第七讲 整式的除法
思维导图
重难点分析
重点分析：
1.单项式除以单项式是整式除法的基础，熟练掌握其运算法则是关键.
2.同底数幂的除法要注意除式的底数不能为零，法则中的底数可以是一个数也可以是一个代数式.
3.零指数和负整数指数幂中的底数均不能为零.
4.对含有负整数指数幂的运算，可以根据定义将幂转化为正整数指数幂，也可以直接根据幂的运算法则进行运算.
5.除法是乘法的逆运算，多项式除以单项式可以转化为多个单项式除以单项式.
6.部分多项式除以多项式的运算，可以根据乘除互逆关系进行计算.
难点分析：
1.整式的除法只研究整除的情况，因此在除式中出现的字母，被除式中都出现，且指数不小于除式中同一字母的指数.
2.幂的除法运算、零指数幂、负整数指数幂要特别注意底数不为零，这里涉及字母取值范围的确定问题.
3.有了零指数和负整数指数幂，幂的运算法则可以推广到整数范围.
4.整式的混合运算关键是要注意运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号.
例题精析
例1、计算：
（1）a5÷a3·(-a)；
（2）(-x)9÷(x3·x4)；
（3）(-a-b)5÷(a+b)3；
（4）(-)×(-)2-(-)-1+()0；
（5）(-m)2n+2÷(-m)n÷(-m)n-1.
思路点拨：根据幂的运算法则运算，注意两点：（1）乘除混合运算，注意运算顺序；（2）底数符号不同，先确定符号，将算式转化成同底数幂的运算.
解题过程：（1）原式=-a5-3+1=-a3.
（2）原式=-x9÷x7=-x2.
（3）原式=-a+b5÷a+b3=-a+b2.
（4）原式=(-)3-（-3）+1=-+4=3.
（5）原式=(-m)2n+2-n-（n-1）=-m3=-m3.
方法归纳：（1）同底数幂的乘除要先分清底数是否相同，若不同，则要先化为同底数幂的运算再用法则；（2）法则中“底数”可以是数、字母或代数式，关键是要相同；（3）同底数幂的乘法和除法是同级运算，按从左到右的顺序计算.
易错误区：本题中底数的符号是易错点.特别注意，对于负整数指数幂，指数的符号与底数的符号不要混淆.
例2、计算：
（1）-8a2bx2÷6a；
（2）（-3a2）3（-2ab3）2÷［36（-a2b2）3］；
（3）（25x2+15x3y-20x4）÷（-5x2）；
（4）［（x+y）2-y（2x+y）-8x］÷2x.
思路点拨：对于（2）注意运算顺序；多项式除以单项式实质是把它转化成多个单项式除以单项式，注意计算时多项式的各项要包括它前面的符号.
解题过程：（1）原式=-abx2.
（2）原式=（-27a6）·4a2b6÷（-36a6b6）=3a2.
（3）原式=25x2÷（-5x2）+15x3y÷（-5x2）-20x4÷（-5x2）=-5-3xy+4x2.
（4）原式=［x2+2xy+y2-2xy-y2-8x］÷2x=（x2-8x）÷2x=x-4.
方法归纳：进行整式除法运算时，要注意运算顺序；若多项式便于化简，则应先化简多项式.
易错误区：多项式除以单项式，结果的项数与被除式的项数相同，不要漏项.
例3、已知（a-3）a=1，求整数a的值.
思路点拨：分三种情况讨论：①底数不为零，指数为零时；②底数为1时；③底数为-1，指数为偶数时.
解题过程：①当a=0时，a-3=-3≠0，故a=0成立.
②当a-3=1时，即a=4，（a-3）a=14=1，故a=4成立.
③当a-3=-1时，即a=2，（a-3）a=（-1）2=1，故a=2成立.
综上所述，整数a的值可以为0，4，2.
方法归纳：对于幂为1的情况有以上三种，要注意的是任何不为零的数的零次幂为1，注意底数不为零的限制.对于-1的偶数次幂为1这一点比较容易遗漏.
易错误区：本题主要应用分类讨论思想方法，分类要做到不重不漏.
例4、小明做一个多项式除以a的题目时，由于粗心，误以为乘以a，结果得到8a4b-4a3+2a2.你知道正确的结果是多少吗？
思路点拨：先根据除法与乘法的互逆关系得到原多项式，然后列出算式求出正确结果.
解题过程：∵（8a4b-4a3+2a2）÷（a）=16a3b-8a2+4a，
∴原多项式为16a3b-8a2+4a.
正确的结果如下：
（16a3b-8a2+4a）÷（a）=32a2b-16a+8.
