3.3.1 多项式的乘法（知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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浙江版2019－2020学年度下学期七年级数学下册第3章整式的乘除
3.3 多项式的乘法(1)
【知识清单】
1．多项式相乘法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
2．字母表示：(a+m)(b+n) = ab + an + mb + mn
【经典例题】
例题1、下列计算错误的是(　　)
A．(x+2)(x+3)=x2+5x+6 B．(y－2)(y+6)=y2+4y－12
C．(a+3)(a－4)=a2+a－12 D．(m－3)(m－5)=m2－8m+15
【考点】多项式乘多项式．?
【分析】各项中利用多项式乘以多项式法则计算，合并得到结果，即可做出判断．
【解答】A、(x+2)(x+3)=x2+3x+2x+6=x2+5x+6，本选项正确；
B、(y－2)(y+6)=y2+6y－2y－12= y2+4y－12，本选项正确；
C、(a+3)(a－4)=a2－4a+3a－12=a2－a－12，本选项错误；
D、(m－3)(m－5)=m2－5m－3m+15=m2－8m+15，本选项正确．
故选B．
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
例题2、使(x2+3x+p)(x2－qx+4)乘积中不含x2与x3项，则p= ； q= .
【考点】多项式乘多项式．
【分析】把式子展开，找到所有x2和x3项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．
【解答】
∵(x2+3x+p)(x2－qx+4)，
=x4－qx3+4x2+3x3－3qx2+12x+px2－pqx+4p，
=x4+(－q+3)x3+(4－3q+p)x2+(12－pq)x+4p．
∵乘积中不含x2与x3项，
∴－q+3=0，4－3q+p =0，
∴p=－5，q=3．
【点评】灵活掌握多项式乘以多项式的法则，准确确定x2和x3项的系数，根据题意构造二元一次方程组是解决问题的关键．
【夯实基础】
1．下列计算正确的是( )
A．(x+1)(x+4)=x2+4x+4 B．(m－2)(m+3)=m2－m－6
C．(y+4)(y－5)=y2－y－20 D．(x－3)(x－6)=x2－3x+18
2．若0＜m＜1，那么代数式m(m－1)(1+m)的值一定是 ( )
A．正的 B．非负 C．负的 D．正、负不能唯一确定
3．下列多项式相乘的结果为x2－2x－24的是( )
A．(x－2)(x+12) B．(x+3)(x－8) C．(x－4)(x+6) D．(x+4)(x－6)
4．计算(a－3b)3n?(3b－a)?(a－3b)2m-1的结果是 ( )
A．(a－3b)3n+2m B．－(a－3b)3n+2m C．(3b－a)3n+2m-2 D．－(3b－a)3n+2m-2
5．计算(x－5)(3x+4)= ；(x+1)(x+1)= ； (x－3)(x－3) = .
6．若长方形的长为(4a2－2a+1)，宽为(2a+1)，则这个长方形的面积 为 .
7．计算下列各式：
(1) (x+5)(x+4)；
(2)(3a－2b)(2a2－3ab+b2)；
(3)(－5x2－6y2)(－2x2+3y2)+3(－xy)2；
(4) (a+5)(a－2)－a(a－3)．





8．解方程：(2x－3)(x+5)－(x－2)(x+3)=(x+6)(x－1).




9．观察下列各式：
(x+2)(x+3)=x2+5x+6.
(x－2)(x+3)=x2+x－6.
(x+2)(x－3)=x2－x－6.
(x－2)(x－3)=x2－5x+6.
可以看出：两个一次二项式相乘，结果是一个 次 项式，其 中一次项系数和常数项分别和原来的两个二项式的常数项具有怎样的关系？
请利用你的结论直接写出下面两个一次二项式相乘的结果：
(x+3)(x－7)= .
(a－5)(a－12)= .
(x－p)(x－q) = .



【提优特训】
10．下列计算正确的是( )
A．(6xy2－4x2y) ·3xy=18xy3－12x3y2 B．(－x)( x2+2x－1)=－x3－2x2+1
C．(3－x)(3+x)=9－x2 D．t2－(t+1)(t－7)= －6t－7
11．计算(2a+b)(4a2－2ab+b2)的结果是( )
A．8a3+b3 B．8a3－b3? C．8a3+4ab+b3 D．8a3－4ab+b3
12．设多项式A是三项式，B是五项式，则A·B的结果多项式的项数一定是( )
A．多于8项 B．不多于8项 C．多于15项 D．不多于15项．
13．若(x+a)(x－12)的积中不含x的一次项，则a的值为( )
A．0 B．－12 C．12 D．12或－12
14．化简(a+b)(2a－b)+(2a+b)(a－2b)的结果为 .
15．定义=ad－bc，例如=5×2－4×3=－2，若=9，则x= .
16．已知a+b=3.5，ab=2，则(2a－3)(2b－3)= .
17．老师在批改作业时发现有两位同学做计算(2x+a)(3x+b)时出现了错误，A同学把(2x+a)抄错成
了(2x－a)，结果为(2x－a)(3x+b)=6x2－13x+6； B同学把(3x+b)抄错成了(x+b)，结果为
(2x+a)(x+b)=2x2－x－6.
求(1)a，b的值；(2)正确答案？





18．如图所示的正方形A，正方形C和长方形B卡片各有若干张，若要拼成一个长为(3a+2b)，宽为(2a+b)的长方形，
求需要 A类卡片，B类卡片，
C类卡片各多少张？



19．要使(ax2+bx+1) (2x2－6x+1)的运算结果中不含x3和x2的项，求a+b的值．







20．通过计算寻找规律：
(1)计算：(x+1)(x－1)= ； (x－1)(x2+x+1)= ；
(x－1)(x3+x2+x+1)= ； (x－1)(x4+x3+x2+x+1)= ；
(2)猜想：(x－1)(xn+xn-1+…+x+1)=______．
(3)若(x－1) ·A=x2020－1 ，则A=______．



【中考链接】
21．(2019年?福州)计算：(x+1)(x+1)+2(1－x)－x2




22．(2019年?湖南衡阳)先化简，再求值：(a+b)(a－b+b(a+2b)－b2，其中a=1、b=－2.






