1.4.2 平行线的性质（知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

浙江版2019-2020学年度下学期七年级数学下册第1章平行线
1.4平行线的性质(2)
【知识清单】
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单地说，两直线平行，内错角相等.
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单地说，两直线平行，同旁内角互补.
【经典例题】
例题1．如图(1)，是把一块直角三角板EOF与一把直尺ABCD放置在一起，若∠1=25°，则∠2的度数为______．
【考点】?平行线的性质．
【分析】如图(2)根据平行线的性质可得∠2=∠4，∠3=∠5，再根据∠1=∠3和∠4+∠5=180°，问题即可得到解决.
【解答】如图(2)，过点O作OG∥AD，
∵AD∥BC，
∴OG∥BC，
∴∠2=∠4(两直线平行同位角相等).
∠3=∠5(两直线平行内错角相等).
∵∠1与∠3是对顶角，
∴∠1=∠3.
∴∠1=∠3=∠5=25°，
∵三角板EOF是直角三角板，
∴∠EOF=90°.
∴∠4=∠EOF∠5=90°25°=65°，
∴∠2=∠4=65°，
故答案为：65°．
【点评】本题考查了平行线的性质的应用，理解图形、作出正确的辅助线、找到同位角和内错角是解决问题的关键．
例题2．如图，有一条长方形纸带ABCD，按图折叠点C、D分别落在、处，折痕为EF，若∠1=α，则表示∠2度数的代数式为 (　　)
A．180°α B．90°α C．90°α D．90°+α
【考点】平行线的性质、翻折变换(折叠问题)．
【分析】因为EF为折痕，所以∠FE=∠CFE；因为AD∥BC，所以∠2=∠FE=∠CFE，∠1=∠FB；再由∠FB+∠FC =180°(邻补角定义)，可得∠1+2∠2=180°，于是列出方程可得答案．
【解答】?∵AD∥BC，
∴∠1=∠BF =α，
∵∠FC+∠BF=180°
∴∠FC=180°∠BF=180°α
∵EF为折痕，
∴∠FE=∠CFE=∠FC=90°α，
?∵AD∥BC，
∴∠2=∠CFE=90°α.
故选C
【点评】本题考查了图形的翻折问题；寻找相等的角，利用平角列出方程是解答翻折问题的关键．
【夯实基础】
1．如图，把一块含30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1=38°，那么∠2的度数为(　　)
A．16° B．18° C．22° D．52°
2．如图所示，直线AC∥BD，AO，BO分别是∠BAC，∠ABD的平分线，那么下列结论错误的是(　　)
A．∠BAO与∠CAO相等 B．∠BAC与∠ABD互补
C．∠BAO与∠ABO互余 D．∠ABO与∠DBO不等

3．如图，已知 BE 平分∠ABC，且 BE∥DC，若∠ABC=56°，则∠C 的度数是( )
A．26° B．28° C．34° D．56°
4．已知两个角有一条边在同一直线上，另一条边互相平行，则这两个角
A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 无法确定
5．已知，如图，直线a∥b，∠1+∠4+∠2+∠3的度数为 ?．
6．如图，已知点E在四边形ABCD的AD边上，按要求画图：
(1)过点E作EF∥AB交 BC于F，过点E作EG∥DC交BC于G；
(2)连接EC，作DH∥EC交BC的延长线于H；
(3)作EM⊥BC于M．


7．如图，BD是∠ABC的平分线，AB∥CD，BC∥AD.∠3与∠4相等吗？为什么？

8．如图，点B、C、D在一条直线上，射线CE在∠ACD的内部.
(1)写出∠B的同位角是 ，同旁内角是 ；
(2)若∠B与∠BCE互补，AC平分∠BCE，∠B=46°，求∠A的度数．
9．如图，CD∥AB，点 O 在 AB 上，OE 平分∠BOD，OF⊥OE，∠AOF=35°，求∠D 的度数.
【提优特训】
10．如图，已知梯形的两底AD∥BC，若∠A+∠D=215°，∠B:∠C=2:3，则∠B的度数为( )．
A．52° B．58° C．63° D．68°
　

