4.3用乘法公式分解因式 同步练习
一．选择题（共8小题）
1．分解因式3a2b﹣6ab+3b的结果是（ ）
A．3b（a2﹣2a） B．b（3a2﹣6a+1）
C．3（a2b﹣2ab） D．3b（a﹣1）2
2．若x2﹣6x+a＝（bx﹣3）2，则a，b的值分别为（ ）
A．9，1 B．﹣9，1 C．﹣9，﹣1 D．9，﹣1
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．12a2b﹣8ac+4a＝4a（3ab﹣2c）
B．﹣4x2+1＝（1+2x）（1﹣2x）
C．4b2+4b﹣1＝（2b﹣1）2
D．a2+ab+b2＝（a+b）2
4．将代数式x2+4x﹣5因式分解的结果为（ ）
A．（x+5）（x﹣1） B．（x﹣5）（x+1） C．（x+5）（x+1） D．（x﹣5）（x﹣1）
5．下列式子中，属于2x3+x2﹣13x+6的因式是（ ）
A．x+2 B．x﹣3 C．2x﹣1 D．2x+1
6．下列关于x的二次三项式中（m表示实数），在实数范围内一定能分解因式的是（ ）
A．x2﹣2x+2 B．2x2﹣mx+1 C．x2﹣2x+m D．x2﹣mx﹣1
7．对于任何整数m，多项式（4m+5）2﹣9都能（ ）
A．被8整除 B．被m整除
C．被（m﹣1）整除 D．被（2m﹣1）整除
8．数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是x2+2mx+16能在有理数的范围内因式分解，则整数m的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数m的值有几个？（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
二．填空题（共6小题）
9．把多项式3a3b﹣27ab3分解因式的结果是 ．
10．因式分解：a2+3a+2＝ ．
11．已知x＝y+95，则代数式x2﹣2xy+y2﹣25＝ ．
12．因式分解y2﹣x2﹣4x﹣4为 ．
13．在实数范围内分解因式：a4﹣4＝ ．
14．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2018＝ ．
三．解答题（共4小题）
15．分解因式：
（1）﹣3x2+6xy﹣3y2；
（2）（a+b）（a﹣b）+4（b﹣1）．
16．阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，可得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．
例如：将式子x2+3x+2分解因式．
这个式子的常数项2＝1×2，一次项系3＝1+2，
所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．
解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．
上述分解因式x2+3x+2的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．
请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式：x2﹣5x+6＝ ；
（2）若x2+px+8可分解为两个一次因式的积，则整数P的所有可能值是 ．
17．如图，在一块边长为a米的正方形空地的四角均留出一块边长为米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪．利用因式分解计算当a＝13.6，b＝1.8时，草坪的面积．
18．阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ；
（3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．
4.3用乘法公式分解因式 同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．分解因式3a2b﹣6ab+3b的结果是（ ）
A．3b（a2﹣2a） B．b（3a2﹣6a+1）
C．3（a2b﹣2ab） D．3b（a﹣1）2
解：3a2b﹣6ab+3b
＝3b（a2﹣2a+1）
＝3b（a﹣1）2．
故选：D．
2．若x2﹣6x+a＝（bx﹣3）2，则a，b的值分别为（ ）
A．9，1 B．﹣9，1 C．﹣9，﹣1 D．9，﹣1
解：（bx﹣3）2＝b2x2﹣6bx+9，
∵x2﹣6x+a＝（bx﹣3）2，
∴﹣6b＝﹣6，a＝9，
解得a＝9，b＝1，
故选：A．
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．12a2b﹣8ac+4a＝4a（3ab﹣2c）
B．﹣4x2+1＝（1+2x）（1﹣2x）
C．4b2+4b﹣1＝（2b﹣1）2
D．a2+ab+b2＝（a+b）2
解：A、原式＝4a（3ab﹣2c+1），不符合题意；
B、原式＝（1+2x）（1﹣2x），符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意，
故选：B．
4．将代数式x2+4x﹣5因式分解的结果为（ ）
A．（x+5）（x﹣1） B．（x﹣5）（x+1） C．（x+5）（x+1） D．（x﹣5）（x﹣1）
解：x2+4x﹣5＝（x+5）（x﹣1）．
故选：A．
5．下列式子中，属于2x3+x2﹣13x+6的因式是（ ）
A．x+2 B．x﹣3 C．2x﹣1 D．2x+1
解：∵2x3+x2﹣13x+6
＝2x3+x2﹣10x﹣3x+6
＝x（2x2+x﹣10）﹣3（x﹣2）
＝x（2x+5）（x﹣2）﹣3（x﹣2）
＝（x﹣2）（2x2+5x﹣3）
＝（x﹣2）（2x﹣1）（x+3），
∴2x3+x2﹣13x+6的因式是：（x﹣2），（2x﹣1），（x+3）．
故选：C．
6．下列关于x的二次三项式中（m表示实数），在实数范围内一定能分解因式的是（ ）
A．x2﹣2x+2 B．2x2﹣mx+1 C．x2﹣2x+m D．x2﹣mx﹣1
解：选项A，x2﹣2x+2＝0，△＝4﹣4×2＝﹣4＜0，方程没有实数根，即x2﹣2x+2在数范围内不能分解因式；
选项B，2x2﹣mx+1＝0，△＝m2﹣8的值有可能小于0，即2x2﹣mx+1在数范围内不一定能分解因式；
