3.3.2 多项式的乘法（知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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浙江版2019－2020学年度下学期七年级数学下册第3章整式的乘除
3.3 多项式的乘法(2)
【知识清单】
1．多项式相乘法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
2．会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算；掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算.
【经典例题】
例题1、已知三角形的一边长为4a+6，且这条边上的高为2a2+3a，则这个三角形的面积是( )
A．4a3+6a2+9a B．4a3+9a
C．4a3+12a2+9a D．4a3+6a2+13a
【考点】多项式乘多项式．?
【分析】根据题意，再利用多项式乘以多项式：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
【解答】(4a+6)(2a2+3a)= (2a+3)(2a2+3a)
=4a3+6a2+6a2+9a
=4a3+12a2+9a
故选C．
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是根据三角形的面积公式列出算式，再利用多项式乘以多项式的法则计算．
例题2、已知多项式A=2x2－5x+a，B=－x－2，P=2x3－x2－5x+6，且A·B+P的值与x的取值无关，求：
(1)字母a的值；
(2)A·B+P的值．
【考点】多项式乘多项式．
【分析】(1)将A，B，以及P代入A·B+P中计算得到结果，根据结果与x的取值无关，求出a的值即可；(2)将a的值代入计算即可求出值．
【解答】
(1)∵A=2x2－5x+a，B=－x－2，P=2x3－x2－5x+6，
∴A·B+P=(2x2－5x+a)(－x－2)+2x3－x2－5x+6
=－2x3+5x2－a x－4x2+10x－2a+2x3－x2－5x+6
=(－a+5)x+6－2a，
因为结果与x的取值无关，得到－a+5=0，即a=5；
(2)将a=5代入得：A·B+P=－4．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【夯实基础】
1．有三个连续整数，中间的数为 n，则它们的积为( )
A．n3－1 B．n3－4n C．4n3－n D．n3－n
2．计算(3a－4b)(3a+4b)+(－4b)2的结果是(　　)
A．9a2－24ab B．9a2 +24ab C．9a2 D．9a2－24ab+32b2
3．关于计算(a－b)(a2+b)－a(a2－ab+b)的结果，下列说法正确的是(　　)
A．负数 B．非负数 C．非正数 D．0
4．要在一幅长是a厘米、宽是b厘米的风景画四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，若金色纸边的宽度是x厘米，镶嵌金色纸边的面积为( )
A．2(a+b)x+4x2
B．4abx+4x2
C．2(a+b)x+4x
D．ab+2(a+b)x+4x2
5．计算：(m－1)(1－m2)－m(m+1)= ；(3x+y)(x－2y)= ．
6．方程(x－3)(2x－1)= 2( x－1)(x+2)的解为 . (y+3)(y+3)－(y+2)(y－2)=2y+1的解为 .
7．计算下列各式：
(1)(2x－3y)(y－4x)－(3x－2y)(2x+y)；
(2)(a－b)(a2+ab+b2)+(a+b)(a2－ab+b2)；
(3)(－2x2+2x+3)(x2－x－2)．


8．(1)已知x2－3x=4求(x－1)(3x+1)－(x+1)( x+3)的值；
(2)已知x(x－9)－5=0，求(x－3)(x－4)(x－5)(x－6)的值.


9．在长方形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片如图1，按图2，图3两种方式放置(图2，图3中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的面积为S1，图3中阴影部分的面积为S2.当AD－AB=m时，求S2－S1的值.





【提优特训】
10．若(3x－4)(2x－3)=ax2+bx+c，则a－2b－3c等于(　　)
A．－64 B．70 C．8 D．4
11．设A=(x－5)(x－7)，B =(x－4)(x－8)，则A、B的大小关系为( )
A．A=B B．AB D．无法确定
12．如图，如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为a米，则绿化的面积为( )m2．
A．mn－am－an+a2
B．mn－am－an－a2
C．mn－am－an－2a2
D．mn+am+an－a2
13．已知A是关于x的五次多项式，B是关于x的七次多项式，则下列结论正确的是( )
①A+B是十二次式； ②A·B是十二次式；③A－B是二次式；④(A－B)·B是十四次式；
⑤(A+B)·A是十二次式.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
14．已知m+n=2mn，则(2m－1)(2n－1)= ．若(ax－11y)(x+y)的展开式不含xy项，则a的
值为 ．
15．一个长方形的长是3x cm，宽比长少5 cm，若将长方形的长和宽都增加4 cm，则面积增
大了 cm2；若x=3，则增大的面积为 cm 2.
16．当x=时，代数式(3x－5)(4x+2)－3(2x+1)( 2x－3)的值为 .
17．一个长方体的长是(3a+2b)，宽是(3a－2b)，高是(2a+b).
(1)试用含a，b的代数式表示该长方体的体积.
(2)当a=3，b=2时，求长方体的体积.





