第3章 整式的乘除
3．1 同底数幂的乘法
第1课时 同底数幂的乘法
知识点 同底数幂的乘法运算
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
即am·an＝am＋n(m，n都是正整数)．
[注意] (1)底数必须相同；
(2)相乘时底数不发生变化；
(3)指数相加的和作为最终结果幂的指数．
计算：
(1)(－8)12×(－8)5；
(2)x·x7；
(3)×；
(4)a3m·a2m－1(m是正整数)．
探究 一 同底数幂的乘法运算
教材补充题计算：
(1)x2·(－x)9；
(2)16×2m＋1×2m－2；
(3)(x－y)·(x－y)3·(x－y)5；
(4)(a－b)2·(b－a)3.
[归纳总结] (1)当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，例如：am·an·ap＝am＋n＋p(m，n，p都是正整数)．
(2)在计算或化简时，诸如题目中的x－y形式的代数式，可以看成一个整体进行运算．
(3)底数互为相反数的幂相乘，可根据幂的符号法则相互转化，使之变成同底数幂，常见变形如下：
①(－a)n＝
②(b－a)n＝
探究 二 同底数幂的乘法的简单应用
教材例2变式题如果卫星绕地球运行的速度是7.9×103 m/s，求卫星运行1 h的路程．
[归纳总结] 运算过程中要注意运用乘法的交换律、结合律将同底数幂放到一起相乘．
探究 三 逆用同底数幂的乘法法则求代数式的值
教材补充题(1)已知a2＝m，a3＝n，求a5的值；
(2)若2m＝a，2n＝b，求2m＋n的值．
[归纳总结] 运用同底数幂的乘法法则也可以把一个幂分解成两个同底数幂的积，其中它们的底数与原来幂的底数相同，它们的指数之和等于原来的指数．例如am＋n＝am·an.
[反思] 运用同底数幂的乘法法则判定下列计算是否正确．若不正确，请改正．
(1)x4·x＝x4；(2)(－3)4·(－3)6＝310.
一、选择题
1．2016·重庆A卷计算：a3·a2＝( )
A．a B．a5 C．a6 D．a9
2．计算(a＋b)3·(a＋b)2m·(a＋b)n所得的结果为( )
A．(a＋b)6m＋n B．(a＋b)2m＋n＋3
C．(a＋b)2mn＋3 D．(a＋b)6mn
3．x16不可以写成( )
A．x7·x9
B．x8＋x8
C．x3·x5·x6·x2
D．(－x)·(－x)2·(－x)5·(－x)8
4．下列运算中，错误的是( )
A．3a5－a5＝2a5 B．－a3·(－a)5＝a8
C．a3·(－a)4＝a7 D．2m·3n＝6m＋n
5．若ax·a2＝a6，则x的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
6．3n·(－9)·3n＋2的计算结果是( )
A．－32n－2 B．－3n＋4
C．－32n＋4 D．－3n＋6
7．规定a□b＝10a×10b，如2□3＝102×103＝105，那么4□8为( )
A．32 B．1032 C．1012 D．1210
8．已知xa＝3，xb＝5，则xa＋b的值为( )
A．8 B．15 C．125 D．243
二、填空题
9．2015·天津计算x2·x5＝________．
10．计算：(－a)4·(－a)2＝________．
11．填空：a4·a(__)＝a3·a(__)＝a2·a(__)＝a12.
12．计算：(1)(a＋b)4·(a＋b)·(a＋b)2＝________；
(2)(x－2y)2·(2y－x)3＝________．
13．计算：(1)10m×10000＝________； (2)3n－4×(－3)3×35－n＝________．
14．一台电子计算机每秒可运行4×109次运算，它工作7×102秒可运行__________次运算．
三、解答题
15．计算：
(1)－x·x2·x4；
(2)(x＋2)3·(x＋2)5·(x＋2)；
(3)(－3)3×36；
(4)－(－p)3·(－p)3·(－p)2.
16．宇宙空间的年龄通常以光年作单位，1光年是光在一年内通过的距离，如果光的速度为每秒3×108米，一年约为3.2×107秒，那么1光年约为多少米？
17．如果x2m－1·x3m＋2＝x11，求m的值．
18．已知am＝3，an＝4，化简下列各式：
(1)am＋1； (2)a3＋n； (3)am＋n＋2.
19．已知a2m－n·am－n＝a5，b3m＋n·b2m－2n＝b13，求2m＋n的立方根．
阅读下列材料：
求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22016的值．
解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋22016，①
将等式两边同时乘2，得
2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22016＋22017，②
②－①，得2S－S＝22017－1，
即S＝22017－1，则原式＝22017－1.
请你仿照此法计算：
(1)1＋2＋22＋23＋24＋…＋210；
(2)1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n(其中n为正整数)．
详解详析
教材的地位
和作用
本节内容是在前面学习了有理数的乘方和整式的加减法运算之后进行的，是对幂的意义的理解、运用和深化，又是后面学习整式乘除法的基础，而整式的乘除法是代数部分的基础，它将为后面学习方程、函数做铺垫
教
学
目
标
知识与技能
1.理解同底数幂乘法法则的推导过程；
2.能够运用同底数幂乘法的法则进行有关计算
过程与方法
通过学生的自主探究，培养学生的观察、发现、归纳、概括的能力．使学生初步理解“特殊——一般——特殊”的认知规律
情感、态度
与价值观
通过本节课的学习使学生了解数学表达的简洁美，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新的精神
教学重点难点
重点
同底数幂乘法的法则及应用
难点
同底数幂乘法法则的推导及灵活运用
易错点
同底数幂相乘时，误把指数相乘来确定积的指数
【预习效果检测】
解：(1)(－8)12×(－8)5＝(－8)12＋5＝(－8)17＝－817.
(2)x·x7＝x1＋7＝x8.
(3)×＝×＝＝.
(4)a3m·a2m－1＝a3m＋2m－1＝a5m－1.
【重难互动探究】
例1 [解析] 将(3)中的x－y看成一个整体，应用同底数幂的乘法进行计算即可．
解： (1)x2·(－x)9＝－x2·x9＝－x2＋9＝－x11.
(2)16×2m＋1×2m－2＝24×2m＋1×2m－2＝24＋m＋1＋m－2＝22m＋3.
(3)(x－y)·(x－y)3·(x－y)5＝(x－y)1＋3＋5＝(x－y)9.
(4)(a－b)2·(b－a)3＝(b－a)2·(b－a)3＝(b－a)5.
例2 [解析] 根据路程、时间、速度三者之间的关系可以求得路程．
解：(7.9×103)×(3.6×103)＝(7.9×3.6)×(103×103)＝2.844×107(m)．
答：卫星运行1 h的路程是2.844×107 m.
例3 [解析] 逆用同底数幂的乘法法则．
解： (1)a5＝a2＋3＝a2·a3＝mn.
(2)2m＋n＝2m·2n＝ab.
【课堂总结反思】
[知识框架]
不变 相加
[反思] (1)不正确．改正：x4·x＝x4＋1＝ x5.
(2)正确．
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．B 2.B
3．[解析] B 灵活运用同底数幂的乘法法则进行验证．x8＋x8＝2x8≠x16，而(－x)16＝x16.故选B.
4．D
5．[解析] D 由同底数幂的乘法法则可知ax·a2＝ax＋2＝a6，所以x＋2＝6，所以x＝4.
6．[解析] C 先将9化成32，然后确定积的符号，再按照法则计算.3n·(－9)·3n＋2＝3n·(－32)·3n＋2＝－3n＋2＋n＋2＝－32n＋4.
7．C 8.B
9．[答案] x7
10．[答案] a6
11．[答案] 8 9 10
12．[答案] (1)(a＋b)7 (2)(2y－x)5或－(x－2y)5
[解析] 注意－a的偶数次方等于a的相同偶数次方，所以(x－2y)2·(2y－x)3＝(2y－x)2·(2y－x)3＝(2y－x)5，－a的奇数次方与a的相同奇数次方互为相反数，故(2)题还可以这样解答：(x－2y)2·(2y－x)3＝(x－2y)2·[－(x－2y)]3＝－(x－2y)5，同学们可以根据各自习惯选择解题方法．
13．[答案] (1)10m＋4
(2)－81
14．[答案] 2.8×1012
15．解：(1)原式＝－x1＋2＋4＝－x7.
(2)原式＝(x＋2)3＋5＋1＝(x＋2)9.
(3)原式＝－33×36＝－33＋6＝－39.
(4)原式＝－(－p)3＋3＋2＝－(－p)8＝－p8.
16．[解析] 根据题意得出算式3×108×3.2×107，求解即可．
解：3×108×3.2×107＝9.6×1015(米)．
答：1光年约为9.6×1015米．
17．[解析] 先利用同底数幂的乘法法则将等式的左边进行化简，然后根据“两个同底数幂相等，其指数也相等”列出方程即可求解．
解：把原式进行整理化简，得x5m＋1＝x11，
则5m＋1＝11，解得m＝2.
18．[解析] 本题逆向运用同底数幂的乘法法则计算，以后同学们会经常用到这种方法，即am·an＝am＋n，反之am＋n＝am·an也成立．
解：(1)am＋1＝am·a＝3a.
(2)a3＋n＝a3·an＝a3·4＝4a3.
(3)am＋n＋2＝am·an·a2＝3×4·a2＝12a2.
19．[解析] 等式左边运用同底数幂乘法法则进行计算，由此可以得到关于m，n的两个关系式，联立作为二元一次方程组，求出m，n的值．
解：由a2m－n·am－n＝a5，b3m＋n·b2m－2n＝b13，
得a3m－2n＝a5，b5m－n＝b13,
方程组的形式．
∴解得
∴2m＋n＝8，即2m＋n的立方根是2.
[数学活动]
解：(1)设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋210，①
将等式两边同时乘2，得2S＝2＋22＋23＋24＋…＋210＋211，②
②－①，得2S－S＝211－1，即S＝211－1，则原式＝211－1.
(2)设S＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n，①
将等式两边同时乘3，得3S＝3＋32＋33＋34＋…＋3n＋3n＋1，②
② －①，得3S－S＝3n＋1－1，即S＝(3n＋1－1)，则原式＝(3n＋1－1)．
课件10张PPT。第3章 整式的乘除第1课时 同底数幂的乘法学知识筑方法勤反思知识点 同底数幂的乘法运算3.1 同底数幂的乘法学知识指数相加B163.1 同底数幂的乘法类型一 同底数幂的乘法运算筑方法3.1 同底数幂的乘法[解析] 将第(3)题中的x－y看成一个整体，应用同底数幂的乘法法则进行计算即可．3.1 同底数幂的乘法3.1 同底数幂的乘法类型二 同底数幂的乘法的简单应用[解析] 根据路程、时间、速度三者之间的关系可以求得路程．3.1 同底数幂的乘法小结勤反思逆用法则同底数幂的乘法简单应用运算不变相加3.1 同底数幂的乘法反思3.1 同底数幂的乘法第3章 整式的乘除
3．1 同底数幂的乘法
第2课时 幂的乘方
知识点 幂的乘方运算
幂的乘方就是指几个相同的幂相乘，例如(a3)4是幂的乘方，表示4个a3相乘，读作“a的三次幂的四次方”．
幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(am)n＝amn(m，n都是正整数)．
计算：
(1)(106)2； (2)(am)4(m为正整数)；
(3)－(y3)2； (4)(－x3)3.
探究 一 幂的乘方与同底数幂的乘法的混合运算
教材作业题第6题变式题化简：
(1)(－x3)2·(－x2)3；
(2)(a3)2n－1·(an－3)2；
(3)(－a4)5－(－a2·a3)4＋(－a2)10－a·(－a2)5·(－a3)3.
[归纳总结] (1)在应用法则计算时，应注意法则的使用条件；
(2)在运算时，遵循先乘方，再乘除，最后加减的运算顺序进行；
(3)注意运算时的符号问题，如[(－a)4]5和(－a4)5的区别．前者表示5个(－a)4相乘，后者表示5个－a4相乘．
探究 二 逆用同底数幂的乘方法则求代数式的值
教材补充题若23a＝27，22b＝4，求2a＋2b的值．
[归纳总结] 逆用幂的乘方法则，将已知等式化成同底数幂的形式，即若am＝an(a≠0，且a≠±1)，则有m＝n.
探究 三 幂的乘方的简单应用
一个正方体的棱长为103 cm，则它的体积是多少？
[反思] 计算：(a2)4·a－(a3)2·a3.
解：(a2)4·a－(a3)2·a3
＝a16·a－a5·a3①
＝a17－a8②
＝a9③.
