1.3.2 平行线的判定(知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

浙江版2019-2020学年度下学期七年级数学下册第1章平行线
1.3平行线的判定(2)
【知识清单】
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单地说，内错角相等，两直线平行.
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简单地说，同旁内角互补，两直线平行.
【经典例题】
例题1．如图，下列说法中，正确的是(　　)
A．若∠3=∠6，则AB∥CD
B．若∠2=∠4，则AB∥CD
C．若∠DAB+∠ABC=180°，则AB∥CD
D．若∠1=∠5，则AB∥CD
【考点】平行线的判定．
【分析】根据平行线的判定，结合图形对选项一一分析，排除错误答案．
【解答】A、若∠3=∠6，不能判定AB∥CD，故选项错误；
B、若∠2=∠4，则AB∥CD，故选项错误；
C、若∠DAB+∠ABC=180°，则AB∥CD，故选项错误；
D、若∠1=∠5，则AB∥CD，故选项正确．
故选D．
【点评】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，切记只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
例题2．完成下面的证明：
已知：如图．BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若∠1+∠2=90°．求证：AB∥CD．
证明：∵BE平分∠ABC( )，
∴∠ABC =2∠1( )．
∵CE平分∠BCD( )，
∴∠BCD =2 ( )．
∴∠ABC +∠BCD =2∠1+2∠2=2(∠1+∠2)( )．
∵∠1+∠2=90°( )，
∴∠ABC+∠BCD= ( )．
∴AB∥CD( )．
【考点】平行线的判定．?
【分析】首先根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠1，∠BCD=2∠2，根据等量代换可
∠ABC +∠BCD =2∠1+2∠2=2(∠1+∠2)，进而得到∠ABC+∠BCD =180°，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案．
【解答】在参考答案里
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法．
【夯实基础】
1．如图1－3－14，下列选项中，无法判断 l1∥l2的是(　　)
A．∠1=∠5 B．∠2=∠3 C．∠1=∠2 D．∠3＋∠4=180°

2．如图所示，BE是∠MBN的平分线，点A在BM上，直线AC分别交BM、BE于点A、C，
下列条件：①∠1=∠2；②∠2=∠3；③∠1=∠MAC；④∠MBN+∠BAC=180°；
⑤∠MBN=∠MAC．其中能够使AC∥BN的条件个数为( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．已知，如图，要使得 AB∥CD，你认为不应该添加的一个条件是( )
A．∠1=∠A B．∠2=∠B C．∠A+∠ACD=180° D．∠B+∠BCE=180°
4．如图，已知∠1:∠2=3:7，要使AB∥CD，则∠1的度数为( 　)
A．27° B．36° C．54° D．126°
5．如图是一条公路的两个拐角，∠ABC与∠BCD均为146°，则公路 AB与CD的关系是
__________，这是因为_____________ ___________．
6．如图，(1)如果∠1=∠D，那么　 　∥　 　．根据是　 　．
(2)如果∠3=∠B，那么　 　∥　 　，根据是　 　．
(3)如果∠B+∠2=　 　，那么AB∥CD，根据是　 　．
7．如图，点E在AB的延长线上，下列四个条件：①∠1=∠3；②∠2=∠4；③∠DAB=∠CBE；④∠D+∠BCD=180°．其中能判断AD∥CB的是　 　(填写正确的序号即可).
8．如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠4．试说明DF∥AE．请你完成下列填空，把证明过程补充完整．
证明：∵　 　，
∴∠CDA=90°，∠DAB=90° (　 　)．
∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°．
又∵∠1=∠4，
∴　 　 (　 　)，
∴DF∥AE (　 　)．
9．如图，直角ABC的顶点B在直线b上，一边与直线a交于点A，且∠1 +∠2 = 90°．说明
直线 a∥b的理由．

【提优特训】
10．下列语句：①不相交、也不重合的两条直线叫平行线；②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行；③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行；④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行.正确的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，直线c与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线c的垂线交直线b于点C，
若∠1 = 55°，当∠2的度数为何值时a∥b ( )
A．55° B．45° C．35° D．25°
12．如图，直线a，b 被直线c、d所截．在下列条件中，能判定a∥ b 的是 ( )
A．∠3 = ∠4 B．∠1 = ∠2 C．∠2 = ∠3 D．∠3 + ∠5= 180°
13．如图，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=110°，当∠BCD=( )，管道AB∥CD.
A．110° B．70° C．60° D．50°
14．(1)若∠1 = ∠2，根据 ，得 ∥ ． (2)若∠2 + = ，
根据 ，得BD∥FG．
15．如图所示，若∠1＋∠2=180°，∠4=∠3，AB与CD，EF与GH平行吗？
解：∵∠1＋∠2=180°( )，∠1=∠4，
∴∠4＋∠2=180°( )
∴AB∥ ( )，
∵∠4=∠3(已知)，
∴∠3＋∠ =180°( )，
∴EF∥GH( )．
16．请将下列证明过程补充完整：如图，已知点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1=∠2.试说明：
AB∥CD.
解：∵CE平分∠ACD，
∴∠ =∠ ( )，
∵∠1=∠2.(已知)，
∴∠2=∠ ( )，
∴AB∥CD( )．
17．如图，台球桌上白球在A处，黑球在P处，用白球击打黑球必须通过二库将黑球送入中袋D中，路径为A→B→C→D，根据反射性质，∠1=∠2，∠3=∠4，试探究直线AB与CD是否平行？并说明理由．

18．已知：如图，AD ⊥ BC，EF ⊥ BC，∠1 = ∠2．求证：∠DGC = ∠BAC．


19．如图，已知点E在AB上，且CE，DE分别平分∠BCD和∠ADC，∠1＋∠2=90°，试说明
AD∥BC.

