第三章 整式的乘除解答题精选（含解析）

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第三章整式的乘除解答题精选
题号 一 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得 分

解答题（共35小题）
1．计算：
（1）（x﹣1）2+x（3﹣x）
（2）（x2y﹣1）2?（x﹣1y2）3÷（﹣x﹣1y）4
2．计算：
（1）﹣（﹣2）+（π﹣3.14）0+
（2）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中x＝，y＝﹣1．
3．若mp＝，m2q＝7，mr＝﹣，求m3p+4q﹣2r的值
4．先化简，再求值：
（1）[x2+y2﹣（x+y）2+2x（x﹣y）]÷4x，其中x﹣2y＝2
（2）（mn+2）（mn﹣2）﹣（mn﹣1）2，其中m＝2，n＝．
5．如图，图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形．

（1）图②中的大正方形的边长等于　 　，图②中的小正方形的边长等于　 　；
（2）图②中的大正方形的面积等于　 　，图②中的小正方形的面积等于　 　；图①中每个小长方形的面积是　 　；
（3）观察图②，你能写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式间的等量关系吗？　 　．
6．我们规定：a﹣p＝（a≠0），即a的负P次幂等于a的p次幂的倒数．例：4﹣2＝
（1）计算：5﹣2＝　 　；（﹣2）﹣2＝　 　；
（2）如果2﹣p＝，那么p＝　 　；如果a﹣2＝，那么a＝　 　；
（3）如果a﹣p＝，且a、p为整数，求满足条件的a、p的取值．
7．（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是　 　；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它长为　 　；宽为　 　；面积为　 　．
（2）由（1）可以得到一个公式：　 　．
（3）利用你得到的公式计算：20182﹣2019×2017．

8．【规定】＝a﹣b+c﹣d．
【理解】例如：＝3﹣2+1﹣（﹣3）＝5．
【应用】先化简，再求值：，其中x＝﹣2，y＝﹣．
9．阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
请你根据上述解题思路解答下面问题：
（1）已知a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，求（a+b）（a2﹣b2）的值．
（2）已知a﹣c﹣b＝﹣10，（a﹣b）?c＝﹣12，求（a﹣b）2+c2的值．
10．甲乙两人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；由于乙漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．请你计算出a、b的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果．
11．阅读下列计算过程：99×99+199＝992+2×99+1＝（99+1）2＝1002＝104
（1）计算：
999×999+1999＝　 　＝　 　＝　 　＝　 　；
9999×9999+19999＝　 　＝　 　＝　 　＝　 　
（2）猜想9999999999×9999999999+19999999999等于多少？写出计算过程．
12．乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1：　 　；方法2：　 　．
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．　 　；
（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：
（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；
②已知（x﹣2016）2+（x﹣2018）2＝34，求（x﹣2017）2的值．

13．如图，将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请用两种方法表示该图形的总面积（用含a、b的代数式表示出来）；
（2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝57，ab＝12，求a+b的值；
（3）已知（5+2x）2+（2x+3）2＝60，求（5+2x）（2x+3）的值．

14．先化简，再求值：，其中a＝1，b＝﹣2．
15．小红家有一块L形的菜地，要把L形的菜地按如图所示分成两块面积相等的梯形，种上不同的蔬菜．这两个梯形的上底都是am，下底都是bm，高都是（b﹣a）m．
（1）求小红家这块L形菜地的面积．（用含a、b的代数式表示）
（2）当a＝10，b＝30时，求小红家这块L形菜地的面积．

16．用4个相同的小长方形与1个小正方形密铺而成的大正方形图案如图所示，已知大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，用x、y（x＞y）分别表示小长方形的两边长．
（1）求x2+y2的值；
（2）求xy的值．

17．在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1方式放置（两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．当a＝5，b＝4，AD﹣AB＝2时，若图1中阴影部分的面积为1，求AB的长．

18．如图，某小区规划在一个长30米、宽20米的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．设通道的宽为x米，种植花草的面积为S平方米．
（1）用含x的代数式表示S（要求有计算过程，结果化简）；
（2）当x＝2时，求S的值．

19．长方形和正方形按如图的样式摆放，求图中阴影部分的面积．

20．甲、乙两长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为S1、S2．
（1）用“＜”或“＞”号填空：S1　 　S2；
（2）若一个正方形与甲的周长相等．
①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）；
②若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S1的差（即S3﹣S1）是否为常数？若为常数，求出这个常数；如果不是，请说明理由；
（3）若满足条件0＜n＜|S1﹣S2|的整数n有且只有10个，求m的值．

21．阅读下面材料，解答问题：将4个数a、b、c、d排列成2行2列，两边各加一条竖线，记为叫做二阶行列式．意义是＝ad﹣bc．例如：＝5×8﹣6×7＝﹣2．
（1）请你计算的值；
（2）若＝9，求x的值．
22．如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个小长方形．拿掉边长为n的小正方形纸板后，再将剩下的三块拼成一个新长方形．
（1）用含m和n的代数式表示拼成的新长方形的周长；
（2）根据两个图形的面积关系，得到一个数学公式，请你写出这个数学公式．

