3.4乘法公式 同步练习
一．选择题（共8小题）
1．运用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2计算（x+）2，则公式中的2ab是（ ）
A．x B．x C．2x D．4x
2．下列各式是完全平方式的是（ ）
A．x2﹣x+ B．1+x2 C．x+xy+1 D．x2+2x﹣1
3．如图，能根据图形中的面积说明的乘法公式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）＝a2﹣2ab+b2
D．（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq
4．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a+b+c就是完全对称式．下列三个代数式：
①（a﹣b）2；
②（2a﹣b）（2a+b）；
③a（a+b）．
其中是完全对称式的是（ ）
A．③ B．①③ C．②③ D．①
5．已知x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．4 B．4或﹣2 C．±4 D．﹣2
6．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正形（a＞b），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（ ）
A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
7．若a+b＝6，ab＝4，则a2+4ab+b2的值为（ ）
A．40 B．44 C．48 D．52
8．计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1的值是（ ）
A．1024 B．28+1 C．216+1 D．216
二．填空题（共6小题）
9．已知（x+y）2＝25，x2+y2＝15，则xy＝ ．
10．计算：20182﹣2019×2017＝ ．
11．若16x2+1+k（k为单项式）是一个完全平方式，则满足条件的k为 ．
12．如图，从边长为（a+4）（a＞0）的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形ABCD（不重叠无缝隙），则长方形ABCD的周长是 ．
13．已知：x+＝3，则x2+＝ ．
14．一个正方形的边长增加了2cm，它的面积就增加44cm2，这个正方形的边长是： ．
三．解答题（共4小题）
15．计算：（2x+y）（2x﹣y）+y（2x+y）．
16．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）图1中阴影部分面积为 ，图2中阴影部分面积为 ，对照两个图形的面积可以验证 公式（填公式名称）请写出这个乘法公式 ．
（2）应用（1）中的公式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝15，x+2y＝3，求x﹣2y的值；
②计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）……（264+1）+1．
17．阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
请你根据上述解题思路解答下面问题：
（1）已知a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，求（a+b）（a2﹣b2）的值．
（2）已知a﹣c﹣b＝﹣10，（a﹣b）?c＝﹣12，求（a﹣b）2+c2的值．
18．现有足够多的正方形和长方形的卡片，如图1所示，请运用拼图的方法，选取相应种类和数量的卡片，按要求回答下列问题．
（1）根据图2，利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式： ；
（2）若要拼成一个长为2a+3b，宽为3a+b的长方形，则需要甲卡片 张，乙卡片 张，丙卡片 张；
（3）请用画图结合文字说明的方式来解释：（a+b）2≠a2+b2（a≠0，b≠0）．
3.4乘法公式 同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．运用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2计算（x+）2，则公式中的2ab是（ ）
A．x B．x C．2x D．4x
解：（x+）2＝x2+2x×+＝x2+x+，所以公式中的2ab是x．
故选：B．
2．下列各式是完全平方式的是（ ）
A．x2﹣x+ B．1+x2 C．x+xy+1 D．x2+2x﹣1
解：A、x2﹣x+是完全平方式；
B、缺少中间项±2x，不是完全平方式；
C、不符合完全平方式的特点，不是完全平方式；
D、不符合完全平方式的特点，不是完全平方式．
故选：A．
3．如图，能根据图形中的面积说明的乘法公式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）＝a2﹣2ab+b2
D．（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq
解：大正方形的面积为：（a+b）2，
四个部分的面积的和为：a2+2ab+b2，
∴能说明的乘法公式是：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
故选：B．
4．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a+b+c就是完全对称式．下列三个代数式：
①（a﹣b）2；
②（2a﹣b）（2a+b）；
③a（a+b）．
其中是完全对称式的是（ ）
A．③ B．①③ C．②③ D．①
解：①（a﹣b）2＝（b﹣a）2，是完全对称式，
②（2a﹣b）（2a+b）≠（2b﹣a）（2b+a），不是完全对称式；
③a（a+b）≠b（b+a），不是完全对称式．
故选：D．
5．已知x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．4 B．4或﹣2 C．±4 D．﹣2
解：∵x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，
∴2（m﹣1）＝±6，
解得：m＝4或m＝﹣2，
故选：B．
6．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正形（a＞b），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（ ）