方法归纳：乘除的互逆关系是解决本题的关键，解题时也可以直接列出算式（8a4b-4a3+2a2）÷（a）2求得结果.
易错误区：注意除法是乘法的逆运算，运算符号不要弄反.
例5、小明在计算机上设计了一个计算程序：x→平方→+x→÷x→-x→答案.
小军用几个数试了一试，列出如下表格：
（1）请将表格填写完整；
（2）试用一个算式表示这个程序；
（3）结合（1），（2）你发现了什么结论？
思路点拨：（1）利用计算程序代入数据计算即可求出结果；（2）利用（1）的结果即可找到算式；（3）可以发现结论：当x≠0时，（x2+x）÷x-x=x+1-x=1.
解题过程：（1）∵［（-1）2+（-1）］÷（-1）-（-1）=1，
［12+1］÷1-1=1，
[()2+]÷-=1，
（22+2）÷2-2=1，
（20172+2017）÷2017-2017=1，
∴填表如下：
（2）由题意知，计算过程可表示为（x2+x）÷x-x.
（3）可以发现结论：当x≠0时，（x2+x）÷x-x=1.
∴当x取不为零的任何一个值时，结果都是1.
方法归纳：本题考查了多项式除以单项式，找出规律是解题的关键.
易错误区：特别注意x不能取零这一前提条件，因为0不能作除数.
例6、阅读：已知（x+1）（2x-3）=2x2-x-3，那么多项式2x2-x-3除以x+1的商是2x-3.
解决问题：
（1）已知关于x的二次多项式除以x-5，商是2x+6，余式是2，求这个多项式；
（2）已知关于x的多项式3x2+mnx+n除以x+1的商是3x-5，余式是x，求m，n的值；
（3）已知关于x的三次多项式除以x2-1时，余式是2x-5；除以x2-4时，余式是-3x+4，求这个三次多项式.
思路点拨：（1）由除法的意义可知，这个多项式为被除式，由被除式=除式×商式+余式，然后根据多项式乘多项式的法则计算；（2）根据被除式=除式×商式+余式得出3x2+mnx+n=（x+1）（3x-5）+x，再将等式右边化简，然后根据多项式相等的条件即可求出m，n的值；（3）设所求三次多项式为ax3+bx2+cx+d（a≠0），则有ax3+bx2+cx+d=（x2-1）（ax+m）+2x-5①，ax3+bx2+cx+d=（x2-4）（ax+n）-3x+4②，根据系数关系列出方程组，从而确定a，b，c，d这4个系数.
解题过程：（1）由题意得（x-5）（2x+6）+2=2x2+6x-10x-30+2=2x2-4x-28.
（2）由题意得3x2+mnx+n=（x+1）（3x-5）+x，
∵（x+1）（3x-5）+x=3x2-5x+3x-5+x=3x2-x-5，
∴3x2+mnx+n=3x2-x-5.
∴mn=-1，n=-5.∴m=，n=-5.
（3）设所求三次多项式为ax3+bx2+cx+d（a≠0），
该多项式除以x2-1，x2-4时，商式分别为ax+m，ax+n，
则ax3+bx2+cx+d=（x2-1）（ax+m）+2x-5①，
ax3+bx2+cx+d=（x2-4）（ax+n）-3x+4②.
在①式中分别取x=1，-1时，得
a+b+c+d=-3③，-a+b-c+d=-7④，
在②式中分别取x=2，-2时，得
8a+4b+2c+d=-2⑤，-8a+4b-2c+d=10⑥，
联立③④⑤⑥，解得a=-，b=3，c=，d=-8.
故所求的三次多项式为-x3+3x2+x-8.
方法归纳：本题考查多项式的除法，弄清被除式、除式、商、余式四者之间的关系是解题的关键.其中第（3）题用特殊值法列方程组求解，难度较大.
易错误区：第（3）题中字母系数较多，注意区别字母系数与x，列方程主要是根据待定系数法，所以系数不搞错是关键.
探究提升
例、是否存在常数p，q使得x4+px2+q能被x2+2x+5整除？如果存在，求出p，q的值；如果不存在，请说明理由.
思路点拨：假设存在，则说明x4+px2+q能被x2+2x+5整除，可设另一个因式是x2+mx+n.于是有（x2+2x+5）（x2+mx+n）=x4+px2+q，可把等式的左边展开并合并同类项，利用等式的对应项相等可得关于m，n，p，q的方程组，解出方程组.若p，q都是常数，则说明存在，否则就是不存在.
解题过程：假设存在，则说明x4+px2+q能被x2+2x+5整除，可设另一个因式是x2+mx+n,则
（x2+2x+5）（x2+mx+n）=x4+px2+q.
