1.4.1 平行线的性质（知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

浙江版2019-2020学年度下学期七年级数学下册第1章平行线
1.4平行线的性质(1)
【知识清单】
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单地说，两直线平行，同位角相等.
【经典例题】
例题1．如图所示，已知 AB∥CD，EF 平分∠CEG，∠1=62°，则 ∠2 的度数为
A．40° B．46° C．48° D．56°
【考点】?平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质，结合图形对选项一一分析，排除错误答案．
【解答】∵EF平分∠CEG，
∴∠CEG =2∠CEF.
∵∠1与∠3是对顶角，∠1=62°，
∴∠1=∠3=62°，.
又∵AB∥CD，
∴∠3=∠CEF，
∴∠CEG =2∠CEF=2∠3=124°.
∵∠CEG+∠GED=180°，
∴∠GED=180°∠CEG=56°.
∵AB∥CD，
∴∠2=∠GED=56°.
故选项为D.
【点评】此题主要考查了平行线的性质两直线平行，同位角相等.正确地将已知角转化为同位角是解决问题的关键．
例题2．若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角的关系 ．
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质：两直线平行同位角相等、邻补角定义以及作图求解即可．
【解答】?这两个角相等或互补相等或互补．理由如下：
如图(1)，∵BC∥，
∴∠1=∠，
∵AB∥，
∴∠B=∠1=∠.
如图(2)，∵BC∥，
∴∠1=∠，
∵AB∥，
∴∠B=∠2.
∵∠1+∠2=180°，
∴∠B+∠=180°.
即这两个角相等或互补．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟记性质并正确地作出图形是解题的关键，注意此题有两种情况，不要遗漏．
【夯实基础】
1．下列图形中∠1与∠2不相等的是(　　)


2．如图，直线AB∥CD，AF交CD于点E，∠CEC=145°，则∠A等于( 　)
A．25° B．35° C．45° D．55°
3．两条平行线被第三条直线所截，则一对同位角的角平分线(　　)
A．相交 B．垂直 C．平行 D．不能确定
4．如图，AB∥CD，EF∥GH，∠1与∠2的关系为( )
A．相等 B．互补 C．互余 D．不能确定

5．如图，已知a∥b， c⊥a，判断c与b的位置关系为 ．
6．如图，AB∥CD，EF分别交AB，CD于G，H，且∠1=3∠2，求∠2的度数．
　 解：∵AB∥CD，∴∠2=∠ HGB ( )，
∵∠1=3∠2( )，
∠1+∠BGH=180°( )，
∴3∠2+∠2=180°( )，
解得∠2=45°.
7．如图所示，AB∥CD，EF∥GH，试探究∠1与∠4的关系，并说明理由．
　 解：∠1+∠4=180°. 理由如下：
∵AB∥CD，EF∥GH，( )，
∴∠2=∠3，∠ =∠ ( )，
∴∠2=∠5( ).
∵∠4+∠5=180°( )，
∴∠2+∠5=180°( ).
∵∠1，∠2是对顶角( )，
∴∠1=∠2( )，
∴∠1+∠4=180°( )．
8．如图，已知直线AB∥CD，EF分别交AB、CD于点G、H，若∠1=(6x+80)°，∠2=(4x20)°，求∠1，∠2的度数．
　
9．如图，已知BF平分∠ABC，交DE于点G，∠2=∠3=26°，求∠EDC的度数．
【提优特训】
10．如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是(　 　)
A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠1+∠3=180° D．∠3+∠4=180°
11．如图，已知 AB∥CD，AF 交 CD 于点 E，且 BE⊥AF，∠B=38°，则∠CEF 的度数是( )
A．142° B．128° C．118° D．98°
12．如图，已知直线a⊥c，直线b⊥c，∠1:∠2=2:3，则∠2的度数为
A．36° B．72° C．108° D．144°
13．如图，两条平行直线 a，b ，被AB，AC所截，若 ∠A=45°，∠1=125°，则 ∠2 的度数是( )
A. 90° B. 100° C. 110° D. 120°
14．如图，下列推理：①若∠1=∠2，则AB∥CD；②若∠1=∠2，则∠3=∠4；③若∠ABC+∠BCD
=180°，则AD∥BC；④若AD∥BC，则∠4=∠3.其中正确的是 ．(填序号)
15．如图，已知∠1=52°，∠4=52°，∠2=40°，则∠3= ．
16．如图，已知∠B=∠GDF，∠A=∠G，猜想AF与GC平行吗？请说明
理由．

17. 如图，已知AD ⊥ BC，EF ⊥ BC，∠1 = ∠2．猜测AB与DG有怎样的位置关系，说明理由．
18．如图，点C在∠AOB的一边OA上，过点C的直线EF交OB于点F，射线CD平分∠ACF，且CD∥OB，CG⊥CD于点C.
(1)若∠O=35°，求∠EFO的度数；
(2)试说明CG平分∠ECA的理由；
(3)当∠O为多少度时，CE平分∠OCG，请说明理由．
19．用两种方法证明：在同一平面内平行于同一条直线的两条直线平行.

