(共17张PPT)
5.1 分式
为了调查珍稀动物资源，动物专家在 p平方千米的保护区内找到7只灰熊，那么该保护区平均每平方千米有＿＿＿只灰熊.
探索新知
?
？
文林书店新进一批图书，其中该批图书的进价是每册5元，现加价x元销售，当这批图书全部售出时，其销售额为b元，文林书店的
这批图书共进了 册。
探索新知
?
甲种糖果每千克价格a元，乙种糖果每千克价格b元，取甲种糖果m ㎏，乙种糖果n ㎏，混合后，平均每千克价格为
元。
探索新知
?
议一议
上面题中出现的代数式:
5
x
b
+
它们与整式是否相同？它们有什么共同特点吗？
你能用精炼语言概括出什么是分式吗？
这些代数式都表示两个整式相除，并且除式中要含有字母．像这样的代数式就叫做分式。
x
5
b
+
概念学习
?
下列各式中，哪些是整式，哪些是分式，为什么?
(1)5x-7 (2) 3x2-1
3
-
π
b
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
运用新知
?
分式还可以表示成
A 称为分式的分子，B 称为分式的分母,其中B 是含有字母的整式.
问题1:分式 中分母B能取任何实数吗？
问题2:分式 中字母x能取任何实数吗？
注意: 分式中字母的取值不能使分母为零.
知道为什么吗?
分式中字母的取值不能使分母为零,
分式中字母的取值不能使分母为零.当分母的值为零时分式就没有意义.
例1 对于分式 .
（1）当x取什么数时，分式有意义？
（3）当x =1时，分式的值是多少？
例题学习
?
（2）当x取什么数时，分式的值是零？
由 知，x取除 以外的任何实数。
(4) 当x= -3时，分式的值是多少?
(3) 当x为何值时，分式的值为零?
(2) 当x为何值时，分式有意义?
(1) 当x为何值时，分式无意义?
已知分式
练一练
?
解:
(2)由（１）得 当x ≠-2时，分式
∴当x = -2时分式:
(1)当分母等于零时,
分式无意义。
有意义。
无意义。
∴x = -2
即 x+2=0
(4) 当x= -3时，分式的值是多少?
(3) 当x为何值时，分式的值为零?
(2) 当x为何值时，分式有意义?
(1) 当x为何值时，分式无意义?
已知分式
（４）当x ＝-３时，
(３)当分子等于零而分母不等于零时,分式的值为零。
的值为零。
∴当x = 2时分式
∴ x ≠ -2
而 x+2≠０
∴x = ±2
则 x2 - 4=0
反思:要使分式 ,则须A=0 且B≠0
Ａ
Ｂ
＝０
(4) 当x= -3时，分式的值是多少?
(3) 当x为何值时，分式的值为零?
(2) 当x为何值时，分式有意义?
(1) 当x为何值时，分式无意义?
已知分式
甲、乙两人从一条公路的某处出发，同向而行，已知甲每时行a千米，乙每时行b千米，a>b。如果乙提前1时出发，那么甲追上乙需要多少时间？当a=6，b=5时求甲追上乙所需要的时间。
例题学习
?
例2
问题：若取a=5，b=5，分式的值有意义吗？它表示的实际情景是什么？
思维园地
当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是 （ ）
（A）
（B）
( C)
（D）
在分式 中，当x为何值时，
分式有意义？分式的值为零？
B
已知分式
(2) 当x为何值时，分式有意义?
(3) 当x为何值时，分式的值为零?
(1) 当x为何值时，分式无意义?
无解
归纳小结
分式的分母中必含有字母。
分式的分母不能为零。
当分子为零，分母不为零时，
分式值为零。
谈谈这节课你的收获和体会.
(共20张PPT)
5.2 分式的基本性质(1)
整式A除以整式B，可以表示成 的形式。如果除式B中含有字母，那么称 为分式，其中A称为分式的分子，B为分式的分母。
对于任意一个分式，分母都不能为零.
温故知新
回顾 & 思考
?
