浙教版七下数学第5章《分式》单元培优测试题
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1.下列各式： ， ， ， ， ，其中分式的个数有（??? ）
A.?5个???????????????????????????????????????B.?4个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?2个
2.若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（??? ）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
3.无论x取什么数，总有意义的分式是 ??
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
4.“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的同学共x人，则所列方程为( ???)
A.??????????????B.??????????????C.??????????????D.?
5.方程 解是（??? ）
A.?x= ????????????????????????????????????B.?x=4????????????????????????????????????C.?x=3????????????????????????????????????D.?x=-4
6.下列分式中，与 值相等的是（?????? ）
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
7.化简 的结果是（??? ）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
8.已知一辆汽车从甲地到乙地的速度为v1，从乙地原路返回到甲地的速度为v2，则这辆汽车来回的平均速度为?? (???? )? ?
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
9.计算： ＝（?? ）
A.?1??????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????C.?1+ ??????????????????????????????????????D.?
10.如果a﹣b= ，那么代数式（a﹣ ）? 的值是（??? ）
A.?﹣2???????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????C.?﹣ ???????????????????????????????????????D.?
11.当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…，、﹣2、﹣1、0、1、 、 、…、 、 、 时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于（ ??）
A.?﹣1????????????????????????????????????????B.?1????????????????????????????????????????C.?0????????????????????????????????????????D.?2015
12.已知 =1， =2， =3，则x的值是（ ）
A.?1????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?﹣1
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13.化简分式： =________.
14.如果方程 的解是 ，则a=________
15.若关于x的方程 有增根，则m的值是________．
16.一组学生乘汽车去春游，预计共需车费120元，后来人数增加了 ， 费用仍不变，这样每人少摊3元，原来这组学生的人数是________.
17.若分式 的值为零，则 的值为________．
18.已知 ，则的y2+4y+x值为________．
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
19.（6分）先化简， ÷（ ﹣ ），再从﹣2＜x＜3中选一个合适的整数代入求值．
20.（6分）2018年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用11万元所购买的此款空调数台，条例实施后比实施前多10%．求条例实施前此款空调的单价．
21.（10分）某农场为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
22.（10分）填空： ?=1﹣ ， ?= ﹣ ， = ﹣ ， ?= ﹣ ，…．
（1）试求 =________， =________．
（2）请猜想能表示上述规律的等式，并用含字母n（n 整数）的式子表示出来________
（3）请你直接利用（2）所得的结论计算下列式子：
．
23.（10分）已知代数式 ．
（1）化简这个代数式；
（2）“当x＝0时，该代数式的值为 ”，这个说法正确吗？请说明理由．
24.（12分）2018年，在南得区美丽乡村建设中，甲、乙两个工程队分别承担村级道路硬化和道路拓宽改造工程已知道路硬化和道路拓宽改造工程的总里程数是8.6千米，其中道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的2倍少1千米
（1）求道路硬化和道路拓宽里程数分别是多少千米；
（2）甲、乙两个工程队同时开始施工，甲工程队比乙工程队平均每天多施工10米。由于工期需要，甲工程队在完成所承担的 施工任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了 。设乙工程队平均每天施工a米，请回答下列问题。
①根据题意，填写下表；
乙工程队
甲工程队
技术改进前
技术改进后
施工天数（天）（用含a的代数式表示）
________
________
________
②若甲、乙两队同时完成施工任务，求乙工程队平均每天施工的米数a和施工的天数
25.（12分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ，则 是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是________（填序号）；
① ；② ；③ ；④
（2）将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： =________；
（3）应用：先化简 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
浙教版七下数学第5章《分式》单元培优测试题（答案）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1.【答案】 D 2.【答案】 D 3.【答案】 C 4.【答案】 D 5.【答案】 B 6.【答案】 C
7.【答案】 B 8.【答案】 D 9.【答案】 A 10.【答案】 D 11.【答案】A 12.【答案】B
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13.【答案】 a+1 14.【答案】 15.【答案】4
16.【答案】 8 17.【答案】 x=1 18.【答案】2
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
19.【答案】 解：原式＝ ÷ ＝ ? ＝ ，
当x＝2时，原式＝4
20.【答案】 解：设条例实施前此款空调的单价为x元，
根据题意得： ，
解得：x＝2200，
经检验：x＝2200是原方程的解，
答：条例实施前此款空调的单价为2200元．
21.【答案】 （1）解：设规定时间为x天，则甲需x天完成，每天可完成 ，乙需1.5x天完成，每天可完成 ，根据题意列方程
解得x=30
检验
为原方程的解
即规定时间为30天 （2）解：根据题意，合作完成的时间为
则施工费用= （元）
22.【答案】 （1）； （2） （3）解： + + +…+ ，
= ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ，
= ﹣ ，
= ，
= ．
23.【答案】 （1）原式＝[ ]?
