(共20张PPT)
4.1 因式分解
轻松一刻
计算：
2×3×5=
30
这是整数乘法运算，
30 =2×3×5是什么运算呢？
（因数分解）
2×3×5
30
整数乘法
因数分解
学校为响应绿色校园的称号，又修建了三块长方形的绿化草坪，它们的长都为50m，宽分别是32m，28m，20m，那么这些绿化带的面积之和为多少？
50m
50m
50m
32m
28m
20m
方法一
50×32＋50×28＋50×20
方法二
50×(32＋28＋20)
＝
学校为响应绿色校园的称号，又修建了三块长方形的绿化草坪，它们的长都为K，宽分别是a，b，c ，那么这些绿化带的面积之和为多少？
整式乘法
?
把一个多项式分解成几个整式积的形式
叫因式分解 .
整式乘法
因式分解
计 算
多项式
整式的积
a2－a＝a(a－1)
a2－b2＝(a－b)(a＋b)
a2＋2a＋1＝(a＋1)2
整式的积
多项式
a2-b2=(a+b)(a-b)
=(a+b)2
=m(a+b)
(a+b)(a-b)
(a+b)2
m(a+b)
=a2-b2
=a2+2ab+b2
=am+bm
整式乘法
因式分解
整式的积
多项式
多项式
整式的积
a2+2ab+b2
am+bm
你能尝试把a2－b2化成几个整式的积的形式吗？
因式分解
计算下列各式:
做一做 比一比:
整式的积
多项式
多项式
整式的积
根据左面的算式填空:
整式乘法
互逆关系
（否）
辩一辩
下列式子从左边到右边的变形是因式分解吗，为什么？
（是）
（是）
（否）
（是）
将一个多项式局部化成积的形式，不属于因式分解
一个多项式分解成几个整式积的形式
辩一辩
下列式子从左边到右边的变形是因式分解吗，为什么？
（否）
（是）
（否）
（否）
（否）
把一个单项式写成几个单项式的积的形式，不属于因式分解
一个多项式分解成几个整式积的形式
用什么方法检验因式分解是否正确呢？
看等式右边几个
整式相乘的积与
左边的多项式是
否相等
例：检验下列因式分解是否正确？
(1) x2 y－xy 2 = xy (x－y)
(2) 2x2－1 = (2x+1)(2x－1)
(3) x2+3x+2 = (x+1)(x+2)
例：检验下列因式分解是否正确？
(1) x2 y－xy 2 = xy (x－y)
(2) 2x2－1 = (2x+1)(2x－1)
(3) x2+3x+2 = (x+1)(x+2)
＝xy·x－xy·y
解：(1)∵xy (x－y)
例：检验下列因式分解是否正确？
(1) x2 y－xy 2 = xy (x－y)
(2) 2x2－1 = (2x+1)(2x－1)
(3) x2+3x+2 = (x+1)(x+2)
解：(2) ∵(2x+1)(2x－1)
例：检验下列因式分解是否正确？
(1) x2 y－xy 2 = xy (x－y)
(2) 2x2－1 = (2x+1)(2x－1)
(3) x2+3x+2 = (x+1)(x+2)
解：(3) ∵ (x+1)(x+2)
问题1:
你能利用上面的等式快速计算 1012 — 992=？
解: 1012 — 992
= (101+99)(101 — 99)
= 400
学以致用
问题2: 872+87×13 又该怎么算呢？
解：
872+87×13
=87×(87+13)
=87×100
=8700
利用a2+ab=a(a+b)
看谁算得快
(1)若a=1001,b=999,则a2-b2=___________；
(2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=_______；
(3)若x=-3,则20x2+60x=____________。
(1)a2-b2=(a+b)(a-b)=(1001+999)(1001-999)=4000
(2)a2-2ab+b2=(a-b) 2=(99+1)2 =10000
(3)20x2+60x= 20x（x+3）= 20× (-3)(-3+3)=0。
4000
10000
0
分解因式与整式乘法是互逆过程.
分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式.
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
3.要分解到不能分解为止.
归纳小结
这节课你有何收获？
再 见!
