第五章 分式单元测试好题精选（含解析）

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第五章分式好题精选
一．选择题（共15小题）
1．下列分式中，是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
2．计算（x﹣1）÷（1﹣）?x的结果是（　　）
A．﹣x2 B．﹣1 C．x2 D．1
3．某项工程，甲队完成需要a小时，乙队完成需要b小时，则甲、乙两队合作1小时可完成该工程的（　　）
A． B． C． D．1÷（）
4．如果分式中的a，b都同时扩大2倍，那么该分式的值（　　）
A．不变 B．缩小2倍 C．扩大2倍 D．扩大4倍
5．市政府决定对一块面积为2400m2的区域进行绿化，根据需要，该绿化工程在实际施工时增加了施工人员，每天绿化的面积比原计划增加了20%，结果提前5天完成任务．设计划每天绿化xm2，则根据意可列方程为（　　）
A．+5＝ B．＝﹣5
C．﹣5＝ D．＝+5
6．某项工程，x人做需a天完成，若增加y人，则完成此工程所需天数是（　　）
A．ax+y B．ax﹣y C． D．
7．如果x2﹣4x+1＝0，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
8．寒假到了，为了让同学们过一个充实而有意义的假期，老师推荐给大家一本好书．已知小芳每天比小荣多看5页书，并且小芳看80页书所用的天数与小荣看70页书所用的天数相等，若设小芳每天看书x页，则根据题意可列出方程（　　）
A． B． C． D．
9．已知+＝3，则代数式的值为（　　）
A．3 B．﹣2 C．﹣ D．﹣
10．如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为m克，再称得剩余电线的质量为n克，那么原来这卷电线的总长度是 （　　）
A．米 B．（+1）米 C．（+1）米 D．（+1）米
11．关于x的方程＝2+有增根，则k的值为（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．2
12．若分式的值是正整数，则m可取的整数有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．10个
13．有一大捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长度．先称出这捆钢筋的总质量为m千克，再从其中截取5米长的钢筋，称出它的质量为n千克，那么这捆钢筋的总长度为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．（）米
14．已知m2+n2＝n﹣m﹣2，则﹣的值等于（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣
15．若a，b是两个正数，且，则（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
16．在分式，，，中，最简分式有　 　个．
17．分式与的最简公分母是　 　．
18．若分式的值为0，则x的值是　 　．
19．小明暑假外出旅行时，准备给朋友们些土特产作为礼物．预先了解到当地最富盛名的A、B两种特产的价格之和为140元，小明计划购买B特产的数量比A特产的数量多5盒，但一共不超过60盒，小明在土特产商店发现A正打九折销售，而B的价格提高了10%，小明决定将A、B特产的购买数量对调，这样，实际花费只比计划多20元，已知价格和购买数量均为整数，则小明购买土特产实际花费为　 　元．
20．已知y1＝，且y2＝，y3＝，y4＝…yn＝，请计算y2018＝　 　．（用含x的代数式表示）
21．“五一”期间，一批九年级同学包租一辆面包车前去竹海游览，面包车的租金为300元，出发时，又增加了4名同学，且租金不变，这样每个同学比原来少分摊了20元车费．若设参加游览的同学一共有x人，为求x，可列方程　 　．
22．当a＝2016时，分式的值是　 　．
23．若分式的值为3，则x＝　 　．
24．如果≠0，那么代数式?（2m+n）的值是　 　．
25．若＝2，则＝　 　
三．解答题（共15小题）
26．计算
（1）
（2）（）
27．计算：
（1）（）2?（）3
（2）﹣x﹣1
28．先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x＝﹣．
29．刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了90元，几天后，遇上这种大米8折出售，她用120元又买了一些，两次一共购买了40kg．求这种大米的原价．
30．先化简，再求值：÷（﹣1），其中x＝﹣2018．
31．计算：
（1）（3a+2b）（a﹣2b）
（2）
32．解方程：﹣＝1．
