5.5 分式方程
一．选择题（共5小题）
1．在方程=7，﹣=2，+x=，=+4，=1中，分式方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在解分式方程+=2时，去分母后变形正确的是（ ）
A．3﹣（x+2）=2（x﹣1） B．3﹣x+2=2（x﹣1）
C．3﹣（x+2）=2 D．3+（x+2）=2（x﹣1）
3．对于非零实数a、b，规定a?b=．若x?（2x﹣1）=1，则x的值为（ ）
A．1 B． C．﹣1 D．
4．方程=0的根是（ ）
A．x1=2，x2=﹣2 B．x1=2
C．x=﹣2 D．以上答案都不对
5．解方程﹣=2时，如果设=y，则原方程可化为关于y的整式方程是（ ）
A．3y2+2y+1=0 B．3y2+2y﹣1=0 C．3y2+y+2=0 D．3y2+y﹣2=0
二．填空题（共5小题）
6．当x= 时，分式与的值相等．
7．对于代数式m，n，定义运算“※”：m※n=（mn≠0），例如：4※2=．若（x﹣1）※（x+2）=+，则2A﹣B= ．
8．若分式方程2+=有增根，则k= ．
9．某学校准备用2400元购买一批学习用品，已知甲种学习用品的单价比乙种学习用品的单价少2元，若用这些钱全部购买甲种学习用品比全部购买乙种学习用品可多买200件，问：这两种学习用品的单价分别是多少元？若设乙种学习用品的单价为x元，那么根据题意可列方程 ．
10．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 ．
三．解答题（共5小题）
11．对于分式方程+1=，小明的解法如下：
解：方程两边同乘（x﹣2），得x﹣3+1=3①
解得x=﹣1．②
检验：当x=﹣1时，x﹣2≠0 ③
所以x=﹣1是原分式方程的解．
小明的解法有错误吗？错在第几步？请你写出正确的解题过程．
12．解方程：
（1）=﹣2；
（2）+2=．
13．已知的解为正数，求m的取值范围．
关于这道题，有位同学作出如下解答：
解：去分母得，x﹣2（x﹣3）=m，
化简，得﹣x=m﹣6，
故x=﹣m+6．
要使方程的根为正数，必须﹣m+6＞0，
得m＜6．
所以，当m＜6时，方程的解是正数．
（1）写出第一步变形的依据 ．
（2）上述解法是否有误？若有错误请说明错误的原因，并写出正确解答；若没有错误请说明其余每一步解法的依据．
14．m为何值时，关于x的方程 +=会产生增根？
15．关于x的分式方程﹣=1在实数范围内无解，求实数a的取值．
参考答案
一．1．B 2．A 3．A 4．C 5．B
二．6．8 7．﹣5 8．2 9． ﹣=200 10． m＞﹣1且m≠9
三．11．解：错误，错在第①步，
正确解法为：
方程两边同乘（x﹣2）得：x﹣3+x﹣2=﹣3，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解．
12．解：（1）去分母，得1﹣x=﹣2﹣2x+4，
解得x=1，
经检验x=1是分式方程的解；
（2）去分母得：﹣4x+2x2﹣2=2x2﹣2x，
解得x=﹣1，
经检验x=﹣1是增根，分式方程无解．
13．解：（1）写出第一步变形的依据是等式两边都乘以同一个整式，等式仍然成立，
故答案为：等式两边都乘以同一个整式，等式仍然成立；
（2）解法错误，
没有考虑x﹣3≠0，即﹣m+6﹣3≠0，
解得m≠3，
所以正确的结果是m＜6且m≠3．
14．解：原方程化为+=，
方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2）
得2（x+2）+mx=3（x﹣2），
整理得（m﹣1）x+10=0，
∵关于x的方程 +=会产生增根，
∴（x+2）（x﹣2）=0，
∴x=﹣2 或x=2，
∴当x=﹣2时，（m﹣1）×（﹣2）+10=0，解得m=6，
当x=2时，（m﹣1）×2+10=0，解得m=﹣4，
∴m=﹣4或m=6时，原方程会产生增根．
15．解：由原方程可得﹣=1
去分母得：x（x﹣a）﹣3（x﹣1）=x（x﹣1），
x2﹣ax﹣3x+3=x2﹣x，
﹣ax﹣2x=﹣3，
解得：x=，
①当a=﹣2时，原方程无解；
②当a≠﹣2时，由x（x﹣1）=0，即，
可得a=1原方程无解；
故当a=﹣2或a=1时，原方程都无解．
5.4 分式的加减
一．选择题（共10小题）
1．分式，，的最简公分母是（ ）
A．x2﹣1 B．x（x2﹣1） C．x2﹣x D．（x+1）（x﹣1）
2．分式和的最简公分母是（ ）
A．2xy B．2x2y2 C．6x2y2 D．6x3y3
3．下列各选项中，所求的最简公分母错误的是（ ）
A．与的最简公分母是6x
B．与最简公分母是3a2b3c
C．与的最简公分母是ab（x﹣y）（y﹣x）
D．与的最简公分母是m2﹣n2
4．若等式恒成立，则（a2+b2﹣2ab）﹣8a+8b+17的值是（ ）
A．50 B．37 C．29 D．26
5．已知=3，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