练一练
填空:
(1)当 时,分式 有意义;
(2)当 时,分式 的值是零;
(3)当x=-3时,分式 没有意义,则 b=
x≠4
y=3
3
(4) 已知分式
当 时,分式有意义;
当 时,分式的值是零;
练一练
x≠-2且
x≠3
X=-3
(5)当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）
B
（A）
（B）
( C)
（D）
a
a
2-
1
+
1，当a_____时，则分式 有意义。
2，当x_____时，则分式 无意义。
3, 当x_____时，则分式 无意义。
≠2
=1
=±3
快速抢答
4，当x 时，则分式 有意义。
(发现:某些条件下分式恒有意义。)
9
1
2
-
x
1
8
-
x
9
1
2
+
x
为任何实数
要使分式 有意义，则 x
应满足的条件是____________
2. 分式 的值为0，则 x = ______
3. 你能否写出一个分式，无论字母取何实数，这个分式都有意义？
－1
快速抢答
与 ； 与
是否相等?依据是什么?
分数的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零的数，分数的值不变.
分数的基本性质
你认为分式 与 相等吗?
与 呢?
与同伴交流你的看法,并说出你的理由.
为什么所乘的整式M不能为零呢?
分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.
用式子表示：
（其中M是不等于零的整式）
做一做
1.不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数：
（1）
（2）
解:⑴
原式=
(2)
原式=
想一想
动脑筋
下列等式成立吗?为什么？
分式的符号法则：
做一做
2.不改变分式的值,把下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数：
（1）
（2）
解:⑴
原式=
(2)
原式=
例1: 化简下列分式
解: ⑴
原式=
=
（2）
原式=
=
把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形叫做分式的约分.
约分的依据是什么？
分式的基本性质
在化简结果中,分子和分母已没有公因式,这样的分式成为最简分式
化简分式时,通常要使结果成为最简分式或者整式
练一练
1.不改变分式的值，使下列各式的分子与分母不含“—”号：
练一练
2.不改变分式的值,使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数：
练一练
3. 用分式表示下列各式的商，并约分：
变式拓展
有一题目：当x=4时,求分式 的值.
小红是这样解答的：
解：原式= ，当x=4时,原式=
，你认为小红是的解答对吗？
如果不正确，请说明理由，并给出正确的解答。
本节课小结
2.分式的约分。
1.分式的基本性质。
3.你在这节课的学习中体会最深刻的问题是什么？
(共10张PPT)
5.2 分式的基本性质(2)
分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式 ,分式的值不变.
知识回顾
用式子表示是：
＝
＝
（其中M是不等于零的整式）
例3 计算：
探究
实数a、b满足 ，
记 ， ，
比较M、N的大小。
归纳提炼
1﹑分式基本性质的应用。
2﹑化简分式,还可以进行一些多项式的除法。
(共17张PPT)
5.3 分式的乘除
回顾
想 一想
情景导入
火车提速后，平均速度提高到原来的x倍，那么行使同样的路程，时间可缩短到原来的几分之几？
火车提速后的时间
火车提速前的时间
那么行使同样的路程，时间可缩短到原来的
解：设火车提速前的速度为v，行使的路程为s
1. 观察下列运算,你想到了什么?
2.猜一猜下面的式子怎么运算,与同伴交流你的想法.
两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;
两个分式相除,把除式的分子分母颠倒位置后,再与被除式相乘.
下面的计算对吗？如果不对，请改正
（2）
例1. 计算:
你是否悟到了怎么去做此类分式的乘除法运算?
分子和分母都是单项式的分式乘除法的解题步骤是：
①把分式除法运算变成分式乘法运算；
②确定积的符号；
③约分 ④写出结果
动手试一试
·
例1. 计算:
分子或分母是多项式的分式乘除法的解题 步骤是：
①除法转化为乘法；
② 把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；
③约分得到积的分式
你是否悟到了怎么去做此类分式的乘除法运算?
动手试一试
计算:
挑战
例2. 一个长宽高分别为l ,b ,h 的长方体纸箱装满了一层高为 h 的圆柱形易拉罐，求纸箱空间的利用率（易拉罐总体积与纸箱容积的比，结果精确到1%）
r
h
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
……
……
……
……
l
b
例2 一个长、宽、高分别为l，b，h的长方形纸箱装满了一层高为h的圆柱形易拉罐（如图）.求纸箱空间的利用率（易拉罐总体积与纸箱容积的比，结果精确到1%）.
r
l
b
解: 由题意得，易拉罐的总数为
（个）
由于纸箱的高度与易拉罐的高度相等，因此易拉罐所占空间的总体积与纸箱的容积之比为
答：纸箱空间的利用率约为79%.
练习
我思，我进步！
分式乘、除法法则.
分式乘方法则.
分式运算结果的要求.
你在学习中有哪些收获?
(共12张PPT)
5.4
分式的加减(1)
问题 1
利用小学学过的分数的加减法则 ，计算下列各式：
这一法则能否推广到分式运算中
想一想 会分数的加减，就会分式的加减
2、你认为
3、猜一猜, 同分母的分式应该如何加减?