33．关于x的分式方程﹣＝1+无解，则a的值是多少．
34．列分式方程解应用题：
北京第一条地铁线路于1971年1月15日正式开通运营．截至2017年1月，北京地铁共有19条运营线路，覆盖北京市11个辖区．据统计，2017 年地铁每小时客运量是2002年地铁每小时客运量的4倍，2017年客运240万人所用的时间比2002年客运240万人所用的时间少30小时，求2017年地铁每小时的客运量？
35．列方程解应用题：
中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因．为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，求每套《水浒传》连环画的价格．
36．列分式方程解应用题
某校初二年级的甲、乙两个班的同学以班级为单位分别乘坐大巴车去某基地参加拓展活动，此基地距离该校90千米，甲班的甲车出发10分钟后，乙班的乙车才出发，为了比甲车早到5分钟，乙车的平均速度是甲车的平均速度的1.2倍，求乙车的平均速度．
37．（1）已知A＝，B＝，若A＝B，求a、b之间的关系式；
（2）已知a、b、c都是正数，P＝，Q＝，若P＝Q，那么a、b、c之间有什么关系？试证明你的结论．
38．阅读材料：小华像这样解分式方程＝
解：移项，得：﹣＝0
通分，得：＝0
整理，得：＝0
分子值取0，得：x+5＝0
即：x＝﹣5
经检验：x＝﹣5是原分式方程的解．
（1）小华这种解分式方程的新方法，主要依据是　 　；
（2）试用小华的方法解分式方程﹣＝1
39．在“双十二”期间，A，B两个超市开展促销活动，活动方式如下：
A超市：购物金额打9折后，若超过2000元再优惠300元；
B超市：购物金额打8折．
某学校计划购买某品牌的篮球做奖品，该品牌的篮球在A，B两个超市的标价相同，根据商场的活动方式：
（Ⅰ）若一次性付款4200元购买这种篮球，则在B商场购买的数量比在A商场购买的数量多5个，请求出这种篮球的标价；
（Ⅱ）学校计划购买100个篮球，请你设计一个购买方案，使所需的费用最少．（直接写出方案）
40．某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用40天时间完成整个工程：当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前14天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．
（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？



参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．下列分式中，是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，判断的方法是把分子、分母分解因式，然后对每一选项进行整理，即可得出答案．
【解答】解：A．＝，不符合题意；
B．＝，不符合题意；
C．＝，不符合题意；
D．是最简分式，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，然后进行约分．
2．计算（x﹣1）÷（1﹣）?x的结果是（　　）
A．﹣x2 B．﹣1 C．x2 D．1
【分析】先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，最后约分即可得．
【解答】解：原式＝（x﹣1）÷?x
＝（x﹣1）??x
＝x2，
故选：C．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
3．某项工程，甲队完成需要a小时，乙队完成需要b小时，则甲、乙两队合作1小时可完成该工程的（　　）
A． B． C． D．1÷（）
【分析】根据题意列出代数式即可．
【解答】解：因为某项工程，甲队完成需要a小时，乙队完成需要b小时，
所以甲、乙两队合作1小时可完成该工程的，
故选：A．
【点评】本题考查了列代数式，注意代数式的正确书写：数字应写在字母的前面，数字和字母之间的乘号要省略不写．
4．如果分式中的a，b都同时扩大2倍，那么该分式的值（　　）
A．不变 B．缩小2倍 C．扩大2倍 D．扩大4倍
【分析】依题意分别用2a和2b去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可．
【解答】解：∵分式中的a，b都同时扩大2倍，
∴＝，
∴该分式的值扩大2倍．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
5．市政府决定对一块面积为2400m2的区域进行绿化，根据需要，该绿化工程在实际施工时增加了施工人员，每天绿化的面积比原计划增加了20%，结果提前5天完成任务．设计划每天绿化xm2，则根据意可列方程为（　　）