(1)找错：从第________步开始出现错误；
(2)纠错：
一、选择题
1．2016·台州下列计算正确的是( )
A．x2＋x2＝x4 B．2x3－x3＝x3
C．x2·x3＝x6 D．(x2)3＝x5
2．计算a·(－a3)·(a2)5的结果是( )
A．a14 B．－a14 C．a11 D．－a11
3．当a≠0时，计算[(－a)2]3与(－a2)3，所得的结果( )
A．一定相等
B．一定不相等
C．可能相等，也可能不相等
D．不能确定相等或不相等
4．有下列等式：①a2m＝(a2)m；②a2m＝(am)2；③a2m＝(－am)2；④a2m＝(－a2)m，其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．计算[(a＋b)2]3·(a＋b)3的结果是( )
A．(a＋b)8 B．(a＋b)9
C．(a＋b)10 D．(a＋b)11
6．已知10a＝5，则100a的值是( )
A．25 B．50 C．250 D．500
二、填空题
7．计算：
(1)(m4)5＝________；(2)(p4)6＝________；
(3)(－a3)2＝______．
8．计算：(－a2)3＋(－a3)2＝________．
9．若(a2)m·(am)3＝a15，则m的值为________．
10．计算：＝(a－b)2·________．
11．若x2n＝4，则x6n＝________；若x3k＝5，y2k＝3，则x6k·y4k＝________．
三、解答题
12．计算：
(1)(－x4)7；
(2)(－x7)8；
(3)[(a2)3]2－2(a2·a3·a)2；
(4)3(x2)4·(x3)3－(－x)(x4)4＋(－x4)2·(x2)3·(－x3)．
13．已知52·25x＝625，求x的值．
14．已知x2n＝5，求：
(1)(－x3n)2的值；
(2)xn的值．
1．[技巧性题目] 若2x＋5y＝3，求4x·32y的值．
2．[技巧性题目] 已知a＝255，b＝344，c＝433，d＝522，比较a，b，c，d的大小．
详解详析
教材的地位
和作用
本节课是继同底数幂乘法后的又一种幂的运算．从“数”的相应运算入手，类比过渡到“式”的运算，从中探索、归纳“式”的运算法则，使新的运算规律自然而然地同化到原有的知识中，使原有的知识得到扩充、发展．幂的乘方运算的规律是下一个新规律探索的基础．这些知识和方法是以后学习分式和根式运算、函数等知识的基础，在后续的数学学习中具有重要意义
教
学
目
标
知识与技能
1.通过观察、类比、归纳、猜想、证明，经历探索幂的乘方法则的发展过程；
2.掌握幂的乘方法则；
3.会运用法则进行有关计算
过程与方法
1.培养学生的观察探究能力，合作交流能力，解决问题的能力和对学习的反思能力；
2.体会由具体到抽象再到具体这一转化的数学思想
情感、态度
与价值观
体验用数学知识解决问题的乐趣，培养学生热爱数学的情感．通过老师的表扬、鼓励，让学生享受成功的乐趣
教学重点难点
重点
幂的乘方法则
难点
理解幂的乘方法则的推导过程
易错点
幂的乘方法则易与同底数幂相乘的法则相混淆，从而导致错误
【预习效果检测】
[解析] 依据幂的乘方的运算性质进行计算．
解：(1)(106)2＝106×2＝1012.
(2)(am)4＝am×4＝a4m.
(3)－(y3)2＝－(y3×2)＝－y6.
(4)(－x3)3＝－(x3)3＝－(x3×3)＝－x9.
【重难互动探究】
例1 [解析] 分清哪一部分是幂的乘方，哪一部分是同底数幂的乘法，然后分别依据两个运算法则进行计算．
解：(1)原式＝x6·(－x6)＝－x6·x6＝－x12.
(2)原式＝a3(2n－1)·a2(n－3)
＝a3(2n－1)＋2(n－3)
＝a8n－9.
(3)原式＝－a20－(－a5)4＋a20－a·(－a10)·(－a9)
＝－a20－a20＋a20－a20
＝－2a20.
例2 解：因为23a＝(2a)3＝27＝33，所以2a＝3.
因为22b＝(2b)2＝4＝(±2)2，所以2b＝±2.
所以2a＋2b的值为5或1.
例3 解：V＝(103)3＝109(cm3)．
即它的体积是109 cm3.
【课堂总结反思】
[反思] (1)①
(2)(a2)4·a－(a3)2·a3＝a8·a－a6·a3＝a9－a9＝0.
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．B 2.B
3．[解析] B 根据幂的乘方运算法则可得，
[(－a)2]3＝a6，(－a2)3＝－a6.因为a≠0，所以a6≠－a6.
4．C 5.B
6．[解析] A 100a＝(102)a＝(10a)2＝52＝25.
7．[答案] (1)m20 (2)p24 (3)a6
8．[答案] 0
9．[答案] 3
[解析] 原式可整理为a5m＝a15，
所以5m＝15，解得m＝3.
10．[答案] (a－b)4
11．[答案] 64 225
[解析] 逆用幂的乘方法则即可求解．
x6n＝(x2n)3＝43＝64，x6k·y4k＝(x3k)2·(y2k)2＝52×32＝225.
12．[解析] 正确选用运算法则计算，注意符号．
解：(1)原式＝－x4×7＝－x28.
(2)原式＝(－x)7×8＝x56.
(3)原式＝(a6)2－2(a2＋3＋1)2＝a12－2a12＝－a12.
(4)原式＝3x8·x9＋x·x16－x8·x6·x3＝3x17＋x17－x17＝3x17.
13．解：因为52·25x＝625，
所以52·52x＝54，
即52＋2x＝54，
所以2＋2x＝4，所以x＝1.
14．解：(1)(－x3n)2＝x6n＝(x2n)3＝53＝125.
(2)∵x2n＝(xn)2＝5，
∴xn＝±.
[数学活动]
1．[解析] 4x可转化成22x，32y可转化成25y，则22x·25y＝22x＋5y，把2x＋5y＝3整体代入．
解：4x·32y
＝(22)x·(25)y
＝22x·25y
＝22x＋5y.
因为2x＋5y＝3，所以原式＝23＝8.
[点评] 在解题时多注意公式及公式的逆用．
2．[解析] 首先原式变形为a＝3211，b＝8111，c＝6411，d＝2511，根据指数相同，由底数的大小就可以确定数的大小．
解：∵a＝255，b＝344，c＝433，d＝522，
∴a＝(25)11，b＝(34)11，c＝(43)11，d＝(52)11，
∴a＝3211，b＝8111，c＝6411，d＝2511.
∵81＞64＞32＞25，
∴8111＞6411＞3211＞2511，
∴b＞c＞a＞d.
课件11张PPT。第3章 整式的乘除第2课时 幂的乘方学知识筑方法勤反思知识点 幂的乘方运算3.1 同底数幂的乘法学知识指数相乘B43.1 同底数幂的乘法2类型一 同底数幂的乘法运算筑方法3.1 同底数幂的乘法[解析] 分清哪一部分是幂的乘方，哪一部分是同底数幂的乘法，然后分别依据两个运算法则进行计算．3.1 同底数幂的乘法3.1 同底数幂的乘法类型二 逆用幂的乘方法则求代数式的值3.1 同底数幂的乘法类型三 幂的乘方的简单应用3.1 同底数幂的乘法小结勤反思幂的乘方的意义幂的乘方3.1 同底数幂的乘法幂的乘方的应用幂的乘方的计算幂的乘方法则的逆用利用幂的乘方解决简单应用问题反思3.1 同底数幂的乘法①第3课时 积的乘方
知识点 积的乘方法则
积的乘方法则：(ab)n＝anbn(n是正整数)，即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
下列对(2x)3的计算正确的是( )
A．6x B．2x3
C．8x3 D．6x3
探究 一 多因式的积的乘方运算
教材例4变式题计算下列各式：
(1)(3xy2)2；(2)(－2ab3c2)4；(3)[2(x＋y)3]2.
[归纳总结] 进行积的乘方运算时，首先要确定积的因数的个数，然后根据积的乘方法则对每个因式进行乘方．当某个因式为多项式时，我们可以将其看作一个整体进行处理．
探究 二 逆用积的乘方法则进行简便运算
教材补充题计算：(－8)2016×.
[归纳总结] (1)一般来说，当幂的底数的乘积为1且指数较大时，常逆用积的乘方法则．
(2)逆用积的乘方法则时，一定要注意两个幂的指数是否相同．如果不相同，可以拆分为两个数的和，如本题中的2017可以化为2016＋1.
探究 三 积的乘方性质的简单应用
教材例5变式题球的体积公式为V＝πR3(其中V，R分别表示球的体积和半径)，木星可以近似地看成球体，木星的半径约是7.15×104 km，则木星的体积大约是多少？(单位：km3，π≈3.14)
[反思] 计算：(－2a4)3＋(－3a6)2－(a3·a)3.
解：(－2a4)3＋(－3a6)2－(a3·a)3＝－2a12＋3a12－a12① ＝0②.
(1)找错：从第________步开始出现错误；
(2)纠错：
一、选择题
1．计算(ab)2的结果是( )
A．2ab B．a2b
C．a2b2 D．ab2
2．计算：(－4x)2＝( )
A．－8x2 B．8x2 C．－16x2 D．16x2
3．－27x6y9等于( )
A．(－27x2y3)2 B．(－3x3y2)3
C．－(3x2y3)3 D．(－3x3y6)3
4．2016·成都计算(－x3y)2的结果是( )
A．－x5y B．x6y C．－x3y2 D．x6y2
5．如果(ambn)3＝a9b12，那么m，n的值分别为( )
A．m＝9，n＝4 B．m＝3，n＝4
C．m＝4，n＝3 D．m＝9，n＝6
6．下列算式中，结果不等于66的是( )
A．(22×32)3 B．(2×62)×(3×63)
C．63＋63 D．(22)3×(33)2
7．2016·青岛计算a?a5－(2a3)2的结果为( )
A．a6－2a5 B．－a6
C．a6－4a5 D．－3a6
8．计算(－0.75)n·的正确结果是( )
A．1 B．－1
C. D．－
二、填空题
9．计算：(1)(3a3)2＝________；
(2)(－3x2y3)2＝________．
10．计算：(3a2)3＋(a2)2·a2＝__________．
11．若(9m＋1)2＝316，则正整数m的值为________．
12．计算：(1)(－7)2016×＝__________；
(2)18n··＝________．
13．若m＝69，n＝96，则5454＝________．(用含m，n的代数式表示)
14．2015·大庆若a2n＝5，b2n＝16，则(ab)n＝________．
三、解答题
15．计算：[－2a3(m＋n)2]3.
16.计算：
(1)(anb3n)2＋(a2b6)n；
(2)(－2a)6－(－3a3)2－[－(2a)2]3.
17．用简便方法计算下列各题：
(1)×(－10)1001＋×；
(2)××.
18．请说明：不论a，b取何值，(－a2b)3－(a3)2·b3－(－a)4·(ab)2·(－2b)的值都与a，b无关．
19.正方体的棱长是3×102毫米，则它的表面积为多少毫米2？它的体积为多少毫米3?
1．[技巧性题目] 已知2x＋3·3x＋3＝36x－2，求x的值．
2．[技巧性题目] 已知x3n＝2，y2n＝3，求(x2n)3＋(yn)6－(x2y)3n·yn的值．
详解详析
教材的地位
和作用
本节课是继幂的乘方后的又一种幂的运算，该节课的学习应以前面几节所学内容为基础．通过对本节内容的学习，完成了从数到式的幂的乘法运算的全过程，完善了同底数幂的乘法体系．这些知识是以后学习分式和根式运算、函数等知识的基础，在后续的数学学习中具有重要意义
教
学
目
标
知识与技能
1.理解积的乘方法则；
2.会计算积的乘方；
3.会进行简单的幂的混合运算
过程与方法
在推导积的乘方法则的过程中，培养学生初步应用“转化”思想方法的能力，培养学生观察、概括的能力
情感、态度
与价值观
在推导积的乘方法则的过程中，学会从经验中归纳、猜想、概括，并从中享受到成功的乐趣
教学重点难点
重点
积的乘方法则
难点
积的乘方法则的推导过程
易错点
由于对积的乘方法则掌握不熟练，导致在运算过程中容易漏乘或错把系数与指数相乘
【预习效果检测】
[解析] C 根据积的乘方法则，可得(2x)3＝23·x3＝8x3.
【重难互动探究】
例1 [解析] 本题是多因式的积的乘方的运算题，依据积的乘方的运算性质，按步骤进行计算．
解：(1)(3xy2)2＝32·x2·(y2)2＝9x2y4.
(2)(－2ab3c2)4＝(－2)4·a4·(b3)4·(c2)4＝16a4b12c8.
(3)[2(x＋y)3]2＝22·[(x＋y)3]2＝4(x＋y)6.
例2 [解析] 逆用积的乘方法则．
解：(－8)2016×
＝(－8)2016××
＝×
＝12016×＝－.
例3 解：V＝πR3≈π×(7.15×104)3
＝π×7.153×1012≈1.53×1015(km3)．
答：木星的体积大约是1.53×1015 km3.
【课堂总结反思】
[反思] (1)①
(2)原式＝－8a12＋9a12－a12＝0.
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．C 2.D 3.C 4.D
5．[解析] B (ambn)3＝a3mb3n＝a9b12，所以3m＝9，3n＝12，则m＝3，n＝4.
6．C 7.D
8．[解析] D 原式＝×＝－.
9．[答案] (1)9a6 (2)9x4y6
10．[答案] 28a6
[解析] (3a2)3＋(a2)2·a2＝33(a2)3＋a4·a2＝27a6＋a6＝28a6.
11．[答案] 3
[解析] ∵316＝92(m＋1)＝(32)2(m＋1)＝34(m＋1)，
∴16＝4(m＋1)，解得m＝3.
12．[答案] (1)－ (2)1
[解析] 逆用幂的运算法则解题是训练思维的一种好途径．(1)(－7)2016×＝×＝12016×＝－.
(2)18n··＝18n··＝＝1n＝1.
13．[答案] m6n9
[解析] 灵活逆向运用积的乘方法则及幂的乘方运算法则即可求解.5454＝(6×9)54＝654×954＝(69)6×(96)9＝m6n9.
14．[答案] ±4
15．[解析] 本题的因式不是单个的字母或数的积的乘方的问题．分别把－2，a3，(m＋n)2看作积的因式，依据积的乘方的运算性质进行计算．
解：[－2a3(m＋n)2]3
＝(－2)3·(a3)3·[(m＋n)2]3
＝－8a9(m＋n)6.
16．解：(1)原式＝a2nb6n＋a2nb6n＝2a2nb6n.
(2)原式＝(－2)6·a6－(－3)2·(a3)2＋(4a2)3＝64a6－9a6＋64a6＝119a6.
17．[解析] 分析底数的特点是解本题的关键．然后逆用积的乘方法则和乘法运算即可简化两题，解此类题时要注意符号变化．注意－和－10，和3，8和都分别互为倒数．
解：(1)原式＝×(－10)＋×
＝－10－3
＝－13.
(2)原式＝×××
＝××＝－.
18．解：原式＝－a6b3－a6b3＋a4·a2b2·2b
＝－2a6b3＋2a6b3
＝0.
故不论a，b取何值，原式的值都与a，b无关．
19．解：正方体的表面积为6×(3×102)2＝6×9×104＝54×104＝5.4×105(毫米2)．
正方体的体积为(3×102)3＝27×106＝2.7×107(毫米3)．
[数学活动]
1．解：∵2x＋3·3x＋3＝36x－2，
∴6x＋3＝(62)x－2，
∴6x＋3＝62x－4，
∴x＋3＝2x－4，
∴x＝7.
