1.3.1 平行线的判定(知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

浙江版2019-2020学年度下学期七年级数学下册第1章平行线
1.3 平行线的判定(1)
【知识清单】
1.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单地说，同位角相等，两直线平行.
2.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
【经典例题】
例题1．如图，不能判定a∥b的条件是( )
A. ∠1=∠3　 B. ∠4+∠5=180°
C. ∠1=∠4　 D. ∠3=∠5
【考点】平行线的判定．
【分析】在复杂的图形中具有相等关系的两角要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
【解答】A、根据∠1=∠3能推出a∥b，(同位角相等，两直线平行)，故本选项正确；
B、∵∠4+∠5=180°，∠4+∠2=180°，
∴∠2=∠5，
∴a∥b (同位角相等，两直线平行)，故本选项正确；
C、∵∠1=∠4，∠3=∠4
∴∠1=∠3，
∴a∥b (同位角相等，两直线平行)，故本选项正确；
D、根据∠3=∠5不能推出a∥b，故本选项错误；
故选D．
【点评】正确识别“三线八角”中的同位角是正确答题的关键．
例题2．如图，∠3与∠1互余，∠3与∠2互余．求证：AB∥CD．
【考点】平行线的判定．?
【分析】由∠3与∠1互余，∠3与∠2互余，可得∠3+∠1=90°，
∠3+∠2=90°，可以推出∠1=∠2，所以AB∥CD．
【解答】证明：∵∠3与∠1互余，∠3与∠2互余，
即∠3+∠1=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠4，
∴∠2=∠4，
∴AB∥CD．
【点评】此题考查的知识点是平行线的判定，推出同位角相等是解决问题的关键(同位角相等， 两直线平行)．
【夯实基础】
1．如图，直线a，b被直线c所截，∠1=48°，下列条件中能判定a∥b的是(　)
A．∠2=42° B．∠2=48° C．∠2=58° D．∠2=138°

2．如图，∠1与∠2互补，∠3=40°，则∠4的度数为( )
A．40° B．80° C．120° D．140°
3．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次
拐弯的角度可能是(　　)
A．第一次右拐55°，第二次左拐125° B．第一次左拐55°，第二次右拐55°
C．第一次左拐55°，第二次左拐125° D．第一次右拐55°，第二次右拐55°
4．已知四条直线a，b，c，d在同一平面内，a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是(　)
A．a⊥c B．b⊥d C．a⊥d D．a∥d
5．如图，已知∠A+∠B=112°，∠BCE=2∠ACE．若要使DE∥BC，则∠E的度
数为　 　．

6．如图，DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F， 点D在AC上，若∠1=∠2，则图中互相平行的
直线是 .
7．根据要求完成下列填空：
如图，直线a，b被c所截，若已知∠1=∠2，说明a∥b的理由．
解：∵∠2=∠3( )，
又∵∠1=∠2( )，
∴∠ =∠ ，
∴ ∥ ( )．
8．看图填空，并在括号内注明说理依据．
如图，已知AC，BD分别是∠EAB，∠FBG的三等分线，∠1=32°，∠2=32°，AC与BD
平行吗？AE与BF平行吗？
　 解：∵∠1=32°，∠2=32°( )，
∴∠1=∠2，
∴ ∥ ( )．
又∵∠1 =∠EAB ( )，
∴∠EAB=3∠1( )，
同理可得，∠FBG=3 .
∴∠EAB=∠FBG( )．
∴ ∥ ( )．
9．如图，如果∠1=122°，∠2=58°，∠B=58°，那么AB与CD平行吗？GH与BM呢？请说明理由．

【提优特训】
10．如图所示，已知直线AB，CD被直线EF所截，如果∠AEF=∠CFH，∠1=∠2，可以判定哪两条直线平行( )
A．AB∥CD B．PE∥QF C．AB∥CD和PE∥QF D．PE∥CD
　
11. 如图，直线a，b与直线c相交，给出下列条件：①∠1=∠5；②∠4=∠5；③∠3+∠6=180°； ④∠1+∠7=180°⑤∠4=∠7，其中能判断a∥b的条件的组数为( )
A．2组 B．3组 C．4组 D．5组
12．如图，∠1=α，直线a平移后得到直线b，用含α的代数式表示∠2∠3为( )．
A．α B．180°α C．α180° D．2α
13．如图，一个四边形纸片ABCD，∠B=∠D=90°，把纸片按如图所示折叠，使点D落在AD边上的点，AE是折痕．与BC的位置关系为( )
A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．重合
14．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°.要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是(　B　)
A．20° B．40° C．50° D．70°
15．一艘轮船沿北偏东55°方向航行，后因避礁先向右拐35°，再向左拐35°，这时货船沿着 方向前进．
16．已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，G为AB与EF的交点，过点G作GM⊥AB，
∠2=55°，∠1=35°，那么AB∥CD吗？请说明理由．
　 解：AB∥CD，理由：
∵GM⊥AB( )，
∴∠AGM=∠BGM=90°( )，
又∵∠1=35°( )，∠AGH+∠1=90°
∴∠AGH=90∠1=55°( ).
又∵∠2=55°( )，
∴∠2=∠AGH( )，
∴AB∥CD( ).
17．如图，已知点B在AC上，EB⊥FB，∠2+∠A=90°，问射线AD与FB平行吗？请说明理由．
　
18．如图，已知∠1=118°，∠2=31°，BF平分∠EBD，则BF∥CG.
请说明理由．