∴x4+（m+2）x3+（n+2m+5）x2+（2n+5m）x+5n=x4+px2+q.
∴解得
∴存在常数p，q使得x4+px2+q能被x2+2x+5整除，此时p=6，q=25.
方法归纳：本题主要应用待定系数法，考查整式的除法，利用乘法是除法的逆运算计算.
易错误区：二次式与二次式的积是四次式，所以所设的商式是二次三项式，次数、项数都要准确.
走进重高
1.【东营】下列计算中，正确的是（ ）.
A.3a+4b=7ab B.（ab3）2=ab6 C.（a+2）2=a2+4 D.x12÷x6=x6
2.【漳州】一个长方形的面积为a2+2a，若它的长为a，则它的宽为 .
3.（1）已知am=2，an=3.①求am+n的值；②求a3m-2n的值；
（2）已知3×9m×27m=321，求（-m2）3÷（m3·m2）的值.
高分夺冠
1.将多项式［（17x2-3x+4）-（ax2+bx+c）］除以5x+6后得商式为2x+1，余式为0，则a-b-c的值为（ ）.
A.3 B.23 C.25 D.29
2.已知x3+kx2+3除以x+3，其余数比被x+1除所得的余数少2，求k的值.
3.已知a,b,c为实数，且多项式x3+ax2+bx+c能够被x2+3x-4整除.
（1）求4a+c的值；
（2）求2a-2b-c的值；
（3）若a,b,c为整数，且c≥a≥1，试确定a,b,c的值.
第六讲 乘法公式
思维导图
重难点分析
重点分析：
1.平方差公式是形如“（□+○）”和“（□-○）”的两个多项式相乘，即两个多项式一项相同，一项互为相反数，结果等于“□2-○2”（相同项的平方减去相反项的平方）.
2.完全平方公式表示一个二项式的平方，可根据“首平方、尾平方、积的两倍放中央”的口诀记忆，结果是三项式，首尾两项符号为正，中间项当首尾两项的底数同号时为正，异号时为负.
3.乘法公式在代数式的运算中能起到化繁为简的作用，在代数式恒等变形中扮演重要角色.代数式的有些性质通过乘法公式就能简洁地揭示出来.
难点分析：
1.平方差公式中的“两数和乘以两数差”，就是说括号中的两项是完全相同的，另两项互为相反数，与它们在多项式中的位置无关.三项及以上的多项式能否利用平方差公式计算主要判断它们的项是否符合部分符号相同，部分符号相反这一特征.
2.平方差与完全平方公式可以混合应用，混合应用时要注意认真观察算式的特征，不要混淆公式.
3.乘法公式可以逆向运用，也可以变式运用，特别注意完全平方公式将a+b，a-b，ab及a2+b2四个式子紧密联系，只要知道其中两个式子的值就可以求出另两个式子的值.
例题精析
例1、应用乘法公式计算：
（1）（a2-1）（a2+1）；
（2）（-x-y2）（y2-x）；
（3）(x-y)2；
（4）(a-b2)(b2-a).
思路点拨：第（1）、（2）题中相乘的两个多项式有一项相同，一项互为相反数，所以应用平方差公式计算；第（3）题应用完全平方公式计算；第（4）题的两项均互为相反数，改变其中一项的符号可以利用完全平方公式计算.
解题过程：（1）原式=（a2）2-12=a4-1.
（2）原式=（-x）2-（y2）2=x2-y4.
（3）原式=x2-xy+y2.
（4）原式=-（a-b2）2=-（a2-3ab2+b4）=-a2+3ab2-b4.
方法归纳：在运用乘法公式时要正确理解公式中每一项的含义，公式中的字母a，b可以代表数、字母或代数式.
易错误区：运用完全平方公式时要防止出现这样的错误：（a+b）2=a2+b2，（a-b）2=a2-b2.
例2、运用乘法公式计算或求值：
（1）50×49；
（2）19992；
（3）（2y-x-3z）（-x-2y-3z）；
（4）（2a-b+c）2；
（5）(3a-2b+4)(2b-3a+4)+(a-6b)2.
思路点拨：第（1）、（2）两题分别用平方差公式和完全平方公式可以简便计算，其他三小题中两个三项式相乘，可以经过适当变形，根据整体思想把其中的两项看成一项，然后再利用公式计算.
解题过程：（1）原式=（50+）（50-）=2500-=2499.
（2）原式=（2000-1）2=20002-2×2000+12=3996001.
（3）原式=[(-x-3z)+2y][(-x-3z)-2y]
=(-x-3z)2-(2y)2
=x2+6xz+9z2-4y2.
（4）原式=（2a-b）2+2c（2a-b）+c2=4a2-4ab+b2+4ac-2bc+c2.