2．[解析] 逆用积的乘方和幂的乘方是解决此类题的常规方法，灵活地转化可使计算简便．
解：(x2n)3＋(yn)6－(x2y)3n·yn
＝(x3n)2＋(y2n)3－x6ny3n·yn
＝(x3n)2＋(y2n)3－(x3n)2(y2n)2.
因为x3n＝2，y2n＝3，
所以原式＝22＋33－22×32＝4＋27－36＝－5.
课件13张PPT。第3章 整式的乘除第3课时 积的乘方学知识筑方法勤反思知识点 积的乘方法则3.1 同底数幂的乘法学知识C3.1 同底数幂的乘法类型一 多因式的积的乘方运算筑方法3.1 同底数幂的乘法[解析] 本题是因式的积的乘方的运算，依据积的乘方的运算法则，按步骤进行计算．3.1 同底数幂的乘法3.1 同底数幂的乘法类型二 逆用积的乘方法则进行简便运算3.1 同底数幂的乘法[解析] 逆用积的乘方法则进行计算．类型三 积的乘方性质的简单应用3.1 同底数幂的乘法小结勤反思积的乘方的意义积的乘方3.1 同底数幂的乘法积的乘方法则积的乘方的计算积的乘方法则的逆用利用积的乘方解决简单的应用问题反思3.1 同底数幂的乘法①3.2 单项式的乘法
知识点1 单项式乘单项式
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
1．计算：(1)a2·(6ab)；
(2)(2x)3·(－3xy2)；
(3)(－2xy)2·×6(xy2)2.
知识点2 单项式乘多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
2．计算：(1)3x3y(2xy2－3xy)；
(2)－2x(3x2－xy＋y2)．
探究 一 运用单项式的乘法进行计算
(1)ax2·(－8a3x3)；
(2)(2xy)2·(－3x)3·y；
(3)－3x·(2x2－x＋4)．
[归纳总结] (1)积的系数是所有系数的积，应注意符号；
(2)对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，要防止遗漏；
(3)单项式必须乘多项式的每一项，不能漏乘任何一项；
(4)计算过程中不要忽略各项的符号．
探究 二 运用单项式的乘法进行化简求值运算
教材补充题(1)先化简，再求值：8x2－5x(4y－x)＋4x，其中x＝－1，y＝3；
(2)已知x＋5y＝6，求x2＋5xy＋30y的值．
[反思] 计算：4x5·4x5.
解：原式＝(4＋4)x10①
＝8x10②.
(1)找错：从第________步开始出现错误；
(2)纠错：
一、选择题
1．计算3x3·2x2的结果是( )
A．5x5 B．6x5 C．5x6 D．6x9
2．计算2x(3x2＋1)，正确的结果是( )
A．5x3＋2x B．6x3＋1
C．6x3＋2x D．6x2＋2x
3．下列运算中，错误的是( )
A．3xy·(x2－2xy)＝3x2y－6x2y2
B．5x(2x2－y)＝10x3－5xy
C．5mn(2m＋3n－1)＝10m2n＋15mn2－5mn
D．(ab)2·(2ab2－c)＝2a3b4－a2b2c
4．若(mx4)·(4xk)＝－12x12，则适合条件的m，k的值是( )
A．m＝3，k＝8 B．m＝－3，k＝8
C．m＝3，k＝3 D．m＝－3，k＝3
5．一个长方体的长为5.4×102 mm，宽为100 mm，高为2×102 mm，则此长方体的体积为( )
A．1.08×105 mm3 B．1.08×106 mm3
C．1.08×107 mm3 D．1.08×108 mm3
二、填空题
6．计算：3a2b3·2a2b＝________．
7．当x＝1，y＝时，3x(2x＋y)－2x(x－y)＝________．
8．若－2xay·(－3x3yb)＝6x4y5，则a＝________，b＝________．
9．如图3－2－1，一个长方形菜园的长为a，宽为b，菜园里有一条横向宽度都为m的小路．则此菜园的种植面积为____________(除去小路的面积)．
图3－2－2
三、解答题
10．计算：
(1)5a2bx·；
(2)(－3a2b)2··ac2；
(3)3x(x2－2x－1)－2x2(x－2)．
11．若xm－2y3·x3m＝x2y3，求代数式m2－m＋的值．
12.有一块长为(6a2＋4b2)米、宽为5a4米的长方形铁皮，在它的四个角上各剪去一个边长为2a3米的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，问这个盒子的表面积是多少？
观察下列等式：
12×231＝132×21，
13×341＝143×31，
23×352＝253×32，
34×473＝374×43，
62×286＝682×26，
…
以上每个等式两边的数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”：
①52×________＝________×25；
②________×396＝693×________．
(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a＋b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a，b)，并说明理由．
详解详析
教材的地位
和作用
单项式的乘法是整式乘法的重要内容，是多项式乘法的基础．它是以幂的运算性质为基础，根据乘法交换律、结合律和分配律进行计算的．由于后续学习的多项式的乘法要转化为单项式的乘法，因此单项式的乘法将起到承前启后的作用，在整式乘法中占有基础性地位
教
学
目
标
知识与技能
1.探索并掌握单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘的法则；
2.会进行单项式的乘法计算
过程与方法
在探索并总结单项式的乘法法则过程中，培养学生观察、概括与抽象思维的能力
情感、态度
与价值观
经历适当地尝试，获得一些直接的经验，体验单项式乘法的运算规律，激发学生学习的兴趣
教学重点难点
重点
单项式与单项式和单项式与多项式相乘的运算法则及其应用
难点
如何灵活进行单项式的乘法运算
易错点
在单项式乘多项式过程中：①容易漏乘；②符号容易弄错
【预习效果检测】
1．[解析] 该题中各小题均属于单项式的乘法，可以直接利用单项式的乘法法则进行计算．其中的第(2)(3)题夹杂了乘方运算，按运算顺序要先算乘方．
解：(1)a2·(6ab)
＝·(a2·a)·b
＝2a3b.
(2)(2x)3·(－3xy2)
＝8x3·(－3xy2)
＝[8×(－3)]·(x3·x)·y2
＝－24x4y2.
(3)(－2xy)2··6(xy2)2
＝4x2y2··6x2y4
＝[4××6]·(x2·x3·x2)·(y2·y4)·z
＝－36x7y6z.
2．解：(1)3x3y(2xy2－3xy)
＝6x4y3－9x4y2.
(2)－2x(3x2－xy＋y2)
＝－6x3＋2x2y－2xy2.
【重难互动探究】
例1 解：(1)ax2·(－8a3x3)
＝·(a·a3)·(x2·x3)
＝－2a4x5.
(2)(2xy)2·(－3x)3·y＝4x2y2·(－27x3)·y＝－108x5y3.
(3)－3x·(2x2－x＋4)
＝－3x·2x2－3x·(－x)－3x·4
＝－6x3＋3x2－12x.
例2 [解析] 对于(1)题应按题目要求，先把代数式化成最简形式，然后再代入求值；(2)题应注意逆用单项式乘多项式的法则求值较为简便．
解：(1)原式＝－3x2－10xy.
当x＝－1，y＝3时，原式＝27.
(2)x2＋5xy＋30y＝x(x＋5y)＋30y＝6x＋30y＝6(x＋5y)＝36.
【课堂总结反思】
[知识框架]
系数 同底数幂 单项式 多项式的每一项
[反思] (1)①
(2)原式＝(4×4)x5＋5＝16x10.
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．B 2.C 3.A 4.B 5.C
6．[答案] 6a4b4
7．[答案] 5
[解析] 原式化简为4x2＋5xy，再将x＝1，y＝代入求值．
8．[答案] 1 4
[解析] 由已知得6xa＋3y1＋b＝6x4y5，故a＋3＝4且1＋b＝5，即a＝1，b＝4.
9．[答案] ab－bm
[解析] 将小路左边部分向右边平移，得到一个长为a－m，宽为b的长方形，故可求得面积．
10．解：(1)原式＝·(a2·a3)·b·(x·x)·c＝－a5bx2c.
(2)原式＝9a4b2··ac2＝－＝a4＋1＋1b2＋1c1＋2＝－a6b3c3.
(3)原式＝3x3－6x2－3x－2x3＋4x2＝x3－2x2－3x.
11．解：根据题意，得
m－2＋3m＝2，解得m＝1.
当m＝1时，原式＝×12－1＋＝0.
12．解：由题意，得
(6a2＋4b2)·5a4－4·(2a3)2
＝30a6＋20a4b2－4×4a6
＝(14a6＋20a4b2)(米2)．
答：这个盒子的表面积为(14a6＋20a4b2)米2.
[数学活动]
解：(1)①275 572 ②63 36
(2)一般规律的式子：(10a＋b)×[100b＋10(a＋b)＋a]＝[100a＋10(a＋b)＋b]×(10b＋a)．理由如下：
左边＝(10a＋b)×[100b＋10(a＋b)＋a]＝(10a＋b)(110b＋11a)＝11(10a＋b)(10b＋a)，
右边＝[100a＋10(a＋b)＋b]×(10b＋a)＝(110a＋11b)(10b＋a)＝11(10a＋b)(10b＋a)．
∵左边＝右边，
∴表示“数字对称等式”一般规律的式子成立．
课件12张PPT。第3章 整式的乘除3.2 单项式的乘法学知识筑方法勤反思知识点1 单项式乘单项式3.2 单项式的乘法学知识A3.2 单项式的乘法知识点2 单项式乘多项式3.2 单项式的乘法C－a3.2 单项式的乘法类型一 运用单项式的乘法进行计算筑方法3.2 单项式的乘法3.2 单项式的乘法3.2 单项式的乘法类型二 运用单项式的乘法进行化简求值3.2 单项式的乘法小结勤反思单项式乘单项式单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的________、______________分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式法则：单项式与多项式相乘，就是用__________去乘______________，再把所得的积相加化简求值单项式乘法的实际应用单项式乘多项式3.2 单项式的乘法系数同底数幂单项式多项式的每一项反思①3.2 单项式的乘法3.3 多项式的乘法
第1课时 简单多项式的乘法及应用
知识点 多项式乘多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，能合并同类项的需合并同类项．
可用字母表示为＝ab＋am＋nb＋nm.
计算：(2x＋y)(x－3y)．
探究 一 多项式乘多项式进行化简求值运算
教材例2变式题先化简，再求值：(x＋2)(x－2)－x(x－1)，其中x＝2017.
[归纳总结] 有关代数式的求值问题，无论题目是否要求“先化简，再求值”，一般都应先化简，再求值．
探究 二 多项式乘多项式与单项式的乘法及幂的运算的混合运算
计算： a(a－3b)＋(a＋b)(2a－b)－(2a)2＋4a·b.
[归纳总结] (1)应用多项式的乘法法则计算时，应注意法则的使用条件；
(2)运算时，遵循先乘方，再乘除，最后加减的运算顺序．
探究 三 多项式乘多项式的简单应用
教材作业题第4题变式题已知一个长方形的长为4，宽为3.若将长增加x，宽增加x.
(1)用代数式表示此时长方形的面积S；
(2)分别计算当x为0.5，2时，长方形的面积．
[反思] 计算：－2a(a2－2a＋1)．
解：原式＝－2a×a2＋(－2a)×(－2a)＋1①
＝－2a3＋4a2＋1②.
(1)找错：从第________步开始出现错误；
(2)纠错：
一、选择题
1．计算(x－2)(x＋3)的结果是( )
A．x2－6 B．x2＋6
C．x2＋x－6 D．x2－x－6
2．下列计算正确的是( )
A．(m－1)(m－2)＝m2＋2
B．(x＋y)(x＋y)＝x2＋y2
C．(x＋y)(x－2y)＝x2－xy－2y2
D．(2＋b)(1－2b)＝2b2－3b＋2
3．若(3x＋1)(－2x＋5)＝－6x2＋mx＋n，则m的值为( )
A．3 B．－2 C．13 D．5
4．如图3－3－1所示的阴影部分的面积为( )
图3－3－1
A．ac＋bc＋ad＋bd B．ab＋ac＋bd＋cd
C．ac＋bd＋ad D．ac＋bd＋bc
5．如果(x＋1)(2x＋m)的乘积中不含一次项，那么m的值为( )
A．2 B．－2 C．0.5 D．－0.5
二、填空题
6．2015·福州计算(x－1)(x＋2)的结果是________．
7．若(3x＋2)(－x－2)＝ax2＋bx＋c，则a＝________，b＝________，c＝________．
8．一辆汽车的速度为(a＋2b)千米/时，行驶(a－2b)小时的路程为________千米．
9．若a－b＝1，ab＝－2，则(b＋1)(a－1)＝________．
10．如图3－3－2，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为a＋2b、宽为a＋b的大长方形，那么需要C类卡片______张．
图3－3－2
三、解答题
11．计算：(a＋3)(a－1)＋a(a－2)．
12．先化简，再求值：
(1)(3x－2)(x－3)－2(x＋6)(x－5)＋3(x2－7x＋13)，其中x＝；
(2)(x－y)(x－2y)＋(x－2y)(x－3y)－2(x－3y)(x－4y)，其中x＝4，y＝.