23．如图1，长方形的两边长分别为m+3，m+13；如图2的长方形的两边长分别为m+5，m+7．（其中m为正整数）

（1）写出两个长方形的面积S1，S2，并比较S1，S2的大小；
（2）现有一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等．试探究该正方形的面积与长方形的面积的差是否是一个常数，如果是，求出这个常数；如果不是，说明理由．
（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于S1，S2之间（不包括S1，S2）且面积为整数，这样的整数值有且只有19个，求m的值．
24．已知（x+y）2＝9，（x﹣y）2＝25，分别求x2+y2和xy的值．
25．阅读材料：若“三角形”表示运算a﹣b+c，表示运算ad﹣bc，求：当x＝﹣1，y＝2时，×的值．
26．符号已知称为二阶行列式，他的运算法则＝ad﹣bc，例如＝2×4﹣3×（﹣5）＝23，请根据二阶行列式的法则化简，并求出当x＝﹣2时的值．
27．乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．

（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1：　 　；方法2：　 　
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．　 　
（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：
（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；
②已知（2018﹣a）2+（a﹣2017）2＝5，求（2018﹣a）（a﹣2017）的值．
28．通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式，
①如图1，根据图中阴影部分的面积可表示为　 　，还可表示为　 　，可以得到的恒等式是　 　
②类似地，用两种不同的方法计算同一各几何体的体积，也可以得到一个恒等式，如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个恒等式，这个恒等式是　 　．

29．（1）如图1，正方形ABCD和CEFG的边长分别为a、b，用含a、b的代数式表示△AEG的面积．S△AEG＝　 　．
（2）如图2，边长为a的正方形ABCD、边长为b的正方形CEFG和边长为c的正方形MNHF的位置如图所示，点G在线段AN上，则S△AEN＝　 　．（请直接写出结果，不需要过程）

30．乘法公式的探究及应用：

（1）如图，可以求出阴影部分的面积是　 　（写成两数平方差的形式）；
（2）如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是　 　，长是　 　，面积是　 　（写成多项式乘法的形式）；
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　 　（用式子表达）；
（4）运用你所得到的公式，计算下列式子：（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
31．如图，正方形ABCD中，点G是边CD上一点（不与端点C，D重合），以CG为边在正方形ABCD外作正方形CEFG，且B、C、E三点在同一直线上，设正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b（a＞b）．
（1）分别用含a，b的代数式表示图1和图2中阴影部分的面积S1、S2；
（2）如果a+b＝5，ab＝3，求S1的值；
（3）当S1＜S2时，求a﹣2b值的正负．

32．特殊两位数乘法的速算﹣﹣如果两个两位数的十位数字相同，个位数字相加为10，那么能立即说出这两个两位数的乘积．如果这两个两位数分别写作AB和AC（即十位数字为A，个位数字分别为B、C，B+C＝10，A＞3），那么它们的乘积是一个4位数，前两位数字是A和（A+1）的乘积，后两位数字就是B和C的乘积．如：47×43＝2021，61×69＝4209．
（1）请你直接写出83×87的值；
（2）设这两个两位数的十位数字为x（x＞3），个位数字分别为y和z（y+z＝10），通过计算验证这两个两位数的乘积为100x（x+1）+yz．
（3）99991×99999＝　 　．
33．观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1，
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27，
（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216，
……
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（　 　）＝a3+b3；
（2）运用上述规律猜想：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝　 　；并利用多项式的乘法法则，通过计算说明此等式成立；
（3）利用（1）（2）中的结论化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）．
34．有若干块长方形和正方形硬纸片如图①所示，用若干块这样的硬纸片可以拼成个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个数学等式，例如图②可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2．小明拼成了如图③的图形，请解答下列问题：
（1）根据图中面积关系，写出图③所表示的数学等式　 　；
（2）若小明拼成的图③中的大长方形面积为310cm2，其中每块小长方形硬纸片的面积为22cm2，试求该大长方形的周长．

35．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数字等式，例如图1，可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式　 　；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝9，ab+bc+ac＝26，求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学用2张边长为a的正方形、3张边长为b的正方形、5张边长为a、b的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？
（4）小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（25a+7b）（2a+5b）长方形，求9x+10y+6．




参考答案与试题解析
一．解答题（共40小题）
1．计算：
（1）（x﹣1）2+x（3﹣x）
（2）（x2y﹣1）2?（x﹣1y2）3÷（﹣x﹣1y）4
【分析】（1）先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可得；
（2）先计算乘方，再计算乘除即可得．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣2x+1+3x﹣x2＝x+1；

（2）原式＝x4y﹣2?x﹣3y6÷x﹣4y4
＝xy4÷x﹣4y4
＝x5．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式混合运算顺序和运算法则．
2．计算：
（1）﹣（﹣2）+（π﹣3.14）0+
（2）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中x＝，y＝﹣1．
【分析】（1）先利用相反数定义、零指数幂和立方根及负整数指数幂的运算法则计算，再计算加减可得；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可化简原式，继而将x、y的值代入计算．
【解答】解：（1）原式＝2+1+3+（﹣3）＝3；