=
＝
= ；
（2）不正确，
∵当x＝0时，代数式 ， 中的分母x2﹣2x，x都等于0，该代数式无意义，
∴所以这个说法不正确．
24.【答案】 （1）解：设道路拓宽里程数为x千米，则道路硬化里程数为（2x-1）千米；
由题意料x+（2x-1）=8.6
解得x=3.2
∴2x-1=5.4
答：逆路硬化里程数为5.4千米，道路拓宽里程数为3.2千米。
（2）解： ；；或
由题意得
解得a=20
经检验：a=20是原方程的解，且符合题意。
∴
答：乙工程队平均每天施工20米，施工的天数为160天。
25.【答案】（1）①③④ （2）a-1+ （3）解：原式=
=
=
=
=2+ ，
∴当x+1=±1或x+1=±2时，分式的值为整数，
此时x=0或-2或1或-3，
又∵分式有意义时x≠0、1、-1、-2，
∴x=-3
浙教版七下数学第5章《分式》单元培优测试题（解析版）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1.下列各式： ， ， ， ， ，其中分式的个数有（??? ）
A.?5个???????????????????????????????????????B.?4个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?2个
【答案】 D
【考点】分式的定义
【解析】【解答】、、是整式，、是分式。 故答案为：D。
【分析】?一般地，如果A、B(B不等于零)表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式。
2.若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（??? ）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
【答案】 D
【考点】分式的基本性质
【解析】【解答】对于A：， 对于B：， 对于C：， 对于D：。 故答案为：D。
【分析】当x、y的值均扩大为原来的2倍时，只有D选项分子分母都扩大了2倍，整个分式值不变。
3.无论x取什么数，总有意义的分式是 ??
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
【答案】 C
【考点】分式有意义的条件，有理数的乘方，偶次幂的非负性
【解析】【解答】A． ，x3+1≠0，x≠﹣1，不符合题意；
B． ，（x+1）2≠0，x≠﹣1，不符合题意；
C． ，x2+1≠0，x为任意实数，符合题意；
D． ，x2≠0，x≠0，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】分式有意义的条件是分母不能为0，根据偶次幂的非负性及立方的意义，即可一一判断得出答案。
4.“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的同学共x人，则所列方程为( ???)
A.??????????????B.??????????????C.??????????????D.?
【答案】 D
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】设原来参加游览的同学共x人，由题意得，
，
故答案为：D.
【分析】抓住题中的关键已知条件：增加了两名同学后，结果每个同学比原来少摊了3元钱的车费，列方程即可。
5.方程 解是（??? ）
A.?x= ????????????????????????????????????B.?x=4????????????????????????????????????C.?x=3????????????????????????????????????D.?x=-4
【答案】 B
【考点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以 (x+2)（x-1）得:2（x-1）=x+2;
去括号的：2x-2=x+2；
移项得:2x-x=4,
解得:x=4.
检验:当x=4时, (x+2)（x-1）≠0,
故原方程的解为x=4
故本题正确答案为B.