A．+5＝ B．＝﹣5
C．﹣5＝ D．＝+5
【分析】设计划每天绿化xm2，根据“结果提前5天完成任务”列出方程．
【解答】解：设计划每天绿化xm2，则实际每天绿化的面积为（1+20%）xm2，则根据意可列方程：﹣5＝．
故选：C．
【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
6．某项工程，x人做需a天完成，若增加y人，则完成此工程所需天数是（　　）
A．ax+y B．ax﹣y C． D．
【分析】设该项工程总量为1，（x+y）人完成这项工程所需的天数＝1÷（x+y）人的工作效率
【解答】解：每人的工作效率＝，
则（x+y）个人完成这项工程的工作效率是（x+y）?．
故（x+y）个人完成这项工程所需的天数是1÷[（x+y）?]＝（天）．
故选：D．
【点评】考查了列代数式（分式），解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
7．如果x2﹣4x+1＝0，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】把已知条件两边都除以x，得到x+＝4，然后两边平方，利用完全平方公式展开，求出x2+的值，再把所求代数式分子分母都除以x2，然后整体代入计算即可得解．
【解答】解：把x2﹣4x+1＝0方程两边都除以x得，x+＝4，
两边平方得，x2++2＝16，
所以，x2+＝14，
＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，把已知条件与所求代数式进行变形出现x互为倒数的和的形式是解题的关键．
8．寒假到了，为了让同学们过一个充实而有意义的假期，老师推荐给大家一本好书．已知小芳每天比小荣多看5页书，并且小芳看80页书所用的天数与小荣看70页书所用的天数相等，若设小芳每天看书x页，则根据题意可列出方程（　　）
A． B． C． D．
【分析】关键描述语为：“小芳看80页书所用的天数与小荣看70页书所用的天数相等”；等量关系为：小芳看80页书所用的天数＝小荣看70页书所用的天数．
【解答】解：小芳看80页书所用的天数为：，小荣看70页书所用的天数为：．所列方程为：＝．故选D．
【点评】列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
9．已知+＝3，则代数式的值为（　　）
A．3 B．﹣2 C．﹣ D．﹣
【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，整理得到a+2b＝6ab，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：+＝＝3，即a+2b＝6ab，
则原式＝＝＝﹣，
故选：D．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为m克，再称得剩余电线的质量为n克，那么原来这卷电线的总长度是 （　　）
A．米 B．（+1）米 C．（+1）米 D．（+1）米
【分析】根据题意列出代数式即可．
【解答】解：原来这卷电线的总长度是（+1）米，
故选：B．
【点评】本题考查了列代数式，注意代数式的正确书写：数字应写在字母的前面，数字和字母之间的乘号要省略不写．
11．关于x的方程＝2+有增根，则k的值为（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．2
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣3）＝0，得到x＝3，然后代入化为整式方程的方程算出k的值．
【解答】解：∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣3＝0，
解得x＝3，
方程两边都乘（x﹣3），
得：x﹣1＝2（x﹣3）+k，
当x＝3时，k＝2，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
12．若分式的值是正整数，则m可取的整数有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．10个
【分析】由分式的值是正整数知m﹣2＝1、2、3、6，据此可得．
【解答】解：∵分式的值是正整数，
∴m﹣2＝1、2、3、6，
则m＝3、4、5、8这四个数，
故选：A．
【点评】本题考查分式的值，解题的关键是理解题意，学会用 转化的思想思考问题，属于基础题，中考常考题型．
13．有一大捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长度．先称出这捆钢筋的总质量为m千克，再从其中截取5米长的钢筋，称出它的质量为n千克，那么这捆钢筋的总长度为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．（）米