（2）原式＝4x4+12xy+9y2﹣（4x2﹣y2）
＝4x4+12xy+9y2﹣4x2+y2
＝12xy+10y2，
当x＝，y＝﹣1时，
原式＝12××（﹣1）+10×（﹣1）2
＝﹣6+10
＝4．
【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是掌握实数和整式的混合运算顺序和运算法则．
3．若mp＝，m2q＝7，mr＝﹣，求m3p+4q﹣2r的值
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形得出答案．
【解答】解：∵mp＝，m2q＝7，mr＝﹣，
∴m3p+4q﹣2r＝（mp）3×（m2q）2÷（mr）2
＝×49÷
＝×49×
＝．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．先化简，再求值：
（1）[x2+y2﹣（x+y）2+2x（x﹣y）]÷4x，其中x﹣2y＝2
（2）（mn+2）（mn﹣2）﹣（mn﹣1）2，其中m＝2，n＝．
【分析】（1）先利用整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x﹣2y整体代入计算可得；
（2）先利用整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m和n的值代入计算可得．
【解答】解：（1）原式＝（x2+y2﹣x2﹣2xy﹣y2+2x2﹣2xy）÷4x
＝（2x2﹣4xy）÷4x
＝x﹣y，
当x﹣2y＝2时，原式＝（x﹣2y）＝1；

（2）原式＝m2n2﹣4﹣m2n2+2mn﹣1
＝2mn﹣5，
当m＝2，n＝时，
原式＝2×2×﹣5
＝2﹣5
＝﹣3．
【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
5．如图，图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形．

（1）图②中的大正方形的边长等于　m+n　，图②中的小正方形的边长等于　m﹣n　；
（2）图②中的大正方形的面积等于　（m+n）2　，图②中的小正方形的面积等于　（m﹣n）2　；图①中每个小长方形的面积是　mn　；
（3）观察图②，你能写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式间的等量关系吗？　（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn　．
【分析】（1）依据小长方形的边长，即可得到大正方形的边长以及小正方形的边长；
（2）依据正方形的边长即可得到正方形的面积，依据小长方形的边长，即可得到小长方形的面积；
（3）依据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个小长方形的面积之和，即可得到三个代数式间的等量关系．
【解答】解：（1）图②中的大正方形的边长等于m+n，图②中的小正方形的边长等于m﹣n；
故答案为：m+n，m﹣n；
（2）图②中的大正方形的面积等于（m+n）2，图②中的小正方形的面积等于（m﹣n）2；图①中每个小长方形的面积是mn；
故答案为：（m+n）2，（m﹣n）2，mn；
（3）由图②可得，（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式间的等量关系为：（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn．
故答案为：（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，即运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
6．我们规定：a﹣p＝（a≠0），即a的负P次幂等于a的p次幂的倒数．例：4﹣2＝
（1）计算：5﹣2＝　　；（﹣2）﹣2＝　　；
（2）如果2﹣p＝，那么p＝　3　；如果a﹣2＝，那么a＝　±4　；
（3）如果a﹣p＝，且a、p为整数，求满足条件的a、p的取值．
【分析】（1）根据负整数指数幂的计算法则计算即可求解；
（2）根据负整数指数幂的计算法则找到指数即可求解；
（3）根据负整数指数幂的计算法则找到底数和指数即可求解．
【解答】解：（1）5﹣2＝；（﹣2）﹣2＝；
（2）如果2﹣p＝，那么p＝3；如果a﹣2＝，那么a＝±4；
（3）由于a、p为整数，
所以当a＝9时，p＝1；
当a＝3时，p＝2；
当a＝﹣3时，p＝2．
故答案为：（1）；；（2）3；±4．
【点评】考查了负整数指数幂，负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数），注意：①a≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数；④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
7．（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是　a2﹣b2　；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它长为　a+b　；宽为　a﹣b　；面积为　（a+b）（a﹣b）　．
（2）由（1）可以得到一个公式：　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　．
（3）利用你得到的公式计算：20182﹣2019×2017．

