第4章 因式分解单元检测卷A（含解析）

第4章因式分解单元检测卷A
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分)
1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A．(a+1)(a-1)=a2-1 B．2a-2b=2(a-b)
C．a2-2a+1=a(a-2)+1 D．a+2b=(a+b)+b
2．下列因式分解正确的是( )
A．ab+ac+ad+1=a(b+c+d)+1
B．(x+1)(x+2)=x2+3x+2
C．a3+3a2b+a=a(a2+3ab+1)
D．x2-y2=(x+y)(y-x)
3．下列添括号错误的是( )
A．3-4x=-(4x-3)
B．(a+b)-2a-b=(a+b)-(2a+b)
C．-x2+5x-4=-(x2-5x+4)
D．-a2+4a+a3-5=-(a2-4a)-(a3+5)
4．在下面的多项式中，能因式分解的是( )
A．m2+n B．m2-m-1 C．m2-m+1 D．m2-2m+1
5．加上下列单项式后，仍不能使4x2+1成为一个整式的完全平方式的是( )
A．2x B．4x C．-4x D．4x4
6．下列代数式中，没有公因式的是（ ）
A．ab与b B．a+b与 C．a+b与 D．x与
7．已知多项式2x2＋bx＋c分解因式为2(x－3)(x＋1)，则b，c的值为(　　)．
A．b＝3，c＝－1 B．b＝－6，c＝2
C．b＝－6，c＝－4 D．b＝－4，c＝－6
8．对于任何整数，多项式(n+5)2-n2一定是( )
A．2的倍数 B．5的倍数 C．8的倍数 D．n的倍数
9．若a+b+1=0，则3a2+3b2+6ab的值是( )
A．1 B．-1 C．3 D．-3
10．要在二次三项式x2＋(　　)x－6的括号中填上一个整数，使它能按公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)分解因式，那么这些数只能是(　 　)
A．1，－1 B．5，－5 C．1，－1，5，－5 D．以上答案都不对
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分)
11．一个多项式中每一项都含有的________，叫做这个多项式各项的公因式． 把该公因式提取出来进行因式分解的方法，叫做________．
12．公式法分解因式：a2-b2=________；a2±2ab+b2=_________.
13．已知正方形的面积是9a2+6a+1(a>0)，则该正方形的边长是_________．
14．9x3y2+12x2y2—6xy3中各项的公因式是___________．
15．若关于x的多项式x2-ax-6含有因式x-1，则实数a=_______．
16．简便计算：101×99=_________.
17．如图，大正方形ABCD和小正方形AEFG的周长和为20，且阴影部分的面积是10，则BE=__________.
18．已知x2+y2+2x-4y+5=0，则x+y=________.
三、解答题（8小题，共66分)
19．用简便方法计算：
①20192-2018×2019；
②0.932+2×0.93×0.07+0.072.
20．分解因式：
(1)2a3－8a；
(2)－3x2－12＋12x；
(3)(a＋2b)2＋6(a＋2b)＋9；
(4)2(x-y)2-x+y；
(5)(a2＋4b2)2－16a2b2.
21．已知x2＋5x－991＝0，求x3＋6x2－986x＋1027的值．
22．利用因式分解说明(1)3200－4×3199＋10×3198能被7整除．(2)913－324必能被8整除．
23．已知P＝3xy－8x＋1，Q＝x－2xy－2，当x≠0时，3P－2Q＝7恒成立，求y的值．
24．已知a，b，c是三角形ABC的三边的长，且满足a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，试判断此三角形三边的大小关系．
25．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m>n.(以上长度单位：cm)
(1)观察图形，可以发现代数式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为________；
(2)若每块小长方形的面积为10 cm2，四个正方形的面积和为58 cm2，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和.
26．先阅读下面例题的解法，然后解答问题：
例：若多项式2x3-x2+m分解因式的结果中有因式2x+1，求实数m的值.
解：设2x3-x2+m=(2x+1)·A(A为整式).
若2x3-x2+m=(2x+1)·A=0，则2x+1=0或A=0.
由2x+1=0，解得x=-.
∴x=-是方程2x3-x2+m=0的解.
∴2×(-)3-(-)2+m=0，即--+m=0.
∴m=.
请你模仿上面的方法尝试解决下面的问题：
若多项式x4+mx3+nx-16分解因式的结果中有因式(x-1)和(x-2)，求实数m，n的值.