【分析】解：此题要根据题意列出代数式．可先求1千克钢筋有几米长，即米，再求m千克钢筋的长度．
【解答】解：这捆钢筋的总长度为m?＝米．
故选：C．
【点评】用字母表示数时，要注意写法：
①在代数式中出现的乘号，通常简写做“?”或者省略不写，数字与数字相乘一般仍用“×”号；
②在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写；
③数字通常写在字母的前面；
④带分数的要写成假分数的形式．
14．已知m2+n2＝n﹣m﹣2，则﹣的值等于（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣
【分析】把所给等式整理为2个完全平方式的和为0的形式，得到m，n的值，代入求值即可．
【解答】解：由m2+n2＝n﹣m﹣2，得
（m+2）2+（n﹣2）2＝0，
则m＝﹣2，n＝2，
∴﹣＝﹣﹣＝﹣1．
故选：C．
【点评】考查分式的化简求值，把所给等式整理为2个完全平方式的和为0的形式是解决本题的突破点；用到的知识点为：2个完全平方式的和为0，这2个完全平方式的底数为0．
15．若a，b是两个正数，且，则（　　）
A． B． C． D．
【分析】由已知去分母得到ab＝（a+b）（a+b﹣1），判断a+b的范围，再由完全平方公式得到（a+b）2≥4ab，即可得到a+b≤，从而得到选项．
【解答】解：由，
去分母得：a2﹣a+b2﹣b+ab＝0，
整理得：a2+ab+b2＝a+b，
∴（a+b）2﹣ab＝a+b，
∴ab＝（a+b）2﹣（a+b）＝（a+b）（a+b﹣1），①
∵a，b是两个正数，
∴ab＞0，a+b＞0，
∴a+b﹣1＞0，
即：a+b＞1．
∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab≥4ab，
结合①式可得：，
∴．
因此，1＜a+b．
故选：C．
【点评】本题主要考查了分式的混合运算，完全平方公式，分式的基本性质等知识点，利用完全平方公式和分式的基本性质进行变式是解此题的关键．
二．填空题（共10小题）
16．在分式，，，中，最简分式有　3　个．
【分析】最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：是最简分式，
是最简分式，
＝＝，不是最简分式，
是最简分式，
故答案为：3．
【点评】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
17．分式与的最简公分母是　12x2y2　．
【分析】根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式确定；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：因为两个个分母中的常数项系数的最小公倍数是12，x的最高次幂是2，y的最高次幂是2，
所以两个分式的最简公分母是12x2y2．
故答案为：12x2y2．
【点评】本题主要考查了最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
18．若分式的值为0，则x的值是　﹣1　．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：由分式的值为0，得
x+1＝0且x﹣1≠0．
解得x＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了分时值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
19．小明暑假外出旅行时，准备给朋友们些土特产作为礼物．预先了解到当地最富盛名的A、B两种特产的价格之和为140元，小明计划购买B特产的数量比A特产的数量多5盒，但一共不超过60盒，小明在土特产商店发现A正打九折销售，而B的价格提高了10%，小明决定将A、B特产的购买数量对调，这样，实际花费只比计划多20元，已知价格和购买数量均为整数，则小明购买土特产实际花费为　3120　元．
【分析】设A特产的单价为x元/盒，则B特产的单价为（140﹣x）元/盒，计划购买A特产a盒，则B特产为（a+5）盒，根据等量关系：实际花费只比计划多20元，列出方程，再根据整数的性质求解即可．
【解答】解：设A特产的单价为x元/盒，则B特产的单价为（140﹣x）元/盒，
计划购买A特产a盒，则B特产为（a+5）盒，
0.9x（a+5）+（140﹣x）（1+10%）a﹣[ax+（140﹣x）（a+5）]＝20，
解得x＝＝+70，
∵x和a都是整数，550＝2×5×11，
∴95﹣2a＝5，11，55，
当95﹣2a＝5时，a＝45；
当95﹣2a＝11时，a＝42；
当95﹣2a＝55时，a＝20；