【分析】方程两边同时乘以最简公分母1 (x+2)（x-1），把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程求出x的值，把x的值代入最简公分母中检验，如果最简公分母不为0，则x的值是原方程的根，若最简公分母为0，则x的值是原方程的增根，原方程无解.
6.下列分式中，与 值相等的是（?????? ）
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
【答案】 C
【考点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： ; 故答案为 ：C。 【分析】根据分式的性质，分式的分子分母都乘以同一个不为0的数，分式的值才不会发生改变。
7.化简 的结果是（??? ）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
【答案】 B
【考点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：原式= ×
= ．
故答案为：B．
【分析】将被除式的分子利用平方差公式分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，将除式的分子分母交换位置，同时将除法转变为乘法，然后约分化为最简形式即可得出答案。
8.已知一辆汽车从甲地到乙地的速度为v1，从乙地原路返回到甲地的速度为v2，则这辆汽车来回的平均速度为?? (???? )? ?
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
【答案】 D
【考点】分式的混合运算
【解析】【解答】解 ：设甲地到乙地的路程为1，则汽车从甲地到乙地所用的时间为：,汽车从乙地到甲地所用的时间为：, 这辆汽车来回的平均速度为：; 故答案为 ：D。 【分析】设甲地到乙地的路程为1，则汽车从甲地到乙地所用的时间为：,汽车从乙地到甲地所用的时间为：， ,利用总路程除以总时间得出这辆汽车来回的平均速度。
9.计算： ＝（?? ）
A.?1??????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????C.?1+ ??????????????????????????????????????D.?
【答案】 A
【考点】分式的加减法
【解析】【解答】解：法一、
＝
＝
＝1．
法二、
＝ + ﹣
＝1．
故答案为：A．
【分析】分母不变，将分子进行加减，分子和分母进行约分即可。
10.如果a﹣b= ，那么代数式（a﹣ ）? 的值是（??? ）
A.?﹣2???????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????C.?﹣ ???????????????????????????????????????D.?
【答案】 D
【考点】利用分式运算化简求值
【解析】【解答】解：（a﹣ ）?
= ?
= ?
=a﹣b，
∵a﹣b= ，
∴原式= ．
故答案为：D．
【分析】通分计算括号内异分母分式的减法，然后将各个分式的分子分母能分解因式的分别分解因式，再计算分式的除法，约分化为最简形式，再将a﹣b= 整体代入即可算出答案。
11.当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…，、﹣2、﹣1、0、1、 、 、…、 、 、 时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于（ ??）
A.?﹣1????????????????????????????????????????B.?1????????????????????????????????????????C.?0????????????????????????????????????????D.?2015
【答案】A
【考点】分式的值
【解析】【解答】解：设a为负整数．
∵当x=a时，分式的值= ，当x= 时，分式的值= = ，
∴当x=a时与当x= 时两分式的和= + =0．
∴当x的值互为负倒数时，两分式的和为0．
∴所得结果的和= =﹣1．
故答案为：；A．
【分析】算几个特殊值，可观察出规律，最中间的x=0时，值为-1，其他项合并为0.
12.已知 =1， =2， =3，则x的值是（ ）
A.?1????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?﹣1
【答案】B
【考点】利用分式运算化简求值
【解析】解答: 已知 =1， =2， =3，则： =1，即 =1；(a)
，即 ；(b)，即 ．(c)
(b)﹣(c) 得到： (d)
（a）﹣（d）得到： 解得：x= ．
故选B．
分析: 把已知 =1变形为 =1是解决本题的关键．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13.化简分式： =________.