19．如图，已知∠1=40°，∠2=40°，∠3=140°，找出图中的平行线，
并说明理由．

20．如图，已知射线CD在三角形ABC外角∠ACE的内部，若∠1=∠A，试说明：AB∥CE.

【中考链接】
21．(2019?山东省济宁)如图，直线 a，b 被直线 c，d 所截，若∠1=∠2，∠3=125°， 则∠4 的度数是( )
A．65° B．60° C．55° D．75°
22．(2019? 广西池河)如图，∠1=120°，要使 a∥b，则∠2 的大小是( )
A．60° B．80° C．100° D．120°
23.(2019?湖南邵阳)如图，已知两直线 l1 与 l2 被第三条直线 l3 所截，下列等式一定 成立的是( )
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠2+∠4=180° D．∠1+∠4=180°
参考答案
1、B 2、D 3、B 4、C 5、42° 6、DE∥FC，FD∥AC 10、C 11、C 12、B
13、B 14、A 15、北偏东55° 21、C 22、D 23、D
7．根据要求完成下列填空：
如图，直线a，b被c所截，若已知∠1=∠2，说明a∥b的理由．
解：∵∠2=∠3( 对顶角相等 )，
又∵∠1=∠2(已知)，
∴∠ 1 =∠ 3 ，
∴ AB ∥ CD ．( 同位角相等，两直线平行 )
8．看图填空，并在括号内注明说理依据．
如图，已知AC，BD分别是∠EAB，∠FBG的三等分线，∠1=32°，∠2=32°，AC与BD
平行吗？AE与BF平行吗？
　 解：∵∠1=32°，∠2=32°(已知)，
∴∠1=∠2，
∴ AC ∥ BD (_同位角相等，两直线平行)．
又∵∠1 =∠EAB (已知)，
∴∠EAB=3∠1 (等式的性质)，
同理可得，∠FBG=3 ∠2 .
∴∠EAB=∠FBG( 等量代换 )．
∴ AE ∥ BF (同位角相等，两直线平行)．
9．如图，如果∠1=122°，∠2=58°，∠B=58°，那么AB与CD平行吗？GH与BM呢？请说明理由．
解：∵∠1=122°，∠1+∠AEG=180°，
∴∠AEG=180°∠1=58°.
∵∠2=∠CFE，∠2=58°，
∴∠CFE=58°.
∴∠AEG=∠CFE
∴AB∥CD.
∵∠B=58°，
∴∠AEG=∠B.
∴GH∥BM.
16．已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，G为AB与EF的交点，过点G作GM⊥AB，
∠2=55°，∠1=35°，那么AB∥CD吗？请说明理由．
　 解：AB∥CD，理由：
∵GM⊥AB(已知 )，
∴∠AGM=∠BGM=90°(垂直定义 )，
又∵∠1=35°(已知 )，∠AGH+∠1=90°
∴∠AGH=90∠1=55°(等式的性质 ).
又∵∠2=55°(已知 )，
∴∠2=∠AGH(等量代换 )，
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行 ).
17．如图，已知点B在AC上，EB⊥FB，∠2+∠A=90°，问射线AD与FB平行吗？请说明理由．
　 解：AD∥FB.理由如下：
∵EB⊥FB，
∴∠1+∠2=90°；
∵∠2+∠A=90°，
∴∠1=∠A.
∴AD∥FB.
18．如图，已知∠1=118°，∠2=31°，BF平分∠EBD，则BF∥CG.请说明理由．
解：∵∠1=118°，
∴∠ECF=180°∠1=62°(平角的定义)．
∵BF平分∠EBD，
∴∠FBD=∠EBD=31°(角平分线的性质)．
∵∠2=31°，
∴∠FBD=∠2，
∴BF∥CG (同位角相等，两直线平行)．
19．如图，已知∠1=40°，∠2=40°，∠3=140°，找出图中的平行线，并说明理由．
解：AD∥BC，理由如下：
∵∠1=40°，∠2=40°，
∴∠1=∠2.
∴AD∥BC.
AB∥DC，理由如下：
∵∠3+∠4=180°，∠3=140°，
∴∠4=180°∠3=40°.
∴∠1=∠4.
∴AB∥DC.
20．如图，已知射线CD在三角形ABC外角∠ACE的内部，若∠1=∠A，试说明：AB∥CE.
解：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B=∠1+∠2.
∵∠1=∠A，
∴∠2=∠B.
∴AB∥CE.