【分析】（1）利用正方形的面积公式，图①阴影部分的面积为大正方形的面积﹣小正方形的面积，图②长方形的长为a+b，宽为a﹣b，利用长方形的面积公式可得结论；
（2）由（1）建立等量关系即可；
（3）根据平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（1）图①阴影部分的面积为：a2﹣b2，图②长方形的长为a+b，宽为a﹣b，所以面积为：（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2，a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；
（2）由（1）可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）20182﹣2019×2017
＝20182﹣（2018+1）（2018﹣1）
＝20182﹣20182+1
＝1．
【点评】本题主要考查了平方差公式的推导，利用面积建立等量关系是解答此题的关键．
8．【规定】＝a﹣b+c﹣d．
【理解】例如：＝3﹣2+1﹣（﹣3）＝5．
【应用】先化简，再求值：，其中x＝﹣2，y＝﹣．
【分析】根据规定的运算法则列出算式（3xy+2x2）﹣（2xy+y2）+（﹣x2+2）﹣（2﹣xy），去括号、合并同类项化简，继而将x和y的值代入计算即可得．
【解答】解：
＝（3xy+2x2）﹣（2xy+y2）+（﹣x2+2）﹣（2﹣xy）
＝3xy+2x2﹣2xy﹣y2﹣x2+2﹣2+xy
＝2xy+x2﹣y2，
当x＝﹣2，y＝﹣时，
原式＝2×（﹣2）×（﹣）+（﹣2）2﹣（﹣）2
＝2+4﹣
＝5．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
9．阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
请你根据上述解题思路解答下面问题：
（1）已知a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，求（a+b）（a2﹣b2）的值．
（2）已知a﹣c﹣b＝﹣10，（a﹣b）?c＝﹣12，求（a﹣b）2+c2的值．
【分析】（1）由于（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，故采用整体代入法求解；
（2）根据完全平分公式，即可解答．
【解答】解：（1）∵a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，
∴（a+b）（a2﹣b2）＝（a+b）2（a﹣b）
＝[（a﹣b）2+4ab]（a﹣b）
＝[（﹣3）2+4×（﹣2）]×（﹣3）
＝﹣3．
（2）（a﹣b）2+c2＝[（a﹣b）﹣c]2+2（a﹣b）c
＝（﹣10）2+2×（﹣12）
＝76．
【点评】本题考查了完全平方公式，关键是要灵活应用完全平方公式及其变形公式．
10．甲乙两人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；由于乙漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．请你计算出a、b的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果．
【分析】先按甲乙错误的说法得出的系数的数值求出a，b的值，再把a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．
【解答】解：∵甲正确得到的算式：（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2+11x﹣10
对应的系数相等，2b﹣3a＝11，ab＝10，
乙错误的算式：（2x+a）（x+b）＝2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣9x+10
对应的系数相等，2b+a＝﹣9，ab＝10，
∴，
解得：．
∴正确的式子：（2x﹣5）（3x﹣2）＝6x2﹣19x+10．
【点评】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心．
11．阅读下列计算过程：99×99+199＝992+2×99+1＝（99+1）2＝1002＝104
（1）计算：
999×999+1999＝　9992+2×999+1＝　＝　（999+1）2　＝　10002　＝　106　；
9999×9999+19999＝　99992+2×9999+1　＝　（9999+1）2　＝　100002　＝　108　
（2）猜想9999999999×9999999999+19999999999等于多少？写出计算过程．
【分析】（1）根据99×99+199＝992+2×99+1＝（99+1）2＝1002＝104所示规律，通过变形，将999×999+1999和9999×9999+19999化为完全平方的形式，即可轻松计算；
（2）根据（1）总结的规律，列出完全平方式计算．
【解答】解：（1）根据99×99+199＝992+2×99+1＝（99+1）2＝1002＝104所示规律，得
999×999+1999＝9992+2×999+1＝（999+1）2＝10002＝106；
9999×9999+19999＝99992+2×9999+1＝（9999+1）2＝100002＝108．
（2）根据（1）中规律，9999999999×9999999999+19999999999＝（9999999999+1）2＝100000000002＝1020．
【点评】此题是一道规律探索题，以完全平方公式为依托，展现了探索发现的过程：由特殊问题找到一般规律，再利用规律解题．
12．乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1：　（a+b）2　；方法2：　a2+b2+2ab　．
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．　（a+b）2＝a2+2ab+b2　；
（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：
（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；
②已知（x﹣2016）2+（x﹣2018）2＝34，求（x﹣2017）2的值．

【分析】（1）依据正方形的面积计算方式，即可得到结论；
（2）依据（1）中的代数式，即可得出（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；
（3）画出长为a+2b，宽为a+b的长方形，即可验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；
（4）①依据a+b＝5，可得（a+b）2＝25，进而得出a2+b2+2ab＝25，再根据a2+b2＝11，即可得到ab＝7；②设x﹣2017＝a，则x﹣2016＝a+1，x﹣2018＝a﹣1，依据（x﹣2016）2+（x﹣2018）2＝34，即可得到（x﹣2017）2的值．
【解答】解：（1）图2大正方形的面积＝（a+b）2；图2大正方形的面积＝a2+b2+2ab；
故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab；
（2）由题可得（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（3）如图所示，

（4）①∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，即a2+b2+2ab＝25，
又∵a2+b2＝11，
∴ab＝7；
②设x﹣2017＝a，则x﹣2016＝a+1，x﹣2018＝a﹣1，
∵（x﹣2016）2+（x﹣2018）2＝34，
∴（a+1）2+（a﹣1）2＝34，
∴a2+2a+1+a2﹣2a+1＝34，
∴2a2+2＝34，
∴2a2＝32，
∴a2＝16，
即（x﹣2017）2＝16．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式，运用整体思想是解本题的关键．
13．如图，将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请用两种方法表示该图形的总面积（用含a、b的代数式表示出来）；
（2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝57，ab＝12，求a+b的值；
（3）已知（5+2x）2+（2x+3）2＝60，求（5+2x）（2x+3）的值．

【分析】（1）依据正方形的面积公式以及大正方形的各个组成部分，即可得到该图形的总面积；
（2）由（1）可得：（a+b）2＝a2+2ab+b2，即可得出a+b的值；
（3）依据5+2x＝a，2x+3＝b，即可得到a2+b2＝60，a﹣b＝（5+2x）﹣（2x+3）＝2，再根据a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2，即可得到（5+2x）（2x+3）的值．
【解答】解：（1）根据图中条件得，该图形的总面积＝a2+2ab+b2，
该图形的总面积＝（a+b）2；
（2）由（1）可得：（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∵a2+b2＝57，ab＝12，
∴（a+b）2＝57+24＝81，
∵a+b＞0，
∴a+b＝9；
（3）设5+2x＝a，2x+3＝b，
则a2+b2＝60，a﹣b＝（5+2x）﹣（2x+3）＝2，
∵a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2，
∴60﹣2ab＝4，
∴ab＝28，
∴（5+2x）（2x+3）＝28．