13．一块长方形草坪的长是2x m，宽比长少4 m．如果将这块草坪的长和宽都增加3 m，那么面积会增加多少？求出当x＝2时，面积增加的值．
1．[技巧性题目] 利用多项式的乘法知识解决以下问题：若M＝123456789×123456786，N＝123456788×123456787，试比较M与N的大小．
2．分类讨论题已知等式(x＋a)(x＋b)＝x2＋mx＋28，其中a，b，m均为整数，你认为整数m可取哪些值？它与a，b的取值有关吗？请写出所有满足题意的整数m的值．
详解详析
教材的地位
和作用
本节内容是在单项式乘单项式、单项式乘多项式的基础上学习的，是整式乘法的一部分，是单项式的乘法、同底数幂相乘、幂的乘方等运算法则的综合运用．通过对本节课的学习，使学生对整式的乘法有了一个全面的认识，从中也体会了分配律的重要作用以及转化思想的运用
教
学
目
标
知识与技能
1.探索并理解多项式的乘法法则的产生过程；
2.掌握和体验多项式与多项式相乘的法则；
3.会运用单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则化简整式
过程与方法
逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养有条理的思考能力与探索能力，进一步体会转化思想，培养初步解决问题的能力
情感、态度
与价值观
在具体实例中体会数学的应用价值，体验用所学的数学知识解决实际问题带来的乐趣，进而培养学生的学习兴趣
教学重点难点
重点
多项式与多项式相乘及其应用
难点
多项式与多项式相乘的正确应用
易错点
在多项式乘多项式时，确定积中每一项的符号时容易出错
【预习效果检测】
解：(2x＋y)(x－3y)＝2x2－6xy＋yx－3y2＝
2x2－5xy－3y2.
【重难互动探究】
例1 解：原式＝x2－2x＋2x－4－x2＋x＝x－4.
当x＝2017时，原式＝2017－4＝2013.
例2 解：原式＝a2－3ab＋2a2－ab＋2ab－b2－4a2＋2ab＝－a2－b2.
例3 [解析] 长方形的长增加x后变为4＋x，宽增加x后变为3＋x.
解：(1)S＝(4＋x)(3＋x)＝12＋2x＋3x＋x2＝x2＋5x＋12.
(2)当x＝0.5时，S＝×0.52＋5×0.5＋12＝14.625.
当x＝2时，S＝×22＋5×2＋12＝24.
【课堂总结反思】
[知识框架]
相加 ab＋am＋nb＋nm
[反思] (1)①
(2)原式＝－2a×a2＋(－2a)×(－2a)＋(－2a)×1＝－2a3＋4a2－2a.
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．C
2．[解析] C A项，(m－1)(m－2)＝m2－3m＋2，故此选项错误．B项，(x＋y)(x＋y)＝x2＋2xy＋y2，故此选项错误．D项，(2＋b)(1－2b)＝－2b2－3b＋2，故此选项错误．
3．C 4.C
5．[解析] B (x＋1)(2x＋m)＝2x2＋mx＋2x＋m＝2x2＋(m＋2)x＋m.因为乘积中不含一次项，所以m＋2＝0，即m＝－2.
6．[答案] x2＋x－2
7．[答案] －3 －8 －4
[解析] 根据法则计算后对比就可求解．
因为(3x＋2)(－x－2)＝－3x2－6x－2x－4＝－3x2－8x－4＝ax2＋bx＋c，所以a＝－3，b＝－8，c＝－4.
8．[答案] (a2－4b2)
9．[答案] －2
[解析] (b＋1)(a－1)＝ab－b＋a－1＝－2＋1－1＝－2.
10．[答案] 3
[解析] (a＋2b)(a＋b)＝a2＋ab＋2ab＋2b2＝a2＋3ab＋2b2，故需C类卡片3张．
11．解：(a＋3)(a－1)＋a(a－2)＝a2＋2a－3＋a2－2a＝2a2－3.
12．解：(1)原式＝3x2－9x－2x＋6－2x2＋10x－12x＋60＋3x2－21x＋39＝4x2－34x＋105.
当x＝时，原式＝4×－34×＋105＝35.
(2)原式＝x2－2xy－xy＋2y2＋x2－3xy－2xy＋6y2－2x2＋8xy＋6xy－24y2＝6xy－16y2.
当x＝4，y＝时，
原式＝6×4×－16×＝0.
13．[解析] 该题取材于生活，体现了数学来源于生活，又服务于生活的特点，只要根据题意列出式子并化简即可．
解：(2x＋3)(2x－4＋3)－2x(2x－4)
＝(2x＋3)(2x－1)－(4x2－8x)
＝4x2－2x＋6x－3－4x2＋8x
＝(12x－3)(m2)．
当x＝2时，12×2－3＝21(m2)．
答：如果将这块草坪的长和宽都增加 3 m，那么面积会增加(12x－3)m2.当x＝2时，面积增加21 m2.
[数学活动]
1．解：令a＝123456788，则M＝(a＋1)(a－2)，N＝a(a－1)，所以M－N＝(a＋1)(a－2)－ a(a－1)＝(a2－a－2)－(a2－a)＝－2<0，由此得到M2．解：∵(x＋a)(x＋b)＝x2＋bx＋ax＋ab＝x2＋(a＋b)x＋ab＝x2＋mx＋28，∴ab＝28且a＋b＝m.
∵ab＝28＝1×28＝(－1) ×(－28)＝2×14＝(－2) ×(－14)＝4×7＝(－4)×(－7)，
∴m＝a＋b＝1＋28＝29或(－1)＋(－28)＝－29或2＋14＝16或(－2)＋(－14)＝－16或4＋7＝11或(－4)＋(－7)＝－11，即m与a，b的取值有关，m的值可能为29，－29，16，－16，11，－11.
课件13张PPT。第3章 整式的乘除第1课时 简单多项式的
乘法及应用学知识筑方法勤反思知识点 多项式乘多项式3.3 多项式的乘法学知识3.3 多项式的乘法类型一 多项式乘多项式的简单计算筑方法3.3 多项式的乘法3.3 多项式的乘法3.3 多项式的乘法类型二 进行多项式乘多项式的化简求值运算3.3 多项式的乘法类型三 多项式乘多项式的简单应用3.3 多项式的乘法3.3 多项式的乘法小结勤反思法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积________，即：(a＋n)(b＋m)＝________________多项式的乘法化简求值多项式乘多项式的计算多项式乘多项式的应用相加 ab＋am＋nb＋nm3.3 多项式的乘法反思3.3 多项式的乘法3.3 多项式的乘法3.3 多项式的乘法
第2课时 复杂多项式的乘法及应用
知识点 复杂多项式乘多项式的运算
较复杂多项式相乘，仍然遵循“先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”的法则．
[注意] (1)多项式相乘要注意多项式每一项的符号；(2)多项式相乘的结果要化为最简．
计算：(x－3)(2x2＋x－7)．
探究 一 多项式乘多项式的简单应用
教材例5变式题解方程：
(x－1)(2x－1)＝x(x＋2)＋x2－1.
[归纳总结] 解方程时，方程两边均化成整式，再移项，合并同类项，系数化为1即可．
探究 二 利用多项式乘多项式解决实际问题
教材补充题一个长方体的长为x cm，宽为(2x－3)cm，高为(x－1)cm，求这个长方体的体积．
[反思] 若多项式(mx2＋8x－1)(2－3x)展开后不含x2项，求m的值．
一、选择题
1．下列计算正确的是( )
A．a2·a3＝a6
B．5a(b－3a2)＝5ab－15a3
C．(a＋b)(a－2b)＝a2－2b2
D．(x－1)(x2＋2)＝x3＋2x－2
2．计算(x－1)(x2－1)的结果是( )
A．x3－1 B．x3－x2－x＋1
C．x3－x＋1 D．x3－x2＋1
3．如果(x－4)(2x2－x＋8)＝2x3＋mx2＋nx－32，那么m，n的值分别是( )
A．m＝9，n＝12 B．m＝9，n＝－12
C．m＝－9，n＝12 D．m＝－9，n＝－12
4．如果三角形的一边长为2a＋4，这条边上的高为2a2＋a＋1，那么这个三角形的面积为( )
A．2a3＋5a2＋3a＋2 B．4a3＋6a2＋6a＋4
C．(2a＋4)(2a2＋a＋1) D．2a3＋2
5．要使(x2＋px＋2)(x－q)的乘积中不含x2项，则p与q的关系是( )
A．互为倒数 B．互为相反数
C．相等 D．关系不能确定
6．由m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc，可得(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3＝a3＋b3，即(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3.我们把这个等式叫做多项式乘法的立方公式．下列应用这个公式进行的变形不正确的是( )
A．(x＋4y)(x2－4xy＋16y2)＝x3＋64y3
B．(2x＋y)(4x2－2xy＋y2)＝8x3＋y3
C．(a＋1)(a2＋a＋1)＝a3＋1
D．x3＋27＝(x＋3)(x2－3x＋9)
二、填空题
7．计算：(5b＋2)(2b－1)＝________；
(3a2－2)(3a＋2)＝________．
8．2015·菏泽若x2＋x＋m＝(x－3)(x＋n)对x恒成立，则n＝________．
9．三个连续整数中，n是最小的一个，这三个数的乘积为________．
10．(x3＋3x2＋4x－1)(x2－2x＋3)的展开式中，x4的系数是________．
11．已知一个梯形的上底是(x＋y)cm，下底是(5x－3y)cm，高是(2x＋y)cm，则用含x，y的代数式表示梯形的面积为________ cm2.
三、解答题
12．计算：
(1)(a＋2)(a－2)(2a－1)；
(2)3(x2＋2)－3(x＋1)(x－1)；
(3)(2a－b)2－(b2＋a－1)(2a＋1)．
13．确定下列各式中m的值．
(1)(x＋4)(x＋9)＝x2＋mx＋36；
(2)(x＋3)(x＋p)＝x2＋mx＋36.
14．解方程：x(2x＋3)－(x－5)(x＋3)＝x2＋1.
15．李老师刚买了一套2室2厅的新房，其结构如图3－3－3所示(单位：米)．施工方已经把卫生间和厨房根据合同约定铺上了地板砖，李老师打算把卧室1铺上地毯，其余铺地板砖．问：
(1)他至少需要多少平方米的地板砖？
(2)如果这种地板砖每平方米m元，那么李老师至少要花多少钱买地板砖？
图3－3－3
[创新题] (1)计算下列各式：
(x－1)(x＋1)＝__________；
(x－1)(x2＋x＋1)＝__________；
(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝__________．
(2)从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填写下面的空格．
(x－1)(______________)＝x6－1.
(3)利用你发现的规律计算：
(x－1)(x6＋x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1)＝__________.
(4)利用该规律计算：1＋4＋42＋43＋…＋42017.
详解详析
教材的地位
和作用
本节内容是多项式与多项式相乘的提高和拓展，是整式乘法的综合应用．本节内容是进一步学习乘法公式与因式分解的基础，因此本课时内容起着承上启下的作用
教
学
目
标
知识与技能
1.掌握复杂多项式与多项式相乘的法则及注意事项；
2.会利用多项式与多项式相乘进行说理等
过程与方法
进一步培养学生思考与探索的能力，体会通过转化思想来解决问题的能力
情感、态度
与价值观
在具体实例中体会用数学进行说理或化简的乐趣
教学重点难点
重点
复杂多项式的相乘
难点
多项式与多项式相乘的综合应用
易错点
由于积的项数较多且比较复杂，导致合并同类项时发生错误
【预习效果检测】
解：(x－3)(2x2＋x－7)＝2x3＋x2－7x－6x2－3x＋21＝2x3－5x2－10x＋21.
【重难互动探究】
例1 解：两边去括号，得2x2－x－2x＋1＝x2＋2x＋x2－1.
合并同类项，得2x2－3x＋1＝2x2＋2x－1.
化简，得5x＝2.
所以原方程的解为x＝.
例2 [解析] 长方体体积的计算公式为V＝长×宽×高．
解：根据题意，这个长方体的体积为
V＝x(2x－3)(x－1)
＝x(2x2－2x－3x＋3)
＝x(2x2－5x＋3)
＝(2x3－5x2＋3x)(cm3)．
【课堂总结反思】
[反思] (mx2＋8x－1)(2－3x)＝2mx2－3mx3＋16x－24x2－2＋3x＝－3mx3＋(2m－24)x2＋19x－2.
因为多项式展开后不含x2项，所以2m－24＝0，解得m＝12.
[点评] 多项式相乘后不含某一项，说明合并同类项后此项的系数为零．
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．B 2.B 3.C
4．[解析] A 三角形的面积＝×底×高＝×(2a＋4)×(2a2＋a＋1)＝(a＋2)(2a2＋a＋1)＝2a3＋a2＋a＋4a2＋2a＋2＝2a3＋5a2＋3a＋2.
5．[解析] C 原式＝x3－qx2＋px2－pqx＋2x－2q＝x3＋(p－q)x2＋(2－pq)x－2q，由于不含x2项，故p－q＝0，即p＝q.
6．C
7．[答案] 10b2－b－2 9a3＋6a2－6a－4
8．[答案] 4
9．[答案] n3＋3n2＋2n
10．[答案] 1
11．[答案] (6x2＋xy－y2)
12．解：(1)原式＝(a2－4)(2a－1)＝2a3－a2－8a＋4.
(2)原式＝3x2＋6－3(x2－1)＝3x2＋6－3x2＋3＝9.
(3)原式＝4a2－2ab－2ab＋b2－(2ab2＋b2＋2a2＋a－2a－1)
＝4a2－4ab＋b2－2ab2－b2－2a2－a＋2a＋1
＝2a2－2ab2－4ab＋a＋1.
13．解：(1)因为(x＋4)(x＋9)＝x2＋mx＋36，
所以x2＋13x＋36＝x2＋mx＋36，
所以m＝13.
(2)因为(x＋3)(x＋p)＝x2＋mx＋36，
所以x2＋(3＋p)x＋3p＝x2＋mx＋36，
所以
解得
所以m＝15.
14．解：2x2＋3x－x2－3x＋5x＋15＝x2＋1.
2x2＋3x－x2－3x＋5x－x2＝1－15.
5x＝－14，解得x＝－.
所以原方程的解为x＝－.
15．解：(1)用总面积减去厨房和卫生间的面积，再减去卧室1的面积即是所铺地板砖的面积，
列式为5b·5a－(5b－3b)·(5a－3a)－(5a－3a)·2b＝17ab(米2)．
(2)所花钱数：17ab·m＝17abm(元)．
[数学活动]
解： (1)x2－1 x3－1 x4－1
(2)发现规律：(x－1)(xn－1＋xn－2＋…＋x＋1)＝xn－1.
x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1
(3)x7－1
(4)因为(1＋4＋42＋43＋…＋42017)(4－1)＝42018－1，
所以1＋4＋42＋43＋…＋42017＝.