1、同分母分数加减法的法则如何叙述？
想一想
分母不变,分子相加减.
【同分母的分数加减法的法则】
同分母的分数相加减，
同分母分式加减法法则 与同分母分数加减法的法则类似
【同分母的分式加减法的法则】
同分母的分式相加减，
分母不变,分子相加减.
例 1 计算：
例题讲解
例1 计算
分母不变，分子相加
去括号
合并同类项
约分
例题讲解
分母不变，分子相减
去括号
合并同类项
约分
分解因式
例2: （1）计算：
例题欣赏
?
分析：是属于同分母的分式相加吗？
能否把它变为同分母的两分式呢？
（2）取未知数 x 的值为3，求（1）式的值。
帮帮小明算算时间
这是关于分式的加减问题，你行吗？
(2)他走哪条路花费时间少?
少用多长时间?
从甲地到乙地有两条路,每
一个条路都是 3km. 其中第一条
是平路,第二条有1km的上坡路
, 2km的下坡路.小明在上坡路上
的骑车速度为v km/h, 在平路上
的骑车速度为2 vkm/h, 在下坡路
上的骑车速度为3vkm/h, 那么:
(1)当走第二条路时, 他从甲地
到乙地需要多长时间?
答: (1)
(2)
走第一条路花费时间少, 少用
v
3v
2v
示意图
1
2
归纳总结：
同分母分式加减的基本步骤：
练一练
计算：
巩固练习
计算：
硕果累累
这节课有你什么收获？
(共14张PPT)
5.4 分式的加减(2)
同分母分式加减的法则
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
知识回顾
2、计算
想一想
1、计算
先通分，把异分母分数化为同分母的分数，
然后再按同分母分数的
加减法法则进行计算。
先通分，把异分母分式化为同分母的分式，
然后再按同分母分式的
加减法法则进行计算。
异分母的分数相加减法则
异分母的分式相加减法则
用类推的方法说说异分母的分式相加减法则！
小明认为, 只要把异分母的分式化成同分母的分式, 异分母的分式的问题就变成了同分母分式的加减问题. 小麦同意小明的这种看法, 但他俩的具体做法不同：
你对这两种做法有何评判?
议 一 议
3×4a
a×4a
+
1×a
4a×a
3×4
a×4
+
1
4a
把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式 , 这一过程叫做 通分 .
为了计算方便, 异分母的分式通分时,
通常取最简单的公分母
作为它们的共同分母.
(简称最简公分母),
【什么叫通分】
议一议
怎样确定各分式的最简公分母
各分母的系数应取最小公倍数
各分母所有字母应取它们的最高次幂
将取出的因式写成积的形式
分式 的公分母是____
4. 分式 的公分母是_____
注意：如果分母有多项式，应先把多项式因式分解，再确定公因式
2. 分式 的公分母是____
3. 分式 与 的公分母是_____
判断公分母
例3 计算
异分母的分式相加减的步骤：
1、通分。运用分式的性质把异分母的化为同分母。
2、根据同分母的分式相加减的法则进行计算。
做一做
合作探索
例4：
计算： ，并求当 a = -3时原式的值.
练习（1）P129A组3
（2）B组5
拓展练习
1、一项工程 , 甲单独做 a 天完成, 乙单独做 b 天 完成 .甲、乙两人一起完成这项工程，需要多长时间？
提示
v甲 = ，
v乙 = 。
设 “甲、乙两人一起完成这项工程” 需要 x 天，
则： = 1 。
解得 x= 。
完成P129B组6
（1）分式加减运算的方法思路：
通分
转化为
异分母相加减
同分母
相加减
分子（整式）相加减
分母不变
转化为
（2）分子相加减时，如果分子是一个多项 式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误。
（3）分式加减运算的结果要约分，化为最简分式（或整式）。
本节课你的收获是什么？
课堂小结
1.阅读课后“探究活动”
2.课本作业题A组1、2、4
(共15张PPT)
5.5 分式方程(1)
某地电话公司调低了长途电话的话费标准,每分钟费用降低了25%,因此按原收费标准6元话费的通话时间,在新收费标准下可多通话5分时间.问前后两种收费标准每分钟收费各是多少?
长途话费调 低了?
分析:若设原来的收费标准是x元/分,则可列出方程:
合作学习
思考:
该方程与我们学过的一元一次方程有什么不同?