【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释，解决问题的关键是熟练运用完全平方公式．
14．先化简，再求值：，其中a＝1，b＝﹣2．
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再根据单项式乘以多项式法则求出即可．
【解答】解：
＝[a2+ab+b2﹣a2+ab﹣b2]（4a2﹣b2）（b2+4a2）
＝ab（16a4﹣b4）
＝a5b﹣ab5，
当a＝1，b＝﹣2时，原式＝．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
15．小红家有一块L形的菜地，要把L形的菜地按如图所示分成两块面积相等的梯形，种上不同的蔬菜．这两个梯形的上底都是am，下底都是bm，高都是（b﹣a）m．
（1）求小红家这块L形菜地的面积．（用含a、b的代数式表示）
（2）当a＝10，b＝30时，求小红家这块L形菜地的面积．

【分析】（1）求出两个梯形的面积，再相加即可；
（2）把a、b的值代入，即可求出答案．
【解答】解：（1）小红家这块L形菜地的面积是2×（a+b）（b﹣a）＝（b2﹣a2）m2；

（2）当a＝10，b＝30时，原式＝302﹣102＝800（m2），
所以小红家这块L形菜地的面积为800m2．
【点评】本题考查了列代数式、整式的混合运算和求代数式的值，能根据题意列出代数式是解此题的关键．
16．用4个相同的小长方形与1个小正方形密铺而成的大正方形图案如图所示，已知大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，用x、y（x＞y）分别表示小长方形的两边长．
（1）求x2+y2的值；
（2）求xy的值．

【分析】（1）依据大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，可得（x+y）2＝36，（x﹣y）2＝4，展开变形即可得到x2+y2的值；
（2）依据（x+y）2＝36，（x﹣y）2＝4，展开变形即可得到xy的值．
【解答】解：（1）∵大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，
∴（x+y）2＝36，（x﹣y）2＝4，
即x2+2xy+y2＝36，x2﹣2xy+y2＝4，
两式相加，可得2（x2+y2）＝40，
∴x2+y2＝20；
（2）∵x2+2xy+y2＝36，x2﹣2xy+y2＝4，
两式相减，可得4xy＝32，
∴xy＝8．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的运用，解决问题的关键是掌握公式（a+b）2＝a2+2ab+b2．
17．在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1方式放置（两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．当a＝5，b＝4，AD﹣AB＝2时，若图1中阴影部分的面积为1，求AB的长．

【分析】可设AB的长为x，根据等量关系：图1中阴影部分的面积为1，列出方程求解即可．
【解答】解：5﹣4＝1，
设AB的长为x，则AD＝x+2，依题意有
（x+2）（x﹣4）﹣5×1＝1，
解得x1＝1+，x2＝1﹣．
故AB的长为1+．
【点评】考查了整式的混合运算，代数式求值，关键是设AB的长为x，找到题目的等量关系列出方程求解．
18．如图，某小区规划在一个长30米、宽20米的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．设通道的宽为x米，种植花草的面积为S平方米．
（1）用含x的代数式表示S（要求有计算过程，结果化简）；
（2）当x＝2时，求S的值．

【分析】（1）六块草坪组合到一起，正好构成一个矩形，根据这个矩形的长是（30﹣2x）米，宽是（20﹣x）米，利用矩形的面积公式列式计算可得；
（2）将x＝2代入所求整式计算可得．
【解答】解：（1）S＝（30﹣2x）（20﹣x）
＝600﹣30x﹣40x+2x2
＝2x2﹣70x+600；

（2）当x＝2时，S＝2×22﹣70×2+600＝468（平方米）．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是结合图形列出面积的代数式，并熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
19．长方形和正方形按如图的样式摆放，求图中阴影部分的面积．

【分析】根据已知图形得出阴影部分的面积是2a?3a+a2﹣?2a?（3a+a），再根据整式的混合运算顺序和运算法则求出即可．
【解答】解：图中阴影部分的面积为2a?3a+a2﹣?2a?（3a+a）
＝6a2+a2﹣a?4a
＝7a2﹣4a2
＝3a2．
【点评】本题考查了整式的混合运算的应用，关键是用代数式表示出阴影部分的面积与整式的混合运算法则是关键．
20．甲、乙两长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为S1、S2．
（1）用“＜”或“＞”号填空：S1　＞　S2；
（2）若一个正方形与甲的周长相等．
①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）；
②若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S1的差（即S3﹣S1）是否为常数？若为常数，求出这个常数；如果不是，请说明理由；
（3）若满足条件0＜n＜|S1﹣S2|的整数n有且只有10个，求m的值．

【分析】（1）根据矩形的面积公式计算即可；
（2）根据矩形和正方形的周长和面积公式即可得到结论；
（3）根据题意得出关于m的不等式，解之即可得到结论．
【解答】解：（1）图①中长方形的面积S1＝（m+7）（m+1）＝m2+8m+7，
图②中长方形的面积S2＝（m+4）（m+2）＝m2+6m+8，
比较：∵S1﹣S2＝2m﹣1，m为正整数，m最小为1
∴2m﹣1≥1＞0，
∴S1＞S2；
故答案为：＞；

（2）①2（m+7+m+1）÷4＝m+4；
②S3﹣S1＝（m+4）2﹣（m2+8m+7）＝9定值；

（3）由（1）得，|S1﹣S2|＝|2m﹣1|，且m为正整数，2m﹣1＞0，
∴S1﹣S2＝2m﹣1，
∵0＜n＜|S1﹣S2|，
∴0＜n＜2m﹣1，
由题意得10＜2m﹣1≤11，
解得：＜m≤6，
∵m为正整数，
∴2m﹣1＝11，
∴m＝6．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握多项式乘多项式、矩形的性质、正方形的性质等知识．
21．阅读下面材料，解答问题：将4个数a、b、c、d排列成2行2列，两边各加一条竖线，记为叫做二阶行列式．意义是＝ad﹣bc．例如：＝5×8﹣6×7＝﹣2．
（1）请你计算的值；
（2）若＝9，求x的值．
【分析】（1）根据新定义得到＝5×﹣，然后进行二次根式的乘法运算；
（2）根据新定义得到（x+1）（2x+1）﹣3x＝9，然后整理后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）＝5×﹣＝；