∵a+a+5≤60，
解得a≤27.5，
∴a＝20，
95﹣2a＝55，
∴x＝+70＝80，
小明实际花费ax+（a+5）（140﹣x）+20
＝20×80+（20+5）×（140﹣80）+20
＝1600+1500+20
＝3120
答：小明购买土特产实际花费为3120元．
故答案为：3120．
【点评】考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
20．已知y1＝，且y2＝，y3＝，y4＝…yn＝，请计算y2018＝　　．（用含x的代数式表示）
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则计算出y2、y3、y4，据此得出其循环规律，再进一步求解可得．
【解答】解：∵y1＝，
∴y2＝＝＝，
y3＝＝＝2﹣x，
y4＝＝，
∴这列式子的结果以，，2﹣x为周期，每3个数一循环，
∵2018÷3＝672…2，
∴y2018＝y2＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查数字的变化规律与分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及数列的循环规律．
21．“五一”期间，一批九年级同学包租一辆面包车前去竹海游览，面包车的租金为300元，出发时，又增加了4名同学，且租金不变，这样每个同学比原来少分摊了20元车费．若设参加游览的同学一共有x人，为求x，可列方程　﹣＝20　．
【分析】关键描述语是：“每个同学比原来少分摊了20元车费”；等量关系为：原有的同学每人分担的车费﹣实际每人分担的车费＝20．
【解答】解：原有的同学每人分担的车费应该为，而实际每人分担的车费为，方程应该表示为：﹣＝20．
故答案是：﹣＝20．
【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程．列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系，找到关键描述语，找到相应的等量关系是解决问题的关键．
22．当a＝2016时，分式的值是　2017　．
【分析】首先化简分式，然后把a＝2016代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：当a＝2016时，

＝﹣
＝
＝
＝a+1
＝2016+1
＝2017．
故答案为：2017．
【点评】此题主要考查了分式求值问题，要熟练掌握，求分式的值可以直接代入、计算．如果给出的分式可以化简，要先化简再求值．
23．若分式的值为3，则x＝　6　．
【分析】根据分式的值为3，可得：＝3，据此求出x的值是多少即可．
【解答】解：∵分式的值为3，
∴＝3，
∴3（x﹣4）＝6，
解得x＝6，
当x＝6时，x﹣4＝6﹣4＝2≠0，
∴x＝6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了分式的值的求法，要熟练掌握，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
24．如果≠0，那么代数式?（2m+n）的值是　　．
【分析】先化简该分式，再设＝k，则m＝3k、n＝2k，代入化简后的分式计算可得．
【解答】解：原式＝?（2m+n）＝，
设＝k，
则m＝3k、n＝2k，
所以原式＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是熟练掌握分式的乘除运算顺序和法则．
25．若＝2，则＝　　
【分析】由＝2，得x+y＝2xy，整体代入所求的式子化简即可．
【解答】解：由＝2，得x+y＝2xy
则＝＝＝．
故答案为．
【点评】解题关键是用到了整体代入的思想．
三．解答题（共15小题）
26．计算
（1）
（2）（）
【分析】（1）先将分子和分母因式分解，再约分即可得；
（2）先计算括号内的加法，同时将除式分母和分子因式分解，再将除法转化为乘法，继而约分即可得．
【解答】解：（1）原式＝?＝1；

（2）原式＝[+]÷
＝?
＝．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
27．计算：
（1）（）2?（）3
（2）﹣x﹣1
【分析】（1）先计算乘方，同时将除法转化为乘法，继而约分即可得；
（2）先通分，再计算减法即可得．
【解答】解：（1）原式＝??（﹣）＝﹣；

（2）原式＝﹣＝．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
28．先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x＝﹣．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝（+）?
＝?