1、2(x－1)=x＋1; x2＋x-20=0; x+2y=1…
2、
整式方程:
方程两边都是整式的方程.
分式方程：
方程中只含分式，或分式和整式,并且分母里含有未知数的方程.
观察下列方程：
概 念
一元一次方程
一元二次方程
找一找：
1. 下列方程中属于分式方程的有（ ）;
属于一元分式方程的有（ ）.
① ②
③ ④ x2 +2x-1=0
① ③
①
巩 固 定 义
2、已知分式 ,当x 时,
分式有意义.
3、分式 与 的最简公分母
是 .
x2-1≠0
x(x―3)
≠±1
2x(x―3)
化简,得整式方程 7(x+3)=2(2x-3)
解整式方程,得 x = -9.
把 x = -9代入原方程
左边= ,
右边= .
∵ 左边=右边,
∴ 原方程的根是 x =-9.
分式方程
整式方程
解整式方程
检 验
转化
① ② ③
检验：
得 7(2x-3)· ·7(2x-3)
● ● ● ● ●
解: 方程的两边同乘以最简公分母7(2x-3),
知识应用
例1 解分式方程:
例2 解方程
解：方程两边同乘以最简公分母(x-3),
解整式方程,得 x = 3
检验:把x = 3 代入原方程
结果使原方程的最简公分母x-3=0 ,分式无意义，因此x = 3不是原方程的根.
∴ 原方程无解 .
① ② ③
得 2-x=-1-2(x-3).
增根
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原方程的根.
产生的原因:分式方程两边同乘以一个零因式后,所得的根是整式方程的根,而不是分式方程的根.
····
····
使分母为零的根
······
···
必须检验
(填空)1、解方程:
解:方程两边同乘以最简公分母 ,
化简,得 .
解得 x1= , x2= .
检验:把 x1= ,代入最简公分母,
x(x-2)= = ≠0;
把 x2= ,代入最简公分母,
x(x-2)= =0
∴x = 是增根,舍去. ∴原方程的根是x = .
x(x-2)
x 2+ x -6=0 或x(x+1)-6=0
-3 2
-3
-3(-3-2) 15
2
2(2-2)
2
-3
① ② ③
2、分式方程 的最简公分母是 .
3、如果 有增根,那么增根为 .
5、若分式方程 有增根x=2,则
a= .
x=2
x-1
分析:
原分式方程去分母,两边同乘以( x2 -4),得 a(x+2)+4=0 ①
把x=2代入整式方程①,得 4a+4=0, a=-1
∴ a=-1时, x=2是原方程的增根.
-1
4、关于x的方程 =4 的解是x = ,则a= .
2
6、解下列方程：
① ； ② ；
③ .
① x = ② x =-3
③ x =-2 (x =1是增根,已舍去)
检验可有新方法?
使分母为零的未知数的值,就是增根.
试说明这样检验的理由.
议一议,启迪思维
解分式方程一般需要哪几个步骤?
去分母，化为整式方程：
⑴把各分母分解因式;
⑵找出各分母的最简公分母;
⑶方程两边各项乘以最简公分母.
解整式方程.
检验.
(1)把未知数的值代入原方程(一般方法);
(2)把未知数的值代入最简公分母(简便方法).
结论 ：确定分式方程的解.
想一想
1
这里的检验要以计算正确为前提
解分式方程容易犯的错误主要有：
(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．
(2)约去分母后，分子是多项式时， 要注意添括号．
(3)增根不舍掉.
(4)……
想一想
2
解分式方程的一般步骤.
增根与验根.
增根及增根产生的原因.
解分式方程容易发生的错误.
在解分式方程中你有何收获与体会.
要注意灵活运用解分式方程的步骤.
同时要有简算意识,提高运算的速度和准确性.
体会数学转化的思想方法.
小结
(共18张PPT)
5.5 分式方程（2）
— 分式方程的应用
某人上山和下山的路程都是s千米,上山的速度为a千米/小时,下山的速度为b千米/小时,则此人上山和下山的平均速度为( )
C
1.
温故知新
如果分数 的分子分母同时加上同一个数后,分数的值变为它的倒数,那么加上的这个数是多少?
解 :设这个数为x,则可列方程 ,
2.
某车间加工1200个零件，原来每天可加工x个，则
需________天可加工完成；如果采用新工艺，工效是
原来的1.5倍，这样每天可以加工_____个，同样多的
零件只要用 天可加工完成；如果比原来快了
10天完成，则可列方程：
1.5x
3.