参考答案
1．【考点】因式分解
【分析】因式分解的定义将一个多项式化成几个整式积的形式进行解题即可.
解：因式分解的定义要求等号左侧是一个多项式,右侧是几个整式的积的形式,A,C,D都不符合.
故选B.
【点睛】本题考查了因式分解的判断,属于简单题,因式分解与整式的乘法是互逆运算,熟悉因式分解的概念是解题关键.
2．【考点】因式分解
【分析】因式分解的概念即可解题.
解：因式分解的定义要求等号左侧是一个多项式,右侧是几个整式的积的形式,
A项的右侧不是整式积的形式,B项是整式的乘法,不是因式分解,D项左右两侧不相等,等式不成立,
故选C.
【点睛】本题考查了因式分解的判断,属于简单题,因式分解与整式的乘法是互逆运算,熟悉因式分解的概念是解题关键.
3．【考点】括号和添括号
【分析】根据添括号法则, 当括号前添正号时直接添括号即可,当括号前添负号时括号里面的各项都要变号,即可解题.
解：A,B,C都是正确的,其中,
D项的右侧展开为-a2+4a-a3-5,与等号左侧不相等,
故错误项选D.
【点睛】本题考查了添括号的性质,属于简单题,熟悉去括号和添括号的性质与联系,特别的注意括号前为负号时要变号是解题关键.
4．【考点】因式分解
【分析】逐项对选项进行因式分解即可解题.
解：四个选项中A,B,C均不能因式分解,
其中D项, m2-2m+1=（m-1）2,
故选D.
【点睛】本题考查了多项式的因式分解,属于简单题,熟悉多项式因式分解的方法是解题关键.
5．【考点】完全平方的方法因式分解
【分析】逐项添加,构成新的多项式,利用a22ab+b2=(ab)2即可解题.
解：A:4x2+1+2x不能配成完全平方,
B: 4x2+1+4x=(2x+1)2,成立；
C：4x2+1-4x=(2x-1)2,成立；
D：4x2+1+4x4=(2 x2+1)2,成立；
故选A.
【点睛】考查了用完全平方的方法因式分解,属于简单题,熟悉完全平方的公式是解题关键.
6．【考点】公因式
【分析】能因式分解的先进行因式分解，再确定没有公因式即可．
解：A选项：ab与b的公因式是b，故不符合题意;
B选项：a+b与没有公因式，故符合题意；
C选项：因为a2-b2=(a+b)(a-b)，所以a+b与的公因式为a+b,故不符合题意;
D选项：x与的公因式是x，故不符合题意.
故选：B
【点睛】考查公因式的确定，掌握找公因式的正确方法，注意互为相反数的式子，只需改变符号即可变成公因式．
7．【考点】因式分解与整式乘法的关系
【分析】利用整式的乘法计算出2(x-3)(x+1)的结果,与2x2+bx+c对应找到一次项的系数和常数项即可解题.
解：∵2(x-3)(x+1)=2(x2-2x-3)=2x2-4x-6,
又∵2x2+bx+c=2(x-3)(x+1)，
∴b=-4,c=-6,
故选D.
【点睛】本题考查了因式分解与整式乘法的关系,中等难度,计算整式乘法,对应找到各项系数是解题关键.
8．【考点】平方差的方法因式分
【分析】利用平方差对多形式进行因式分解,即可解题.
解：∵(n+5)2-n2=（n+5+n）（n+5-n）=5(2n+5),
由题可知n为整数,
∴多项式(n+5)2-n2一定是5的倍数,
故选B.
【点睛】考查了用平方差的方法因式分解,属于简单题,熟悉平方差公式是解题关键.
9．【考点】因式分解的应用
【分析】对3a2+3b2+6ab利用完全平方的方法进行因式分解,将a+b=-1代入即可求值.
解：∵3a2+3b2+6ab=3（a+b）2,
∵a+b+1=0，即a+b=-1，
∴原式=3×（-1）2=3,
故选C.
【点睛】考查了用完全平方的方法化简求值,属于简单题,熟悉整体代入的思想,用完全平方的方法因式分解是解题关键.
10．【考点】十字相乘法分解因式
【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知：□中填上的整数应该是-6的两个因数的和，即1，-1，5，-5.
