3.5 整式的化简(知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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浙江版2019－2020学年度下学期七年级数学下册第3章整式的乘除
3.5 整式的化简
【知识清单】
1．判断运算，决定顺序：
整式的化简应遵循先乘方、再乘除、最后算加减的顺序.能用乘法公式的则运用公式.
2．能运用乘法公式的则运用公式；不能运用乘法公式的遵循整式乘法法则.
3．化简后的结果要写成最简形式，能合并同类项的一定要合并同类项.
【经典例题】
例题1、化简：(3a－4b)2－(3a+5b)(3a－5b)+(a+3b)(2a－b)．
【考点】完全平方公式；平方差公式．?
【分析】原式第一、三项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】原式=9a2－24ab+16b2－9a2+25b2+2a2+5ab－3b2
=2a2－19ab+38b2．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
例题2、有两个圆 ，较大圆的半径为r(mm) ，较小圆的半径比r小5mm.求两圆的面积之差.当r=12mm时，面积之差是多少?当r=17mm时呢?
【考点】完全平方公式和平方差公式的应用．
【分析】利用圆的面积公式分别求出较大圆的面积和较小圆的面积，然后作差即可；进而再将
r =12mm，r =17mm代入求值即可．
【解答】∵较大圆的半径为r(mm) ，
∴小圆半径=r－5，
∴两圆的面积差=πr?－π(r－5)?
=π[r?－(r－5)?]
=π(r2－r2+10r－25))
=π(10r－25)mm?；
当r=12mm时，两圆的面积差=π(10×12－25)=95πmm?；
当r=17mm时，两圆的面积差=π(10×17－25)=145πmm?.
【点评】本题主要考查的是全平方公式和平方差公式的应用，熟记全平方公式和平方差公式是解题的关键．
【夯实基础】
1．9a2－(3a－7b)(3a+7b)的计算结果是( )
A．49b2 B．—49b2 C．18a2－49b2 D．18a2+49b2
2．(4m+5)(－4m－5)的计算结果是( )
A．16m2－25 B．－16m2+25 C．－16m2+40m－25 D．－16m2－40m－25
3．在下列各式中，运算结果为的是( )
A. B. C. D.
4．要使4a2+a为一个完全平方式，则需加上的常数是( )
A．1 B． C． D．
5．已知3x=4－y2时，求(－3x－y)(3x+y)+(－3x－y)(y－3x)的值 －8 ．
6．化简(3a－2b)2+(2a+3b)2+(2a+3b)(2a－3b) = 17a2+4b2 ．
7．化简：(1) (x+5)2－(4+x)(4－x)； (2) 4x(x2+x+3)+(－2x－5)(2x－5)－(－2x)2；
(3) (3x－4y)(3x+4y)－(3x+y)2.



8．化简：
(1)(a+b－c)2； (2)(a+b－c)(a－b－c).




9．先化简，再求值：
(1)(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)，其中a2+5a+1=0.
(2)已知x≠0且x－=3，求的值.



【提优特训】
10．化简(2a－b)2( 2a+b)2的结果为( )
A．16a2－b2 B．16a2－8ab+b2 C．16a4－8ab+b4 D．16a4+8ab+b4
11．若不论x为何值，(a－x)2=a2－x+x2恒成立，则常数a为( )
A．1 B．－1 C．－0.5 D．0.5
12．若，则=( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
13．已知m2n+3=0，(－2m2n+1)(－2m2n－1)+(2m2n+1)2=( )
A．10 ? ?B．－10 ?C．－4 ? ?D．4 ?
14．已知a2+2a－3=0，则(a－4)2－(2a+1)(2a－1)+2(a－3)的值为 .
15．一块手表原价a元，涨价x％，则现价为 元； 一件男士上衣原价为b元，连续两
次降价x％，则现价为 元.
16．如图，点M是AB的中点，点P在MB上，分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方
形PBEF.设AB=6a，MP=2b，正方形APCD与正方
形PBEF的面积之差为S.用a，b的代数式
表示S= .
17．将下列各式变成平方差公式的形式(不要计算出结果)：
例如：(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2就可以用图1或
图2的面积来表示．




(1)请写出图3图形的面积表示的代数恒等式是 ；
(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示(a+b)(2a+3b)=2a2+5ab+3b2．




18．已知a+b=8，ab=15，(1)求a、b两数差的平方；(2)求a、b两数的立方和．



19．证明：若c2=ab，则(a+b－c)(a+b+c) (a2+b2－c2)=a4+b4+c4.



20．阅读理解，并解决问题：
1×2×3×4+1=52=(12+3×1+1)2
2×3×4×5+1=112=(22+3×2+1)2
3×4×5×6+1=192=(32+3×3+1)2
4×5×6×7+1=292=(42+3×4+1)2
………
(1)根据你的观察、归纳、发现的规律，写出11×12×13×14+1的结果　 ；
(2)试猜想n(n+1)(n+2)(n+3)+1是哪一个数的平方，并予以证明．


【中考链接】
21．(2019?无锡)计算：(a+3)2= a 2+ 6a + 9 .