（5）原式=[4+(3a-2b)][4-(3a-2b)]+(a-6b)2
=16-(3a-2b)2+(a-6b)2
=16-(9a2-12ab+4b2)+(a2-12ab+36b2)
=16-9a2+12ab-4b2+a2-12ab+36b2
=16-8a2+32b2.
方法归纳：（1）将三项分组组合变形成两项的方法体现了“整体”、“换元”的思想，这是最常用的思想方法；（2）注意掌握完全平方公式的拓展公式：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
易错误区：计算16-(3a-2b)2+(a-6b)2这一类算式时，要注意（3a-2b）2的前面是负号，利用公式展开后去掉括号要根据去括号法则，里面的各项符号要变化，在整式的加减乘除混合运算中，符号是一个易错点.
例3、（1）已知a+b=5，ab=，求a2+b2和（a-b）2的值；
（2）若（3-a）（2-a）=6，求（3-a）2+（a-2）2的值.
思路点拨：（1）根据完全平方公式，可得a2+b2=（a+b）2-2ab，（a-b）2=（a+b）2-4ab，由此可求得a2+b2和（a-b）2的值；（2）若设3-a=A，2-a=B，不难发现A-B=1，而A·B=6，利用完全平方公式可求得A2+B2，即（3-a）2+（a-2）2的值.
解题过程：（1）a2+b2=（a+b）2-2ab=25-3=22，
（a-b）2=（a+b）2-4ab=25-6=19.
（2）设3-a=A，2-a=B，
∴A-B=1，A·B=6.
∴（3-a）2+（a-2）2=A2+B2=（A-B）2+2AB=1+12=13.
方法归纳：本题主要考查的是乘法公式的变形，常见的公式变形有a2+b2=（a-b）2+2ab=（a+b）2-2ab；（a+b）2=（a-b）2+4ab；a2+b2=[（a+b）2+（a-b）2]；ab=[（a+b）2-（a-b）2].根据以上公式变形易知，代数式a+b，a-b，ab和a2+b2中只要知道其中任意两个的值就可以求出另外两个的值.
易错误区：（a-2）2=（2-a）2，注意互为相反数的两数的偶数次幂相同，奇数次幂互为相反数，解题时要准确确定符号.
例4、我们在计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）时，发现直接运算很麻烦，若在算式前乘（2-1），即1，则原算式的值不变，而且还使整个算式能用乘法公式计算，解答过程如下：
原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=…=264-1.
你能用上述方法算出（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）的值吗？请试试看!
思路点拨：由引例可知可先将原式进行一定的处理后再利用乘法公式，这样就把复杂问题简单化了.
解题过程：原式=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）
=（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）
=（34-1）（34+1）（38+1）（316+1）=…=（332-1）.
方法归纳：运用公式简便计算时要结合算式特征选择公式，不能直接应用公式时可以根据添项或拆项的方法将算式转化为可以应用的公式.
易错误区：本题计算时为了应用平方差公式，先在整个算式前乘（3-1），即乘2，为保证算式的值不变，需要乘，这里的不要漏乘.
例5、图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形.
（1）图2中阴影部分的正方形的边长为 ；
（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.
方法一：
方法二：
（3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：（m+n）2，（m-n）2，mn.
（4）根据第（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，则（a-b）2= .
图1 图2
思路点拨：（1）观察得到长为m、宽为n的长方形的长、宽之差即为阴影部分的正方形的边长；（2）可以用大正方形的面积减去4个小长方形的面积得到图2中的阴影部分的正方形面积；也可以直接利用正方形的面积公式得到；（3）利用（2）中图2中的阴影部分的正方形面积得到（m-n）2=（m+n）2-4mn；（4）根据（3）的结论得到（a-b）2=（a+b）2-4ab，然后把a+b=7，ab=5代入计算.
解题过程：（1）图2中阴影部分的正方形的边长等于长为m、宽为n的长方形的长、宽之差，即m-n.
（2）方法一：图2中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个小长方形的面积，即（m+n）2-4mn；
方法二：图2中的阴影部分的正方形的边长等于m-n，所以其面积为（m-n）2.
（3）（m-n）2=（m+n）2-4mn.
（4）∵（a-b）2=（a+b）2-4ab，
∴当a+b=7，ab=5时，（a-b）2=72-4×5=29.
方法归纳：本题考查了完全平方公式的几何背景，题中的几何图形主要是将完全平方和与完全平方差联系起来，利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式.
易错误区：（a-b）2=（a+b）2-4ab可以直接由完全平方公式推导得到，注意（a-b）2与（a+b）2相差4ab而不是2ab.
探究提升：
例、利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
a2+b2+c2-ab-bc-ac=[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2].