＝2（x+2）
＝2x+4，
当x＝﹣时，
原式＝2×（﹣）+4
＝﹣1+4
＝3．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
29．刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了90元，几天后，遇上这种大米8折出售，她用120元又买了一些，两次一共购买了40kg．求这种大米的原价．
【分析】设这种大米的原价是每千克x元，根据两次一共购买了40kg列出方程，求解即可．
【解答】解：设这种大米的原价是每千克x元，
根据题意，得+＝40，
解得：x＝6．
经检验，x＝6是原方程的解．
答：这种大米的原价是每千克6元．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
30．先化简，再求值：÷（﹣1），其中x＝﹣2018．
【分析】先根据分式的混合运算和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷（﹣）
＝?[﹣（x+1）]
＝﹣（x﹣1）
＝1﹣x，
当x＝﹣2018时，
原式＝1﹣（﹣2018）＝2019．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
31．计算：
（1）（3a+2b）（a﹣2b）
（2）
【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可得；
（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：（1）原式＝3a2﹣6ab+2ab﹣4b2＝3a2﹣4ab﹣4b2；

（2）原式＝?+
＝+
＝
＝1．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式与分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
32．解方程：﹣＝1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，方程左右两边相等，
所以x＝2是原方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
33．关于x的分式方程﹣＝1+无解，则a的值是多少．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出a的值即可．
【解答】解：去分母得：x2﹣ax﹣3x+3＝x2﹣x+a，即﹣ax﹣2x+3＝a，即（a+2）x＝3﹣a，
当a+2＝0，即a＝﹣2时，整式方程无解；
当a+2≠0时，由分式方程无解，得到x（x﹣1）＝0，即x＝0或x＝1，
把x＝0代入整式方程得：a＝3；
把x＝1代入整式方程得：a＝，
综上，a的值是﹣2或3或．
【点评】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0的条件．
34．列分式方程解应用题：
北京第一条地铁线路于1971年1月15日正式开通运营．截至2017年1月，北京地铁共有19条运营线路，覆盖北京市11个辖区．据统计，2017 年地铁每小时客运量是2002年地铁每小时客运量的4倍，2017年客运240万人所用的时间比2002年客运240万人所用的时间少30小时，求2017年地铁每小时的客运量？
【分析】设2002年地铁每小时客运量x万人，则2017年地铁每小时客运量4x万人，根据2017年客运240万人所用的时间比2002年客运240万人所用的时间少30小时列出分式方程，求出答案即可．
【解答】解：设2002年地铁每小时客运量x万人，则2017年地铁每小时客运量4x万人，
由题意得，
解得x＝6，
经检验x＝6是分式方程的解，
答：2017年每小时客运量24万人．
【点评】本题考查了分式方程的应用；解这类问题时要注意分析题中的等量关系，由时间关系列出方程是解决问题的关键．
35．列方程解应用题：
中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因．为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，求每套《水浒传》连环画的价格．
【分析】设每套《水浒传》连环画的价格是x元．则《三国演义》连环画的价格是（x+60）元．根据“用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍”列出方程并解答．注意要验根．
【解答】解：设每套《水浒传》连环画的价格为x元，则每套《三国演义》连环画的价格为（x+60）元．
由题意，得＝2×
解得x＝120
经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意．
答：每套《水浒传》连环画的价格为120元．
【点评】本题考查分式方程的应用，利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．
36．列分式方程解应用题
某校初二年级的甲、乙两个班的同学以班级为单位分别乘坐大巴车去某基地参加拓展活动，此基地距离该校90千米，甲班的甲车出发10分钟后，乙班的乙车才出发，为了比甲车早到5分钟，乙车的平均速度是甲车的平均速度的1.2倍，求乙车的平均速度．