（2）∵＝9，
∴（x+1）（2x+1）﹣3x＝9，
∴3x2﹣8＝0，
解得：x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算和整式的混合运算，解一元二次方程等知识点，能根据新定义展开是解此题的关键．
22．如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个小长方形．拿掉边长为n的小正方形纸板后，再将剩下的三块拼成一个新长方形．
（1）用含m和n的代数式表示拼成的新长方形的周长；
（2）根据两个图形的面积关系，得到一个数学公式，请你写出这个数学公式．

【分析】（1）根据题意和矩形的性质列出代数式解答即可．
（2）根据阴影部分的面积相等，即可得到平方差公式．
【解答】解：（1）新长方形的周长＝2[（m+n）+（m﹣n）]＝4m．

（2）由题意：m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）．
【点评】本题考查平方差公式、长方形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用面积法解决实际问题．
23．如图1，长方形的两边长分别为m+3，m+13；如图2的长方形的两边长分别为m+5，m+7．（其中m为正整数）

（1）写出两个长方形的面积S1，S2，并比较S1，S2的大小；
（2）现有一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等．试探究该正方形的面积与长方形的面积的差是否是一个常数，如果是，求出这个常数；如果不是，说明理由．
（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于S1，S2之间（不包括S1，S2）且面积为整数，这样的整数值有且只有19个，求m的值．
【分析】（1）利用矩形的面积公式计算即可；
（2）求出正方形的面积即可解决问题；
（3）构建不等式即可解决问题；
【解答】解：（1）∵S1＝（m+13）（m+3）＝m2+16m+39，
S2＝（m+7）（m+5）＝m2+12m+35，
∴S1﹣S2＝4m+4＞0，
∴S1＞S2．

（2）∵一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等，
∴正方形的边长为m+8，
∴正方形的面积＝m2+16m+64，
∴m2+16m+64﹣（m2+16m+39）＝25，
∴该正方形的面积与长方形的面积的差是一个常数；

（3）由（1）得，S1﹣S2＝4m+4，
∴当19＜4m+4≤20时，
∴＜m≤4，
∵m为正整数，
m＝4．
【点评】本题考查多项式乘多项式、矩形的性质、正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．已知（x+y）2＝9，（x﹣y）2＝25，分别求x2+y2和xy的值．
【分析】直接利用完全平方公式将原式变形，进而得出答案．
【解答】解：∵（x+y）2＝9，（x﹣y）2＝25，
∴两式相加，得（x+y）2+（x﹣y）2＝2x2+2y2＝34，
则x2+y2＝17；
两式相减，得（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy＝﹣16，
则xy＝﹣4．
【点评】此题主要考查了完全平方公式的运用，正确将已知条件变形是解题的关键．
25．阅读材料：若“三角形”表示运算a﹣b+c，表示运算ad﹣bc，求：当x＝﹣1，y＝2时，×的值．
【分析】将x，y的值代入原式═（xy2+2xy2）×（﹣+）＝3xy2×（﹣）计算可得．
【解答】解：由题意知×
＝（xy2+2xy2）×（﹣+）
＝3xy2×（﹣）
＝3×（﹣1）×22×（﹣）
＝﹣12×（﹣）
＝1．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是根据新定义规定的运算法则列出算式，并熟练掌握整式的混合运算顺序与运算法则．

26．符号已知称为二阶行列式，他的运算法则＝ad﹣bc，例如＝2×4﹣3×（﹣5）＝23，请根据二阶行列式的法则化简，并求出当x＝﹣2时的值．
【分析】原式＝x（x﹣2）﹣（x+3）（x﹣1），再算乘法，合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：
＝x（x﹣2）﹣（x+3）（x﹣1）
＝x2﹣2x﹣x2﹣3x+x+3
＝﹣4x+3，
当x＝﹣2时，原式＝8+3＝11．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
27．乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．

（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1：　（a+b）2　；方法2：　a2+b2+2ab　
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．　（a+b）2＝a2+2ab+b2　
（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：
（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；
②已知（2018﹣a）2+（a﹣2017）2＝5，求（2018﹣a）（a﹣2017）的值．
【分析】（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论；
（2）依据（1）中的代数式，即可得出（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；
（3）画出长为a+2b，宽为a+b的长方形，即可验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；
（4）①依据a+b＝5，可得（a+b）2＝25，进而得出a2+b2+2ab＝25，再根据a2+b2＝11，即可得到ab＝7；②设2018﹣a＝x，a﹣2017＝y，即可得到x+y＝1，x2+y2＝5，依据（x+y）2＝x2+2xy+y2，即可得出xy＝＝﹣2，进而得到（2018﹣a）（a﹣2017）＝﹣2．
【解答】解：（1）图2大正方形的面积＝（a+b）2
图2大正方形的面积＝a2+b2+2ab
故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab；
（2）由题可得（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系为：（a+b）2＝a2+2ab+b2
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（3）如图所示，