例3：某地水稻种植基地在A、B两个面积相同的试验田里种植不同品种的水稻，分别收获16.8吨和13.2吨。已知A试验田的水稻比B试验田的水稻每公顷多收获3吨，分别求A、B两个试验田每公顷的水稻产量。
本题等量关系是什么？
例题解析
怎么设元？
根据等量关系你能列出方程吗？
解：设A试验田的水稻每公顷产量为x吨，则B试验田的水稻每公顷产量为（x-3）吨。
由题意，得
经检验，x=14是所列方程的根，且符合题意。
解这个方程，得x=14
14-3=11（吨）
答：A试验田的水稻每公顷产量为14吨，则B试验田的水稻每公顷产量为11吨。
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.
2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.
3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程.
4.解:求出所列方程的解.
5.验:有二次检验.
归纳小结
1
二次检验是:
(1)是不是所列方程的解;
(2)是否满足实际意义.
6.答:注意单位和语言完整.且答案要生活化.
甲、乙两人每小时共能做35个零件。甲、乙两人同时开始工作，当甲做了90个零件时，乙做了120个。问甲、乙每小时各做多少个零件？
课内练习 1
随堂练习
1
学以致用
例4、照相机成像应用了一个重要原理，即 (V≠f)，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示明胶片（像）到镜头的距离，如果一架照相机f已固定，那么就要依靠调整U、V来使成像清晰。
如果用焦距f=35mm的相机拍摄离镜头的跳高u=2m的花卉，成像清晰，那么拍摄时胶片到镜头的距离v大约是多少？（精确到0.1mm）
例题解析
变式：照相机成像应用了一个重要原理，即 (V≠f)，问在f、v已知的情况下，怎样确定物体到镜头的距离u？
公式变形
分析：本题就是利用解分式方程把已知公式变形。把f、v看成已知数，u看成未知数，解关于u的分 式方程。
解：把f,v均看做已知数，解以u为未知数的方程：
移项，得
∴当f≠v时，
检验：因为v,f不为零，f≠v,所以 ，是分式方程 的根.
答：在已知f,v的情况下，物体到镜头的距离u可以由公式 来确定.此时胶片到镜头的距离约为35.6mm.
当f=35mm，u=2000mm时，可得v≈35.6mm
公式变形：把要求表示的字母看成未知数，其它字母看成已知数，按解方程的思想来进行解答。
课内练习
×
(1+ax≠0)
x
1
a
1
b
=
+
∴
∴
x
1
a
1
b
=
+
a
∴
a
b
=
x
1
+
a
将公式x＝ (1+ax≠0)变形成已知x,a,求b.
a－b
ab
解: 由x＝ , 得 x＝ －
1
b
1
a
a－b
ab
∴ x+ ＝
1
a
1
b
下面的公式变形对吗？如果不对，应怎样改正？
去年新生婴儿数减去年死亡人数的差与年平均人口数的比叫做年人口的自然增长率，如果用p表示年新生婴儿数，q表示死亡人数，s表示年平均人口数，k表示年人口自然增长率，则年人口自然增长率k=
（1）把公式变形成已知k，p，q，求s的公式。
（2）把公式变形成已知k，s，p，求q的公式
合作交流，拓展延伸
在享受生活中感受数学
例5.某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每m3水费上涨三分之一,小丽家去年12月的水费是15元,今年2月的水费是30元.已知今年2月的用水量比去年12月的用水量多5m3,求该市今年居民用水的价格?
分析:此题的相等关系有：
小丽家今年2月份的用水量—小丽家去年12月份的用水量= 5m3.
每个月的用水量×水的单价=每个月的用水费.
今年的用水单价=去年用水单价×(1+1/3).
所以,首先要表示出小丽家这两个月的用水量.
每个月的用水量=水费/水的单价.
解:设该市去年用水的价格为x元/m3,则今年的水价为(1+1/3)x元/m3,根据题意得
解这个方程,得 x=1.5.
经检验,x=1.5是原方程的根.
1.5×4/3=2(元)
答:该市今年居民用水的价格为2元/m3.
例题欣赏
分式方程的应用:
列分式方程解应用题．
利用解分式方程把已知公式变形．
本节课小结
学以致用
1.一艘轮船逆流航行2km的时间比顺流航行2 km的时间多用了40分钟, . (在横线上补充一个条件并提出一个问题)
如:已知水速为2 km/h,求船在静水中的速度?
解:设船在静水中的速度为x km/h,根据题意得
你会解这个方程吗?