该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美.
（1）请你验证这个等式的正确性；
（2）若a-b=2，b-c=5，求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值.
思路点拨：等式的左边乘“2”，然后将平方项拆开可以得到三个完全平方式.也可以从右边入手，利用公式展开、去括号得到左边的代数式.
解题过程：（1）a2+b2+c2-ab-bc-ac=（2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac）
=（a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2）=[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]；
（2）∵a-b=2，b-c=5，∴a-c=a-b+b-c=7.
∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]=×(22+52+72)=39.
方法归纳：完全平方式是多项式中非常特殊、非常重要的式子，要熟悉其结构特征，在多项式中尽快找出完全平方式或与完全平方式有关的多项式可以帮助我们快速找到解题途径.
易错误区：注意a2+b2+c2-ab-bc-ac与a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac的区别，后者可以写成（a+b+c）2，不同形式的式子要用不同的处理方法.
专项训练
走进重高
1.已知x2+4y2=13，xy=3，求x+2y的值，这个问题我们可以用边长分别为x和y的两种正方形组成一个图形来解决，其中x＞y，下列能较为简单地解决这个问题的图形是（ ）.
?A. B. C. D.
2.【漳州】先化简（a+1）（a-1）+a（1-a）-a，再根据化简结果，你发现该代数式的值与a的取值有什么关系？（不必说理）
3.【义乌】如图1，从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2所示的等腰梯形.
（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式.
(第6题)
高分夺冠
1.观察下列各式及其展开式：
（a+b）2=a2+2ab+b2;
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3;
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4;
（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5;
…
请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（ ）.
A.36 B.45 C.55 D.66
2.算式999032+888052+777072的计算结果的十位数字是（ ）.
A.1 B.2 C.6 D.8
3.略
4.已知a，b，c满足a2+2b=7，b2-2c=-1，c2-6a=-17，求a+b+c的值.
第四讲 二元一次方程组的应用
思维导图
重难点分析
重点分析：
列二元一次方程组解决实际问题的方法和步骤与列一元一次方程解决实际问题的方法和步骤一致，一般经历“审→找→设→列→解→验→答”七个环节.列方程组解应用题需要多找一些等量关系，列出两个或两个以上的方程.
难点分析：
在运用二元一次方程组解决实际问题时，理解问题、分析数量关系、找出题中隐含的等量关系是一个难点.
例题精析
例1、课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几只？如果假设鸡有x只，兔有y只，请列出关于x，y的二元一次方程组： .
思路点拨：本题中涉及的生活常识：一只鸡有一个头，两只脚；一只兔有一个头，四只脚.本题中的等量关系为①鸡的只数+兔的只数=35；②2×鸡的只数+4×兔的只数=94.
解题过程：根据鸡的只数+兔的只数=35，得方程x+y=35；根据2×鸡的只数+4×兔的只数=94，得方程2x+4y=94.即
方法归纳：本题考查生活常识在数学中的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键.
易错误区：鸡和兔的头、足数量关系不要搞错.
例2、如图1，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数），使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等.
（1）求x，y的值；
（2）在图2中完成此方阵图.
图1 图2
思路点拨：（1）要求x，y的值，根据方阵图中的数据，即可找到只含有x，y的行或列，列出方程组即可；（2）根据（1）中求得的x，y的值和每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等即可完成方阵图的填写.
解题过程：（1）由题意得解得
（2）如图：
方法归纳：本题的等量关系比较简单，直接根据题意即可得到方程组.
易错误区：列方程时注意未知数是x，y，因此要能够列出关于x，y的方程组，即列出的方程不能含a，b，c.
例3、在正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数S（次/分）与这个人的年龄n（岁）满足关系式：S=an+b，其中a，b均为常数.
（1）根据下面的对话，求a，b的值；
甲：根据医学上的科学研究表明，人在运动时，心跳的快慢通常和年龄相关.
乙：在正常情况下，年龄15岁和45岁的人在运动时所能承受的最高心跳次数分别为164次/分和144次/分.
（2）若一位63岁的人在跑步，医生在途中给他测得10秒心跳为26次，问：他是否有危险？为什么？
思路点拨：（1）首先根据题意列出S关于n的关系式，将n=15,S=164,n=45,S=144两对值代入关系式，即可求得a，b的值；（2）根据（1）中的关系式求得63岁老人的正常心跳值，与测得1分钟的心跳数比较大小.
解题过程：（1）S关于n的关系式为S=an+b，
根据题意得解得
∴a的值为-，b的值为174.
（2）由（1）知S＝-n+174.
当n=63时，S=-×63+174=132，
即他能承受的最高次数是每分钟132次.