填空：
（1） 若x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则 m= , n= 。
－7
－10
（2）若x2-3x+m=(x-2)(??? ), 则
m=????????????
x-1
2
再想一想？
如果2x?+mx-2可分解因式为
(2x+1)(x-2), 求m的值
解:由题意得: 2x?+mx-2= (2x+1)(x-2)
∵ 2x?+mx-2=2x?-3x-2
∴对应项的系数相等，则 m=-3
会了吗? 请试一试
若能x?+ax+b分解成(x+3)(x+4),求a,b的值
(共16张PPT)
4.2 提取公因式法
你能把12、15因数分解吗？
12=2 × 2×3；
15= 3 × 5
12、15这两数有公因数吗？
有公因数是 3
看谁算的最快:
0.564×899+0.564×101
=0.564×(899+101)
公因式的定义:多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
am+bm
有什么特点?
=m(a+b)
能寻找一下2ab+4abc的公因式吗？
贝贝认为：2a；
晶晶认为：ab ；
迎迎认为：2ab
对
你能找出下面两个单项式的公因式吗?
3
x2
y
各项系数
的最大公因数
各项都含有的
相同字母的
最低次幂
1. 3x2-3y .
2. 2a+3a b .
3
a
公因式
4. 3a(b-c)+8(b-c) .
（b-c）
3. 15a2b3 - 6a3bc .
3a2b
下列各式的公因式分别是什么？
现学现用
正确找出多项式各项公因式的关键是什么？
系数：1、公因式的系数是多项式各项系数 的最大公约数。
字母： 2、字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
指数： 3、相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.
4、多项式中的公因式可以是单项式，
也可以是多项式。
提取公因式法分解因式
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。
3x ? 3x -3x ? 2y
=
=
3x( 3x - 2y )
9x2 –6 xy
提取公因式的一般步骤是：
1、确定应提的公因式
2、用公因式去除这个多项式，所得的商作
为另一个因式。
3、把多项式写成这两个因式的积的形式。
的公因式是
3x
分解因式：
例1
用提取公因式法分解因式：
2x3+6x2
3pq3+15p3q
= 2x2(x+3)
= 3pq(q2+5p2)
用提取公因式法分解因式：
-4x2+8ax+2x
(4) -3ab+6abx-9aby
= -2x(2x-4a-1)
= -3ab(1-2x+3y)
当第一项的系数为负时，通常应提取负因数，此时剩下的各项都要改变符号。
例1
练一练：分解因式
温馨提示:
提公因式后的剩下多项式的项数应与原多项式的项数一样.
在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成立:
—
—
—
—
+
括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；
添括号法则：
回顾去括号法则，完成下列填空：
热身训练
（6） (2 a-b)2 +2a – b = (2 a –b)2 + ( )
（7）a ( s + t ) –s – t = a ( s + t ) – ( )
2a - b
s + t
括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号。
解：
原式=2(a-b)2 -(a-b)
=(a-b) [2(a-b)-1]
=(a-b)(2a-2b-1)
把2(a-b)2-a+b 分解因式
例2
试一试:
把 3(m-2n)2 - m + 2n 分解因式
①、提取公因式法分解因式
小结
②、添括号法则
1、确定公因式的方法：
(1)公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
(2)字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
(3)相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂
小结
2、提公因式法分解因式：两步：
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式 ，即用多 项式除以公因式.