11．如图，已知DE∥BC，∠1=∠C，∠2=55°，则∠3=(　　)
A．35° B．55° C．115° D．125°
12．如图，a∥b，∠1+∠4=56°， ∠2+∠3的度数为( )
A．216° B．226° C．236° D．294°
13．如图，直线AB，CD 被 BC 所截，若AB∥CD，∠1=29°， ∠2=50°，则 ∠3=( )
A．79° B．71° C．21° D．11°

14．如图，一只船从点A出发沿北偏东66°方向航行到点B，再以北偏西52°方向航行到达点C，
则∠ABC= ．
15．如图，AB∥CD，OE 平分∠BOC，OF⊥OE，∠ABO=α．则下列结论：①∠COE与∠DOF互
余；②2∠BOF=α；③ ∠COE =90°；其中正确结论 (填编号)．
16．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，FG平分∠EFD，若∠1:∠2=6:13，求∠1的度数．
17．已知，如图，BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，
(1) 若∠1=∠3，判断∠ABC =2∠D是否成立，并说明理由；
(2) 若∠5=∠6，判断AC和BD的位置关系，并说明理由．
18．如图，已知AB//CD，
(1)①∠1+∠2+∠3 = ，②∠1+∠2+∠3+∠4 = .
(2)根据以上的规律求∠1+∠2+∠3+…+∠n的度数.
19．已知直线AB∥CD，直线EF分别截AB、CD于点E、F两点．

(1)如图 ①，有一动点 P 在线段CD之间运动(不与C，D两点重合)，试探究∠1、∠2、
∠3的等量等关系?试说明理由．
(2)如图②、③，当动点 P在线段CD之外运动(不与C，D两点重合)，问上述结论是否还
成立?若不成立，试写出新的结论并说明理由．

【中考链接】
20．已知直线 m∥n，将一块含 45°角的直角三角板 ABC 按如图方式 放置，其中斜边 BC 与直线 n 交于点 D．若∠1=25°，则∠2 的度数为( )
A．60° B．65° C．70° D．75°
21．(2019?山东省滨州市?3 分)如图，AB∥CD，∠FGB=154°，FG 平分∠EFD，则∠AEF
的度数等于( )
A．26° B．52° C．54° D．77°
22．(2019?山东淄博?4 分)如图，小明从 A 处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点
B处沿东偏南20方向行走至点C处，则∠ABC 等于( )
A．130° B．120° C．110° D．100°

23．(2019?广东深圳?3 分)如图，已知 l1 ∥ AB ，AC 为角平分线，下列说法错误的是( )
A．∠1=∠4 B．∠1=∠5 C．∠2=∠3 D．∠1=∠3
参考答案
1、C 2、D 3、B 4、B 5、360° 10、B 11、D 12、C 13、C 14、62°
15、①②③ 20、C 21、B 22、C 23、B
6．如图，已知点E在四边形ABCD的AD边上，按要求画图：
(1)过点E作EF∥AB交 BC于F，过点E作EG∥DC交BC于G；
(2)连接EC，作DH∥EC交BC的延长线于H；
(3)作EM⊥BC于M．
解：如图.