解：-6可以分成：-2×3，2×（-3），-1×6，1×（-6），
□中填上的整数应该是-6的两个因数的和，即1，-1，5，-5．
故选：C．
【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键．
11．【考点】提公因式
【分析】根据提公因式的定义进行填空即可解题.
解：一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式．
把该公因式提取出来进行因式分解的方法，叫做提取公因式法．
【点睛】本题考查了提公因式的定义,属于简单题,熟悉公因式的概念是解题关键.
12．【考点】用公式法分解因式
【分析】根据平方差和完全平方公式即可解题.
解：根据平方差和完全平方的性质得：
a2-b2=(a+b)(a-b)；a2±2ab+b2=(a±b)2.
【点睛】本题考查了用公式法分解因式,属于简单题,熟悉平方差公式和完全平方公式是解题关键.
13．【考点】完全平方的方法化简求值
【分析】对9a2+6a+1利用完全平方的方法进行因式分解即可解题.
解：∵9a2+6a+1=（3a+1）2,
由题可知9a2+6a+1(a>0)是正方形的面积,
∴该正方形的边长是3a+1.
【点睛】本题考查了用完全平方的方法化简求值,属于简单题,熟悉用完全平方的方法因式分解是解题关键.
14．【考点】公因式
【分析】公式因是指,系数部分的最大公约数,字母部分具有相同的字母,并且选用相同字母的最低次幂,据此即可解题.
解：∵9x3y2+12x2y2-6xy3=3xy2（3x2+4x-2y）,
∴9x3y2+12x2y2-6xy3的公因式为3xy2.
【点睛】本题考查了公因式的知识,属于简单题,熟悉公因式的概念,会用提公因式法是解题关键.
15．【考点】因式分解的综合应用
【分析】设另一个多项式为（x+b）,利用整式的乘法进行整理得x2-ax-6= x2+（b+1）x+b,对应各项系数即可解题.
解：设多项式的另一个因式是（x+b）,
即x2-ax-6=（x+1）（x+b），
对等式右侧进行整理得x2+（b+1）x+b,
即x2-ax-6= x2+（b+1）x+b,
∴b=-6,
∴x2-ax-6= x2-5x-6,
∴b=-5.
【点睛】本题考查了因式分解的综合应用,难度较大,设出另一个因式,利用整式的乘法找到各项系数,使之对应相等即可解题.
16．【考点】整式的乘法
【分析】将101化成100+1,利用乘法分配律即可解题.
解：101×99=（100+1）×99=9900+99=9999.
【点睛】本题考查了整式的乘法,属于简单题,找到简单方法,对101进行分解是解题关键.
17．【考点】平方差的实际应用
【分析】设出两个正方形的边长.利用已知条件列出方程,利用平方差公式即可解题.
解：设大正方形的边长为x,小正方形的边长为y,依题意得：
4x+4y=20,即x+y=5,
x2-y2=10,化简得（x-y）(x-y)=10,
将x+y=5代入上式得x-y=2,
由图可知,BE= x-y=2.
【点睛】本题考查了平方差的实际应用,属于简单题,用方程的思想解题,熟练运用平方差是解题关键.
18．【考点】完全平方的方法因式分解
【分析】根据完全平方公式将x2+y2+2x-4y+5化成两个完全平方,利用0+0式即可进行解题.
解：∵x2+y2+2x-4y+5=（x+1）2+（y-2）2,
x2+y2+2x-4y+5=0，即（x+1）2+（y-2）2=0,
又∵（x+1）20,（y-2）20,
∴x=-1,y=2,
∴x+y=1.
【点睛】本题考查了0+0式的应用,用完全平方的方法因式分解,中等难度,识别0+0式,熟练掌完全平方公式是解题关键.
19．【考点】因式分解的实际应用
【分析】①利用提公因式法即可解题；②利用完全平方法即可解题.
解：①20192-2018×2019=2019×(2019-2018)=2019；
②0.932+2×0.93×0.07+0.072=(0.93+0.07)2=1.
【点睛】本题考查了整式的计算，因式分解的实际应用,属于简单题,熟悉因式分解方法应用的条件是解题关键.
20．【考点】多项式的因式分解
【分析】(1)先提公因式,再利用平方差公式即可解题；
(2) 先提公因式,再利用完全平方公式即可解题；
(3)运用整体的思想,对原式利用完全平方进行化简即可解题；
(4)先对后两项提公因式,再整体提公因式即可解题；
(5)先用平方差公式,再利用完全平方公式即可解题.