括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；
3、添括号法则：
括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号。
(共16张PPT)
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
比一比：
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
用平方差公式分解因式
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
4.3 用乘法公式分解因式(1)
之
说一说：
（１）公式左边：
（是一个将要被分解因式的多项式）
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。
(2) 公式右边:
（是分解因式的结果）
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
▲
▲
▲
a2-b2=(a + b)(a - b)
例：
16a2-1
=(4a)2-12
=(4a+1)(4a-1)
下列多项式能否用平方差公式分解因式？说说你的理由。
（1）4x2+y2 (2) 4x2-(-y)2
(3) -4x2-y2 (4) -4x2+y2
(5) a2-4 (6) a2+3
能用平方差公式分解因式的多项式的特征：
1、由两部分组成；
2、两部分符号相反；
3、每部分都能写成某个式子的平方。
能
能
能
不能
不能
不能
运用a2-b2=(a+ b)(a- b)
例1:把下列各式分解因式：
解:（2）原式=（2t)2-(mn)2
= (2t+mn)(2t-mn)
说明:公式中的a、b可以是单项式(数字、字母)、还可以是多项式.分解因式最后结果中如果有同类项，一定要合并同类项。
小试牛刀
（4）原式 =[(x+z)+(y+z)][(x+z)- (y+z)]
=(x+y+2z)(x-y)
=(x+z+y+z)(x+z- y-z)
(2)-m2n2+4t2 (3) x2 - y4 (4)(x+z)2-(y+z)2
（3）原式 =( x)2 –( )2
=( x+ y2 )( x- y2 )
1.判断下列利用平方差公式分解因式是否正确,不对,请改正
(3) -9+4x2=(2x-3)(2x+3)
(2) -a4+b2=(a2+b)(a2-b)
(5) a2-(b+c)2=(a+b+c)(a-b+c)
(6) s2-t2=(-s+t)(-s-t)
×
×
(b+a2)(b-a2)
(a+b+c)(a-b-c)
√
√
(s-t)(s+t)
a2-b2=(a+b)(a-b)
=
=[-(s-t)][-(s+t)]
(4) -1-x2=(1-x)(1+x)
(1) x2-4y2=(x+4y)(x-4y)
×
×
(x+2y)(x-2y)
不能分解因式
判断
抢答题：
=(4x+y) (4x －y)
=(2x + y) (2x － y)
3
1
3
1
=(2k+5mn) (2k －5mn)
2.把下列各式分解因式：
a2 － b2= (a ＋ b) (a － b)
看谁快又对
= (a+8) (a －8)
（1）a2－64
1
（2）16x2 －y2
2
(3) － y2 + 4x2
9
1
3
(4) 4k2 －25m2n2
4
当场编题，考考你！
参照对象：
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
20062－20052 =
（2mn）2 - ( 3xy)2 =
(x+z)2 - (y+z)2 =
结论：
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。
ma+mb=m(a+b) m是各项的公因式
a2-b2=(a+b)(a-b)
知识加油站
合作学习
例2. 分解因式4x3y-9xy3
(2)提取公因式后,多项式还能继续分解因式吗?
4x3y-9xy3=xy(4x2-9y2)
4x3y-9xy3=xy (4x2-9y2)=xy(2x+3y)(2x-3y)
(1)能分解因式吗?用什么方法?
[注意]: 1.一般地,因式分解时有公因式先提公因式
2.因式分解时要分解彻底。
正确率+速度=效率
(2) 0.01s2-t2
(1) 16-a2
(4) -1+9x2
(5) (a-b)2-(c-b)2
(6) -(x+y)2+(x-2y)2
解:原式=(4+a)(4-a)
解:原式=(0.1s+t)(0.1s-t)
解:原式=(3x-1)(3x+1)
解:原式=(a-c)(a+c+2b)
解:原式=-3y(2x-y)
a2-b2=(a+b)(a-b)
做一做
平方差公式:a2-b2 =(a+b)(a-b)
把下列各式分解因式
① x4 - 81y4 ② 2a? - 8a
1.解:原式= (x?+ 9y?) (x?- 9y?)
= (x?+ 9y?) (x+ 3y) (x- 3y)
2.解:原式=2a(a2- 4)
=2a(a+2)(a-2)
挑战极限
合作探究
(1)能提取公因式。
993-99 =99(992-1)
（2）还能继续分解
993-99=99(99+1)(99-1)
=99x100x98
解： 4x3y-9xy3
=xy(4x2-9y2)
1、请问993-99能被100整除？温馨提示：（1）能否提取公因式？（2）提取公因式后，还能 继续分解因式吗？
2、怎样把多项式4x3y-9xy3分解因式？
=xy[(2x)2-(3y)2]
=xy(2x+3y)(2x-3y)
结论：
993-99能被100整除。
记得要提取公因式！
数学医院
1、分解因式
4x2–y2=(4x+y)(4x-y )
诊断分析：
公式理解不准确，不能很好的把握公式中的项， 4x2–y2中4x2 相当于a2 ,则2x相当于“a”.
2、分解因式
x4–y4=(x2+y2)(x2–y2)
(4a+5b)2–(2a-b)2=(6a+4b)(2a+6b)
诊断分析：
综合运用提取公因式，公式法公解因式时，提公因式后，另一个因式还可以继续分解，同学们千万要注意分解完毕后对结果进行检查，看是否分解彻底了。
正确分解：
4x2–y2=(2x+y)(2x-y )
= (x2+y2) (x+y)(x-y )
问题在哪里？
=4 (3a+2b)(a+3b)
补充分解：
体会.分享
说说你这节课的收获和体验让大家与你分享吧!
