3.4.1 乘法公式 平方差公式（知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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浙江版2019－2020学年度下学期七年级数学下册第3章整式的乘除
3.4 乘法公式(1)---平方差公式
【知识清单】
1．平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差
2．字母表示(a+b)(a－b)=a2－b2
3．平方差公式的结构特征及运用：
公式左边是两个二项式的乘积，并且这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数.例如：(2x+3)(2x－3)，(－4a+3b)(－4a－3b)等可利用平方差公式，而像(x+y)(－x－y)，(x2+y)(x－y)等就不能利用平方差公式.
4．平方差公式的变式：
(1)位置变化：如(a+b)(－b+a)利用加法交换律可以转化为公式的标准型；
(2)符号变化：如(－a－b)(a－b)；
(3)系数变化：如(3a+5b)(3a－5b)；
(4)指数变化：如(a3+b2)(a3－b2)；
(5)增项变化：如(a+b+c)( a－b+c)；
(6)增因式变化：如(a+b)( a－b) (a2+b2) (a4+b4).
【经典例题】
例题1、下列算式能用平方差公式计算的是 (　　)
A．(3a+b)(3b－a) B．(x+1)(－x－1) C．(3x－y)(－3x+y) D．(－x－y)(－x+y)
【考点】平方差公式．?
【分析】根据两数之和与两数之差的乘积等于两数的平方差判断即可．
【解答】A、B、C都不具备平方差公式的特征，因此A、B、C选项均为错误；
D、具备平方差公式的特征，此选项正确. 故选D．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
例题2、利用平方差公式计算：
(1)(4x－3)(4x+3)； (2)(－5a－3b)(3b－5a)；
(3)(－6m+11n)(－11n－6m)； (4)(x2－3)(x2+3)(x4+9)．
【考点】平方差公式．
【分析】利用平方差公式从左到右依次计算即可．
【解答】 (1)(4x－3)(4x+3)=(4x)2－32=16x2－9；
(2)(－5a－3b)(3b－5a)=(－5a－3b)(－5a+3b)=(－5a)2－(3b)2=25a2－9b2；
(3)(－6m+11n)(－11n－6m)=(－6m+11n)(－6m－11n)=(－6m)2－(11n)2=36m2－121n2；
(4)(x2－3)(x2+3)(x4+9)=(x4－9)(x4+9)=x8－81．
【点评】本题主要考查的是平方差公式的应用，熟记平方差公式是解题的关键．
【夯实基础】
1．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是( ??)?
A．(2x+3)(3+2x)? B．(3a+b)(b－3a)
C．(－4x+5y)(4x－5y)? D．(m2－n)(m+n2)?
2．下列运用平方差公式计算，正确的是(? ?)
A．(a+3b)(a－3b)=a2+(－3b)2=a2+9b2?? B．(－2x+1)(－2x－1)=－4x2－1?
C．(3x+1)(3x－1)=3x2－1? ? ?D．(－5m+n)(－5m－n)=25m2－n2?
3．若a+b=－5，a2－b2=15，则a－b的值为( ??)?
A． 3?? B．－3? ?C．－10? ?D．10
4．计算a2(a+b)(a－b)+2a2b2的结果是(? ?)?
A．a4?? ?B．a4－a2b2?? ?C．a4+a2b2?? ?D．a4－2a2b2
5．计算：(3m+5n)( ) =9m2－25n2；(－7x+ky)(7x－3y)= 9y2－49x2，则k= ．
6．图由100个边长分别为100，99，98，…，2，1的正方形重叠而成，那么，按这种方式重叠
而成的阴影部分1002－992+982－972+962－952+…+42－32+22－1的面积是 ．
7．运用平方差公式计算：
(1)92×108； (2)17×18.


8．计算：
(1)(2a－3b)(－3b－2a)－(4a－5b)(－4a+5b)；
(2) (x－)(x2+) (x+).



9．先化简，再求值：
(1) (2x－3)(2x+3)+(－x)2(x－4)，其中x=－3；
(2) (5－3m) (5+3m)+m(9m－4)－17，其中m=.


【提优特训】
10．下列各式中，不能用平方差公式计算的是(? ?)?
A．(a4+1)(－a4+1)? ?B.?(4a－3b)(－4a－3b)
? C．(－a+2b)(a+2b)? ? D．(3a－b)(3a－b)
?11．解方程x(2x+3)+(4x+3)(4x－3)=3(6x2+7)的解为( )
? A．－10 ? ?B．10 ?C．－4 ? ?D．4
12．已知a－b=3，则a2－b2－6的值为( )
A．6 ? ?B．9 ?C．12 ? ?D．18 ?
13.计算=( )
A． ? ?B． ?C． ? ?D． ?
14．(a－b+c+d)(a+b+c－d)=(A+B)(A－B)，则A= ，B= .
15．计算：12－22+32－42+52－62+…－1002+1012= ．
16．某社区原来有一块长方形健身场地，村民建议将其改成正方形的利用空间更大，经规划后，南北缩短15米，东西加长15米，就可实现村民的愿望.改造后的健身场地 (增加或减少)了 平方米.
17．将下列各式变成平方差公式的形式(不要计算出结果)：
(1)(a+b+c)(a－b－c)；
(2) (－a－b+c)(－a－b－c)；
(3) (a+b－c)(a－b+c) ；
(4) (a+b－c)(a－b－c).


