2.5 三元一次方程组及其解法（选学）
一．选择题（共5小题）
1．解下面的方程组时，要使解法较为简便，应（ ）
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数
2．三元一次方程组，消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列四组数值中，（ ）是方程组的解．
A． B．
C． D．
4．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需130元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需210元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）
A．105元 B．95元 C．85 元 D．88元
5．如图，在正方形ABCD的每个顶点上写一个数，把这个正方形每条边的两端点上的数加起来，将和写在这条边上，已知AB上的数是3，BC上的数是7，CD上的数是12，则AD上的数是（ ）
（第5题图）
A．2 B．7 C．8 D．15
二．填空题（共2小题）
6．方程组的解是 ．
7．已知：，则x+y+z= ．
三．解答题（共4小题）
8．解三元一次方程组：.
9．解方程组：.
10．甲地到乙地全程是142千米，一段上坡、一段平路、一段下坡，如果保持上坡每小时行驶28千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶35千米，从甲地行驶到乙地需4小时30分钟，从乙地行驶到甲地需4小时42分钟，问：从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少？
11．吃仙果的趣味问题：
三种仙果红紫白，八戒共吃十一对；
白果占紫三分一，紫果正是红二倍；
三种仙果各多少？看谁算得快又对．
（1）小明分析：如果设红果x个，紫果y个，则白果有（22﹣x﹣y）个，根据题意，可列二元一次方程组为 ；
（2）小敏分析，如果设红果x个，紫果y个，白果z个，根据题意，可列三元一次方程组为 ；
（3）请你先填出上述小题中相应的方程组，然后选一种分析思路求解本题．
参考答案
一．1．C 2．A 3．B 4．C 5．C
二．6． 7．6
三．8．解：①+②，得2y=﹣5﹣1，
解得y=﹣3.
②+③，得2x=﹣1+15，
解得x=7，
把x=7，y=﹣3代入①，得﹣3+z﹣7=﹣5，
解得z=5，
方程组的解为．
9．解：
①+②，得4x+3z=18④，
①+③，得2x﹣2z=2⑤
⑤×2﹣④，得﹣7z=﹣14，
解得z=2，
把z=2代入①，得x=3，
把x=3，z=2代入①，得y=1，
则方程组的解为．
10．解：设从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是x、y、z千米，
4小时30分钟=4.5小时，4小时42分钟=4.7小时，
根据已知可得，
解得．
答：从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是42、30和70千米．
11．解：（1）设红果x个，紫果y个，则白果（22﹣x﹣y）个．
根据题意，得，
（2）设红果x个，紫果y个，白果z个．
依题意得．
（3）二元一次方程组：设红果x个，紫果y个，则白果（22﹣x﹣y）个．
根据题意，得，
解得．
则红果6个，紫果12个，白果4个；
三元一次方程组：设红果x个，紫果y个，白果z个．
依题意，得．
解得．
则红果6个，紫果12个，白果4个．
2.4 二元一次方程组的应用
一．选择题（共5小题）
1．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
2．我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱：如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y元，可列方程（组）为（ ）
A． B．
C． D．=
3．甲、乙两人骑自行车比赛，若甲先骑30分钟，则乙出发后50分钟可追上甲，设甲、乙每小时分别骑x千米、y千米，则可列方程（ ）
A．30x=50y B．
C．（30+50）x=50y D．
4．如图为某商店的宣传单，小胜到此店同时购买了一件标价为x元的衣服和一条标价为y元的裤子，共节省500元，则根据题意所列方程正确的是（ ）
（第4题图）
A．0.6x+0.4y+100=500 B．0.6x+0.4y﹣100=500
C．0.4x+0.6y+100=500 D．0.4x+0.6y﹣100=500
5．某市举办花展，如图，在长为14m，宽为10m的长方形展厅，划出三个形状、大小完全一样的小长方形摆放水仙花，则每个小长方形的周长为（ ）
（第5题图）
A．8 B．13 C．16 D．20
二．填空题（共4小题）