分解因式的步骤：
(1)优先考虑提取公因式法
(2)其次看是否能用公式法
（如平方差公式）
(3)务必检查是否分解彻底了
b米
b米
a米
(a-2b)米
(a+2b)米
a 米
从前有一位张老汉向地主租了一块 “十字型”土地（尺寸如图）。为便于种植，他想换一块相同面积的长方形土地。 同学们，你能帮助张老汉算出这块长方形土地的长和宽吗？
学以致用
在日常生活中如上网等都需要密码.
有一种因式分解法产生的密码方便记忆又不易破译.例如用多项式x4-y4因式分解的结果来设置密码, 当取x=9,y=9时,可得一个六位数的密码“018162”.你想知道这是怎么来的吗?
小明选用多项式4x3-xy2，取x=10,y=10时。用上述方法产生的密码是什么?(写出一个即可)
知识探究
(共21张PPT)
4.3 用乘法公式分解因式（2）
复习旧知
分解因式
（1）16x2－9y2
（2）
（3）4a3－a
（4）a4－81b4
=（3x+4y+x-2y)(3x+4y-x+2y)
=(4x+2y)(2x+6y)=4(2x+y)(x+3y)
=5a3(x2-y2)
=5a3(x+y)(x-y)
复习旧知
平方差公式
现在我们把完全平方公式反过来，可得：
两个数的平方和，加上 这两个数的积的两倍，等于这两数和 的平方．
完全平方公式：
（或减去）
（或者差）
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
形如 的多项式称为完全平方式.
a2 + 2ab + b2 = （ a + b ）2
a2－2ab+b2 =（a－b）2
16x2+40x+25= ( )2+2( )( )+( )2 =( + )2
=( )2- 2( )( )+( )2 =( - )2
4x
4x
4x
5
5
5
公式中的a、b可以表示数、字母、单项式甚至是多项式
n
n
n
对照公式填一填
下列各式是不是完全平方式
是
是
否
是
否
辨一辨：
判别下列各式是不是完全平方式．
不是
是
是
不是
你能总结出完全平方式的特点吗？
是
辨一辨：
完全平方式的特点：
1．有三部分组成．
2．其中有两部分分别是某两个数（或式）的平方，
且这两部分同号．
3. 另一部分是上述两数（或式）的乘积的2倍，符
号可正可负．
是
不是
不是
是
练一练：
不是
是
1．判别下列各式是不是完全平方式，若是说出
相应的 各表示什么？
2．请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．
请运用完全平方公式把下列各式分解因式：
例3
把下列各式因式分解：
（1）
（2）
9
28
试一试：
（3）-x2+4xy-4y2
例4
1、(2x+y)2-6(2x+y)+9
解:原式=(2x+y)2-2.(2x+y).3+32
=[(2x+y)-3]2
=(2x+y-3)2
注意:本例把2x+y看
作是一个整体,或者
说设2x+y=a,这种数
学思想称为换元思想.
分解因式:
2、3ax2+6axy+3ay2
原式=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2
2.下面因式分解对吗？为什么？
练一练：
1．分解因式：
B
A
选一选：
1、把 分解因式得( )
A、
B、
2、把 分解因式得（ ）
A、 B、
3、如果100x2+kxy+y2可以分解为（10x-y)2,那么k的值是（ ）
A、20 B、-20 C、10 D、-10
B
B
4、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A、6 B、±6 C、3 D、±3
5、把 分解因式得（ ）
A、 B、
C、 D、
6、计算 的结果是（ ）
A、 1 B、-1
C、 2 D、-2
C
A
综合练习
1、用简便方法计算
（1）49.92＋9.98 ＋0.12
（2）9 9992 ＋19 999
2、因式分解
（1）(4a2＋1)2－16a2
（2）(a 2－2)2－4 (a2－2)＋4
1、是一个二次三项式
一、完全平方式具有：
小结：
2、有两个“项”平方,而且有这两“项”的积的两倍或负两倍
3、我们可以利用完全平方公式来进行因式分解
因式分解多项式；先看有无公因式。两项三项用公式；辩明是否标准式。
二、因式分解的基本思路
2、我们知道4x2+1不是完全平方式，有没有合适的项，你能给它补成完全平方式吗？
拓展提高：
1、你能用口算求出20052-4010× 2003+20032的值吗？
4
4x4，±4x