22．(2019?重庆A、B卷)计算：(1) (x+y)2-y(2x+y)；(2)(a+b)2+a(a－2b).



23．(2019?武汉)计算：(2x2)3－x2·x4


24．(2019?湖州)化简：(a＋b)2－b(2a＋b)．






参考答案
1、A 2、D 3、B 4、C 5、－8 6、17a2+4b2 10、 C 11、D 12、C
13、B 14、2 15、(1+x％)a ，(1－x％)2b 16、12ab
7．化简：(1) (x+5)2－(4+x)(4－x)； (2) 4x(x2+x+3)+(－2x－5)(2x－5)－(－2x)2；
(3) (3x－4y)(3x+4y)－(3x+y)2.
解：(1)原式=x2+10x+25－16+x2
=2x2+10x+9；
(2)原式=4x3+4x2+12x+25－4x2－4x3
=12x+25；
(3)原式=9x2－16y2－9x2－6xy-y2=－17y2－6xy.
8．化简：
(1)(a+b－c)2；(2)(a+b－c)(a－b－c)；
解：(1)原式=[(a+b)－c]2 =(a+b)2－2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2－2ac－2bc+c2
= a2+b2+c2+2ab－2ac－2bc；
(2)原式= [(a－c)+b] [(a－c)－b]
=(a－c)2－b2
=a2－2ac+c2－b2.
9．先化简，再求值：
(1)(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)，其中a2+5a+1=0.
(2)已知x≠0且x－=3，求的值.
解：(1)∵a2+5a+1=0，
∴a2+5a=－1，
∴原式=[(a+1) (a+4)] [(a+2)(a+3)]
=(a2+5a+4)(a2+5a+6)
=[(a2+5a)+4] [(a2+5a)+6]
=(a2+5a)2+10(a2+5a)+24
=(－1)2+10×(－1)+24
=15.
解：(2)∵x－=3，∴(x－)2=32，
∴x2－2+=9，∴ x2+=11，
∴(x2+)2=112，x4+2+=121，
∴x4+=119.
17．将下列各式变成平方差公式的形式(不要计算出结果)：
例如：(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2就可以用图1或
图2的面积来表示．




(1)请写出图3图形的面积表示的代数恒等式是：(2a+3b)(a+2b)=2a2+7ab+3b2
(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示(a+b)(2a+3b)=2a2+5ab+3b2．
解：答题如图(1)、图(2)，答案不唯一.
　


18．已知a+b=8，ab=15，(1)求a、b两数差的平方；(2)求a、b两数的立方和．
解：∵a+b=8，ab=15，
∴(a+b)2=82，
∴a2+2ab+b2=64，
∴a2+b2=64－2ab=64－2×15=34.
∴(a－b)2=a2－2ab+b2=34－30=4.
∵ a2+b2=34.
∴(a2+b2)(a+b)=34×8，
∴a3+a2b+ab2+b3=272
∴a3+b3=272－(aab+abb)
=272－(15a+15b)
=272－15×8
=152.
19．证明：若c2=ab，则(a+b－c)(a+b+c) (a2+b2－c2)=a4+b4+c4.
左边=[(a+b)2－c2](a2+b2－c2)
=[a2+2ab+b2－c2] (a2+b2－c2)
=(a2+2c2+b2－c2) (a2+b2－c2)
=(a2+b2+c2) (a2+b2－c2)
=[(a2+b2)+c2] [(a2+b2)－c2]
=(a2+b2)2－c4
=a4+b4+2a2b2－c4
=a4+b4+2c4－c4
=a4+b4+c4；
右边= a4+b4+c4；
∴左边=右边.
20．阅读理解，并解决问题：
1×2×3×4+1=52=(12+3×1+1)2
2×3×4×5+1=112=(22+3×2+1)2
3×4×5×6+1=192=(32+3×3+1)2
4×5×6×7+1=292=(42+3×4+1)2
………
(1)根据你的观察、归纳、发现的规律，写出11×12×13×14+1的结果　24025 ；
(2)试猜想n(n+1)(n+2)(n+3)+1是哪一个数的平方，并予以证明．
解：n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
= n(n+3)(n+1)(n+2)+1
=(n2+3n)(n2+3n+2)+1
=(n2+3n) 2+2(n2+3n)+1
=(n2+3n+1)2.
21.(2019?无锡)计算：(a+3)2= a 2+ 6a + 9 .
解：原式＝a2＋2ab＋b2－2ab－b2＝a2．
22.(2019?重庆A、B卷)计算：(1) (x+y)2-y(2x+y)；(2)(a+b)2+a(a－2b).
解：(1)原式＝x2＋2xy＋y2－2xy－y2＝x2；
(2)原式＝a2＋2ab＋b2－a2＋2ab＝4ab+b2．
23.(2019?武汉)计算：(2x2)3－x2·x4
原式＝8x6－x6=7x6；
24.(2019?湖州)化简：(a＋b)2－b(2a＋b)．
解：原式＝a2＋2ab＋b2－2ab－b2＝a2．








第17题答图（1） 第17题答图（2）












第16题图



第17题图1 第17题图2 第17题图3




第17题图1 第17题图2 第17题图3






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