第5章 分式单元检测试卷A（含解析）

浙教版七年级下第5章分式单元检测试卷A
班级_____________考号______________姓名_______________总分_________________
一、选择题（10小题，每题3分，共30分)
1．下面各式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．m-2n
2．方程的解是（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
3．若分式的值等于0，则x的值是( )
A．2 B． C． D．不存在
4．若关于x的方程的解是x＝3，则a的值为（　　）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
5．若关于x的方程没有增根，则m的值不能是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
6．如果把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（ ）
A．扩大2倍 B．扩大4倍 C．不变 D．缩小2倍
7．若x+=3,则x-的值是(　　)
A． B．- C．± D．±
8．几名同学租一辆面包车去旅游，面包车的租价为240元，出发时又增加了2名同学，结果每个同学比原来少分摊了4元钱车费，设参加旅游的同学共x人，则所列方程为（ ）
A． B． C． D．
9．计算的值为 ( )
A． B．6ab2 C． D．1
10．设 (A，B为常数)，则(　　)
A． B． C． D．
二、填空题（6小题，每题4分，共24分)
11．当a＝____________时，方程的解与方程的解相同．
12．如10，12，15三个数的倒数满足：，我们称12是10与15的调和数，则6与12的调和数为____________.
13．已知x为正整数，分式的值也是整数，则x的值可能为_________.
14．化简的结果是__________．
15．当x=-2017，y=2018时，代数式÷的值为______.
16．用四则运算的加法与除法定义一种新运算记为☆．若对于任意有理数a，b，a☆b＝，则方程（1☆x）＝5的解是_______．
三、解答题（8小题，共66分)
17．解下列分式方程：
(1)；
(2).
18．化简:
(1)8x2y3·;
(2).
19．若，对任意自然数n都成立，求实数a，b.
20．因城市建设的需要，某市将长方形广场的一边增加12m，另一边减少12m，变成边长为a(m)的正方形广场，试问改建前后广场的面积比是多少？面积变大了吗？
21．(1)先化简，再任意选一个你喜欢的数作为x的值代入求值．
(2)先化简，再求值：，其中a2-a=0.
(3)已知y=-x+3.试说明不论x为任何有意义的值，y的值均不变.
22．某书商去图书批发市场购买某本书，第一次用12000元购书若干本，并把该书按定价7元/本出售，很快售完，由于该书畅销，书商又去批发市场采购该书，第二次购书时，每本书批发价已比第一次提高了20%，他用15000元所购书数量比第一次多了100本.
（1）求第一次购书的进价是多少元一本？第二次购进多少本书？
（2）若第二次购进书后，仍按原定价7元/本售出2000本时，出现滞销，书商便以定价的n折售完剩余的书，结果第二次共盈利100m元（n、m为正整数），求相应的n、m的值.
23．阅读下列材料:
已知关于x的方程 的解是，；
方程（即）的解是，；
方程的解是，；
方程的解是，；
… …
(1)结论：猜想方程（m≠0）的解是 .
(2)应用：利用这个结论，解关于x的方程: .
24．商场经营的某品牌童装，4月的销售额为20000元，为扩大销量，5月份商场对这种童装打9折销售，结果销量增加了50件，销售额增加了7000元．
(1)求该童装4月份的销售单价；
(2)若4月份销售这种童装获利8000元，6月全月商场进行“六一”儿童节促销活动．童装在4月售价的基础上一律打8折销售，若该童装的成本不变，则销量至少为多少件，才能保证6月的利润比4月的利润至少增长25%?
参考答案
1．【考点】分式的定义
【分析】根据分式的性质即可判断.
解：A. 分母没有字母，不是分式；
B. 分母有分式，是分式；
C. 分母没有字母，不是分式；
D. m-2n没有分母不是分式，
故选B.
【点睛】此题主要考查分式的定义，熟知分母中有字母为分式是解题的关键.