选项C，x2﹣2x+m＝0，△＝4﹣4m的值有可能小于0，即x2﹣2x+m在数范围内不一定能分解因式；
选项D，x2﹣mx﹣1＝0，△＝m2+4＞0，方程有两个不相等的实数根，即x2﹣mx﹣1在数范围内一定能分解因式．
故选：D．
7．对于任何整数m，多项式（4m+5）2﹣9都能（ ）
A．被8整除 B．被m整除
C．被（m﹣1）整除 D．被（2m﹣1）整除
解：（4m+5）2﹣9＝（4m+5）2﹣32，
＝（4m+8）（4m+2），
＝8（m+2）（2m+1），
∵m是整数，而（m+2）和（2m+1）都是随着m的变化而变化的数，
∴该多项式肯定能被8整除．
故选：A．
8．数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是x2+2mx+16能在有理数的范围内因式分解，则整数m的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数m的值有几个？（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
解：∵4×4＝16，（﹣4）×（﹣4）＝16，2×8＝16，（﹣2）×（﹣8）＝16，1×16＝16，（﹣1）×（﹣16）＝16，
∴4+4＝2m，﹣4+﹣4＝2m，2+8＝2m，﹣2﹣8＝2m，1+16＝2m，﹣1﹣16＝2m，
分别解得：m＝4，﹣4，5，﹣5，8.5，﹣8.5；
∴整数m的值有4个，
故选：A．
二．填空题（共6小题）
9．把多项式3a3b﹣27ab3分解因式的结果是 3ab（a+3b）（a﹣3b） ．
解：原式＝3ab（a2﹣9b2）＝3ab（a+3b）（a﹣3b）．
故答案是：3ab（a+3b）（a﹣3b）．
10．因式分解：a2+3a+2＝ （a+1）（a+2） ．
解：原式＝（a+1）（a+2）．
故答案是：（a+1）（a+2）．
11．已知x＝y+95，则代数式x2﹣2xy+y2﹣25＝ 9000 ．
解：∵x＝y+95，即x﹣y＝95，
∴原式＝（x﹣y）2﹣25＝9025﹣25＝9000，
故答案为：9000
12．因式分解y2﹣x2﹣4x﹣4为 （y﹣x﹣2）（y+x+2） ．
解：原式＝y2﹣（x2+4x+4）
＝y2﹣（x+2）2
＝（y﹣x﹣2）（y+x+2）
故答案为：（y﹣x﹣2）（y+x+2）
13．在实数范围内分解因式：a4﹣4＝ （a2+4）（a+）（a﹣） ．
解：a4﹣4
＝（a2）2﹣22
＝（a2+2）（a2﹣2）
＝（a2+2）（a+）（a﹣）．
故答案为：（a2+2）（a+）（a﹣）．
14．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2018＝ 2019 ．
解：∵a2+a﹣1＝0，
∴a2＝1﹣a、a2+a＝1，
∴a3+2a2+2018，
＝a?a2+2（1﹣a）+2018，
＝a（1﹣a）+2﹣2a+2018，
＝a﹣a2﹣2a+2020，
＝﹣a2﹣a+2020，
＝﹣（a2+a）+2020，
＝﹣1+2020，
＝2019．
故答案为：2019．
三．解答题（共4小题）
15．分解因式：
（1）﹣3x2+6xy﹣3y2；
（2）（a+b）（a﹣b）+4（b﹣1）．
解：（1）﹣3x2+6xy﹣3y2
＝﹣3（x2﹣2xy+y2）
＝﹣3（x﹣y）2；
（2）（a+b）（a﹣b）+4（b﹣1）
＝a2﹣b2+4b﹣4
＝a2﹣（b﹣2）2
＝（a+b﹣2）（a﹣b+2）．
16．阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，可得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．
例如：将式子x2+3x+2分解因式．
这个式子的常数项2＝1×2，一次项系3＝1+2，
所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．
解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．
上述分解因式x2+3x+2的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．
请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式：x2﹣5x+6＝ （x﹣2）（x﹣3） ；
（2）若x2+px+8可分解为两个一次因式的积，则整数P的所有可能值是 ±9或±6 ．
解：（1）x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）．
故答案是：（x﹣2）（x﹣3）．
（2）∵8＝1×8；8＝﹣8×（﹣1）；8＝﹣2×（﹣4）；8＝﹣4×（﹣2），
则p的可能值为﹣1+（﹣8）＝﹣9；8+1＝9；﹣2+（﹣4）＝﹣6；4+2＝6．
∴整数p的所有可能值是±9，±6，
故答案为：±9或±6．
17．如图，在一块边长为a米的正方形空地的四角均留出一块边长为米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪．利用因式分解计算当a＝13.6，b＝1.8时，草坪的面积．
解：由图可得，
草坪的面积是：a2﹣4b2，
当a＝13.6，b＝1.8时，
a2﹣4b2
＝（a+2b）（a﹣2b）
＝（13.6+2×1.8）×（13.6﹣2×1.8）
＝17.2×10
＝172，
即草坪的面积是172．
18．阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 C ；
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： （x﹣2）4 ；
（3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．
解：（1）故选：C；
（2）（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9，
设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+1）（y+7）+9，
＝y2+8y+16，
＝（y+4）2，
＝（x2﹣4x+4）2，
＝（x﹣2）4；
故答案为：（x﹣2）4；
（3）设x2+2x＝y，
原式＝y（y+2）+1，
＝y2+2y+1，
＝（y+1）2，
＝（x2+2x+1）2，
＝（x+1）4．