课件12张PPT。第3章 整式的乘除3.3 多项式的乘法学知识筑方法勤反思知识点 复杂多项式乘多项式的运算3.3 多项式的乘法学知识3.3 多项式的乘法Ca3＋b3类型一 复杂多项式的乘法运算筑方法3.3 多项式的乘法3.3 多项式的乘法3.3 多项式的乘法类型二 多项式乘多项式的简单应用3.3 多项式的乘法类型三 多项式乘法中的“不含”问题3.3 多项式的乘法小结勤反思多项式与多项式相乘整式化简求值3.3 多项式的乘法应用说理解方程实际应用反思3.3 多项式的乘法①3.4 乘法公式
第1课时 平方差公式
知识点 平方差公式
平方差公式的表述：
(1)数学表达式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
(2)语言叙述：
两数和与这两数差的积等于这两数的平方差．
计算下列各式：
(1)(3x＋2y)(3x－2y)；
(2)(－x＋2y2)(－x－2y2)；
(3).
探究 一 用平方差公式进行简便运算
教材例2变式题利用平方差公式进行简便运算：
(1)59.8×60.2；
(2)103×97.
[归纳总结] 用平方差公式进行简便运算的关键是将原式化成(a＋b)(a－b)的形式，a为两因式的和的一半，b为两因式的差的一半，如98×102中a＝＝100，b＝＝2，故98×102＝(100－2)(100＋2)．
探究 二 在整式的化简中，尝试多次运用平方差公式
教材补充题计算：(x2－2)(x4＋4)·(x2＋2)．
[归纳总结] 第一步使用中括号达到“一变”(变成平方差公式)，紧接着是“二套”“三计算”，并与“x4＋4”相乘，第二次使用平方差公式从而得出结果.探究 三 利用平方差公式解决实际问题
教材作业题第4题变式题学校有一块正方形草坪，草坪的边长为m米，根据学校的统一规划，草坪的南北方向将增加3米，草坪的东西方向将减少3米，问规划后的草坪和原来相比，面积是增加了还是减少了？变化了多少？
[反思] 下面两题运用平方差公式计算是否正确？若不正确．请改正．
(1)(a＋b)(－a－b)＝a2－b2；
(2)＝n2－m2.
一、选择题
1．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是( )
A．(x＋3)(3＋x)
B.
C．(－x＋y)(x－y)
D．(a2－b)(a＋b2)
2．下列运用平方差公式计算，错误的是( )
A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．(2x＋1)(2x－1)＝2x2－1
D．(－a＋b)(－a－b)＝a2－b2
3．若x＋y＝3，x2－y2＝12，则x－y的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
4．计算a2(a＋b)(a－b)＋a2b2的结果是( )
A．a4 B．a6 C．a2b2 D．a2－b2
5．与7x－y2的乘积等于y4－49x2的代数式是( )
A．7x＋y2 B．7x－y2
C．－7x＋y2 D．－7x－y2
6．计算(x2＋1)(x＋1)(x－1)的结果是( )
A．x4＋1 B. x4－1
C．(x＋1)4 D．(x－1)4
7．下面计算(－7＋a＋b)(－7－a－b)正确的是( )
A．原式＝[－(7－a－b)][－(7＋a＋b)]＝72－a2－b2
B．原式＝[－(7＋a)＋b][－(7＋a)－b]＝(7＋a)2－b2
C．原式＝(－7＋a＋b)[－7－(a＋b)]＝－72－(a＋b)2
D．原式＝(－7＋a＋b)[－7－(a＋b)]＝72－(a＋b)2
二、填空题
8．填空：(1)(________)·(－3x＋2y)＝9x2－4y2；
(2)·(________)＝－y2＋x2.
9．当x＝3，y＝1时，代数式(x＋y)(x－y)＋y2的值是________．
10．如图3－4－1①，可以求出阴影部分的面积是________(写成两数平方差的形式)，如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是________，长是________，面积是____________(写成多项式乘法的形式)．比较两个图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式____________________(用式子表示)．
图3－4－1
11．某公园原来有一块长方形草坪，经规划后，南北方向上要缩短12米，东西方向上要加长12米，结果改造后的草坪刚好是一个边长为x米的正方形．则改造后草坪面积________(填“增加”或“减少”)了________平方米．
三、解答题
12．计算：
(1)(5＋2x)(5－2x)；
(2)(－y2＋x)(x＋y2)．
13.化简：(1)2016·温州 (2＋m)(2－m)＋m·(m－1)；
(2)(2a＋1)(2a－1)－4a(a－1)．
14．[2015·泉州] 先化简，再求值：(x－2)(x＋2)＋x2(x－1)，其中x＝－1.
15．运用平方差公式计算：
(1)51×49；
(2)20162－2015×2017.
16．已知a－b＝30，b－c＝25，且a2－c2＝1650，求a＋c的值．
[阅读理解创新题] 我们在计算(2＋1)(22＋1)·(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)时，发现直接运算很麻烦，如果在算式前乘(2－1)，即1，原式的值不变，而且还使整个式子能用平方差公式计算．解答过程如下：
原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)·(216＋1)(232＋1)
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)
＝(24－1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)
＝
…
＝264－1.
你能用上述方法算出(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)的值吗？请试试看！
详解详析
教材的地位
和作用
本节课通过用所学过的多项式和多项式相乘的法则，计算两数和与两数差的积，从而得出平方差公式，并通过图形面积给出它的几何解释，既增加可信度和印象，又增强学生的学习兴趣．本节内容是后面学习因式分解、分式及解一元二次方程等知识的基础
教
学
目
标
知识与技能
1.经历探索平方差公式的过程，了解平方差公式的几何背景；
2.会运用平方差公式进行多项式的乘法运算及简便运算
过程与方法
通过平方差公式的探索和运用，培养学生的探索能力和归纳能力，培养学生的竞争意识和计算能力
情感、态度
与价值观
通过对平方差公式的探索和运用，初步认识到事物发展过程中“特殊——一般——特殊”的规律，激发学生学习数学的兴趣
教学重点难点
重点
平方差公式及其应用
难点
能灵活运用平方差公式
易错点
对公式理解不透彻，导致判断错误
【预习效果检测】
[解析] 观察各式，都可运用平方差公式计算．
解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)
＝9x2－4y2.
(2)(－x＋2y2)(－x－2y2)
＝(－x)2－(2y2)2
＝x2－4y4.
(3)
＝
＝－＝x2－y4.
【重难互动探究】
例1 [解析] (1)题中可把59.8与60.2看成60与0.2的差与和；
(2)题中可把103与97看成100与3的和与差．
解：(1)59.8×60.2＝(60－0.2)(60＋0.2)＝602－0.22＝3600－0.04＝3599.96.
(2)103×97＝(100＋3)(100－3)＝1002－32＝10000－9＝9991.
例2 [解析] 虽然本题按多项式法则直接展开括号可以得出，但是运算量较大．若两次使用平方差公式，则较为容易．
解：(x2－2)(x4＋4)(x2＋2)
＝[(x2－2)(x2＋2)](x4＋4)
＝(x4－4)(x4＋4)
＝(x4)2－42
＝x8－16.
例3 [解析] 草坪原来的面积与规划后的面积的差值即草坪变化的面积．
解：规划后草坪由正方形变为长方形，且长方形的长为(m＋3)米，宽为(m－3)米．
根据题意，得m2－(m＋3)(m－3)＝m2－m2＋9＝9(米2)．
答：规划后的草坪和原来相比，面积减少了9米2.
【课堂总结反思】
[知识框架]
平方差 a＋b a－b a2－b2
[反思] (1)错误．改正(a＋b)(－a－b)＝－a2－2ab－b2.
(2)错误．改正＝
＝－＝n2－m2.
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．B
2．[解析] C 运用平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．由此(2x＋1)(2x－1)＝4x2－1，所以C选项错误．故选C.
3．C 4.A 5.D 6.B 7.D
8．[答案] (1)－3x－2y (2)－y－x
9．[答案] 9
[解析] (x＋y)(x－y)＋y2＝x2－y2＋y2＝x2＝32＝9.
10．[答案] a2－b2 a－b a＋b (a＋b)(a－b)a2－b2＝(a＋b)(a－b)
11．[答案] 增加 144
[解析] 草坪变化的面积＝x2－(x＋12)(x－12)＝144(米2)．
12．(1)25－4x2 (2)x2－y4
13．解：(1)原式＝4－m2＋m2－m＝4－m.
(2)原式＝4a2－1－4a2＋4a＝4a－1.
14．解：原式＝x2－4＋x3－x2＝x3－4.
当x＝－1时，原式＝－5.
15．解：(1)51×49＝(50＋1)(50－1)＝502－12＝2499.
(2)原式＝20162－(2016－1)×(2016＋1)＝20162－(20162－1)＝1.
16．[解析] 因为(a＋c)(a－c)＝a2－c2＝1650，要求a＋c的值，必知a－c的值．而观察a－b＝30，b－c＝25的特点，两式相加可求出a－c＝55，所以a＋c的值能求出．
解：由a－b＝30，b－c＝25，可得a－c＝55.
因为a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝1650，
所以a＋c＝1650÷(a－c)＝1650÷55＝30.
[数学活动]
解：(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)
＝(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)÷2
＝(32－1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)÷2
＝(34－1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)÷2
＝(38－1)(38＋1)(316＋1)÷2
＝(316－1)(316＋1)÷2
＝(332－1)．
课件13张PPT。第3章 整式的乘除第1课时 平方差公式学知识筑方法勤反思知识点 平方差公式3.4 乘法公式学知识C3.4 乘法公式类型一 运用平方差公式计算筑方法3.4 乘法公式3.4 乘法公式3.4 乘法公式类型二 用平方差公式进行简便运算[解析] (1)题中可把79.5与80.5分别看成80与0.5的差与和；
(2)题中可把109与91分别看成100与9的和与差．3.4 乘法公式3.4 乘法公式类型三 利用平方差公式解决实际问题3.4 乘法公式3.4 乘法公式小结勤反思两数和与这两数差的积等于这两数的________．
即(________)·(________)＝________平方差公式化简计算平方差a＋b应用a－b a2－b23.4 乘法公式反思3.4 乘法公式3.4 乘法公式
第2课时 完全平方公式
知识点 完全平方公式
两数和与差的完全平方公式：
(1)数学表达式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
(2)语言叙述：两数和(或差)的平方，等于这两数的平方和，加上(或减去)这两数积的2倍．
[注意] 完全平方公式的结构特征：左边是两个数或两个代数式和或差的平方，右边展开式是一个二次三项式，且首、尾两项分别是这两个数或两个代数式的平方，中间是这两个数或两个代数式的积的2倍(或其相反数)．右边简记为“首平方，尾平方，积的2倍放中央”．式中a，b可以表示一个数、一个字母、一个单项式、多项式或其他代数式．
1．计算(x＋3)2的结果为x2＋□x＋9，则“□”中的数为( )
A．－3 B．3 C．－6 D．6
2．用完全平方公式计算：
(1)(5＋3p)2； (2)(2x－7y)2；
探究 一 应用完全平方公式求代数式的值
教材补充题利用完全平方公式计算：
(1)已知x＋y＝a，xy＝b，求x2＋y2的值；
(2)若x＋y＝3，x－y＝1，求xy的值．
[归纳总结] 完全平方公式的常见变形：
(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；
(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；
a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；
a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；
ab＝[(a＋b)2－(a2＋b2)]；
ab＝[(a2＋b2)－(a－b)2]；
a2＋b2＝[(a＋b)2＋(a－b)2]；
ab＝[(a＋b)2－(a－b)2]．
探究 二 利用完全平方公式解决实际问题
教材例4变式题一块正方形桌布铺在正方形的茶几上，四周刚好都垂下8 cm.如果设桌布的边长为x cm，那么桌布下垂部分的面积为多少？
[反思] 数学课上，老师要求大家利用乘法公式简便计算2962的值，喜欢数学的小刚的解题过程如下：
2962＝(300－4)2＝3002－2×300×(－4)＋42＝90000＋2400＋16＝92416.
你认为小刚的解题过程正确吗？若不正确，请写出正确的解题过程．
一、选择题
1．下列各式中，与(a－1)2相等的是( )
A．a2－1 B．a2－2a＋1
C．a2－2a－1 D．a2＋1
2．下列计算正确的是( )
A．(x＋y)2＝x2＋y2
B．(x－y)2＝x2－2xy－y2
C．(x＋2y)(x－2y)＝x2－2y2
D．(－x＋y)2＝x2－2xy＋y2
3．计算(m＋1)(－m－1)的结果是( )
A．－m2－2m－1 B．－m2－1
C．－m2＋2m－1 D．m2－1
4．若x2＋mx＋9是一个完全平方式，则m的值是( )
A．3 B．－6
C．±3 D．±6
5．计算(a＋2b)2－(a－2b)2的结果是( )
A．8ab B．4b2
C．0 D．2a2＋8b2
6．设(5a＋3b)2＝(5a－3b)2＋M，则M＝( )
A．60ab B．30ab C．15ab D．12ab
7．如果36x2－mxy＋49y2可以写成(ax－by)2(其中a，b为正整数)的形式，那么( )
A．a＝36，m＝84，b＝49
B．a＝6，m＝－84，b＝7
C．a＝6，m＝84，b＝7
D．a＝6，m＝±84，b＝7
8．如图3－4－2①是一个长为2a，宽为2b(a＞b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四个形状和大小都一样的小长方形，然后按图②所示的方式拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是( )
图3－4－2
A．2ab B．(a＋b)2
C．(a－b)2 D．a2－b2
二、填空题
9．教材上，公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2是由公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2推导得出的，该推导过程的第一步是(a－b)2＝__________．
10．化简：(1－x)2＋2x＝________．
11．2016·巴中若a＋b＝3，ab＝2，则(a－b)2＝________．
12．一个正方形的边长为a cm，若边长增加4 cm，则它的面积增大________ cm.