【答案】 a+1
【考点】分式的混合运算
【解析】【解答】解 ：原式=. 故答案为 ：a+1. 【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，然后将能分解因式的分子、分母分别分解因式，最后约分即可得出答案。
14.如果方程 的解是 ，则a=________
【答案】
【考点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：将x=2代入方程 得；, 解得，a=,经检验a=是该方程的根。 故答案为 ：. 【分析】根据方程根的概念，将新代入方程，即可得出一个关于a的方程，求解并检验即可。
15.若关于x的方程 有增根，则m的值是________．
【答案】4
【考点】分式方程的增根
【解析】【解答】方程两边都乘（x﹣2）， 得x+2=m ∵原方程有增根， ∴最简公分母（x﹣2）=0， 解得x=2， 当x=2时，m=2+2+4， 故答案为：4． 【分析】分式 方程有增根，即分式方程化为 整式方程有一个使分母为0的根.
16.一组学生乘汽车去春游，预计共需车费120元，后来人数增加了 ， 费用仍不变，这样每人少摊3元，原来这组学生的人数是________.
【答案】 8
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解 ：设 原来这组学生的人数 是x人，现在的人数是（1+）x人， 由题意得： 解得 x=8,经检验，x=8是原方程的根，所以原来这组学生是8人。 故答案为：8. 【分析】设 原来这组学生的人数 是x人，现在的人数是（1+）x人，原来每人需要分摊的费用为：元，现在每人需要分摊的费用为：元，根据现在每人需要分摊的费用比原来每人需要分摊的费用少3元，即可列出方程，求解并检验即可。
17.若分式 的值为零，则 的值为________．
【答案】 x=1
【考点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】由题意得x+1≠0，且x-1=0，所以x=1。
故答案为：1
【分析】根据分式的分子为0，且分母不为0时分式的值为0，列出混合组，求解即可。
18.已知 ，则的y2+4y+x值为________．
【答案】2
【考点】利用分式运算化简求值
【解析】【解答】解：由于 ，则通过变形可得： ，即 ，∴y2+4y+x=2 故答案为：2. 【分析】对等式的具体变式过程为：，.
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
19.先化简， ÷（ ﹣ ），再从﹣2＜x＜3中选一个合适的整数代入求值．
【答案】 解：原式＝ ÷ ＝ ? ＝ ，
当x＝2时，原式＝4
【考点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】通分计算括号内异分母分式的减法，然后将各个分式的分子分母能分解因式的分别分解因式，同时将除式的分子分母交换位置，将除法转变为乘法，然后约分化为最简形式；根据分式有意义的条件得出x≠0,x≠1,x≠-1,而﹣2＜x＜3 且，x是整数，从而得出x只能取2，将x=2代入分式化简的结果，根据有理数的混合运算法则即可算出答案。
20.2012年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用11万元所购买的此款空调数台，条例实施后比实施前多10%．求条例实施前此款空调的单价．
【答案】 解：设条例实施前此款空调的单价为x元，
根据题意得： ，
解得：x＝2200，
经检验：x＝2200是原方程的解，
答：条例实施前此款空调的单价为2200元．
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】 设条例实施前此款空调的单价为x元 ， 根据题意可得条例设施前用110000买的空调台数×（1+10%）=条例设施后用110000买的空调台数，据此代入相关数据列分式方程解答即可。
21.某农场为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
【答案】 （1）解：设规定时间为x天，则甲需x天完成，每天可完成 ，乙需1.5x天完成，每天可完成 ，根据题意列方程
解得x=30
检验
为原方程的解
即规定时间为30天
（2）解：根据题意，合作完成的时间为
则施工费用= （元）
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）工程问题的基本数量关系：工作效率×时间=工作总量。题目中由题意可分别设出甲、乙单独完成工程的时间，继而可表示出甲、乙的工作效率，合作15天，再由乙单独完成，工作量和为1，列出方程即可求出完成工程的规定时间； （2）根据时间=1÷甲、乙的工作效率和求出合作完成该项工程的时间，再由甲、乙每天的施工费用即可求出该工程的总施工费用。
22.填空： ?=1﹣ ， ?= ﹣ ， = ﹣ ， ?= ﹣ ，…．
（1）试求 =________， =________．
（2）请猜想能表示上述规律的等式，并用含字母n（n 整数）的式子表示出来________
（3）请你直接利用（2）所得的结论计算下列式子：
．
【答案】 （1）； （2） （3）解： + + +…+ ，
= ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ，
= ﹣ ，
= ，
= ．
【考点】分式的加减法，探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1） = ﹣ ，
= ﹣ ；
（ 2 ） = ﹣ ；
故答案为：（1） ﹣ ， ﹣ ，（2） ﹣ ．
【分析】（1）利用题中的规律即可求解； （2）把上述规律表示出来即可； （3）根据上述规律把此式写成分式的加减即可求解.