6．对于任意的x值都有=+，则M，N值为（ ）
A．M=1，N=3 B．M=﹣1，N=3 C．M=2，N=4 D．M=1，N=4
7．计算（1+）÷的结果是（ ）
A．x+1 B． C． D．
8．已知x+y=4，x﹣y=，则式子（x﹣y+）（x+y﹣）的值是（ ）
A．48 B．12 C．16 D．12
9．已知：﹣=，则的值是（ ）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
10．若x=﹣5，y=2，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共2小题）
11．化简：﹣= ．
12．已知=+，则实数A= ．
三．解答题（共4小题）
13．通分：
（1），
（2），
（3），
（4），．
14．计算：
（1）﹣12+20180﹣（）﹣1+；
（2）+．
15．某同学化简分式出现了错误，解答过程如下
解：原式=﹣（第一步）
=（第二步）
=﹣（第三步）
（1）你认为该同学的解答过程是从第几步开始出错的？
（2）写出你的解答过程．
16．计算：
（1）﹣
（2）﹣a﹣1．
参考答案
一．1．B 2．C 3． C 4．D 5．D 6．B 7．B 8．D 9．C 10．D
二．11． 12． 1
三．13．解：（1）最简公分母：12x3y2，
=，=；
（2）最简公分母：2（a+3）（a﹣3），
=，=；
（3）最简公分母：（a﹣3）2（a+3），
=，=；
（4）最简公分母：2（a+3）（a﹣1），
===，==﹣=﹣．
14．解：（1）﹣12+20180﹣（）﹣1+；
=﹣1+1﹣2+2，
=0；
（2）+．
=+，
=．
15．解：（1）第一步开始出错；
（2）原式=﹣
=
=．
16．解：（1）原式=
=；
（2）原式==．
5.3 分式的乘除
一．选择题（共5小题）
1．下列分式是最简分式的（ ）
A． B．
C． D．
2．下面各分式：，其中最简分式有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
3．若÷等于3，则x等于（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
4．已知（）2÷（﹣）2=6，则x4y2的值为（ ）
A．6 B．36 C．12 D．3
5．计算﹣3xy所得的结果为（ ）
A．﹣2y3 B．﹣2y C．﹣ D．﹣22y3
二．填空题（共5小题）
6．约分：= ；= ．
7．约分：= ．
8．分式、、、中，最简分式的个数是 个．
9．化简?（2x﹣2y）= ．
10．计算= ．
三．解答题（共5小题）
11．约分：．
12．化简．
13．已知m，n是小于5的正整数，且=a﹣b，求m，n的值．
14．计算：
（1）﹣m2n?（﹣mn2）2
（2）（x2﹣2x）（2x+3）÷（2x）
（3）（2x+y）（2x﹣y）+（x+y）2﹣2（2x2+xy）
（4）（ab﹣b2）÷．
15．计算．
（1）?
（2）+|﹣3|﹣+．
参考答案
一．1．C 2．D 3．B 4．A 5．A
二．6． ， 7． 8．2 9．2x+2y 10．
三．11．解：原式==．
12．解：==．
13．解：∵=a﹣b，
∴①当n为偶数时，可得（a﹣b）m﹣n=a﹣b，即m﹣n=1，
∵m，n是小于5的正整数，
∴m=3，n=2，
②当n为奇数时，可得﹣（a﹣b）m﹣n=a﹣b，解得a=b，
∵分母不能为0，
∴此种情况无解，
③当a﹣b=﹣1时，=﹣1，所以当m=奇数时，n为任意1，2，3，4即可，
所以当a﹣b=﹣1时，m=1，n=1或2或3或4，当a﹣b=﹣1时，m=3，n=1或2或3或4，
综上所述：m=3，n=2．
当a﹣b=﹣1时，m=1，n=1或2或3或4，所以当a﹣b=﹣1时，m=3，n=1或2或3或4，
14．解：（1）原式=﹣m2n?m2n4=﹣m4n5；
（2）原式=（2x3﹣x2﹣6x）÷（2x）=x2﹣x﹣3；
（3）原式=4x2﹣y2+x2+2xy+y2﹣4x2﹣2xy=x2；
（4）原式=b（a﹣b）÷=b（a﹣b）?=b．
15．解：（1）原式==．
（2）原式=1+3﹣+2=6﹣=．
5.2 分式的基本性质
一．选择题（共5小题）
1．分式﹣可变形为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
2．分式可变形为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
3．下列运算错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如果把的x与y都扩大10倍，那么这个代数式的值（ ）
A．不变 B．扩大50倍
C．扩大10倍 D．缩小到原来的
5．若分式中的a、b的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（ ）
A．是原来的20倍 B．是原来的10倍
C．是原来的 D．不变
二．填空题（共5小题）
6．如果：，那么：= ．