13．将多项式x2＋4加上一个整式，使它成为一个完全平方式，试写出满足上述条件的三个整式：________、________、________．
14．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图3－4－3甲，我们可以得到两数和的平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.根据图乙能得到的数学公式是________________________________________________________________________．
图3－4－3
三、解答题
15．利用完全平方公式计算：
(1)(4x－3y)2； (2)；
(3)632; (4)19992.
16．2016·无锡计算：(a－b)2－a(a－2b)．
17．2015·江西先化简，再求值：2a(a＋2b)－(a＋2b)2，其中a＝－1，b＝.
18．计算：(1)(x－2y)(x＋2y)－(x＋2y)2；
(2)(2a＋1)2－(1－2a)2；
(3).
19．现有两个边长为a米的正方形，如果把其中一个正方形的边长增加b米，把另一个正方形的边长减少b米，问变化后的这两个正方形的面积之差是多少？
1．利用我们学过的知识，可以导出下面这种形式的优美等式：
a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
(1)请你检验这个等式的正确性；
(2)若a＝2016，b＝2017，c＝2018，你能很快求出a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值吗？
2.已知x＋y＝2，xy＝－1，求x8＋y8的值．
详解详析
教材的地位
和作用
本节课通过利用多项式乘法法则和图形解释而得到完全平方公式，进而理解和运用完全平方公式，对以后学习因式分解，解一元二次方程都具有举足轻重的作用
教
学
目
标
知识与技能
1.掌握完全平方公式；
2.会用完全平方公式进行多项式的乘法运算
过程与方法
通过完全平方公式的运用，培养学生的语言表达能力和运用公式计算的能力
情感、态度
与价值观
通过多项式的乘法到完全平方公式的计算，培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的思维能力，培养学生合作交流的能力和创新意识
教学重点难点
重点
掌握完全平方公式的特点及正确运用公式进行计算
难点
灵活运用完全平方公式
易错点
平方差公式与完全平方公式相混淆，导致出错
【预习效果检测】
1．[解析] D 由(x＋3)2＝x2＋6x＋9与计算(x＋3)2的结果为x2＋□x＋9相比较，根据多项式相等的知识，即可求得答案．
∵(x＋3)2＝x2＋6x＋9，
∴“□”中的数为6.故选D.
2．[解析] 应用完全平方公式计算，关键要分清公式中的a，b分别代表什么．
解：(1)这是两个数的和的平方，应选用“和”的完全平方公式，其中5和3p分别是公式中的a和b.
(5＋3p)2＝52＋2×5×3p＋(3p)2＝25＋30p＋9p2.
(2)这是两个数的差的平方，应选用“差”的完全平方公式，其中2x和7y分别是公式中的a和b.
(2x－7y)2＝(2x)2－2×2x×7y＋(7y)2＝4x2－28xy＋49y2.
也可以直接选用“和”的完全平方公式．
(2x－7y)2＝[2x＋(－7y)]2＝(2x)2＋2×2x×(－7y)＋(－7y)2＝4x2－28xy＋49y2.
【重难互动探究】
例1 [解析] 完全平方公式揭示了a±b，a2＋b2，ab之间的关系，利用三者之间的关系，即可解决本题中的问题．
解：(1)因为(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2，
所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy.
又因为x＋y＝a，xy＝b，
所以x2＋y2＝a2－2b.
(2)因为(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2，(x－y)2＝x2－2xy＋y2，
所以(x＋y)2－(x－y)2＝4xy，
所以xy＝[(x＋y)2－(x－y)2]．
又因为x＋y＝3，x－y＝1，
所以xy＝×(32－12)＝2.
例2 [解析] 桌布的面积为x2 cm2，桌子的面积为(x－8×2)2cm2，以上两者的差就是所求的结果．
解：x2－(x－8×2)2＝x2－(x2－32x＋256)＝(32x－256)(cm2)．
答：桌布下垂部分的面积为(32x－256)cm2.
【课堂总结反思】
[知识框架]
a2＋2ab＋b2 a2－2ab＋b2
[反思] 不正确．正确的解题过程如下：2962＝(300－4)2＝3002－2×300×4＋42＝90000－2400＋16＝87616.
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．B 2.D
3．[解析] A (m＋1)(－m－1)＝－(m＋1)(m＋1)＝－(m＋1)2＝－m2－2m－1.故选A.
4．[解析] D ∵x2＋mx＋9＝(x±3)2＝x2±6x＋9，∴m＝±6.
5．A
6．[解析] A M＝(5a＋3b)2－(5a－3b)2＝(25a2＋30ab＋9b2)－(25a2－30ab＋9b2)＝60ab.故选A.
7．C 8.C
9．[答案] [a＋(－b)]2
10．[答案] 1＋x2
11．[答案] 1
12．[答案] (8a＋16)
13．[答案] 4x －4x
14．[答案] (a－b)2＝a2－2ab＋b2
[点评] 利用数形结合，联系甲图中的两数和的完全平方公式便可推导出两数差的完全平方公式．
15．[解析] 先确定使用哪个完全平方公式，其中(2)题可以把各项符号改变后再应用完全平方公式计算；(3)(4)题把底数写成两个数的和与差即可．
解：(1)(4x－3y)2
＝(4x)2－2×4x×3y＋(3y)2
＝16x2－24xy＋9y2.
(2)
＝
＝＋2×a×b＋
＝a2＋2ab＋b2.
(3)632＝(60＋3)2＝602＋2×60×3＋32＝3969.
(4)19992＝(2000－1)2＝20002－2×2000×1＋12＝3996001.
16．解：原式＝a2－2ab＋b2－a2＋2ab＝b2.
17．解：原式＝(a＋2b)[2a－(a＋2b)]
＝(a＋2b)(a－2b)
＝a2－4b2.
把a＝－1，b＝代入，原式＝－11.
18．解：(1)(x－2y)(x＋2y)－(x＋2y)2
＝x2－4y2－(x2＋4xy＋4y2)
＝－8y2－4xy.
(2)(2a＋1)2－(1－2a)2
＝(4a2＋4a＋1)－(1－4a＋4a2)
＝8a.
(3)
＝－
＝－＝－
＝－81x4＋x2－.
19．[解析] 分别求出变化后的两个正方形的面积，再计算它们的差．
解：边长增加b米的正方形的面积为(a＋b)2平方米，
边长减少b米的正方形的面积为(a－b)2平方米，
则两正方形的面积之差为(a＋b)2－(a－b)2＝4ab(米2)．
答：变化后的这两个正方形的面积之差是4ab平方米．
[数学活动]
1．[解析] 检验这个等式的正确性，我们可以运用逆运算，从右边向左边检验；已知a，b，c的值，将各字母的值代入即可．
解：(1)左边＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]
＝(a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2)＝a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝右边．
(2)a2＋b2＋c2－ab－ac－bc
＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]
＝[(2016－2017)2＋(2017－2018)2＋(2018－2016)2]＝3.
2．解：∵x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝22＋2＝6，
x4＋y4＝(x2＋y2)2－2x2y2＝62－2×(－1)2＝34，
∴x8＋y8＝(x4＋y4)2－2x4y4＝342－2＝1154.
课件16张PPT。第3章 整式的乘除第2课时 完全平方公式学知识筑方法勤反思知识点 完全平方公式3.4 乘法公式学知识D3.4 乘法公式[解析] 应用完全平方公式计算，关键要分清公式中的a，b分别代表什么．3.4 乘法公式3.4 乘法公式类型一 熟练掌握完全平方公式筑方法3.4 乘法公式A3.4 乘法公式3.4 乘法公式类型二 应用完全平方公式求代数式的值[解析] 完全平方公式揭示了a±b，a2＋b2，ab之间的关系，利用三者之间的关系，即可解决本题．3.4 乘法公式3.4 乘法公式3.4 乘法公式类型三 利用完全平方公式解决实际问题3.4 乘法公式3.4 乘法公式小结勤反思(a＋b)2＝
____________平方差公式化简计算a2＋2ab＋b2应用3.4 乘法公式(a-b)2＝
____________ a2-2ab＋b2反思3.4 乘法公式3.5 整式的化简
知识点 整式的化简
整式的化简应遵循先乘方、再乘除、最后算加减的顺序．能运用乘法公式的则运用公式．
计算：(1)(x－y)2－(x＋y)(x－y)；
(2)(2a＋1)2－2(2a＋1)＋3.
探究 一 整式的化简求值
教材课内练习第2题变式题先化简，再求值：(a－b)2＋a(2b－3a)，其中a＝－，b＝3.
[归纳总结] 化简求值的重点还是化简，所以熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
探究 二 利用整式化简解决实际问题
教材例2变式题某品牌的智能吸尘器在A，B两个商场的售价都是m元．因市场经销变化，A商场中该种智能吸尘器连续两次提价n%；B商场中该种智能吸尘器先降价n%，后又提价n%.问经过两次变化后，A，B两商场中该智能吸尘器的差价是多少元？当m＝1000，n＝10时，求两商场该种智能吸尘器的差价．
[归纳总结] 利用整式化简解决实际问题的关键是依照题意列出式子.
[反思] 本节中整式的化简应注意哪些方面？
一、选择题
1．下列运算正确的是( )
A．4a－a＝3
B．2(2a－b)＝4a－b
C．(a＋b)2＝a2＋b2
D．(a＋2)(a－2)＝a2－4
2．若(－mx－3y)(mx－3y)＝－49x2＋9y2，则m的值为( )
A．－7 B．7
C．±7 D．不能确定
3．若(2a－3b)2＋N＝4a2＋ab＋9b2，则N为( )
A．5ab B．11ab
C．－11ab D．13ab
4．2016·白银、张掖若x2＋4x－4＝0，则3(x－2)2－6(x－1)(x＋1)的值为( )
A．－6 B．6
C．18 D．30
5．计算(x－2)2(x＋2)2(x2＋4)2等于( )
A．x4－16 B．x8－256
C．x8－32x4＋256 D．x8＋32x4＋256
6．如图3－5－1，给出了正方形ABCD的面积的四
图3－5－1
个表达式，其中错误的是( )
A．(x＋a)(x＋a)
B．x2＋a2＋2ax
C．(x－a)(x－a)
D．(x＋a)a＋(x＋a)x
7．为了应用平方差公式计算，必须先适当变形，下列变形正确的是( )
A.
B.
C.
D.
8．要使4a2＋2a变为一个完全平方式，则需加上的常数是( )
A．2 B．－2 C．－ D.
二、填空题
9．已知a＋b＝2，则a2－b2＋4b的值是________．
10．如果计算(a＋m)的结果中不含关于a的一次项，那么m的值为________．
11．定义为二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad－bc，那么当x＝1时，二阶行列式的值为________．
12．一个长方形的长为(x＋3)m，宽为(x－2)m，从中剪去一个边长为(x－2)m的正方形，则剩余部分的面积为________m2.
三、解答题
13．计算：
(1)(3x－2y)2－(3x＋2y)2；
(2)2(x＋1)2－4(x＋1)(x－1)＋2(x－1)2.
14.2016·扬州先化简，再求值：(a＋b)(a－b)－(a－2b)2，其中a＝2，b＝－1.
15．若x2＋mx＋n与x3＋2x－1乘积的结果中不含x3项和x2项，求m，n的值．
16．某商店经营一种产品，定价为12元/件，每天能售出8件，而每降价x元，则每天可多售出(x＋2)件．
(1)试写出降价x元后，每天的销售总收入是多少元；
(2)当降价2元时，商家的总收入是多少？
17．设a1＝32－12，a2＝52－32，…，an＝(2n＋1)2－(2n－1)2(n为正整数)．
(1)探究an是不是8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；
(2)若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数为“完全平方数”．试找出a1，a2，…，an，…这一列数中，从小到大排列的4个完全平方数；
(3)任取n的一个值，使an是一个完全平方数．
1．7张如图3－5－2①所示的长为a，宽为b(a＞b)的小长方形纸片，按图②的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分(两个长方形)用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足( )
图3－5－2
A．a＝a B．a＝3b
C．a＝b D．a＝4b
2.已知a2＋a－1＝0，求代数式a4＋3a3－a2－4a＋2017的值．
详解详析
教材的地位
和作用
本节内容是在学生学习了平方差公式和完全平方公式后而安排的一堂巩固提高、综合应用课，旨在使学生明白整式化简时公式的选用和公式在实际问题中的应用，提高综合应用知识的能力
教
学
目
标
知识与技能
1.掌握整式的加、减、乘、乘方混合运算顺序；
2.会利用加、减、乘、乘方运算将整式化简；
3.会利用加、减、乘、乘方运算解决简单的实际问题
过程与方法
培养学生初步解决问题的能力和正确、迅速的运算能力，使学生逐步形成独立思考、主动探索的习惯
情感、态度
与价值观
体会数学与生活之间的密切联系，在一定程度上了解数学的应用价值，从而产生一定的数学兴趣
教学重点难点
重点
整式的化简及其应用
难点
在化简中根据整式的特点确定合理的运算顺序
易错点
对乘法公式掌握不熟练，导致错用公式进行化简
【预习效果检测】
解：(1)原式＝x2－2xy＋y2－(x2－y2)＝2y2－2xy.
(2)原式＝(4a2＋4a＋1)－4a－2＋3＝4a2＋2.
【重难互动探究】
例1 [解析] 原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括号、合并同类项得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求值．
解：原式＝a2－2ab＋b2＋2ab－3a2＝－2a2＋b2.
当a＝－，b＝3时，原式＝－2×＋32＝8.
例2 解：m(1＋n%)2－m(1－n%)(1＋n%)＝m＝(mn＋mn2)(元)．
当m＝1000，n＝10时，原式＝×1000×10＋×1000×102＝220(元)．
【课堂总结反思】
[反思] 略．
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．D 2.C
3．[解析] D 原等式的左边＝4a2－12ab＋9b2＋N，故－12ab＋N＝ab，N＝13ab.故选D.
4．B
5．[解析] C 逆用积的乘方公式．
(x－2)2(x＋2)2(x2＋4)2
＝[(x－2)(x＋2)(x2＋4)]2
＝[(x2－4)(x2＋4)]2＝(x4－16)2
＝x8－32x4＋256.故选C.
6．C 7.D
8．[解析] D 设常数为m2，则2×2m＝2，解得m＝，即m2＝.