2．【考点】解分式方程
【分析】先去分母，分式方程两边乘以x（x+2），再去括号，合并同类项即可．
解：去分母得：2（x+2）=x，去括号，移项合并得：x=-4，经检验x=-4是分式方程的解．
原方程的解是x=-4
故选：D．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
3．【考点】分式有意义的条件
【分析】分式等于零：分子等于零，且分母不等于零．
解：由题意，得x2-4=0，且x+2≠0，解得，x=2．故选：A．
【点睛】本题考查分式有意义的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
4．【考点】分式方程的解
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，把x=3代入计算即可求出a的值．
解：
解：分式方程去分母得：10（x-a）=-2a（x-1），把x=3代入得：10（3-a）=-4a，解得：a=5，故选：A．
【点睛】此题考查了分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．【考点】分式方程的增根
【分析】根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x-1=0，所以增根是x=1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
解：将分式方程两边都乘以（x-1），得：m-1-x=0，把x=1代入m-1-x=0，解得m=2．∵原分式方程没有增根，∴m≠2．故选：B．
【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
6．【考点】分式的性质
【分析】分式中的x和y都扩大2倍变为一个新的分式再进行约分，比较与原分式的大小变化即可.
解：分式中的x和y都扩大2倍变为==,所以大小不变，选C.
【点睛】此题主要考查分式的性质，解题的关键是对分式进行正确的约分判断.
7．【考点】分式的值
【分析】先求得（x+）2的值，然后变形得到（x﹣）2=5，再开平方即可得到答案.
解：∵x+=3，
∴（x+）2=x2+2+=9，即x2﹣2+=5，
则（x﹣）2=5，即x﹣= ±.
故选：D.
【点睛】本题主要考查分式的值，解此题的关键在于利用完全平方公式进行变形求解.
8．【考点】由实际问题抽象出分式方程
【分析】设参加旅游的同学共x人，原有人数为（x-2）人，根据每个同学比原来少分摊了4元钱车费，列方程．
解：设参加旅游的同学共x人，原有人数为（x-2）人，
由题意得，
故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．
9．【考点】分式的混合运算
【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘除法运算即可得到结果.
解：原式== .
故选：C.
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．【考点】分式的减法
【分析】对等式右边通分加减运算和，再根据对应项系数相等列方程组求解即可．
解：．
所以，
解得．
故选A．
【点睛】此题考查了分式的减法，比较灵活，需要熟练掌握分式的加减运算．
11．【考点】分式方程的解，解分式方程
【分析】根据解分式方程，可得第二个分式方程的解，根据方程的解相同，把方程的解代入第一个方程，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．
解：，去分母，得x-4=3x．解得x=-2，经检验：x=-2是原分式方程的解．
∵方程的解与方程的解相同．
把x=-2代入得：
解得a=
经检验：a=是分式方程的解，
∴当a=时，方程的解与方程的解相同．
故答案为：
【点睛】本题考查了分式方程的解，利用了解分式方程的步骤，注意要检验分式方程的解．
12．【考点】解分式方程
【分析】根据调和数的关系，计算即可.
解：设6与12的调和数为x,
则,
解得，x=8．
【点睛】此题考查了解分式方程，理解题意列出方程是解题关键.
13．【考点】分式的性质
【分析】按题意分情况讨论x为整数满足分式的值为整数的取值即可，注意分母不能为0的情况．
解：因为x为正整数，分式=1+的值也为整数，所以x-1=1或2，满足条件的有以下情况：
当x=2时，分式值为3；当x=3时，分式值为2；
故答案为：2，3．
【点睛】本题考查分式的性质，注意分式分母不能为0的隐性条件．解题关键是分类讨论思想，注意不要漏解．
14．【考点】分式的混合运算
【分析】先把各项分式的分子分母进行因式分解并化简后再运算.
解：原式=.
故答案为：.
【点睛】运算之前对各分式进行因式分解并化简是解题关键.
15．【考点】分式的化简求值
【分析】先将分子、分母因式分解，再将除法转化为乘法后约分．
解：原式=
=
=
=-x-y．
当x=-2017，y=20118时，原式=-（-2017）-2018=2017-2018=-1．
故答案为-1．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟悉约分、通分及分式的乘除法则是解题的关键．
16． 【考点】解分式方程
【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可．
解：根据题意得：1☆x==5
去分母得：1+x=5-5x，
解得：x=
经检验x=是分式方程的解．
故答案为：x=
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
17．【考点】解分式方程
【分析】(1)先去分母，再去括号整理即可；
(2)方程两边都乘以x－7，再对所得答案进行检验即可.
解：(1)去分母，得3x(x－2)＋2(x＋2)＝3(x＋2)(x－2)，
去括号，得3x2－6x＋2x＋4＝3x2－12，
整理，得－4x＝－16，
解得x＝4.