7．如果=，那么= ．
8．如果，那么= ．
9．已知=，则分式的值为 ．
10．已知：，则= ．
三．解答题（共5小题）
11．=，=，=．
12．根据变化完成式子的变形：=．
13．阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：==2+=2．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：==1﹣；
再如：===x+1+．
解决下列问题：
（1）分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）；
（2）假分式可化为带分式 的形式；
（3）如果分式的值为整数，那么x的整数值为 ．
14．我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如 ．
（1）下列分式中，属于真分式的是 ．
A、 B、 C、 D、
（2）将假分式，化成整式和真分式的和的形式．
15．已知a，b，c，d都不等于0，并且，根据分式的基本性质、等式的基本性质及运算法则，探究下面各组中的两个分式之间有什么关系？然后选择其中一组进行具体说明．
（1）和； （2）和； （3）和（a≠b，c≠d）．
（提示：可以先用具体数字试验，再对发现的规律进行证明．）
参考答案
一．1．D 2．D 3．D 4．A 5．D
二．6． 7． 8． 9．﹣ 10．
三．11．解：，
=，
==．
12． y
13．解：（1）分式是 真分式；
（2）假分式=1﹣；
（3）==2﹣．
所以当x+1=3或﹣3或1或﹣1时，分式的值为整数．
解得x=2或x=﹣4或x=0或x=﹣2．
14．解：（1）根据题意，得﹣是真分式．故选C．
（2）==+=m﹣1+．
15．解：例如：取a=1，b=2，c=3，d=6，有，
则（1）；
（2）；
（3）
观察发现各组中的两个分式相等．
现选择第（2）组进行说明证明．
已知a，b，c，d都不等于0，并且，
所以有，
所以有=．
5.1 分式
一．选择题（共6小题）
1．下列各式中，是分式的有（ ）
，，，﹣，，，．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．若分式的值为零，则m的取值为（ ）
A．m=±1 B．m=﹣1
C．m=1 D．m的值不存在
3．使分式的值为零的x的值是（ ）
A．x=2 B．x=±2 C．x=﹣2 D．x=﹣2或x=﹣1
4．如果分式=2，则=（ ）
A． B． C．﹣ D．
5．若a2﹣2a﹣3=0，代数式的值是（ ）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
6．甲、乙两城市之间的高铁全程长1500km，列车运行速度为bkm/h，经过长时间试运行后，铁路部门决定将列车运行速度再提高50km/h，则提速后列车跑完全程可省时（ ）
A．h B．h
C．h D．h
二．填空题（共5小题）
7．若使代数式有意义，则x的取值范围是 ．
8．已知=2，则= ．
9．若分式的值为0，则x的值为 ．
10．上等米每千克售价为x元，次等米每千克售价为y元，取上等米a千克和次等米b千克，混合后的大米每千克售价为 ．
11．我国是一个水资源贫乏的国家，每一个公民都应自觉养成节约用水的意识和习惯，为提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置．经测算，原来a天用水b吨，现在这些水可多用4天，现在每天比原来少用水 吨．
三．解答题（共4小题）
12．下列各式哪些是分式，哪些是整式？
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦2x+；⑧，⑨．
13．若无论x为何实数，分式总有意义，求m的取值范围．
14．给定下面一列分式：，…，（其中x≠0）
（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？
（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第2013个分式．
15．猜数字游戏中．小明写出如下一组式子：，﹣，，﹣，，…小红猜想出第六个数字是﹣，根据此规律．第n个式子是什么？（请直接写出答案）
参考答案
一．1．B 2．B 3．A 4．D 5．A 6．B
二．7． x≠﹣2 8．﹣1 9．﹣3 10． 元 11．
三．12．解：②；⑤；⑥；⑧，⑨的分母中含有字母，是分式．
①；③；④；⑦2x+的分母中不含有字母，是整式．
13．解：由题意，得x2﹣2x+m≠0，
若y=x2﹣2x+m，
则抛物线与x轴没有交点，△＜0，
4﹣4m＜0，
解得m＞1．
14．解：（1）第二个分式除以第一个分式得，第三个分式除以第二个分式得，
同理，第四个分式除以第三个分式也是，故规律是任意一个分式除以前面一个分式恒等于；
（2）由（1）可知该第2013个分式应该是．
15．解：由，﹣，，﹣，，…
可知第n个式子是：．