现在他每分钟的心跳次数为26×6=156（次）.
显然，156＞132，故他有危险.
方法归纳：本题考查二元一次方程组的应用，通过待定系数法求得S关于n的关系式是解答本题的关键.
易错误区：关系式S=an+b中,a，b为常数，这里的常数是未知的，即待定系数，字母较多，要分清常量与变量.
例4、温州苍南马站四季柚，声名远播，今年又是一个丰收年.某经销商为了打开销路，对1000个四季柚进行打包优惠出售.打包方式及售价如图所示.假设用这两种打包方式恰好装完全部柚子.
（1）若销售a箱纸盒装和a袋编织袋装四季柚的收入共950元，求a的值；
（2）当销售总收入为7280元时.
①若这批四季柚全部售完，请问纸盒装共包装了多少箱，编织袋共包装了多少袋？
②若该经销商留下b（b＞0）箱纸盒装送人，其余柚子全部售出，求b的值.
思路点拨：（1）根据收入共为950元，可得出一元一次方程，解出即可；（2）①纸盒装共包装了x箱，编织袋装共包装了y袋，根据等量关系可得出方程组，解出即可；②根据①的关系可以用y表示出x，减去留下的b箱纸盒装，再由销售总收入为7280元，可得出方程，解出即可.
解题过程：（1）由题意得64a+126a=950，解得a=5.
∴a的值为5.
（2）①设纸盒装共包装了x箱，编织袋装共包装了y袋.
由题意得解得
∴纸盒装共包装了35箱，编织袋共包装了40袋.
②由8x+18y=1000，可得x==125-，
由题意，得64×+126y=7280，解得y=40-.
∵x，y，b都是整数，且x≥0，y≥0，b＞0，
∴b=9，x=107，y=8.∴b的值为9.
方法归纳：本题考查了二元一次方程组及二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，确定问题中的等量关系，列出方程或方程组求解.
易错误区：第（2）题的②是用二元一次方程的整数解解决问题，所以只能列出一个二元一次方程而不是方程组.
例5、有三把扶梯，分别是五步梯、七步梯、九步梯，每攀沿一步阶梯上升的高度是一致的.每把扶梯的扶杆长（即梯长）、顶档宽、底档宽如图所示，并把横档与扶杆榫合处称作连结点（如点A）.
（1）通过计算，补充填写下表：
（2）一把扶梯的成本由材料费和加工费组成，假定加工费以每个结点1元计算，而材料费中扶杆的单价与横档的单价不相等（材料损耗及其他因素忽略不计）.现已知一把五步梯、七步梯的成本分别是26元、36元，试求出一把九步梯的成本.
思路点拨：（1）根据已知图示可以分别求出七步梯、九步梯的扶杆长、横档总长、连结点个数；横档总长等于横档的平均长度与步数的积；（2）设扶杆单价为x元/m，横档单价为y元/m.根据扶梯的成本可以列出方程组，解方程组即可求得九步梯的成本.
解题过程：（1）七步梯、九步梯的扶杆长分别是5m,6m；
横档总长分别是×（0.4+0.6）×7=3.5（m）, ×（0.5+0.7）×9=5.4（m）；
连结点个数分别是14个、18个.
（2）设扶杆单价为x元/m，横档单价为y元/m.
依题意得即解得
故一把九步梯的成本为6×3+5.4×2+1×18=46.8（元）.
方法归纳：解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解.利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来.
易错误区：本题横档总长的计算是个难点，容易算错，可先通过最短与最长横档的长度算出平均长度，再乘以步数即可.
探究提升
例、有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天生长的量相等），若放牧24头牛，则6天吃完牧草；若放牧21头牛，则8天吃完牧草.设每头牛每天吃草的量是相等的，问：
（1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？
（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？
思路点拨：首先设牧场原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛x天吃完草.（1）根据原草量+每天生长的草量×放牧的天数=每头牛每天吃草量×放牧的牛头数×天数，列出方程组，可解得x的值；（2）假设要使牧草永远吃不完，至多放牧y头牛.要使牧草永远吃不完，则有每头牛每天吃草量×放牧的牛头数≤每天生长的草量，解得结果即为所求.
解题过程：设牧场原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛x天吃完草.
（1）由题意得
由②-①得b=12c④.
由③-②得（x-8）b=（16x-168）c⑤.
将④代入⑤得（x-8）×12c=（16x-168）c,解得x=18.
∴如果放牧16头牛，18天可以吃完牧草.
（2）设至多放牧y头牛，牧草才永远吃不完，则有cy≤b，即每天吃的草不能多于生长的草，y≤=12.∴要使牧草永远吃不完，至多放牧12头牛.