7．如图，BD是∠ABC的平分线，AB∥CD，BC∥AD.∠3与∠4相等吗？为什么？
解：理由：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠1=∠2，
∵AB∥CD，∴∠1=∠4，
∵BC∥AD，∴∠2=∠3，
∴∠3=∠4.
8．如图，点B、C、D在一条直线上，射线CE在∠ACD的内部.
(1)写出∠B的同位角是∠ACD，∠ECD，同旁内角是∠BCA，∠BCE和∠A；
(2)若∠B与∠BCE互补，AC平分∠BCE，∠B=46°，求∠A的度数．
解：(2)∵∠B与∠BCE互补，
∴AB∥CE，
∴∠B=∠ECD=46°，
∴∠BCE=180°－46°=134°，
∵AC平分∠BCE，
∴∠BCA=∠ECA=×134°=67°.
∵AB∥CE，
∴∠A=∠ACE=67°.
9．如图，CD∥AB，点 O 在 AB 上，OE 平分∠BOD，OF⊥OE，∠AOF=35°，求∠D 的度数.
解：∵OE 平分∠BOD，
∴∠DOE=∠BOE，
∵OF⊥OE，
∴∠FOE=90°.
∴∠DOE+∠DOF=90°， ∠BOE+∠AOF=90°.
∴∠AOF=∠DOF=35°.
∴∠AOD=2∠AOF=2×35°=70°.
∵CD∥AB，
∴∠AOD+∠D=180°，
∴∠AOD=70°，
∴∠D=110°，
16．解：设∠1=6x，则∠2=13x，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠3=4x，∠2+∠4=180°.
∴∠4=180°∠2=(18013x)°.
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFD=2∠EFG=2∠4 =2(18013x)°.
∵∠CFE+∠EFD=180°，
即∠3+∠EFD = ∠3+2∠4= 180°，
∴6x+2(18013x)=180
解得x=9°.
∴6x=54°. ∴∠1=54°.
17.解：(1) ∠ABC =2∠D成立.理由如下：
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2.
∵CE平分∠DCF，
∴∠3=∠4.
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2=∠3=∠4.
∴∠ABC=∠DCF.
∴AB∥CD，BD∥CE.
∴∠D=∠3.
∴∠DCF=2∠D.
∴∠ABC =2∠D.
(2)AC⊥BD，理由如下：
∵∠5=∠6，∠3=∠4，∠BCD+∠DCF=180°，
∴∠5+∠6+∠3+∠4 =180°.
即2∠6+2∠3=180°， ∴∠6+∠3=90°.
∴∠ACE=90°.
∴AC⊥CE.
∵BD∥CE，
∴∠AGD=∠ACE=90°.
即AC⊥BD.
18．如图，已知AB//CD，
(1)①∠1+∠2+∠3 = ，②∠1+∠2+∠3+∠4 = .
(2)根据以上的规律求∠1+∠2+∠3+…+∠n的度数.
解：(1)①过点P作PM//AB，
∵AB//CD，∴PM// CD.
∴∠1+∠APM=180°.
∠CPM+∠3=180°.
∴∠1+∠APM+∠CPM+∠3=360°.
∴∠1+∠2+∠3=360°=2×180°=(31)×180°..
②过点P作PM//AB， 过点Q作QN//AB，
∵AB//CD， ∴PM//AB//QN//CD.
∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°=3×180°=(41)×180°.
(2)根据以上的规律可得∠1+∠2+∠3+…+∠n=(n1)×180°.
19. (1) ∠2=∠1+∠3理由如下：
如图④，过点 P作PQ∥AB，则∠1=∠APQ.
∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴PQ∥CD.
∴∠3=∠CPQ.
∵∠2=∠APQ+∠CPQ
=∠1+∠3.
???
(2)② ∠2=∠1+∠3 不成立，新的结论为∠2=∠3∠1．理由如下：
如图⑤，过点 P作PQ∥AB，则∠1=∠APQ.
∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴PQ∥CD.
∴∠3=∠CPQ.
∠2=∠CPQ∠APQ
=∠3∠1.
(2)③∠2=∠1+∠3 不成立，新的结论为∠2=∠1∠3．理由如下：
如图⑥，过点 P作PQ∥AB，则∠1=∠APQ.
∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴PQ∥CD.
∴∠3=∠CPQ.
∠2=∠APQ∠CPQ
=∠1∠3.
综合②、③的结论，∠2=.