6．以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长，井深各几何若设绳长x尺，井深y尺，则可列方程组为 ．
7．算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式，百位用立式，千位用卧式，以此类推．《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如图1，从左向右的符号中，前两个符号分别代表未知数x，y的系数．因此，根据此图可以列出方程：x+10y=26．请你根据图2列出方程组 ．
（第7题图）
8．老王家去年收入x元，支出y元，而今年收入比去年多15%，支出比去年少10%，结果今年结余30000元，根据题意可列出的方程为 ．
9．盒子里有若干个大小相同的白球和红球，从中任意摸出一个球，摸到红球得2分，摸到白球得3分．某人摸到x个红球，y个白球，共得12分．列出关于x、y的二元一次方程： ．
三．解答题（共2小题）
10．下列各个图是由若干个花盆组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n（n＞1）盆花，每个图案花盆的总数是s．
（第10题图）
按此规律推断，以s、n为未知数的二元一次方程是 ．
11．某工厂用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒．设加工竖式纸盒x个，横式纸盒y个．
（第11题图）
（1）根据题意，完成以下表格：
纸盒 纸板 竖式纸盒（个） 横式纸盒（个）
x y
长方形纸板（张） 3y
正方形纸板（张） x
（2）工人李娟从仓库领来了长方形纸板2012张，正方形纸板1003张，请你帮她计划竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好将领来的纸板全部用完；
（3）李娟有一张领取材料的清单，上面写着：长方形纸板a张（碰巧a处的数字看不清了，她只记得不超过142张），正方形纸板90张．并且领来的材料恰好全部用于加工上述两种纸盒，试求出她加工这两种盒子各多少个？
参考答案与试题解析
一．1．C 2．A 3．D 4．A 5．C
二．6． 7． 8．（1+15%）x﹣（1﹣10%）y=30000
9． 2x+3y=12
三．10．解：由图可知：
第一图：有花盆3个，每条边有花盆2个，那么s=3×2﹣3；
第二图：有花盆6个，每条边有花盆3个，那么s=3×3﹣3；
第二图：有花盆9个，每条边有花盆4个，那么s=3×4﹣3；
…
由此可知以s，n为未知数的二元一次方程为s=3n﹣3．
11．解：（1）完成表格如下所示：
纸盒 纸板 竖式纸盒（个） 横式纸盒（个）
x y
长方形纸板（张） 4x 3y
正方形纸板（张） x 2y
（2）由题意，得，
解得，
答：竖式纸盒加工203个，横式纸盒加工400个．
（3）由题意，得，
解得y=72﹣a，x=90﹣2y，
∵a≤142，
∴y≥43.6.
∵x＞0，
∴90﹣2y＞0，
∴y＜45，
∴43.6≤y＜45.
∵y为正整数，
∴y=44，x=2.
答：他做竖式纸盒2个，横式纸盒44个．
2.3 解二元一次方程组
一．选择题（共9小题）
1．已知方程组的解满足x﹣y=m﹣1，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
2．如果|x﹣2y+1|+|x+y﹣5|=0，那么xy=（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
3．若x，y满足方程组，则x﹣y的值等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
4．已知关于x，y的方程组，甲看错a得到的解为，乙看错了b得到的解为，他们分别把a、b错看成的值为（ ）
A．a=5，b=﹣1 B．a=5，b= C．a=﹣l，b= D．a=﹣1，b=﹣1
5．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y=9，则k的值是（（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若方程组的解x和y相等，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．若5x2a+by2与﹣4x3y3a﹣b是同类项，则a﹣b的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知方程组的解满足x﹣y=m﹣1，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
9．如果（x+y﹣5）2与|3x﹣2y+10|互为相反数，则x，y的值为（ ）
A．x=3，y=2 B．x=2，y=3 C．x=0，y=5 D．x=5，y=0
二．填空题（共3小题）
10．若实数x，y满足，则代数式2x+3y﹣2的值为 ．
11．已知方程组与有相同的解，则m= ，n= ．
12．如果方程组与方程组的解相同，则m= ，n= ．