20．如图，点B，A，F在一条直线上，∠1=∠2，∠FAC=∠B＋∠C，且∠B=∠C，则AE∥BC吗？请说明理由．

【中考链接】
21．(2019?南京?2 分)结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：


参考答案
1、A 2、B 3、D 4、C 5、平行(∥) 内错角相等，两直线平行. 10、B 11、C
12、D 13、B 14、(1)内错角相等，两直线平行，AB∥EF；(2) ∠3，180°，同旁内角互补，两直线平行A 15、北偏东55°
例题2的答案：证明：∵BE平分∠ABC(已知)，
∴∠ABC =2∠1(角的平分线的定义)．
∵CE平分∠BCD(已知)，
∴∠BCD =2∠2(角的平分线的定义)．
∴∠ABC +∠BCD =2∠1+2∠2=2(∠1+∠2)(等量代换)．
∵∠1+∠2=90°(已知)，
∴∠ABC+∠BCD=180°( 等式的性质)．
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
6．如图，(1)如果∠1=∠D，那么　BE ∥　DF ．根据是　同位角相等，两直线平行 ．
(2)如果∠3=∠B，那么　 AB 　∥　CD 　，根据是　内错角相等，两直线平行 ．
(3)如果∠B+∠2=　180°　，那么AB∥CD，根据是　同旁内角互补，两直线平行 　．
7．如图，点E在AB的延长线上，下列四个条件：①∠1=∠3；②∠2=∠4；③∠DAB=∠CBE；④∠D+∠BCD=180°．其中能判断AD∥CB的是　② ③ ④ 　(填写正确的序号即可).
8．如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠4．试说明DF∥AE．请你完成下列填空，把证明过程补充完整．
证明：∵　CD⊥DA，DA⊥AB 　，
∴∠CDA=90°，∠DAB=90° (　垂直定义　)．
∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°．
又∵∠1=∠4，
∴∠2=∠3 (　等式的性质 　)，
∴DF∥AE (　内错角相等，两直线平行 　)．
9．如图，直角ABC的顶点B在直线b上，一边与直线a交于点A，且∠1 +∠2 = 90°．说明
直线 a∥b的理由．
解：方法一：∵ ∠1 + ∠2 = 90°，∠2 + ∠3 = 90°，
∴ ∠1 = ∠3．
∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．
方法二：同上得出 ∠1 = ∠3 .
∵ ∠1 = ∠4，
∴ ∠4 = ∠3 .
∴ a∥b(内错角相等，两直线平行) .
方法三：∵ ∠1 = ∠3，∠1 + ∠5 = 180°，
∴ ∠3 + ∠5 = 180° .
∴ a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．
15．如图所示，若∠1＋∠2=180°，∠4=∠3，AB与CD，EF与GH平行吗？
解：∵∠1＋∠2=180°( 已知 )，∠1=∠4，
∴∠4＋∠2=180°(等量代换)
∴AB∥ CD (同旁内角互补，两条直线平行)，
∵∠4=∠3(已知)，
∴∠3＋∠ 2 =180°(等量代换)，
∴EF∥GH(__同旁内角互补，两直线平行__)．
16．请将下列证明过程补充完整：如图，已知点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1=∠2.试说明：
AB∥CD.
解：∵CE平分∠ACD，
∴∠ 1 =∠ ECD ( 角平分线定义 )，
∵∠1=∠2.(已知)，
∴∠2=∠ ECD ( 等量代换 )，
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
17．如图，台球桌上白球在A处，黑球在P处，用白球击打黑球必须通过二库将黑球送入中袋D中，路径为A→B→C→D，根据反射性质，∠1=∠2，∠3=∠4，试探究直线AB与CD是否平行？并说明理由．
解：AB∥CD，理由如下：
由题意得∠2+∠3=90°，
　 ∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°+90°=180°，
∴∠ABC+∠BCD=360°(∠1+∠2+∠3+∠4)=180°.
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行).
18．已知：如图，AD ⊥ BC，EF ⊥ BC，∠1 = ∠2．求证：∠DGC = ∠BAC．
解：∵ AD⊥BC，FE⊥BC，
∴ ∠FEB = ∠ADB = 90°．
∴∠1+∠B=90°，∠2+∠CDG=90°．
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠B = ∠CDG．
∵∠DGC=180°∠CDG∠C，∠BAC=180°∠B∠C
∴ ∠DGC = ∠BAC．
19．如图，已知点E在AB上，且CE，DE分别平分∠BCD和∠ADC，∠1＋∠2=90°，试说明
AD∥BC.
证明：∵CE平分∠BCD，
∴∠BCD =2∠1．
∵DE平分∠ADC(已知)，
∴∠ADC =2∠2．
∴∠ADC +∠BCD =2∠2+2∠1=2(∠1+∠2)．
∵∠1+∠2=90°(已知)，
∴∠ADC +∠BCD=180°．
∴AD∥BC．
20．如图，点B，A，F在一条直线上，∠1=∠2，∠FAC=∠B＋∠C，且∠B=∠C，则AE∥BC吗？请说明理由．
解：AE∥BC.理由如下：
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠FAC.
∵∠FAC=∠B＋∠C，∠B=∠C，
∴∠B=∠C =∠FAC.
∴∠1=∠B.
∴AE∥BC(同位角相等，两直线平行)．
【中考链接】
21．(2019?南京?2 分)结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：
∵ ∠1+∠3=180° ，∴a∥b．
【分析】两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，
那么这两条直线平行．
【解答】解：∵∠1+∠3=180°，
∴a∥b(同旁内角互补，两直线平)．
故答案为：∠1+∠3=180°．