A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
解：∵左图中阴影部分的面积是a2﹣b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：B．
7．若a+b＝6，ab＝4，则a2+4ab+b2的值为（ ）
A．40 B．44 C．48 D．52
解：∵a+b＝6，ab＝4，
∴原式＝（a+b）2+2ab＝36+8＝44，
故选：B．
8．计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1的值是（ ）
A．1024 B．28+1 C．216+1 D．216
解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+1
＝（28﹣1）（28+1）+1
＝216﹣1+1
＝216，
故选：D．
二．填空题（共6小题）
9．已知（x+y）2＝25，x2+y2＝15，则xy＝ 5 ．
解：把（x+y）2＝25，化简得：x2+y2+2xy＝25，
将x2+y2＝15代入得：15+2xy＝25，
解得：xy＝5，
故答案为：5
10．计算：20182﹣2019×2017＝ 1 ．
解：原式＝20182﹣（2018+1）×（2018﹣1）＝20182﹣20182+1＝1，
故答案是：1．
11．若16x2+1+k（k为单项式）是一个完全平方式，则满足条件的k为 ±8x或64x4 ．
解：整式16x2+1+k是完全平方式，
则满足条件的单项式k是±8x或64x4，
故答案为：±8x或64x4．
12．如图，从边长为（a+4）（a＞0）的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形ABCD（不重叠无缝隙），则长方形ABCD的周长是 4a+16 ．
解：根据题意得，长方形的宽为（a+4）﹣（a+1）＝3，长方形的长为a+4+a+1，
则拼成得长方形的周长为：2（a+4+a+1+3）＝2（2a+8）＝4a+16．
故答案为：4a+16．
13．已知：x+＝3，则x2+＝ 7 ．
解：∵x+＝3，
∴（x+）2＝x2+2+＝9，
∴x2+＝7，
故答案为：7．
14．一个正方形的边长增加了2cm，它的面积就增加44cm2，这个正方形的边长是： 10cm ．
解：设正方形的边长是xcm，根据题意得：
（x+2）2﹣x2＝44，
解得：x＝10．
故答案为：10cm．
三．解答题（共4小题）
15．计算：（2x+y）（2x﹣y）+y（2x+y）．
解：（2x+y）（2x﹣y）+y（2x+y）
＝4x2﹣y2+2xy+y2
＝4x2+2xy．
16．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）图1中阴影部分面积为 a2﹣b2 ，图2中阴影部分面积为 （a+b）（a﹣b） ，对照两个图形的面积可以验证 平方差 公式（填公式名称）请写出这个乘法公式 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ．
（2）应用（1）中的公式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝15，x+2y＝3，求x﹣2y的值；
②计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）……（264+1）+1．
解：（1）图1中阴影部分面积为a2﹣b2，图2中阴影部分面积为（a+b）（a﹣b），
对照两个图形的面积可以验证平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），平方差，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
（2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），
∴15＝3（x﹣2y），
∴x﹣2y＝5；
②（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）……（264+1）+1
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）……（264+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）……（264+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）……（264+1）+1
＝（28﹣1）（28+1）……（264+1）+1
＝（264﹣1）（264+1）+1
＝2128﹣1+1
＝2128．
17．阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
请你根据上述解题思路解答下面问题：
（1）已知a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，求（a+b）（a2﹣b2）的值．
（2）已知a﹣c﹣b＝﹣10，（a﹣b）?c＝﹣12，求（a﹣b）2+c2的值．
解：（1）∵a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，
∴（a+b）（a2﹣b2）＝（a+b）2（a﹣b）
＝[（a﹣b）2+4ab]（a﹣b）
＝[（﹣3）2+4×（﹣2）]×（﹣3）
＝﹣3．
（2）（a﹣b）2+c2＝[（a﹣b）﹣c]2+2（a﹣b）c
＝（﹣10）2+2×（﹣12）
＝76．
18．现有足够多的正方形和长方形的卡片，如图1所示，请运用拼图的方法，选取相应种类和数量的卡片，按要求回答下列问题．
（1）根据图2，利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式： （a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2 ；
（2）若要拼成一个长为2a+3b，宽为3a+b的长方形，则需要甲卡片 6 张，乙卡片 11 张，丙卡片 3 张；
（3）请用画图结合文字说明的方式来解释：（a+b）2≠a2+b2（a≠0，b≠0）．
解：（1）大长方形的长是b+2a，宽是b+a，面积为（a+b）（2a+b）；
大长方形面积等于图中6个图形的面积和即2a2+3ab+b2，
故答案为：（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2；
（2）（2a+3b）（3a+b）＝6a2+11ab+3b2，
所以需要甲卡片6张，乙卡片11张，丙卡片3张，故答案为：6，11，3；
（3）如图，大正方形面积为（a+b）2，阴影部分的面积为a2+b2，由图可知：（a+b）2≠a2+b2（a≠0，b≠0）．