18．(1)如图1，可以求出阴影部分的面积是______(写成两数平方差的形式)；
(2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是______，长是______，
面积是______(写成多项式乘法的形式)；
(3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式_____________(用式子表达)．






19．已知a+b=14，b+c=4，c+a=20，求a2－c2的值．



20．观察下列各式：3×5=42－1，5×7=62－1，7×9=82－1，9×11=102－1，…，
(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式；
(2)把你发现的规律用含有字母n(n为正整数)的式子表示出来．

【中考链接】
21．(2019?宁德)(a+2)(a－2)－a(a+1)


22．(2019浙江宁波，)先化简，再求值:(x－2)(x+2)－x(x－1)，其中，x=3.


23.(2019·自贡)阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：
设S=1+2+22+…+22017+22018①
则2S=2+22+…+22018+22019②
②－①得，2S－S=S=22019－1
请仿照小明的方法解决以下问题：




参考答案
1、B 2、D 3、D 4、C 5、3m－5n ，k=－3 6、5050 10、D 11、B 12、B
13、C 14、a+b、b－d 15、5151 16、增加 、225
7．运用平方差公式计算：
(1)92×108； (2)17×18.
解：(1)原式=(100－8)×(100+8)
=1002－82=9936；
(2)原式=(18－)×(18+)
=182－()2
=324－=323.
8．计算：
(1)(2a－3b)(－3b－2a)－(4a－5b)(－4a+5b)；
(2) (x－)(x2+) (x+).
解：(1)原式=(－3b)2－(2a)2－[－(4a)2+20ab+20ab－(5b)2]
=9b2－4a2+16a2－40ab+25b2
=12a2－40ab+21b2；
(2)原式= (x－)(x+)(x2+)
=(x2－)(x2+)
= x4－.
9．先化简，再求值：
(1) (2x－3)(2x+3)+(－x)2(x－4)，其中x=－3；
(2) (5－3m) (5+3m)+m(9m－4)－17，其中m=.
解：(1)原式=4x2－9+x3－4x2
=－9+x3；
当x=－3，原式=(－3)3－9=－36.
(2)原式=25－9m2+9m2－4m－17
=－4m+8；
当m=，原式=－4×()+8=9.
17．将下列各式变成平方差公式的形式(不要计算出结果)：
(1)(a+b+c)(a－b－c)；
(2) (－a－b+c)(－a－b－c)；
(3) (a+b－c)(a－b+c) ；
(4) (a+b－c)(a－b－c).
解：(1)原式=[a+(b+c)] [a－(b+c)]=a2－( b+c)2；
(2)原式=[－(a+b)+c] [－(a+b)－c]= [－(a+b)]2－c2；
(3)原式=[a+(b－c)] [a－(b－c)]=a2－(b－c)2；
(3)原式=[(a－c) +b] [(a－c)－b] =(a－c )2－b2.
18．(1)如图1，可以求出阴影部分的面积是______(写成两数平方差的形式)；
(2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是______，长是______，
面积是______(写成多项式乘法的形式)；
(3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式_____________(用式子表达)．
(1)阴影部分的面积=
大正方形的面积－小正方形的面积
=a2?－b2?；
(2)长方形的宽为(a－b)，长为(a+b)，
面积=长×宽=(a+b)(a－b)；
(3)由(1)、(2)得到，
(a+b)(a－b)=a2?－b2?.
19．已知a+b=14，b+c=4，c+a=20，求a2－c2的值．
解：a+b=14，b+c=4，c+a=20，
a+b－b－c=14－4=10，
a－c=10，
a2－c2= (c+a)( a－c)=20×10=200.
20．解：(1)11×13=122－1，15×17=162－1，
(2)(2n－1)(2n+1)=4n2－1.
21．(2019?宁德)(a+2)(a－2)－a(a+1)
解：原式=a2－4－a2－a=－a－4
22．(2019浙江宁波，)先化简，再求值:(x－2)(x+2)－x(x－1)，其中，x=3.
解：原式=x2－4－x2+x=x－4，当x=3时，原式=x－4=3－4=－1.
23．请仿照小明的方法解决以下问题：
(1)1+2+22+…+29=；
(2)3+32+…+310=；
(3)求1+a+a2+…+an的和(a＞0，n是正整数，请写出计算过程).
解：(1)答案：210－1.
令S=1+2+22+…+29①，
则2S=2+22+…+210②
②－①得，
2S－S=S=210－1，
即S=210－1.
(2)答案：.
令S=3+32+…+310①，
则3S=32+33+…+311②，
②－①得，3S－S=2S=311－3，
∴S=.
(3)令S=1+a+a2+…+an，①
则aS= a+a2+…+an+1，②
②－①得，aS－S=(a－1)S=an+1－1，
∴S=.
即1+a+a2+…+an=.














第18题图1??????????? ????第18题图2








第6题图


第18题图1??????????? ????第18题图2




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