【中考链接】
20．(2019?湖北十堰?3 分)如图，直线 a∥b，直线 AB⊥AC，若∠1=50°，则∠2=( )
A．50° B．45° C．40° D．30°
21．(2019?江苏苏州?3 分)如图，已知直线 a//b ，直线 c与直线 a，b 分别交于点 A，B．
若(1 ( 54° ，则 (2 ( ( )
A．126° B．134° C．136° D．144°
22．(2019?湖南长沙?3 分)如图，平行线 AB，CD 被直线 AE 所截，∠1=80°，则∠2 的度数
是( )
A．80° B．90° C．100° D．110°


23．(2019?湖南湘西州?4 分)如图，直线 a∥b，∠1=50°，∠2=40°，则∠3 的度数为( )
A．40° B．90° C．50° D．100°
参考答案
1、B 2、B 3、C 4、A 5、b⊥c. 10、D 11、B 12、C 13、B 14、①④
15、140° 20、C 21、A 22、C 23、B
6．如图，AB∥CD，EF分别交AB，CD于G，H，且∠1=3∠2，求∠2的度数．
　 解：∵AB∥CD，∴∠2=∠ HGB (两直线平行，同位角相等 )，
∵∠1=3∠2( 已知 )，
∠1+∠BGH=180°( 邻补角定义 )，
∴3∠2+∠2=180°( 等量代换 )，
解得∠2=45°.
7．如图所示，AB∥CD，EF∥GH，试探究∠1与∠4的关系，并说明理由．
　 解：∠1+∠4=180°. 理由如下：
∵AB∥CD，EF∥GH，( 已知 )，
∴∠2=∠3，∠ 3 =∠ 5 (两直线平行，同位角相等)，
∴∠2=∠5( 等量代换 ).
∵∠4+∠5=180°( 邻补角定义 )，
∴∠2+∠5=180°( 等量代换 ).
∵∠1，∠2是对顶角( 已知 )，
∴∠1=∠2( 对顶角相等 )，
∴∠1+∠4=180°(等量代换)．
8．如图，已知直线AB∥CD，EF分别交AB、CD于点G、H，若∠1=(6x+80)°，∠2=(4x20)°，求∠1，∠2的度数．
　 解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠DHF，(两直线平行，同位角相等)
∵∠DHF +∠2=180°，
∴∠DHF =180°-∠2=180°(4x20)°.
∴6x+80=180(4x20)，
即10x=120，解得x=12.
∴∠1=(6x+80)°=152°，∠2=(4x20)°=28°.
9．如图，已知BF平分∠ABC，交DE于点G，∠2=∠3=26°，求∠EDC的度数．
解：∵BF平分∠ABC，
∴∠1=∠2.
∵∠2=∠3=26°，
∴∠1=∠3=26°.
∴AB∥DE
∴∠EDC=∠ABC=∠1+∠2=52°.
16．如图，已知∠B=∠GDF，∠A=∠G，猜想AF与GC平行吗？请说明
理由．
解：AF∥GC.理由如下：
延长DG交AF于点E，
∵∠B=∠GDF，
∴AB∥GD，
∴∠A=∠DEF.
∵∠A=∠G，
∴∠DEF =∠A，
∴AF∥GC.
17. 如图，已知AD ⊥ BC，EF ⊥ BC，∠1 = ∠2．猜测AB与DG有怎样的位置关系，说明理由．
解：AB∥DG，理由如下：
∵ AD⊥BC，FE⊥BC，
∴ ∠FEB = ∠ADB = 90°．
∴∠1+∠B=90°，∠2+∠CDG=90°．
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠B = ∠CDG．
∵∠DGC=180°∠CDG∠C，∠BAC=180°∠B∠C
∴ ∠DGC = ∠BAC．
∴AB∥DG.
18．如图，点C在∠AOB的一边OA上，过点C的直线EF交OB于点F，射线CD平分∠ACF，且CD∥OB，CG⊥CD于点C.
(1)若∠O=35°，求∠EFO的度数；
(2)试说明CG平分∠ECA的理由；
(3)当∠O为多少度时，CE平分∠OCG，请说明理由．
解：(1)∵CD∥OB，
∴∠O=∠ACD.
∵∠O=35°，
∴∠ACD=∠O=35°.
∵CD平分∠ACF，
∴∠ACD=∠FCD=35°.
∴∠ACF=∠ACD+∠FCD=70°，
∵∠ACF+∠OCF=180°，
∴∠OCF=180°∠ACF=110°.
∵∠O+∠OCF+∠OFC=180°.
∴∠OFC=180°∠O-∠OCF=35°.
(2)∵CG⊥CD，∴∠DCG=90°，
∴∠ACG+∠ACD=90°，∠GCE+∠FCD=90°，
∵∠ACD=∠FCD，
∴∠ACG=∠ECG，即CG平分∠ECA；
(3)当∠O=30°时，CE平分∠OCG.理由如下：
当∠O=30°时，∵CD∥OB，
∴∠ACD=∠FCD=∠O=30°，
∴∠ACF=60°，∠ACG=∠ECG=60°.
又∵∠OCE与∠ACF是对顶角，
∴∠OCE=∠ACF =60°，
∴∠ECO=∠ECD，即CE平分∠OCG.
19．用两种方法证明：在同一平面内平行于同一条直线的两条直线平行
已知：a∥c，b∥c.求证：a∥b
证明：方法一，如图(1)：
?????? ∵a∥c，
?????? ∴∠1=∠3(两直线平行，同位角相等).
?????? ? ∵b∥c，
?????? ∴∠3=∠2(两直线平行，同位角相等).
????? ? ∴∠1=∠2
?????? ? ?∴a∥b??(同位角相等，两直线平行).
方法二,如图(2)： 假设a、b不平行，
则a、b交于一点P.
又∵a∥c，b∥c，
∴过P有a、b两条直线平行于c，这与经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线
矛盾.
∴假设不成立.
∴b∥c.