9．[答案] 4
[解析] 由a＋b＝2，可得a2＝(2－b)2＝4－4b＋b2，则a2－b2＋4b＝4.
10．[答案] －
11．[答案] －1
[解析] 由题意，得＝(x＋1)(x－1)－1＝x2－2.当x＝1时，原式＝－1.
12．[答案] (5x－10)
13．(1)－24xy (2)8
14．解：原式＝a2－b2－a2＋4ab－4b2＝4ab－5b2. 当a＝2，b＝－1时，原式＝4×2×(－1)－5×(－1)2＝－13.
15．解：根据题意，得(x2＋mx＋n)(x3＋2x－1)
＝x5＋2x3－x2＋mx4＋2mx2－mx＋nx3＋2nx－n
＝x5＋mx4＋(2＋n)x3＋(2m－1)x2＋(2n－m)·x－n.
因为结果中不含x3项和x2项，
所以2＋n＝0，2m－1＝0，
所以m＝，n＝－2.
16．解：(1)每天的销售总收入为
(12－x)(8＋x＋2)＝(12－x)(10＋x)
＝(120＋2x－x2)(元)．
(2)当x＝2时，
120＋2x－x2＝120＋4－4＝120(元)．
即当降价2元时，商家的总收入为120元．
17．解：(1)因为an＝(2n＋1)2－(2n－1)2＝8n，
所以an是8的倍数．
结论：任意两个连续奇数的平方差都是8的倍数．
(2)4个完全平方数为16，64，144，256.
(3)因为an＝8n＝23n＝2×22n＝22×2n，
当n＝2时，an＝22×2×2＝16(答案不唯一)．
[数学活动]
1．B
2．[解析] 显然根据已学的知识不能直接求得a的值，故考虑整体思想，将a2＝1－a整体代入．
解：由a2＋a－1＝0得a2＝1－a，
∴原式＝(a2)2＋3a·a2－a2－4a＋2017
＝(1－a)2＋3a(1－a)－(1－a)－4a＋2017
＝－2a2－2a＋2017
＝－2(1－a)－2a＋2017
＝2015.
课件12张PPT。第3章 整式的乘除3.5 整式的化简学知识筑方法勤反思知识点 整式的化简3.5 整式的化简学知识A3.5 整式的化简3.5 整式的化简类型一 整式的化简求值筑方法3.5 整式的化简3.5 整式的化简类型二 较复杂的化简求值3.5 整式的化简类型三 利用整式化简解决实际问题3.5 整式的化简3.5 整式的化简小结勤反思整式的混合运算整式的化简利用整式的化简解决相关应用问题3.5 整式的化简反思3.5 整式的化简3.6 同底数幂的除法
第1课时 同底数幂的除法
知识点1 同底数幂的除法运算
同底数幂的除法法则：am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，且m>n)．
即同底数幂相除，底数不变，指数相减．
计算：
(1)a7÷a4；
(2)－x5÷(－x3)；
(3)(m－1)7÷(1－m)2.
探究 一 幂的乘除混合运算
教材补充题计算：
(1)(－x)6÷(－x)3×(－x)2；
(2)x3·(2x3)2÷(x4)2.
[归纳总结] 幂的乘除混合运算与整数的乘除混合运算的法则一样，都是先算乘方再算乘除．
探究 二 逆用同底数幂的除法法则
教材补充题已知3m＝6，27n＝2，求32m－3n的值．
[反思] 计算：(x3)2÷x5－(－x2)·(－x)2÷x3.
解：(x3)2÷x5－(－x2)·(－x)2÷x3＝x6÷x5－x4÷x3①＝x－x②＝0.③
(1)找错：从第________步开始出现错误；
(2)纠错：
一、选择题
1．下列运算正确的是( )
A．(a2)3＝a5 B．a2·a3＝a6
C．a8÷a2＝a4 D．a6÷a2＝a4
2．计算a2·a4÷(－a2)2的结果是( )
A．a B．a2 C．－a2 D．a3
3．25m÷5m等于( )
A．5 B．20 C．5m D．20m
4．2016·巴中下列计算正确的是( )
A．(a2b)2＝a2b2
B．a6÷a2＝a3
C．(3xy2)2＝6x2y4
D．(－m)7÷(－m)2＝－m5
5．若等式( )÷4n＝4n成立，则括号中应填的代数式为( )
A．4n B．8n
C．82n D．42n
6．计算(－a4)3÷[(－a)3]4的结果是( )
A．－1 B．1 C．0 D．－a
7．若3x＝4，9y＝7，则3x－2y的值为( )
A. B. C．－3 D.
二、填空题
8．计算：(－2)6÷(－2)2的结果是________．
9．计算a2·a3÷a4的结果是________．
10．若A÷(－a3n－2)3＝a2，则A＝____________．
11．若(am)3÷a2＝a4，则m＝________．
三、解答题
12．计算：
(1)(x8)2÷x8；
(2)(ab2)4÷(ab2)2；
(3)(x＋y)7÷(－x－y)4·(x2＋2xy＋y2)；
(4)(a6÷a2)2÷[(a9÷a3)·a2]．
13．已知am＝3，an＝5，求a4m－3n的值．
14．已知2a－3b－4c＝4，求4a÷8b÷24c的值．
[创新题] 月球与地球的距离s＝3.84×105 km，地球的半径R≈6×103 km.
(1)s是R的多少倍？
(2)已知太阳的半径约是地球半径的102倍，则太阳的体积约是地球体积的多少倍？(球体积的计算公式为V＝R3，R为半径)
详解详析
教材的地位
和作用
本节内容是整式除法的基础，学生在此之前学习了同底数幂的乘法及幂的乘方与积的乘方，这些内容为本节课的学习做了很好的铺垫；
本节课是整式的乘法和幂的意义的综合应用，是整式的四大基本运算之一
教
学
目
标
知识与技能
1.理解同底数幂相除的法则；
2.会用同底数幂相除的法则进行同底数幂相除的运算
过程与方法
经历探索同底数幂的除法的运算法则的过程，进一步体会幂的意义，提高学生的推理能力和有条理的表达能力
情感、态度
与价值观
在探索同底数幂的除法法则的过程中获取成功的经验，建立自信心，提高学习数学的兴趣
教学重点难点
重点
同底数幂的除法及应用
难点
底数较复杂的同底数幂的除法运算
易错点
在非同底数幂相除前，底数的统一较易出错
【预习效果检测】
解：(1)原式＝a7－4＝a3.
(2)原式＝x5÷x3＝x5－3＝x2.
(3)原式＝(m－1)7÷(m－1)2＝(m－1)7－2＝(m－1)5.
【重难互动探究】
例1 解：(1)原式＝(－x)3×(－x)2＝(－x)5＝－x5.
(2)原式＝x3·4x6÷x8＝4x9÷x8＝4x.
例2 [解析] 逆用同底数幂的除法法则，把32m－3n转化为含有3m和27n的形式．
解：32m－3n＝32m÷33n
＝(3m)2÷27n＝62÷2＝18.
【课堂总结反思】
[知识框架]
不变 相减
[反思] 解：(1)①
(2)(x3)2÷x5－(－x2)·(－x)2÷x3＝x6÷x5＋x4÷x3＝x＋x＝2x.
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．D 2.B
3．[解析] C 原式＝(52)m÷5m＝52m÷5m＝5m.
4．D 5.D 6.A
7．[解析] A 3x－2y＝3x÷32y＝3x÷9y＝4÷7＝.
8．[答案] 16
9．[答案] a
10．[答案] －a9n－4
[解析] A＝a2·(－a3n－2)3＝－a2·a9n－6＝－a9n－4.
11．[答案] 2
12．解：(1)(x8)2÷x8＝(x8)2－1＝x8.
(2)(ab2)4÷(ab2)2＝(ab2)4－2＝(ab2)2＝a2b4.
(3)(x＋y)7÷(－x－y)4·(x2＋2xy＋y2)
＝(x＋y)7÷(x＋y)4·(x＋y)2
＝(x＋y)7－4＋2＝(x＋y)5.
(4)(a6÷a2)2÷[(a9÷a3)·a2]
＝(a4)2÷(a6·a2)
＝a8÷a8
＝1.
13．解：因为am＝3，an＝5，
所以a4m－3n
＝a4m÷a3n
＝(am)4÷(an)3
＝34÷53＝.
14．解：4a÷8b÷24c
＝22a÷23b÷24c
＝22a－3b－4c
＝24
＝16.
[数学活动]
[解析] (1)题直接相除即可求解；(2)题有两种解法：一是把太阳和地球的体积都求出来再计算，二是直接用公式求解．
解：(1)s÷R＝(3.84×105)÷(6×103)＝(3.84÷6)×102＝64.
故s是R的64倍．
(2)V太阳÷V地球＝(πR太阳3)÷(πR地球3)＝R太阳3÷R地球3＝(R太阳÷R地球)3＝(102)3＝106.
故太阳的体积约是地球体积的106倍．
课件12张PPT。第3章 整式的乘除第1课时 同底数幂的除法学知识筑方法勤反思知识点 同底数幂的除法运算3.6 同底数幂的除法学知识C x243.6 同底数幂的除法类型一 同底数幂的除法运算筑方法3.6 同底数幂的除法3.6 同底数幂的除法类型二 幂的乘除混合运算3.6 同底数幂的除法3.6 同底数幂的除法类型三 逆用同底数幂的除法法则3.6 同底数幂的除法3.6 同底数幂的除法小结勤反思法则：同底数幂相除，底数________，指数________．即am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，且m>n)同底数幂的除法幂的运算法则的运用同底数幂的除法运算不变相减逆用同底数幂的除法法则3.6 同底数幂的除法反思①3.6 同底数幂的除法3.6 同底数幂的除法
第2课时 零指数幂与负整数指数幂
知识点1 零指数幂与负整数指数幂的概念
零指数幂的意义：规定：a0＝1(a≠0)，即任何不等于零的数的零次幂都等于1.
负整数指数幂的意义：a－p＝(a≠0，p是正整数)．即任何不等于零的数的－p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数．
1．下列说法中，正确的是( )
A．(m－1)0的值总等于1
B．3－3表示－3个3相乘
C．a－m＝－am
D．a－m(a≠0，m是正整数)表示m个a乘积的倒数
知识点2 科学记数法表示绝对值较小的数
对于绝对值较小的数，我们可以用a×10－n来表示，其中n的值为第一个非零数前的零的个数．例如0.00123＝1.23×10－3.
2．某种生物细胞的直径约为0.00056 m，将0.00056用科学记数法表示为( )
A．0.56×10－3 B．5.6×10－4
C．5.6×10－5 D．56×10－5
探究 一 零指数幂与负整数指数幂的有关计算
教材例5变式计算：
(1)20＋2－1；(2)(－)－2×()0；
(3)(－3)4÷36.
[归纳总结] 正确理解零指数幂与负整数指数幂的意义，依据规定进行计算，这样才不易出错．
探究 二 科学记数法表示绝对值较小的数
教材例4变式题2016?苏州肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007 mm，0.0007用科学记数法表示为( )
A．0.7×10－3 B．7×10－3
C．7×10－4 D．7×10－5
[反思] 计算：－12x4y3z÷(－3x3y2)．
解：原式＝－12÷(－3) x4－3y3－2①＝－4xy.②
(1)找错：从第________步开始出现错误；
(2)纠错：
一、选择题
1．计算：＝( )
A．－2 B．2 C．1 D．－1
2．下列运算正确的是( )
A．x2·x3＝x6 B．3－2＝－6
C．(x3)2＝x5 D．40＝1
3．下列说法中正确的是( )
A．(π－3.14)0没有意义
B．任何数的零次幂都等于1
C．一个不等于0的数的倒数的－p次幂(p是正整数)等于它的p次幂
D．计算(33－3×9)0的结果是1
4．2016·宜宾科学家在实验中检测出某微生物细胞的直径约为0.0000035米，将0.0000035用科学记数法表示为( )
A．3.5×10－6 B．3.5×106
C．3.5×10－5 D．35×10－5
5．2015·厦门2－3可以表示为( )
A．22÷25
B．25÷22
C．22·25
D．(－2)×(－2)×(－2)
6．计算10－×22017的结果是( )
A．－2 B．－1
C．2 D．3
二、填空题
7．计算：30－2－1＝________．
8．计算：(1)3－3＝________；(2)10－3＝________；
(3)1－20＝________；(4)20160＝________．
9．纳米是非常小的长度单位，已知1纳米＝10－6毫米．已知某种病毒的直径约为100纳米，若将这种病毒排成1毫米长，则病毒的个数是________．
10．当m________时，(m－2)0＝1成立．
11．(1)已知34000＝3.4×10x，则x＝________；
(2)已知0.0000283＝2.83×10x，则x＝________________________________________________________________________；
(3)已知100＝0.1x，则x＝________．
三、解答题
12．用整数或分数表示下列各数．
(1)； (2)－2；
(3)； (4).
13．计算：
(1)5－2÷2－3；
(2)－；
(3)＋＋；
(4)÷(－2)3×(－2)－2.
14.(1)2016·台州计算：－＋2－1；
(2)2016·嘉兴、舟山计算：|－4|×(－1)0－2；
(3)计算：(－3)0－－(－1)2017－|－2|＋(－)－2.
1．已知(x－2)x－5＝1，则x＝________．
2．比较下列各数的大小，并用“＝”和“<”把各数连接起来．
104，100，10－4，(10－2)2，(102)－2，.