三．解答题（共13小题）
13．已知方程组和有相同的解，求a2﹣2ab+b2的值．
14．解下列方程组：
（1）
（2）
15．解下列方程组：
（1）用代入法解方程组：
（2）用加减法解方程组：
16．下列解方程组：
（1）
（2）
17．解下列方程组：
（1）
（2）
参考答案
一．1．D 2．D 3．A 4．A 5．B 6．C 7．A 8．A 9．C
二．10．4 11． ， 12 12．3， 2
三．13．解：解方程组得，
把代入第二个方程组得，解得，
则a2﹣2ab+b2=22﹣2×2×1+12=1．
14．解：（1），
①×2+②，得到5x=20，
∴x=4，
把x=4代入①得到y=﹣1，
∴．
（2），
①﹣②×2得到19y=﹣38，y=﹣2，
把y=﹣2代入②得到：x=3，
∴
15．解：（1）
由①得y=2x﹣5 ③，
把③代入②，得3x+4（2x﹣5）=2，
解得x=2，
把x=2代入③，得y=2×2﹣5=﹣1，
∴方程组的解为．
（2）
把①×3得9x+12y=48 ③，
把②×2得10x﹣12y=66 ④，
③+④得19x=114
解得x=6，
把x=6代入①得18+4y=16，
解得y=﹣，
∴方程组的解为．
16．解：（1），
①×3﹣②×2，得11x=22，
解得x=2，
将x=2代入①，得10﹣2y=4，
解得y=3，
所以方程组的解为；
（2），
②代入①，得4x﹣3（7﹣5x）=17，
解得x=2，
将x=2代入②，得y=﹣3，
所以方程组的解为．
17．解：（1），
①×4+②，得11x=22，
解得x=2，
将x=2代入①，得4﹣y=5，
解得y=﹣1，
所以方程组的解为；
（2），
①﹣②，得2y=﹣8，
解得y=﹣4，
将y=﹣4代入②，得x﹣4=2，
解得x=12，
所以方程组的解为．
2.2 二元一次方程组
一．选择题（共5小题）
1．在方程组，，，， 中，是二元一次方程组的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列不是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若解得x、y的值互为相反数，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣2 C．2 D．﹣4
4．如果方程组的解同时满足3x+y=﹣2，则k的值是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
5．方程组的解为，则被遮盖的两个数分别为（ ）
A．2，1 B．2，3 C．5，1 D．2，4
二．填空题（共5小题）
6．已知x，y满足方程组，则无论k取何值，x，y恒有关系式是 ．
7．若方程组的解为，则方程组的解是 ．
8．已知关于x，y的方程组．给出下列结论：
①是方程组的解；
②当k=时，x，y的值互为相反数；
③若方程组的解也是方程x+y=4﹣k的解，则k=1；
④若2x?8y=2z，则z=1．
其中正确的是 ．
9．方程组的解满足方程x+y+a=0，那么a的值是 ．
10．已知是方程组的解，则代数式a+b的值为 ．
三．解答题（共5小题）
11．已知方程组 ，甲正确地解得，而乙粗心地把C看错了，得，试求出a，b，c的值．
12．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：
①当t=﹣1时，方程组的解也是方程x+2y=2的解；
②当x=y时，t=﹣；
③不论t取什么实数，x+2y的值始终不变；
④若z=﹣xy，则z的最小值为﹣1．
请判断以上结论是否正确，并说明理由．
13．已知关于x、y的方程组．
（1）若x、y是互为相反数，求a的值；
（2）若x﹣y=2，求方程组的解和a的值．
14．在解关于x，y的方程组时，老师告诉同学们正确的解是，粗心的小勇由于看错了系数c，因而得到的解为，试求abc的值．
15．已知关于x，y的方程组
（1）请直接写出方程x+2y﹣6=0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y=0，求m的值；
（3）无论实数m取何值，方程x﹣2y+mx+5=0总有一个固定的解，请直接写出这个解？
（4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值．
参考答案
一．1． A 2．A 3．D 4．B 5．C
二．6． x+y=1 7． 8．①②④ 9．1 10．0
三．11．解：根据题意，得，
解得，
把代入方程5x﹣cy=1，得到：10﹣3c=1，
解得c=3．
故a=3，b=﹣1 c=3．
12．解：①把t=﹣1代入方程组得，
解得，
把代入x+2y=2得：左边=﹣6+2=﹣4≠右边，不符合题意；
②由y=x，得到，
解得t=﹣，符合题意；
③，
①+②得2y=2t+16，即y=t+8，
①﹣②得2x=﹣4﹣4t，即x=﹣2t﹣2，
x+2y=﹣2t﹣2+2t+16=14，符合题意；
④z=﹣（t+8）（﹣2t﹣2）=（t+8）（t+1）=t2+9t+8=（t+）2+≥，不符合题意．