18．解方程组





19．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如由图①可以得到(2a+3b)(a+b)=2a2+5ab+3b2．请解答下列问题：
(1)写出图②中所表示的数学等式 ；
(2)利用图①中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=13，a2+b2+c2=65，
求ab+bc+ac的值；






20．通过计算寻找规律：
(1)计算：(x+1)(x－1)= ； (x+2) (x－2)= ；
(x+3) (x－3)= ； (x+4) (x－4)= ；
(2)猜想：(ax+b) (ax－b)= ； (－x+2y)(－x－2y) = ．
(3)化简(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)．

【中考链接】
21．(2019?南安市一模)已知(2x－3)7=a0x7+a1x6+a2x5+…+a6x+a7，则a0+a1+a2+…+a7
=(? ?)
A．1? B．－1 ?C．2? D．0?
22．(2019年?广西柳州) 先阅读后作答：
我们已经知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等
式， 例如：(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2，就可以用图1的面积关系来说明.
①根据图2写出一个等式 ；
②已知等式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq，
请你画出一个相应的几何图形加以说明.








参考答案
1、D 2、C 3、C 4、A 5、－x3－1 ，3x2－6xy－2y2 6、，y =－3
10、D 11、C 12、A 13、B 14、1，11 15、24x－4，68 16、2 21、B
7．计算下列各式：
(1)(2x－3y)(y－4x)－(3x－2y)(2x+y)；
(2)(a－b)(a2+ab+b2)+(a+b)(a2－ab+b2)；
(3)(－2x2+2x+3)(x2－x－2)．
解：(1)原式=2xy－8x2－3y2+12xy－(6x2+3xy－4xy－2y2)
=14xy－8x2－3y2－6x2－3xy+4xy+2y2
=－14x2+15xy－y2；
(2)原式=a3+a2b+ab2－a2b－ab2－b3+a3－a2b+ab2+a2b－ab2+b3
=2a3；
(3)原式=－2x4+2x3+4x2+2x3－2x2－4x+3x2－3x－6
=－2x4+4x3+5x2－7x－6.
8．(1)已知x2－3x=4求(x－1)(3x+1)－(x+1)( x+3)的值；
(2)已知x(x－9)－5=0，求(x－3)(x－4)(x－5)(x－6)的值.
(1)解：(x－1)(3x+1)－(x+1)( x+3)
=3x?－3x+x－1－(x?+4x+3)
=2x?－6x－4
=2(x?－3x)－4
=8－4=4.
(2) ∵x(x－9)－5=0，
∴x2－9x=5.
∴(x－3)(x－4)(x－5)(x－6)
= [(x－3)(x－6)] [(x－4)(x－5)]
=(x2－6x－3x+18)(x2－4x－5x+20)
=(x2－9x+18)(x2－9x+20)
=(5+18)(5+20)=575.
9．在长方形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片如图1，按图2，图3两种方式放置(图2，图3中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的面积为S1，图3中阴影部分的面积为S2.当AD－AB=m时，求S2－S1的值.
解：S1=(AB－a)·a+(AD－a)(AB－b)
????????? S2=AB(AD－a)+( a－b)(AB－a)
S2－S1
= AB·AD－aAB+ aAB－a2－bAB+ab－(aAB－a2+AB·AD－bAD－aAB+ab)
= AB·AD－aAB+ aAB－a2－bAB+ab－aAB+a2－AB·AD+bAD+aAB－ab
= bAD－bAB
=b(AD－AB)，
当AD－AB=m时，
原式==b(AD－AB)=mb.

17．一个长方体的长是(3a+2b)，宽是(3a－2b)，高是(2a+b).
(1)试用含a，b的代数式表示该长方体的体积.
(2)当a=3，b=2时，求长方体的体积.
解： (1)V=长×宽×高=(3a+2b)×(3a－2b)×(2a+b)
=(9a2－6ab+6ab－4b2) ×(2a+b)
=(9a2－4b2) ×(3a+b)
=27a3+9a2b－12ab2－4b3；
(2)当a=3，b=2时.
V=27a3+9a2b－12ab2－4b3=27×33+9×32×2－12×3×22－4×23=300－81－12=715.
18．解方程组
解：由①得，x2－x－2+x2－x－12=2x2+2y，
2x+2y=－14，即x+y=－7，③
由②得y2－2y－24=y2－3x
即3x－2y=24，④
由③×2+④得，5x=10，
解得x=2，
把x=2代入③得，y=－9.
所以原方程组的解为.
19．解：(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
故答案为：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
(2) 2ab+2bc+2ac =(a+b+c)2－(a2+b2+c2)，
??????????? =132－2×65=104,
ab+bc+ac=×104=52.


20．通过计算寻找规律：
(1)计算：(x+1)(x－1)= x2－1 ； (x+2) (x－2)= x2－4 ；
(x+3) (x－3)= x2－9 ； (x+4) (x－4)= x2－16 ；
(2)猜想：(ax+b) (ax－b)= a2x2－b2 ；(－x+2y)(－x－2y) = x2－4y2 ．
(3)化简(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)．
解：原式=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
=(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
=(24－1)(24+1)(28+1)(216+1)
=(28－1)(28+1)(216+1)
=(216－1)(216+1)=232-1.
22．(2019年?广西柳州) 先阅读后作答：
我们已经知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等
式， 例如：(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2，就可以用图1的面积关系来说明.
①根据图2写出一个等式 ；
②已知等式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq，
请你画出一个相应的几何图形加以说明.
解：①(a+2b)(2a+b)=2a2+5ab+2b2；
②画出的图形如下：(答案不唯一)












第19题图① 第19题图②



第22题答图

第22题图1 第22题图2







第19题图① 第19题图②





第9题图2 第9题图3

第22题图1 第22题图2

第4题图

第9题图1

第9题图2 第9题图3

第9题图1

第12题图



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