参考答案
1、C 2、C 3、D 4、B 5、3x2－11x－20 ， x2+2x+1， x2－6x+9 6、8a3+1
10、C 11、A 12、D 13、C 14、6a2－2ab－b2 15、x=－4 16、x=－5
7．计算下列各式：
(1) (x+5)(x+4)；
(2)(3a－2b)(2a2－3ab+b2)；
(3)(－5x2－6y2)(－2x2+3y2)+3(－xy)2；
(4) (a+5)(a－2)－a(a－3)．
解：(1)原式=x2+9x+20；
(2)原式=6a3－9a2b+3ab2－4a2b+6ab2－2b3
=6a3－13a2b+9ab2－2b3；
(3)原式=(5x2+6y2)( 2x2－3y2)+3x2y2
=10x4－15x2y2+12x2y2－18y4+3x2y2
=10x4－3x2y2－18y4+3x2y2
=10x4－18y4；
(3)原式=a2+3a－10－a2+3a
=6a－10.
8．解方程：(2x－3)(x+5)－(x－2)(x+3)=(x+6)(x－1).
解:去括号，得 2x2+10x－3x－15－x2－3x+2x+6=x2+5x－6.
合并同类项，得 x2+6x－9=x2+5x－6.
移项、合并同类项，得x=3.
9．观察下列各式：
(x+2)(x+3)=x2+5x+6.
(x－2)(x+3)=x2+x－6.
(x+2)(x－3)=x2－x－6.
(x－2)(x－3)=x2－5x+6.
可以看出：两个一次二项式相乘，结果是一个__二__次__三__项式，其 中一次项系数和常数项分别和原来的两个二项式的常数项具有怎样的关系？
请利用你的结论直接写出下面两个一次二项式相乘的结果：
(x+3)(x－7)=x2－4x－21．
(a－5)(a－12)=a2－17a+60．
(x－p)(x－q) = x2－(p+q)x+pq .
解：根据题意，可得规律：两个一次二项式相乘，结果是一个二次三项式，其中一次项系数和常数项分别和原来的两个二项式的常数项之和与积相等．
∴(x+3)(x－7)=x2－4x－21．
(a－5)(a－12)=a2－17a+60．
(x－p)(x－q)=x2－(p+q)x+pq.
17．老师在批改作业时发现有两位同学做计算(2x+a)(3x+b)时出现了错误，A同学把(2x+a)抄错成了(2x－a)，结果为(2x－a)(3x+b)=6x2－13x+6； B同学把(3x+b)抄错成了(x+b)，结果为
(2x+a)(x+b)=2x2－x－6.
求(1)a，b的值；(2)正确答案？
解：(1)∵(2x－a)(3x+b)=6x2+(2b－3a)x－ab，
∴6x2+(2b－3a)x－ab=6x2－13x+6，
∴2b－3a=－13，①
∵(2x+a)(x+b)=2x2+(2b+a)x+ab
∴2x2+(2b+a)x+ab=2x2－x－6，
∴2b+a=－1，②
由①②联立成二元一次方程组，
解这个方程组得.
(2)(2x+3)(3x－2)=2x·3x－2×2x+3×3x－3×2
=6x2+5x－6.
18．如图所示的正方形A，正方形C和长方形B卡片各有若干张，若要拼成一个长为(3a+2b)，宽为(2a+b)的长方形，
求需要 A类卡片，B类卡片， C类卡片各多少张？
解：由图知，A类卡片的面积为a2，
B类卡片的面积为ab，
C类卡片的面积为b2.
∵(3a+2b) (2a+b)=6a2+3ab+4ab+2b2
=6a2+7ab+2b2，
∴需要 A 类卡片 6 张，B 类卡片?7张，C 类卡片 2 张．
19．要使(ax2+bx+1) (2x2－6x+1)的运算结果中不含x3和x2的项，求a+b的值．
解：(ax2+bx－2) (2x2－6x+1)
=2ax4－6ax3+ax2+2bx3－6bx2+bx－4x2+12x－2
=2ax4－6ax3+ax2+2bx3－6bx2+bx－4x2+12x－2
=2ax4+(2b－6)x3+(a－6b)x2+(b+12)x－2
∵运算结果中不含x3和x2的项，
∴2b－6=0，a－6b=0，
解得a=18，b=3.
20．通过计算寻找规律：
(1)计算：(x+1)(x－1)= ； (x－1)(x2+x+1)= ；
(x－1)(x3+x2+x+1)= ； (x－1)(x4+x3+x2+x+1)= ；
(2)猜想：(x－1)(xn+xn-1+…+x+1)=______．
(3)若(x－1)·A=x2020－1 ，则A=______．
解：(1)x2－1；x3－1；x4－1；x5－1；
(2)xn+1－1
(3)x2019+x2018+…+x2+x+1.
21．(2019?福州)计算：(x+1)(x+1)+2(1－x)－x2
解：原式=x2+2x+1+2－2x－x2=3.
22．(2019年?湖南衡阳)先化简，再求值：(a+b)(a－b+b(a+2b)－b2，其中a=1、b=－2.
解：原式=a2-ab+ab－b2+ab+2b2－b2
= a2 +ab，
当a=1、b=－2时，原式= a2 +ab=1－2=－1.

























第18题图

第18题图



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