3.4.2 乘法公式 完全平方公式（知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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浙江版2019－2020学年度下学期七年级数学下册第3章整式的乘除
3.4 乘法公式(2)－－－完全平方公式
【知识清单】
1．完全平方公式：
两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍.
两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍.
2．字母表示：
(1)(a+b)2=a2 +2ab+b2；(2)(a－b)2=a2－2ab+b2；(3)两个公式也可以写成(a ± b)2 = a2 ± 2ab+b2.
3．乘法公式：
平方差公式和完全平方公式也称乘法公式.
4．公式拓展：
拓展一：a2+b2=(a+b)2－2ab a2+b2=(a－b)2+2ab

拓展二：(a+b)2－(a－b)2=4ab (a+b)2+(a－b)2=2a2+2b2
(a+b)2=(a－b)2+4ab (a－b)2=(a+b)2－4ab
拓展三：a2+b2+c2= (a+b+c)2－2ab－2ac－2bc.
【经典例题】
例题1、下列各式中，是完全平方式的是(　　)
A．x2－4x－4 B．x2－4x+16 C．4x2+2x+1 D．9x2－6x+1
【考点】完全平方公式．?
【分析】根据完全平方公式，两个数的平方和加上或减去这两个数的乘积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】A、x2－4x+4是完全平方式，而x2－4x－4不是，故本选项错误；
B、x2－4x+4是完全平方式，而x2－4x+16不是，故本选项错误；
C、4x2+4x+1是完全平方式，而4x2+2x+1不是，故本选项错误；
D、9x2－6x+1=(3x－1)2，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题主要考查了完全平方式的结构，熟记公式结构是解题的关键．
例题2、利用完全平方公式计算：
(1)(3x+4y)2； ?(2)(－3a+2b)2；? (3)(－4x2－5y3)2； (4)(x－2y+3z)2.
【考点】完全平方公式．
【分析】(1)小题是两数和的平方，应选用“和”的完全平方公式；(2)小题(－3a+2b)2=(2b －3a)2，所以应选用“差”的完全平方公式；(3)小题(－4x2－5y3)2=[－(4x2+5y3)] 2=(4x2+5y3)2， 应选用“和”的完全平方公式，本题还可以看作是－4x2与5y3的差的平方，把－4x2、5y3分别看成公式中的a，b，利用“差”的完全平方公式计算；(4)小题(x－2y+3x)2=[(x－2y)+3z]2本题可以看作是(x－2y)与3z的“和”的平方，把(x－2y)、3z 分别看成公式中的a，b.此题还可以如下的变形[x－(2y－3z)] 2、
[(x+3z) －2y]2等，然后再利用相应完全平方公式即可.
【解答】(1)原式=(3x)2+2×3x4y+(4y)2=9x2+24xy+16y2；
(2)原式=(2b －3a)2=4b2－12ab+9a2；
(3)原式=[－(4x2+5y3)] 2=(4x2+5y3)2=16x4+40x2y3+25y6；
(4)原式=[(x－2y)+3z] 2=(x－2y)2+2(x－2y)3z+9z2
=x2－4xy+4y2+6xz－12yz+9z2= x2+4y2+9z2－4xy +6xz－12yz.
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形应用是解本题的关键．
【夯实基础】
1．下列运算中，错误的运算有( )
①(3x－2y)2=9x2－4y2；②(4a+3b)2=16a2+24ab+9b2 ；③(－m－n)2=m2－2mn+n2；
④2=x2－5x+；⑤(－m+n)2=m2－2mn+n2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
? 2． 下列式子中，是完全平方式的是( )
? A．a2+ab+b2 B．a2+2ab+2b2 C．a2+4a+4b2 D． a2－ab+b2
3．若a－b=－5，则a2－2ab+b2的值为( ??)?
A．－25?? B．25? ?C．5? ?D．－5
4．边长为m的正方形边长增加n以后，所得较大正方形的面积比原正方形面积增加了( )
A．n2 B．2mn C．2mn－n2 D．2mn+n2
5．已知x2－10x+k2是完全平方式，则k= ．
6．设(4a+3b)2=(4a－3b)2+A，则A= ；如果(3x－5y)2=(3x+5y)2+B，那么B等于= .
7．运用完全平方公式计算：
(1) ； (2) (－6x+5)2； (3) (－2a－3b)2；
(4)(2a－b+c)(2a+b－c)； (5)982； (6)972－95×105.



8．先化简，再求值：
(1)求(2a－3b)2－(2a－b)(2a+3b)的值，其中a=2， b=；
(2)求(x－y)(x2－y2) (x+y)的值，其中x=2，y=－4.