【分析】设甲车的平均速度是x千米/时，则乙车的平均速度是1.2x千米/时，根据甲车行驶的时间＝乙车行驶的时间+小时路程方程，求解即可．
【解答】解：设甲车的平均速度是x千米/时，则乙车的平均速度是1.2x千米/时，
根据题意，得＝+，
解得x＝60．
经检验，x＝60是原方程的解，
此时1.2x＝72．
答：乙车的平均速度是72千米/时．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
37．（1）已知A＝，B＝，若A＝B，求a、b之间的关系式；
（2）已知a、b、c都是正数，P＝，Q＝，若P＝Q，那么a、b、c之间有什么关系？试证明你的结论．
【分析】（1）根据A＝B，确定出a与b的关系式即可；
（2）根据P＝Q确定出abc的关系式，验证即可．
【解答】解：（1）由A＝B，得到+＝+，即（﹣）+（﹣）＝0，
整理得：＝0，即1﹣ab＝0，
则ab＝1；
（2）由P＝Q得：++＝++，即（﹣）+（﹣）+（﹣）＝0，
整理得：（1﹣abc）[++]＝0，
∵a，b，c都是正数，
∴1﹣abc＝0，即abc＝1．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
38．阅读材料：小华像这样解分式方程＝
解：移项，得：﹣＝0
通分，得：＝0
整理，得：＝0
分子值取0，得：x+5＝0
即：x＝﹣5
经检验：x＝﹣5是原分式方程的解．
（1）小华这种解分式方程的新方法，主要依据是　分式的值为0即分子为0且分母不为0　；
（2）试用小华的方法解分式方程﹣＝1
【分析】（1）根据分式的值为0即分子为0且分母不为0可得；
（2）移项后，通分、根据分式的加减法则计算左边，再由（1）中结论得出关于x的方程，解之求得x的值，最后检验即可得．
【解答】解：（1）小华这种解分式方程的新方法，主要依据是分式的值为0即分子为0且分母不为0，
故答案为：分式的值为0即分子为0且分母不为0．

（2）﹣﹣1＝0，
﹣﹣＝0，
＝0，
＝0，
则﹣4（x+2）＝0，
解得：x＝﹣2，
检验：x＝﹣2时，分母为0，分式无意义，
所以x＝﹣2是增根，原分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
39．在“双十二”期间，A，B两个超市开展促销活动，活动方式如下：
A超市：购物金额打9折后，若超过2000元再优惠300元；
B超市：购物金额打8折．
某学校计划购买某品牌的篮球做奖品，该品牌的篮球在A，B两个超市的标价相同，根据商场的活动方式：
（Ⅰ）若一次性付款4200元购买这种篮球，则在B商场购买的数量比在A商场购买的数量多5个，请求出这种篮球的标价；
（Ⅱ）学校计划购买100个篮球，请你设计一个购买方案，使所需的费用最少．（直接写出方案）
【分析】（Ⅰ）设这种篮球的标价为x元．根据一次性付款4200元购买这种篮球，则在B商场购买的数量比在A商场购买的数量多5个，构建方程即可解决问题；
（Ⅱ）在A超市分两次购买，每次45个，费用共为3450元，在B超市购买10个，费用400元，两超市购买100个篮球，所需的最少费用为3850元．
【解答】解：（Ⅰ）设这种篮球的标价为x元．
由题意：﹣＝5，
解得：x＝50，
经检验：x＝50是原方程的解．
答：这种篮球的标价为50元．

（Ⅱ）购买购买100个篮球，所需的最少费用为3850元．
方案：在A超市分两次购买，每次45个，费用共为3450元，在B超市购买10个，费用400元，两超市购买100个篮球，所需的最少费用为3850元．
【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是学会正确寻找等量关系，构建分式方程解决问题，注意解分式方程必须检验，所以中考常考题型．
40．某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用40天时间完成整个工程：当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前14天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．
（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
【分析】（1）设二号施工队单独施工需要x天，根据一号施工队完成的工作量+二号施工队完成的工作量＝总工程（单位1），即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据工作时间＝工作总量÷工作效率，即可求出结论．
【解答】解：（1）设二号施工队单独施工需要x天，
根据题意得：+＝1，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原分式方程的解．
答：若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要60天．
（2）根据题意得：1÷（+）＝24（天）．
答：若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要24天．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据数量关系，列式计算．
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