方法归纳：本题考查三元一次方程组的应用.有些应用题，它所涉及的量比较多，量与量之间的关系也不明显，需增设一些未知数辅助建立方程，辅助未知数的引入，在已知条件与所求结论之间架起了一座“桥梁”，对这种辅助未知量，并不能或不需求出，可以在解题中相消或相约，这就是我们常说的“设而不求”.
易错误区：本题未知数的个数多于方程个数，其中a，b，c不用求出，只要得到它们之间的关系即可.
走进重高
1.【茂名】我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，则可列方程组为（ ）.
A. B. C. D.
2.【滨州】某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个小袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安排 名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套.
3.【滨州】某运动员在一场篮球比赛中的技术统计如下表所示：
技术 上场时间（分钟） 出手投篮（次） 投中（次） 罚球得分 篮板（个） 助攻（次） 个人总得分
数据 46 66 22 10 11 8 60
（注：表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球）
根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中2分球和3分球各几个.
高分夺冠
1.在抗洪抢险中，江堤边某洼地发生管涌，江水已涌进了x(m3)，并且还以y(m3/min)的速度不停地进水，现在要进行抽水堵涌工程.若用1台抽水机工作，需30min才能将水抽完，投入施工.若用2台抽水机同时工作，需10min即可将水抽完，投入施工.因形势紧急，指挥部要求5min内将水抽完立即投入施工，则至少需要组织多少台抽水机同时工作？［（假设每台抽水机的抽水量均为z(m3/min）］
2.［涵涵游园记］
涵涵早晨到达上海世博园D区入口处等待开园，9时整开园，D区入口处有10n条安全检查通道让游客通过安检入园，游客每分钟按相同的人数源源不断地到达这里等待入园，直到中午12时D区入口处才没有排队人群，游客一到就可安检入园.9时12分涵涵通过安检进入上海世博园时，发现平均一个人通过安全检查通道入园耗时20秒.
［排队的思考］
（1）若涵涵在9时整排在第3000位，则这时D区入口安检通道可能有多少条？
（2）若9时开园时等待在D区入口处的人数不变：当安检通道是现有的1.2倍且每分钟到达D区入口处的游客人数不变时，从中午11时开始游客一到D区入口处就可安检入园；当每分钟到达D区入口处的游客人数增加了50%，仍要求从12时开始游客一到D区入口处就可安检入园，求这时需要增加安检通道的数量.
第三讲 二元一次方程组及解法
思维导图
重难点分析
重点分析：
1.组成二元一次方程的条件有四个：（1）方程；（2）含有两个未知数；（3）方程的两边都是整式；（4）含未知数的项的最高次数是1次.
2.二元一次方程组的概念：有两个一次方程，并且含有两个未知数的方程组.注意未知数的个数总共是两个，也就是说组成方程组的方程中也可以有一元方程.
3.代入法解二元一次方程组的步骤：（1）将其中一个方程变形为由一个未知数表示另一个未知数的形式；（2）将变形后的方程代入另一个方程，将方程组转化为一元一次方程；（3）解这个一元一次方程得一个未知数的值，再将求得的未知数的值代入变形后的方程求另一个未知数的值.
4.加减法解二元一次方程组的步骤：（1）将两个方程中的其中一个未知数的系数化成相同或互为相反数；（2）通过加减消去这个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程得一个未知数的值，再将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程求出另一个未知数的值.
难点分析：
1.一个二元一次方程一般有无数组解，确定二元一次方程的解的方法：先将方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式，再给这个未知数赋值，代入求出另一个未知数对应的值.
2.二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的各个方程，方程组中某一个方程的解不一定是方程组的解.
3.代入法和加减法解方程组各有特点，要结合方程组的特征灵活选择.
例题精析
例1、若方程（m-3）x-y｜m-2｜=5是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 .
思路点拨：根据二元一次方程的定义得出｜m-2｜=1，m-3≠0，求出m的值即可.
解题过程：∵方程（m-3）x-y｜m-2｜=5是关于x，y的二元一次方程，
∴｜m-2｜=1，m-3≠0,解得m=1.
方法归纳：本题主要考查对二元一次方程的定义的理解和掌握，能根据二元一次方程的定义得出｜m-2｜=1和m-3≠0是解答本题的关键.
易错误区：本题中，未知数x的系数m-3≠0这一条件容易遗漏.
例2、对于关于x，y的二元一次方程ax+by=-2，小雪、小轩、小浩分别写出了一个解，小雪写的是小轩写的是小浩写的是如果小雪、小轩写的正确，请你判断小浩写的正确吗？
思路点拨：先把小雪、小轩写的x，y的值代入二元一次方程求出a，b的值，再把小浩的解代入方程进行验证即可.