（4）①∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，
∴a2+b2+2ab＝25，
又∵a2+b2＝11，
∴ab＝7；
②设2018﹣a＝x，a﹣2017＝y，则x+y＝1，
∵（2018﹣a）2+（a﹣2017）2＝5，
∴x2+y2＝5，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴xy＝＝﹣2，
即（2018﹣a）（a﹣2017）＝﹣2．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
28．通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式，
①如图1，根据图中阴影部分的面积可表示为　（a+b）2﹣（a﹣b）2　，还可表示为　4ab　，可以得到的恒等式是　（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab　
②类似地，用两种不同的方法计算同一各几何体的体积，也可以得到一个恒等式，如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个恒等式，这个恒等式是　（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3　．

【分析】①根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种是用大正方形面积﹣空白部分正方形面积；另一种是将阴影部分的四个长方形面积相加，可得等式（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
②根据体积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种是将大正方体棱长表示出来求体积；另一种是将各个小的长方体体积加起来，可得等式（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．
【解答】解：①∵阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣中间小正方形的面积 即：（a+b）2﹣（a﹣b）2，
又∵阴影部分的面积由4个长为a，宽为b的小正方形构成 即：4ab，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2；4ab；（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
②∵八个小正方体和长方体的体积之和是：a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，
∴（a+b）3＝a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，
∴（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；
故答案为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
29．（1）如图1，正方形ABCD和CEFG的边长分别为a、b，用含a、b的代数式表示△AEG的面积．S△AEG＝　b2　．
（2）如图2，边长为a的正方形ABCD、边长为b的正方形CEFG和边长为c的正方形MNHF的位置如图所示，点G在线段AN上，则S△AEN＝　b2　．（请直接写出结果，不需要过程）

【分析】（1）连接AC，依据AC∥GE，即可得出S△AEG＝S△CEG＝S正方形CEFG＝b2；
（2）连接AC，GE，FN，依据GE∥FN，即可得出S△NEG＝S△FEG＝S正方形CEFG＝b2，进而得到S△AEN＝S△AEG+S△NEG＝b2+b2＝b2．
【解答】解：（1）如图1，连接AC，
由题可得，∠ACB＝∠GEC＝45°，
∴AC∥GE，
∴S△AEG＝S△CEG＝S正方形CEFG＝b2；
故答案为：b2

（2）如图2，连接AC，GE，FN，
由（1）可得，S△AEG＝S△CEG＝S正方形CEFG＝b2；
由题可得，∠HFN＝∠FGE＝45°，
∴GE∥FN，
∴S△NEG＝S△FEG＝S正方形CEFG＝b2；
∴S△AEN＝S△AEG+S△NEG＝b2+b2＝b2；
故答案为：b2．

【点评】此题主要考查正方形的性质，三角形和正方形面积公式的运用，结合图形，利用同底等高的两三角形面积相等，巧妙转化是解决问题的关键．
30．乘法公式的探究及应用：

（1）如图，可以求出阴影部分的面积是　a2﹣b2　（写成两数平方差的形式）；
（2）如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是　a﹣b　，长是　a+b　，面积是　（a+b）（a﹣b）　（写成多项式乘法的形式）；
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　（用式子表达）；
（4）运用你所得到的公式，计算下列式子：（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
【分析】（1）由图形的面积关系即可得出结论；
（2）由图形即可得到长方形的长，宽以及面积；
（3）依据两图的阴影部分面积相等，可以得到乘法公式；
（4）依据平方差公式以及完全平方公式，即可得到计算结果．
【解答】解：（1）由图可得，阴影部分的面积＝a2﹣b2；
故答案为：a2﹣b2；
（2）由图可得，矩形的宽是a﹣b，长是a+b，面积是（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；
（3）依据两图的阴影部分面积相等，可以得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（4）（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
＝（2m）2﹣（n﹣p）2
＝4m2﹣（n2﹣2np+p2）
＝4m2﹣n2+2np﹣p2．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，此类题目，关键在于表示出阴影部分的面积，然后根据阴影部分面积相等求解．
31．如图，正方形ABCD中，点G是边CD上一点（不与端点C，D重合），以CG为边在正方形ABCD外作正方形CEFG，且B、C、E三点在同一直线上，设正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b（a＞b）．
（1）分别用含a，b的代数式表示图1和图2中阴影部分的面积S1、S2；
（2）如果a+b＝5，ab＝3，求S1的值；
（3）当S1＜S2时，求a﹣2b值的正负．