13．解：（1）由题意，得x+y=0，
方程组两方程相加，得3（x+y）=3a﹣3，即x+y=a﹣1，
可得a﹣1=0，
解得a=1；
（2）方程组两方程相减，得x﹣y=﹣a﹣5，
代入x﹣y=2得﹣a﹣5=2，
解得a=﹣7，
方程组为，
①×2﹣②，得3y=15，
解得y=5，
把y=5代入②，得x=﹣8，
则方程组的解为．
14．解：把和代入ax+by=2中，得，
解得，
把代入cx﹣7y=8中，得c=﹣2，
则abc=﹣40．
15．解：（1）方程x+2y﹣6=0，2x+y=6，
解得x=6﹣2y，
当y=1时，x=4；当y=2时，x=2，
方程x+2y﹣6=0的所有正整数解为，；
（2）由题意得，解得，
把代入x﹣2y+mx+5=0，解得m=﹣；
（3）x﹣2y+mx+5=0，
（1+m）x﹣2y=﹣5，
∴当x=0时，y=2.5，
即固定的解为，
（4），
①+②得2x﹣6+mx+5=0，
（2+m）x=1，
x=，
∵x恰为整数，m也为整数，
∴2+m是1的约数，
2+m=1或﹣1，
m=﹣1或﹣3．
2.1 二元一次方程
一．选择题（共5小题）
1．在下列方程中：（1）3x+=8；（2）+2y=4；（3）3x+=1；（4）x2=5y+1；（5）y=x；（6）2（x﹣y）﹣3（x+）=x+y是二元一次方程的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．若x|k|+ky=2+y是关于x、y的二元一次方程，则k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0
3．若（m﹣2018）x|m|﹣2017+（n+4）y|n|﹣3=2018是关于x，y的二元一次方程，则（ ）
A．m=±2018，n=±4 B．m=﹣2018，n=±4
C．m=±2018，n=﹣4 D．m=﹣2018，n=4
4．下列方程中，二元一次方程的个数有（ ）
①x2+y2=3；②3x+=4；③2x+3y=0；④+=7
A．1 B．2 C．3 D．4
5．在下列方程中：（1）3x+=8；（2）+2y=4；（3）3x﹣3（y+x）=1；（4）x2=5y+1；（5）y=x是二元一次方程的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共5小题）
6．关于x，y的方程x2m﹣n﹣2+4ym+1=6是二元一次方程，则m+n= ．
7．已知（m﹣2）x|m﹣1|+y=0是关于x，y的二元一次方程，则m= ．
8．已知方程x2m﹣n﹣2+4ym+n+1=6是关于x，y的二元一次方程，则m= ，n= ．
9．在方程①2x+3y=4，②+2y=3，③xy+2=0，④x2+3y=0，⑤4y﹣3=2﹣y中，是二元一次方程的是 ．（填序号）
10．已知3xn﹣2﹣y2m+1=0是关于x，y的二元一次方程，则m= ，n= ．
三．解答题（共8小题）
11．方程2xm+1+3y2n=5是二元一次方程，求m，n．
12．已知关于x，y的方程（m2﹣4）x2+（m+2）x+（m+1）y=m+5．
（1）当m为何值时，它是一元一次方程？
（2）当m为何值时．它是二元一次方程？
13．已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+（n+3）=6是关于x，y的二元一次方程．
（1）求m，n的值；
（2）求x=时，y的值．
14．已知关于x的方程（2a﹣6）x|b|﹣1+（b+2）=0是二元一次方程，求a、b的值．
15．已知和是二元一次方程mx﹣3ny=5的两个解．
（1）求m、n的值；
（2）若x＜﹣2，求y的取值范围．
参考答案
一．1． B 2．B 3．D 4．B 5．B
二．6．﹣3 7． 0 8．1、﹣1 9．① 10． 0， 3
三．11．解：根据二元一次方程的定义，
m+1=1，2n=1，
解得m=0，n=．
12．解：（1）依题意，得m2﹣4=0且m+2=0，或m2﹣4=0且m+1=0，
解得m=﹣2．
即当m=﹣2时，它是一元一次方程．
（2）依题意，得m2﹣4=0且m+2≠0、m+1≠0，
解得m=2．
即当m=2时，它是二元一次方程．
13．解：（1）因为，已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+（n+3）=6是关于x，y的二元一次方程，
所以，
解这个不等式组，得m=﹣2，n=3
即m=﹣2，n=3
（2）因为，当m=﹣2，n=3时，二元一次方程可化为：﹣4x+6y=6
所以，当x=时，有﹣4×+6y=6
y=
即求x=时，y的值为
14．解：∵（2a﹣6）x|b|﹣1+（b+2）=0是二元一次方程，
∴，且2a﹣6≠0，b+2≠0，
解得a=﹣3，b=2．
15．解：（1）把和代入方程得：，
①×2+②，得15n=15，
解得n=1，
把n=1代入①，得m=2，
则方程组的解为；
（2）当时，原方程变为：2x﹣3y=5，
解得x=，
∵x＜﹣2，
∴＜﹣2，
解得y＜﹣3．
故y的取值范围是y＜﹣3．