经检验，x＝4是原方程的解，
故原方程的解为x＝4.
(2)方程两边都乘以x－7，
得x－8＋1＝8(x－7)，
解这个方程，得x＝7.
检验，当x＝7时，x－7＝0.
因此x＝7是原方程的增根，
故原方程无解．
【点睛】本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.
18．【考点】分式的混合运算
【分析】（1）先把除法转化为乘法，然后约分化简即可；
（2）先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后把分子、分母分解因式约分化简即可.
解:（1）原式=8x2y3·
=；
（2）原式=
=
=x-1.
【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
19．【考点】分式的计算
【分析】先将计算得,由对任意自然数n都成立，可得=1，即2n（a+b）+a﹣b=1，故a+b=0，a﹣b=1，再解得a，b即可.
解：∵=
依题意可得=1
∴2n（a+b）+a﹣b=1，
即.
解得：a=，b=﹣.
【点睛】此题主要考查分式的计算，解题的关键是依题意找到关于a，b的式子进行求解.
20．【考点】分式的乘除法
【分析】根据题意表示出改建前中心广场的面积，以及改建后的面积，求出面积比，判断即可得到结果．
解：改建前中心广场的面积为（a+12）（a-12）米2，改建后中心广场的面积a2（米2），
故改建前后广场的面积比是，
∵（a+12）（a-12）=a2-144，
∴a2＞（a+12）（a-12），
则广场的面积增加了．
【点睛】此题考查了分式的乘除法，弄清题意是解本题的关键．
21．【考点】分式的化简求值
【分析】（1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可；
（2）首先把分子分母分解因式，然后相乘约分可得到a2-a-2，再把a2-a=0代入即可；
（3）先把分子分母分解因式再化简约分即可．
解：(1)原式=
=
=
=.
当x＝0时，原式＝=(x不能取±3和2，其余任意实数都可以)
(2)原式==(a-2)·(a+1)=a2-a-2.
当a2-a=0时，原式=0-2=-2.
(3)y=-x+3=3，
∴无论x取任何有意义的值，y的值均不变.
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
22．【考点】分式方程的应用，二元一次方程的应用
【分析】（1）设第一次购书的进价为x元/本，根据“第二次购书时，每本书批发价已比第一次提高了20%，他用15000元所购书数量比第一次多了100本”列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）根据题意列出关于m与n的方程，由m与n为正整数，且n的范围确定出m与n的值即可．
解：（1）设第一次购书的进价为x元/本，
根据题意得：，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解，且符合题意，
∴15000÷（5×1.2）=2500（本），
则第一次购书的进价为5元/本，且第二次买了2500本；
（2）第二次购书的进价为5×1.2=6（元），
根据题意得：2000×（7-6）+（2500-2000）×（-6）=100m，
整理得：7n=2m+20，即2m=7n-20，
∴m=，
∵m，n为正整数，且1≤n≤9，
∴当n=4时，m=4；当n=6时，m=11；当n=8时，m=18．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，以及二元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
23．【考点】解分式方程
【分析】观察所给式子，可看出：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成某个常数，那么这样的方程可直接解得．利用这个结论，可解题．
（1）根据阅读材料得到x1=c，x2=．然后将其代入已知方程进行验证即可；
（2）将变形为（x-1）+=（a-1）+，求得x-1的值后再来求x的值即可．
解：（1）
【点睛】本题考查解分式方程，解题关键是需要学生具备观察、比较，猜想、逻辑分析能力．
24．【考点】分式方程的应用，一元一次不等式的应用
【分析】 (1)设4月份的销售单价为x元．由题意得－＝50，解方程可得；
（2）先求出4、6月份的销量，设销量为y件，由题意得160y－120y≥8 000×(1＋25%)，解不等式可得.
解：(1)设4月份的销售单价为x元．
由题意得－＝50，
解得x＝200.
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意．
所以4月份的销售单价为200元．
(2)4月份的销量为20000÷200＝100(件)，则每件衣服的成本为(20000－8000)÷100＝120(元)．
6月份的售价为200×0.8＝160(元)，
设销量为y件，
由题意得160y－120y≥8 000×(1＋25%)，
解得y≥250，
所以销量至少为250件，才能保证6月的利润比4月的利润至少增长25%.
【点睛】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用题，看懂题意，找到关系式是解题的关键.