23.已知代数式 ．
（1）化简这个代数式；
（2）“当x＝0时，该代数式的值为 ”，这个说法正确吗？请说明理由．
【答案】 （1）原式＝[ ]?
=
＝
= ；
（2）不正确，
∵当x＝0时，代数式 ， 中的分母x2﹣2x，x都等于0，该代数式无意义，
∴所以这个说法不正确．
【考点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】（1）先据异分母分式相加减的根计算括号里面的，然后把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘即可.（2）根据分式的分母不能为0可知，x的值不能为0.所以 “当x＝0时，该代数式的值为 ”，这个说法不正确 .
24.2018年，在南得区美丽乡村建设中，甲、乙两个工程队分别承担村级道路硬化和道路拓宽改造工程已知道路硬化和道路拓宽改造工程的总里程数是8.6千米，其中道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的2倍少1千米
（1）求道路硬化和道路拓宽里程数分别是多少千米；
（2）甲、乙两个工程队同时开始施工，甲工程队比乙工程队平均每天多施工10米。由于工期需要，甲工程队在完成所承担的 施工任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了 。设乙工程队平均每天施工a米，请回答下列问题。
①根据题意，填写下表；
乙工程队
甲工程队
技术改进前
技术改进后
施工天数（天）（用含a的代数式表示）
________
________
________
②若甲、乙两队同时完成施工任务，求乙工程队平均每天施工的米数a和施工的天数
【答案】 （1）解：设道路拓宽里程数为x千米，则道路硬化里程数为（2x-1）千米；
由题意料x+（2x-1）=8.6
解得x=3.2
∴2x-1=5.4
答：逆路硬化里程数为5.4千米，道路拓宽里程数为3.2千米。
（2）解： ；；或
由题意得
解得a=20
经检验：a=20是原方程的解，且符合题意。
∴
答：乙工程队平均每天施工20米，施工的天数为160天。
【考点】分式方程的实际应用，一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：道路硬化的里程数+道路拓宽改造工程的里程数=8.6；道路硬化的里程数=道路拓宽里程数×2-1，再设未知数，列方程求解即可。 （2）①此题中的等量关系为：甲工程队的速度=乙工程队的速度+10米 ；技术改进后：使工作效率比原来提高了 。即可填表；②根据题意列方程，解方程即可解答。
25.定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ，则 是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是________（填序号）；
① ；② ；③ ；④
（2）将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： =________；
（3）应用：先化简 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】（1）①③④ （2）a-1+ （3）解：原式=
=
=
=
=2+ ，
∴当x+1=±1或x+1=±2时，分式的值为整数，
此时x=0或-2或1或-3，
又∵分式有意义时x≠0、1、-1、-2，
∴x=-3
【考点】利用分式运算化简求值
【解析】【解答】解：⑴① =1+ ，是和谐分式；
② =1+ ，不是和谐分式；
③ = =1+ ，是和谐分式；
④ =1+ ，是和谐分式；
故答案为：①③④．
⑵ = = + =a-1+ ，
故答案为：a-1+ ．
【分析】（1）根据和谐分式的概念，逐个判断即可； （2）先利用配方法对分子变形，再逆用分式的加法法则即可解答； （3）先利用分式的混合运算法则对其化简，再借助和谐分式的概念，将化简结果变形成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，最后根据x是整数且结果是整数可知x+1=、， 据此解答即可。