【分析】（1）利用两个正方形的面积减去空白部分的面积列式即可；
（2）把a+b＝5，ab＝3，整体代入S1的代数式求得数值即可；
（3）联立不等式，进一步求得答案即可．
【解答】解：（1）S1＝a2+b2﹣﹣b（a+b）＝a2+b2﹣ab，（2分）
S2＝a（a+b）﹣b2﹣a2﹣（a﹣b）（a+b）
＝ab﹣b2．（5分）
（2）∵a+b＝5，ab＝3，
∴S1＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣ab＝﹣＝8．（8分）
（3）∵S1＜S2，即a2+b2﹣ab＜ab﹣b2．
∴a2+b2﹣ab＜0，
∴a2+2b2﹣3ab＜0，
∴（a﹣2b）（a﹣b）＜0，
∵a＞b，
∴a﹣2b＜0．（14分）
【点评】此题考查列代数式，整式的混合运算，以及因式分解的实际运用，求得两个阴影部分的面积是解决问题的关键．
32．特殊两位数乘法的速算﹣﹣如果两个两位数的十位数字相同，个位数字相加为10，那么能立即说出这两个两位数的乘积．如果这两个两位数分别写作AB和AC（即十位数字为A，个位数字分别为B、C，B+C＝10，A＞3），那么它们的乘积是一个4位数，前两位数字是A和（A+1）的乘积，后两位数字就是B和C的乘积．如：47×43＝2021，61×69＝4209．
（1）请你直接写出83×87的值；
（2）设这两个两位数的十位数字为x（x＞3），个位数字分别为y和z（y+z＝10），通过计算验证这两个两位数的乘积为100x（x+1）+yz．
（3）99991×99999＝　9999000009　．
【分析】（1）根据“前两位数字是A和（A+1）的乘积，后两位数字就是B和C的乘积”进行计算；
（2）这两个两位数的十位数字为x（x＞3），个位数字分别为y和z，则由题知y+z＝10，利用多项式乘多项式的计算法则解答；
（3）利用1×9＝9，91×99＝909，991×999＝99009…找出规律解答．
【解答】解：（1）83和87满足题中的条件，即十位数都是8，8＞3，且个位数字分别是3和7，之和为10，那么它们的乘积是一个4位数，前两位数字是8和9的乘积，后两位数字就是3和7的乘积，因而，
答案为：7221；

（2）这两个两位数的十位数字为x（x＞3），个位数字分别为y和z，则由题知y+z＝10，
因而有：（10x+y）（10x+z）＝100x2+10xz+10xy+yz
＝100x2+10x（y+z）+yz
＝100x2+100x+yz
＝100x（x+1）+yz
得证；

（3）1×9＝9
91×99＝909
991×999＝99009
…
99991×99999＝9999000009．
故答案是：9999000009．
【点评】考查单项式乘多项式．掌握规律是解题的难点，需要学生具备一定的分析能力．
33．观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1，
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27，
（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216，
……
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（　a2﹣ab+b2　）＝a3+b3；
（2）运用上述规律猜想：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝　a3﹣b3　；并利用多项式的乘法法则，通过计算说明此等式成立；
（3）利用（1）（2）中的结论化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）．
【分析】（1）根据已知算式和多项式乘以多项式法则得出即可；
（2）根据（1）得出答案即可；
（3）先算乘法，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3，
故答案为：a2﹣ab+b2；

（2）（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；
故答案为：a3﹣b3；

（3）（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）
＝x3+y3﹣（x3﹣y3）
＝x3+y3﹣x3+y3
＝2y3．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
34．有若干块长方形和正方形硬纸片如图①所示，用若干块这样的硬纸片可以拼成个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个数学等式，例如图②可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2．小明拼成了如图③的图形，请解答下列问题：
（1）根据图中面积关系，写出图③所表示的数学等式　（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2　；
（2）若小明拼成的图③中的大长方形面积为310cm2，其中每块小长方形硬纸片的面积为22cm2，试求该大长方形的周长．

【分析】（1）依据大长方形的面积＝（2a+b）（a+2b），大长方形的面积＝2a2+5ab+2b2，即可得出（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2；
（2）依据大长方形面积为310cm2，其中每块小长方形硬纸片的面积为22cm2，即可得到a2+b2＝100，进而得出a+b＝12，由此可得大长方形的周长．
【解答】解：（1）大长方形的面积＝（2a+b）（a+2b），
大长方形的面积＝2a2+5ab+2b2，
∴（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，
故答案为：（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2；
（2）由题可得，2a2+5ab+2b2＝310，ab＝22，
∴2a2+2b2＝310﹣5×22＝200，
即a2+b2＝100，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝144，
∴a+b＝12，（负值已舍去）
∴大长方形的周长＝2（2a+b+a+2b）＝6（a+b）＝72（cm）．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，此类题目关键在于同一个图形的面积用两种不同的方法表示．
35．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数字等式，例如图1，可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca　；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝9，ab+bc+ac＝26，求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学用2张边长为a的正方形、3张边长为b的正方形、5张边长为a、b的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？
（4）小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（25a+7b）（2a+5b）长方形，求9x+10y+6．

【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积＝各矩形的面积之和求解即可；
（2）将a+b+c＝9，ab+bc+ac＝26代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；
（3）先列出长方形的面积的代数式，然后分解代数式，可得到矩形的两边长；
（4）长方形的面积xa2+yb2+zab＝（25a+7b）（9a+5b），然后运算多项式乘多项式法则求得（25a+7b）（2a+45b）的结果，从而得到x、y、z的值，代入即可求解．
【解答】解：（1）正方形的面积可表示为＝（a+b+c）2；
正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
（2）由（1）可知：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）＝92﹣26×2＝81﹣52＝29．
（3）长方形的面积＝2a2+5ab+3b2＝（2a+3b）（a+b）．
所以长方形的边长为2a+3b和a+b，
所以较长的一边长为2a+3b．
（4）∵长方形的面积＝xa2+yb2+zab＝（25a+7b）（2a+5b）＝50a2+14ab+125ab+35b2＝50a2+139ab+35b2，
∴x＝50，y＝35，z＝139．
∴9x+10y+6＝450+350+6＝806．

【点评】本题考查的是多项式乘多项式、因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键．
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