详解详析
教材的地位
和作用
本节内容是在学生系统地学习了幂的运算后而安排学习的，符合学生从易到难的认知规律．本节中零指数幂和负整数指数幂是同底数幂的除法的特殊情形．通过对本节内容的学习，同底数幂的除法运算的指数从正整数推广到了整数，完善幂的运算知识
教
学
目
标
知识与技能
1.了解零指数幂与负整数指数幂的概念；
2.能用科学记数法表示绝对值较小的数；
3.了解幂运算的法则可以推广到整数指数幂
过程与方法
经历探索零指数幂和负整数指数幂的法则的过程，进一步体会幂的意义，提高推理能力和有条理的表达能力
情感、态度
与价值观
在探索零指数幂和负整数指数幂的法则的过程中获取成功的体验，建立自信心，提高学习数学的兴趣
教学重点难点
重点
零指数幂和负整数指数幂的概念
难点
认识零指数幂和负整数指数幂的产生过程
易错点
在用科学记数法表示绝对值较小的数时，10的幂的次数较易出错
【预习效果检测】
1．[解析] D 因为按规定，在(m－1)0＝1中，m－1≠0，当m－1＝0时，(m－1)0无意义，所以选项A不正确．因为负整数指数幂有其特殊的意义，不能按照正整数指数幂的意义理解，所以选项B不正确．因为a－m＝≠－am，所以选项C不正确．故选D.
2．B
【重难互动探究】
例1 解：(1)原式＝1＋＝.
(2)原式＝(－5)2×1＝25.
(3)原式＝3－2＝.
例2 [解析] C 0.0007＝7×10－4.故选C.
【课堂总结反思】
[反思] (1)①
(2)原式＝－12÷(－3) x4－3y3－2z＝－4xyz.
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．C
2．[解析] D x2·x3＝x5，故A项错.3－2＝＝，故B项错．(x3)2＝x6，故C项错．D项正确．
3．C 4.A 5.A
6．[解析] B 10－×22017＝1－×22017＝1－×2＝1－2＝－1.
7．[答案]
8．[答案] (1) (2)0.001 (3)1 (4)1
9．[答案] 104
[解析] 1÷(100×10－6)＝1÷10－4＝1÷＝104(个)．
10．[答案] ≠2
11．[答案] (1)4 (2)－5 (3)－2
12．解：(1)＝.
(2)＝＝16.
(3)＝＝.
(4)＝＝＝16.
13．解：(1)5－2÷2－3＝÷＝＝.
(2)－＝1－＝1－9＝－8.
(3)＋＋＝＋1＋＝
＋1＋25＝26.
(4)÷(－2)3×(－2)－2＝(－2)－2÷(－2)3×(－2)－2＝(－2)－2－3－2＝(－2)－7＝－.
14．解：(1)原式＝2－＋＝2.
(2)原式＝4×1－2＝2.
(3)原式＝1－3＋1－2＋9＝6.
[数学活动]
1．[答案] 5，3，1
[解析] 当x－5＝0，即x＝5时，得30＝1；当x－2＝1，即x＝3时，得1－2＝1；当x－2＝－1，即x＝1时，得(－1)－4＝1，所以x＝5，3，1.
2．[解析] 根据幂的运算性质，先把各数化为整数或小数．
解：104＝10000，
100＝1，
10－4＝＝＝0.0001，
(10－2)2＝10－4＝0.0001，
(102)－2＝10－4＝0.0001，
＝＝104＝10000.
因为0.0001<1<10000，
所以10－4＝(10－2)2＝(102)－2<100<104＝.
课件14张PPT。第3章 整式的乘除第2课时 零指数幂与
负整数指数幂学知识筑方法勤反思知识点1 零指数幂与负整数指数幂的概念3.6 同底数幂的除法学知识D3.6 同底数幂的除法3.6 同底数幂的除法知识点2 用科学记数法表示绝对值较小的数3.6 同底数幂的除法B3.6 同底数幂的除法类型一 零指数幂与负整数指数幂的有关计算筑方法3.6 同底数幂的除法3.6 同底数幂的除法类型二 用科学记数法表示绝对值较小的数3.6 同底数幂的除法C3.6 同底数幂的除法小结勤反思零指数幂与负整数指数幂负整数指数幂的意义零指数幂的意义用科学记数法表示绝对值较小的数3.6 同底数幂的除法零指数幂与负整数指数幂的简单应用反思3.6 同底数幂的除法①3.6 同底数幂的除法3.7 整式的除法
知识点1 单项式除以单项式
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
1．计算：
(1)÷(3x2y)；
(2)(10a4b3c2)÷(5a3bc)；
(3)(2a＋b)4÷(2a＋b)2.
知识点2 多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
即(a＋b＋c)÷m＝a÷m＋b÷m＋c÷m(m≠0)．
2．计算：
(1)(6ab＋8b)÷(2b)；
(2)(21m3－28m2＋35m)÷(7m)；
探究 一 整式的乘除法的混合运算
计算：(1) 5a2b÷·(2ab2)；
(2)[x(3－4x)＋2x2(x－1)]÷(－2x)．
[归纳总结] (1)对于单项式乘除的混合运算应注意运算顺序．
(2)多项式除以单项式所得商的项数等于被除式的项数．
(3)多项式除以单项式所得商的各项符号，当除式的系数为正数时，与被除式各项对应的符号相同；当除式的系数为负数时，与被除式各项对应的符号相反．
探究 二 应用整式除法解决实际问题
教材补充题在1610年，意大利天文学家伽利略观测到在土星的球状本体旁有奇怪的附属物．在空间探测以前，从地面观测得知土星环有五个，其中包括三个主环(A环，B环，C环)和两个暗环(D环，E环)．其中A环的内半径为1.215×105公里，外半径为1.37×105公里；B环的内半径为9.15×104公里，外半径为1.165×105公里，环的宽度＝外半径－内半径，则A环的宽度是B环的多少倍？
[反思] 小明做一多项式除以a的作业时，由于粗心，误以为乘a，结果得到8a4b－4a3＋2a2.你知道正确的结果是多少吗？
一、选择题
1．计算6m3÷(－3m2)的结果是( )
A．－3m B．－2m C．2m D．3m
2．已知(8a3bm)÷(28anb2)＝b2，则m，n的值为( )
A．m＝4，n＝3 B．m＝4，n＝1
C．m＝1，n＝3 D．m＝2，n＝3
3．当a＝时，代数式(28a3－28a2＋7a)÷(7a)的值是( )
A．6.25 B．0.25 C．－2.25 D．－4
4．已知6x3y5与一个多项式的积为24x3y7－18x5y5＋2x·(6x3y3)2，则这个多项式为( )
A．4y2－3x2 B．4xy2－3x2y
C．4y2－3x2＋12x4y D．4y2－3x2＋6x3y
5．2016·聊城地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积约是太阳体积的( )
A．7.1×10－6倍 B．7.1×10－7倍
C．1.4×106倍 D．1.4×107倍
二、填空题
6．计算：(1)28m6n4p÷__________＝－4m2n2；
(2)__________÷(xy)2＝－xy2z.
7．计算：3a3·a2－2a7÷a2＝________.
8．已知a＝1.6×109，b＝4×103，则a2÷2b的值为____________．
9．定义a?b＝(a2b＋ab＋ab2)÷ab，其中a，b都不为零，则2?(3?4)＝________．
三、解答题
10．计算：
(1)(21a3－7a2＋14a)÷(7a)；
(2)(2ax)2·÷.
11．已知x－y＝5，求式子[(x2＋y2)－(x－y)2＋2y(x－y)]÷2y的值．
12．已知一个长方形的面积为4a2－6ab＋2a，若它的一边长为2a，则它的周长是多少？
13．光的速度大约为3×108米/秒，地球与太阳的距离大约为1.5×1011米．那么，太阳光从发出到照射到地球上需要多长时间？
[阅读理解题] 阅读下列材料：因为(x－1)(x＋4)＝x2＋3x－4，所以(x2＋3x－4)÷(x－1)＝x＋4，这说明x2＋3x－4能被(x－1)整除，同时也说明多项式x2＋3x－4有一个因式为(x－1)；另外，当x＝1时，多项式x2＋3x－4的值为0.
(1)根据上面的材料猜想：多项式的值为0，多项式有一个因式为(x－1)，多项式能被(x－1)整除，这之间存在着一种什么样的联系？
(2)探求规律：一般地，如果有一个关于字母x的多项式M，当x＝k时，M的值为0，那么M与代数式x－k之间有何种关系？
(3)应用：已知x－3能整除x2＋kx－15，求k的值．
详解详析
教材的地位
和作用
在学生学习了整式乘法和同底数幂的除法法则之后安排整式的除法，是对整式乘法和同底数幂除法法则的复习，同时又在此基础上拓展学习了新的知识．教材中对整式的除法较以前版本有所弱化，因此应适当控制运算的难度
教
学
目
标
知识与技能
1.掌握单项式除以单项式的运算法则；
2.掌握多项式除以单项式的运算法则；
3.会进行单项式除以单项式、多项式除以单项式以及简单的乘除混合运算
过程与方法
明确单项式除以单项式、多项式除以单项式运算的算法，培养学生有条理的分析能力
情感、态度
与价值观
经历单项式除以单项式的运算法则的探索过程，体会合情推理在数学学习中的地位和作用，进一步感受转化思想的广泛应用
教学重点难点
重点
单项式除以单项式的运算法则和多项式除以单项式的运算法则
难点
理解单项式除以单项式的运算法则的导出过程
易错点
在多项式除以单项式时容易漏项和出现符号错误
【预习效果检测】
1．[解析] 对于(1)(2)题直接根据单项式除以单项式法则运算即可．(3)中应把(2a＋b)看成一个整体来运用单项式除以单项式法则计算，不可将(2a＋b)2展开．
解：(1)原式＝·x2－2y3－1＝－y2.
(2)原式＝(10÷5)a4－3b3－1c2－1＝2ab2c.
(3)原式＝(2a＋b)4－2＝(2a＋b)2＝4a2＋4ab＋b2.
2．[解析] 本例都可直接应用多项式除以单项式法则进行计算．
解：(1)原式＝6ab÷(2b)＋8b÷(2b)
＝3a＋4.
(2)原式＝21m3÷(7m)－28m2÷(7m)＋35m÷(7m)
＝3m2－4m＋5.
【重难互动探究】
例1 解：(1)原式＝[5÷×2]a2－1＋1·b1－1＋2＝－30a2b2.
(2)原式＝(3x－4x2＋2x3－2x2)÷(－2x)
＝2x3÷(－2x)－6x2÷(－2x)＋3x÷(－2x)
＝－x2＋3x－.
例2 解：根据环的宽度的算法，A环的宽度为1.37×105－1.215×105＝1.55×104(公里)，B环的宽度为1.165×105－9.15×104＝2.5×104(公里)，则A环的宽度是B环宽度的(1.55×104)÷(2.5×104)＝0.62(倍)．
【课堂总结反思】
[反思] (8a4b－4a3＋2a2)÷＝32a2b－16a＋8.
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．[解析] B 6m3÷(－3m2)＝[6÷(－3)]·(m3÷m2)＝－2m.
2．A 3.B
4．[解析] C 根据已知条件转化为多项式除以单项式来求解．
[24x3y7－18x5y5＋2x·(6x3y3)2]÷6x3y5
＝(24x3y7－18x5y5＋72x7y6)÷6x3y5
＝4y2－3x2＋12x4y.
5．B
6．[答案] (1)(－7m4n2p) (2)
[解析] 根据“除式＝被除式÷商式”“被除式＝商式×除式”计算，28m6n4p÷(－4m2n2)＝－7m4n2p，(xy)2·(－xy2z)＝x2y2·(－xy2z)＝－x3y4z.
7．[答案] a5
8．[答案] 3.2×1014
9．[答案] 11
[解析] a?b＝(a2b＋ab＋ab2)÷ab＝a＋1＋b.
故2?(3?4)＝2?(3＋1＋4)＝2?8＝2＋8＋1＝11.
10．(1)3a2－a＋2 (2)ax4y
11．解：原式＝(4xy－2y2)÷2y＝2x－y.
∵x－y＝5，
∴原式＝2＝10.
12．解：长方形的另一边长为÷2a＝2a－3b＋1，所以长方形的周长为2(2a－3b＋1＋2a)＝8a－6b＋2.
13．解：设太阳光从发出到照射到地球上需要t秒，
则t·3×108＝1.5×1011.
解得t＝500.
答：太阳光从发出到照射到地球上需要500秒．
[数学活动]
解：(1)若多项式有一个因式为(x－1)，则x－1＝0，即x＝1时，多项式的值为0；若多项式有一个因式为(x－1)，则多项式必能被(x－1)整除．
(2)多项式M能被(x－k)整除．
(3)由x－3＝0得x＝3，且x－3能整除x2＋kx－15，
∴当x＝3时，多项式x2＋kx－15的值为0，
即32＋3k－15＝0，
∴k＝2.
课件15张PPT。第3章 整式的乘除3.7 整式的除法学知识筑方法勤反思知识点1 单项式除以单项式3.7 整式的除法学知识相除C－4x23.7 整式的除法知识点2 多项式除以单项式这个单项式3.7 整式的除法 3a＋2b3.7 整式的除法类型一 整式的除法运算筑方法3.7 整式的除法3.7 整式的除法3.7 整式的除法类型二 整式乘除法的混合运算3.7 整式的除法3.7 整式的除法类型三 应用整式除法解决实际问题3.7 整式的除法3.7 整式的除法小结勤反思单项式除以单项式的法则整式的除法应用整式除法解决实际问题多项式除以单项式的法则单项式除以单项式的计算多项式除以单项式的计算3.7 整式的除法反思3.7 整式的除法课件18张PPT。第3章 整式的乘除本章总结提升整合提升知识框架第3章 整式的乘除 知识框架本章总结提升互逆运算整合提升问题1 同底数幂的运算本章总结提升本章总结提升AA本章总结提升本章总结提升问题2 整式的乘除与化简求值本章学过的乘法公式有哪些？它们分别有什么结构特点？怎样运用乘法分式进行合理变形？本章总结提升本章总结提升本章总结提升本章总结提升问题3 零指数幂与负整数指数幂在研究同底数幂除法的过程中，我们先后规定了零指数幂、负整数指数幂的意义，使幂的运算性质适用于一切整数指数幂，零指数幂与负整数指数幂是怎样规定的？你能体会这两个规定的合理性吗？本章总结提升本章总结提升本章总结提升问题4 用科学记数法表示绝对值小于1的数用科学记数法表示数时，对a有什么规定？本章总结提升B本章总结提升问题5 整体思想整体思想在整式的求值中有怎样的应用？本章总结提升本章总结提升