解：(1)原式＝2a(a2－4)
＝2a(a＋2)(a－2)．
(2)原式＝－3(x2－4x＋4)
＝－3(x－2)2.
(3)原式＝[(a＋2b)＋3]2
＝(a＋2b＋3)2.
(4)原式＝2(x-y)2-(x-y)
=(x-y)(2x-2y-1).
(5)原式＝(a2＋4b2)2－(4ab)2
＝(a2＋4b2＋4ab)(a2＋4b2－4ab)
＝(a＋2b)2(a－2b)2.
【点睛】本题考查了多项式的因式分解,中等难度的,掌握提公因式法,公式法是解题关键.
21．【考点】因式分解的实际应用
【分析】对所求多项式进行添项处理,再利用提公因式法进行因式分解即可解题.
解：原式＝x3＋5x2－991x＋x2＋5x－991＋991＋1027
＝x(x2＋5x－991)＋(x2＋5x－991)＋2018
＝2018.
【点睛】本题考查了因式分解的实际应用,中等难度,对所求多项式利用提公因式法的方法进行因式分解是解题关键.
22．【考点】利用因式分解的方法解决实际问题
【分析】(1)将3200-4×3199+10×3198分解因式，得出等于7与一个数的乘积的形式，即可说明32000-4×31999+10×31998能被7整除;
(2)首先将原式利用幂的乘方变形，然后利用因式分解将原式进一步变形后即可得到结论．
解：(1)原式＝3198×(32－4×3＋10)＝3198×7，
∴3200－4×3199＋10×3198能被7整除
(2)913－324＝326－324＝324(32－1)＝8×324
∴913－324必能被8整除
【点睛】主要考查了利用因式分解的方法解决实际问题．要先分解因式并根据整除的实际意义来求解．
23．【考点】因式分解的应用
【分析】先根据题意把P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2分别代入3P-2Q=7中，再合并同类项，然后提取公因式，即可求出y的值．
解：∵P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，3P-2Q=7恒成立，
∴3P-2Q=3（3xy-8x+1）-2（x-2xy-2）=7，
∴9xy-24x+3-2x+4xy+4=7，
13xy-26x=0，
13x（y-2）=0，
∵x≠0，
∴y-2=0，
∴y=2.
【点睛】此题考查了因式分解的应用，解题的关键是把要求的式子进行整理，然后提取公因式，是一道基础题．
24．【考点】因式分解的应用
【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形三边的大小关系．
解：(a2－2ab＋b2)＋(b2－2bc＋c2)＝0，(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0且b－c＝0，
∴a＝b且b＝c，
∴a＝b＝c.
【点睛】当对多项式的局部因式分解后，变成了几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0，从而判断出该三角形三边的大小关系．
25．【考点】因式分解的应用
【分析】（1）根据图象由正方形的性质和长方形的性质即可得出结论；
（2）根据图象由长方形面积公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可；
（3）根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用每块小矩形的面积为10厘米2，即可得出结论．
解：（1）图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和为：2(m+2n)+2(2m+n)=6m+6n=6(m+n) ；
（2）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；
故答案为：（m+2n）（2m+n）；
（3）依题意得：2m2+2n2=58，mn=10，∴m2+n2=29．
∵（m+n）2=m2+2mn+n2，
∴（m+n）2=29+20=49．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图形得出是解题的关键．
26．【考点】因式分解的应用
【分析】参照题中方法设另一个整式是C,用解方程的思想求出x的值,代回原方程即可解题.
解：设x4+mx3+nx-16=(x-1)(x-2)·C(C为整式).
若x4+mx3+nx-16=(x-1)(x-2)·C=0，
则x-1=0或x-2=0或C=0，
由x-1=0或x-2=0，解得x=1或x=2.
∴x=1，x=2都是方程x4+mx3+nx-16=0的解.
∴14+m·13+n·1-16=0或24+m·23+n·2-16=0，
即m+n=15①，4m+n=0②，
①②联立解得m=-5，n=20.
【点睛】本题考查了因式分解的实际应用,难度较大,首先应该仔细分析题干内容,理解解决这类高次多项式求参数的通用方法,再运用方程的思想进行解题,读懂题意是解题关键.