生的速度为x km/h.根据题意列方程＝－20.
上面所列方程是否正确？如果不正确，请指出错在哪里，并写出正确的解题过程．
一、选择题
1．一个数与6的和的倒数与这个数的倒数互为相反数，设这个数为x，则列方程为( )
A.＝ B.＝－x
C.＋＋x＝0 D.＋＝0
2．[2016·白银]某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，且现在生产800台机器所需的时间与原计划生产600台机器所需的时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
3．[2016·南充]某次列车平均提速20 km/h，用相同的时间，列车提速前行驶400 km，提速后比提速前多行驶100 km.设提速前列车的平均速度为x km/h，下列方程正确的是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
二、填空题
4．[2016·淄博]某快递公司的分拣工小王和小李，在分拣同一类物件时，小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同．已知小王每小时比小李多分拣8个物件，设小李每小时分拣x个物件，根据题意列出的方程是__________________．
三、解答题
5．[2016·扬州]动车的开通为扬州市民的出行带来了方便．从扬州到合肥，路程为360 km，某趟动车的平均速度比普通列车快50%，所需时间比普通列车少1小时，求该趟动车的平均速度．
6．[2016·宜宾]2016年“母亲节”前夕，宜宾某花店用4000元购进若干束花，很快售完，接着又用4500元购进第二批花．已知第二批所购花的束数是第一批所购花的束数的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少5元．求第一批花每束的进价是多少元．
[2015·湖州]某工厂计划在规定时间内生产24000个零件．若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．
(1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；
(2)为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产．已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%.按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务．求原计划安排的工人人数．
详解详析
教材的地位
和作用
本节内容是在学习了一元一次方程和二元一次方程及其应用等知识的基础上进行的，是对方程应用的扩展，是对分式及其运算的学习和对分式方程及其应用的概括，并为以后学习一元二次方程及其应用等知识做铺垫
教
学
目
标
知识与技能
1.会列分式方程解简单的应用题；
2.会进行简单的公式变形
过程与方法
经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，提高学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的数学应用意识
情感、态度
与价值观
经历列分式方程解决实际问题的过程，使学生感受数学的应用价值，提高学生学习数学的兴趣和应用数学的意识
教学重点难点
重点
列分式方程解简单的应用题
难点
根据较复杂的数量关系列分式方程
易错点
在分式方程的应用中，分式方程的解是否符合实际情况往往会被忽略
【预习效果检测】
(1)(1＋20%) 360 (900－360)
(2)(1＋20%)x
(3)＋＝27
(4)30 (5)x＝30 (6)30米
【重难互动探究】
例 解：设甲打一篇3000字的文章需要x分钟．根据题意，得－＝12.解得x＝50.经检验，x＝50是原方程的解且符合题意．所以甲每分钟打字＝＝60(个)，乙每分钟打字60－12＝48(个)．
答：甲每分钟打字60个，乙每分钟打字48个.
【课堂总结反思】
[反思] 不正确，没有找对等量关系，并且单位不统一．
正确的解题过程：设骑自行车学生的速度为x km/h，则汽车的速度为2x km/h.
由题意，得＝＋，
解得x＝15.
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意．
答：骑自行车学生的速度为15 km/h.
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．[解析] D “一个数与6的和的倒数与这个数的倒数互为相反数”就是等量关系，所以可得方程＋＝0.故选D.
2．A 3.A
4．[答案] ＝
5．解：设普通列车的平均速度为x km/h.由题意，得
－＝1，解得x＝120.
经检验，x＝120是原方程的根，且符合题意，
∴(1＋50%)x＝180 km/h.
答：该趟动车的平均速度为180 km/h.
6．解：设第一批花每束的进价是x元．
根据题意，得＝1.5×.解得x＝20.
经检验，x＝20是所列方程的根，且符合题意．
答：第一批花每束的进价是20元．
[数学活动]
解：(1)设原计划每天生产零件x个．由题意，得
＝，解得x＝2400.
经检验，x＝2400是原方程的根，且符合题意．
∴规定的天数为24000÷2400＝10(天)．
答：原计划每天生产零件2400个，规定的天数是10天．
(2)设原计划安排的工人人数为y.由题意，得
×(10－2)＝24000，解得y＝480.
经检验，y＝480是原方程的根，且符合题意．
答：原计划安排的工人人数为480.
课件12张PPT。第5章 分式第2课时 分式方程的应用5.5 分式方程学知识5.5 分式方程(900－360)(1＋20%)3605.5 分式方程x＝30(1＋20%)x3030米筑方法5.5 分式方程【归纳总结】工程问题的解题思路
(1)工作量：
①通常把总工作量看成单位“1”；
②每一部分的工作量＝工作效率×工作时间．
(2)常用等量关系：
①所有人完成的工作量之和＝总工作量；
②合作工作时间×合作工作效率＝总工作量．5.5 分式方程5.5 分式方程5.5 分式方程勤反思分式方程的应用列分式方程解应用题5.5 分式方程一般步骤5.5 分式方程5.5 分式方程课件20张PPT。本章总结提升第5章 分式 第5章 分式 知识框架本章总结提升分式分式的基本性质分式方程分式的
运算通分同分母加减法异分母加减法分式方程的应用约分分式的乘除法问题1 分式的定义和分式有(无)意义及值为0的条件本章总结提升如何识别分式？分式有(无)意义的条件是什么？分式的值为0的条件是什么？8[解析] 分式的值为0，则分子为0且分母不为0，故x－8＝0且x≠0，所以x＝8.本章总结提升[解析] 区分整式与分式的标准就是看分母中是否含有字母，分母中不含字母的是整式，分母中含有字母的是分式．本章总结提升本章总结提升【归纳总结】(1)识别分式的方法：①表示两个整式相除； ②分母中含有字母．
(2)分式值为0时待定字母的值的求法：①利用分子等于0，构建方程；②求得待定字母的值；③代入分母，待定字母的值应使分母不为0.问题2 分式的基本性质如何利用分式的基本性质进行等式变形？分式怎样约分和通分？本章总结提升本章总结提升问题3 分式的运算怎样进行分式的乘除运算？怎样进行分式的加减运算？分式混合运算的一般步骤是什么？ 本章总结提升本章总结提升【归纳总结】分式加减运算的一般步骤
(1)通分；(2)写成“分母不变，分子相加减”的形式；(3)分子去括号，合并同类项；(4)约分，将结果化成最简分式或整式．本章总结提升[解析] 本题可按运算顺序先算括号内的再算括号外的，也可以使用分配律计算．本章总结提升本章总结提升【归纳总结】分式的混合运算
(1)分式的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序相同，即先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；
(2)在运算过程中能约分的先约分；
(3)运算的最后结果应化为最简分式或整式．问题4 解分式方程什么是分式方程？如何解分式方程？解分式方程时要注意什么？为什么解分式方程时要进行检验？增根是怎么产生的？本章总结提升本章总结提升本章总结提升[点评] 方程的增根就是使方程的最简公分母为零的未知数的值．已知分式方程的增根求未知字母的值时，应该先把分式方程去分母化为整式方程，然后把增根代入这个整式方程求解．本章总结提升【归纳总结】解分式方程的一般步骤
(1)去分母，即在方程的两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；
(2)解这个整式方程；
(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原分式方程的根，使最简公分母等于零的根是原分式方程的增根．问题5 分式方程的应用列分式方程解决实际问题的关键是什么？在解题过程中要注意什么？本章总结提升本章总结提升