9．若x+y=5，且(x+3)(y+3)=55．
(1)求xy的值；
(2)求x2+3xy+y2的值．
　




【提优特训】
10．已知x2－2(k+3)x+16是完全平方式，则常数k=( )
A． 1 ? ?B．－7 ?C．±4 ? ?D．1或－7 ?
?11．如果，则x、y的值分别为( )
A. ，或， B. ， C. ， D. ，
12．已知a+b=－5， ab=6，则a2+b2的值为( )
A．37 ? ?B．25 ?C．19 ? ?D．13?
13．若a=4，则a2+=( )
A．18? ?B． 16 ?C．12 ? ?D．10 ?
14．已知(a+b)2=m，(ab)2=n，则ab等于 .
15．解方程：(y28)(－y2+8)=(4y－y2)(4y+y2)－16y，y= ．
16．一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加12cm2，这个正方形的边长是?______.
17．?解关于x的方程：(x+)2－(x－)(x+)＝



18．阅读理解，并解决问题：
如图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
(1)求图(2)中的阴影部分的正方形边长？
(2)请用两种不同的方法求图2阴影部分的面积；
(3)观察图2，你能写出(m+n)2，(m－n)2，mn三个代数式之间的等量关系吗？
(4)根据(3)题中的等量关系，解决下列问题：若a+b=7，ab=5，求(a﹣b)2的值．






19．请看杨辉三角(1)，并观察下列等式(2)：






根据前面各式的规律，则(a+b)7= ．

【中考链接】
20．(2019?山西)下列运算正确的是( )
A．2a+3a＝5a2 B．(a+2b)2＝a2+4b2 C．a2·a3＝a6 D．(－ab2)3＝－a3b6
21．(2019?眉山)下列运算正确的是( )
A．2x2y+3xy=5x3y2 B．(－2ab2)3=－6a3b6
C．(3a+b)2=9a2+b2 D．(3a+b)(3a－b)=9a2－b2
22．(2019?攀枝花)下列运算正确的是()
A．3a2－2a2＝a2 B．－(2a)2＝－2a2
C．(a－b)2＝a2－b2 D．－2(a－1)＝－2a+1
23．(2019?枣庄)若m－＝3，则m2+＝________.
24．(2019?岳阳)已知x－3=2，则代数式(x－3)2－2(x－3)+1的值为 ．




参考答案
1、C 2、D 3、B 4、D 5、±5 6、48ab ，－60xy 10、D 11、A 12、D
13、A 14、 15、4 16、2cm 20、D 21、D 22、A 23、11 24、1
7．运用完全平方公式计算：
(1) ； (2) (－6x+5)2； (3) (－2a－3b)2；
(4)(2a－b+c)(2a+b－c)； (5)982； (6)972－95×105.
解：(1)原式==；
(2)原式=(5－6x)2=25－60x+36x2；
(3)原式=[－(2a+3b)] 2=(2a+3b)2=4a2+12ab+9b2；
(4)原式=[2a－(b－c) ] [2a+(b－c)]=4a2－(b－c) 2=4a2－b2+2bc－c2；
(5)原式=1982=(200－2)2=40000－800+4=39204；
(6)原式=(100－3)2－(100－5)( 100+5)=10000－600+9－10000+25=566.
8．先化简，再求值：
(1)求(2a－3b)2－(2a－b)(2a+3b)的值，其中a=2， b=；
(2)求(x－y)(x2－y2) (x+y)的值，其中x=2，y=－4.
(1)原式=4a2－12ab+9b2－(4a2+6ab－2ab－3b2)
=4a2－12ab+9b2－4a2－6ab+2ab+3b2
=－16ab+12b2；
当a=2， b=时，
原式=－16ab+12b2=－16×2×()+12×()2
=16+3=19；
(2)原式=(x－y) (x+y) (x2－y2)
=(x2－y2) (x2－y2)
=(x2－y2) 2=x4－x2y2+y4
当x=2，y=－4时，
原式=24－×22×(－4)2+×(－4)4
=16－32+16=0
9．若x+y=5，且(x+3)(y+3)=55．
(1)求xy的值；
(2)求x2+3xy+y2的值．
　 解：(1)∵(x+3)(y+3)=55，x+y=5，
∴xy+3x+3y+25=55
∴xy=46－25－3(x+y)=6；
∵x+y=5，
∴(x+y)2=52，
∴x2+2xy+y2=25，
∴x2+2xy+y2+xy=25+6，
∴x2+3xy+y2=31.
17．?解关于x的方程：(x+)2－(x－)(x+)＝
解：x2+x+－x2+=，
x++=，
x=－－=，
x=.
18．阅读理解，并解决问题：
如图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
(1)求图(2)中的阴影部分的正方形边长？
(2)请用两种不同的方法求图2阴影部分的面积；
(3)观察图2，你能写出(m+n)2，(m－n)2，mn三个代数式之间的等量关系吗？
(4)根据(3)题中的等量关系，解决下列问题：若a+b=7，ab=5，求(a﹣b)2的值．
解：(1)图(2)中的阴影部分
的正方形边长为(m－n)；
(2)①(m+n)2－4mn；②(m－n)2；
(3)(m+n)2－4mn=(m－n)2；
(4)(a－b)2=(a+b)2－4ab=72－4×5=29.
19．请看杨辉三角(1)，并观察下列等式(2)：







根据前面各式的规律，则(a+b)7= a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7．















第18题图1 第18题图2





第19题图(1) 第19题图(2)




第19题图(1) 第19题图(2)



第18题图1 第18题图2




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