解题过程：把小雪、小轩写的x，y的值代入二元一次方程，
得解得
∴该二元一次方程为-x+y=-2.
把小浩写的代入，得左边=-×4+×6=-3≠-2，
∴小浩写的不正确.
方法归纳：本题考查的是二元一次方程的解及解二元一次方程组，二元一次方程的解是指使方程两边相等的未知数的值.
易错误区：x与y的值要分清楚，代入时不要搞混了.
例3、已知关于x，y的方程组和的解相同，求（3a+b）2018的值.
思路点拨：根据已知的两个方程组的解相同得到关于x，y的方程组，求出x，y的值，再将x，y的值代入含a，b的两个方程中，得到关于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值，代入所求代数式进行计算即可.
解题过程：∵关于x,y的方程组和的解相同，
∴这两个方程组的解也是方程组的解，解得
把代入方程组得解得
故（3a+b）2018=（-6+5）2018=（-1）2018=1.
方法归纳：本题比较复杂，解题的关键是根据两方程组有相同的解得到关于x，y的方程组，求出x，y的值，再将x，y的值代入含a，b的方程组求出a，b的值.
易错误区：两个方程组同解，是指这一个解同时满足四个方程，解题时注意及时检验，避免错解.
例4、先阅读，然后解方程组.
材料：解方程组
解：设=m, =n，将原方程组化为解得
即∴原方程组的解为
此种方法叫做“换元法”，请用这种方法解方程组
思路点拨：把x+y，x-y分别看成一个整体，进行“换元”，方程组会简化很多.
解题过程：设x+y=m，x-y=n，则原方程组化为解得
即∴原方程组的解为
方法归纳：换元法是解方程或方程组中一种常用的方法，它通过用一个字母表示一个整体进行变量替换，将形式简化，将问题转化，从而起到化繁为简、化隐为显、化难为易的目的.当然，本题也可以用整体思想来解决.
易错误区：换元法是将方程中的部分用新的未知数替换，替换后注意原未知数不能再出现.
例5、已知3x-4y-z=0，2x+y-8z=0，求的值.
思路点拨：由已知条件列出方程组，用含z的式子把x，y表示出来，再代入代数式求值.
解题过程:由3x-4y-z=0，2x+y-8z=0可得x=3z，y=2z.
将x=3z,y=2z代入，可得原式==.
方法归纳：本题的实质是解三元一次方程组，用加减法来解答.
易错误区：把x，y看作未知数，z看成已知数，把含z的项移到方程右边再用加减法.解题时分清已知与未知之间的关系.
例6、阅读下列材料，然后解答后面的问题.
我们知道方程2x+3y=12有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解.
例：由2x+3y=12，得y==4-x（x，y为正整数），
∴则有0＜x＜6.
又∵y=4-x为正整数，∴x为正整数.
由2与3互质，可知x为3的倍数，从而x=3，代入y=4-x=2.
∴2x+3y=12的正整数解为
问题：
（1）请你写出方程2x+y=5的一组正整数解： ；
（2）若为自然数，则满足条件的x值有（ ）；
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
（3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？
思路点拨：根据题意可知，求方程的正整数解，先把方程做适当的变形，再列举正整数代入求解.
解题过程：（1）方程的正整数解是或（只要写出其中的一组即可）.
（2）若为自然数，则x-2=1,2,3,6,
∴x的值为3,4,5,8，故选C.
（3）设购买单价为3元的笔记本m本，单价为5元的钢笔n支.
则根据题意得3m+5n=35，其中m，n均为自然数.
于是有n==7-m，且满足即0＜m＜.
由于n=7-m为正整数，则m为正整数，可知m为5的倍数.
∴当m=5时，n=4；当m=10时，n=1.
∴有两种购买方案：购买单价为3元的笔记本5本，单价为5元的钢笔4支；购买单价为3元的笔记本10本，单价为5元的钢笔1支.
方法归纳：解应用题的关键是要读懂题目给出的已知条件，根据条件求解.本题中要注意笔记本和钢笔的本数和支数不可能出现小数和负数，这也就是说要求的是正整数.
易错误区：在变形后的方程中，把其中一个数代入求正整数解时，要先估计出数的大致范围，以减少代入的次数.
探究提升：
例、阅读材料，善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形，得4x+10y+y=5，
即2（2x+5y）+y=5③，
把方程①代入③，得2×3+y=5.
∴y=-1.
把y=-1代入①，得x=4，
∴方程组的解为
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组
（2）已知x，y满足方程组
①求x2+4y2的值；
②求的值.
思路点拨：（1）方程组中第二个方程变形后，将第一个方程代入求出x的值，进而求出y的值，得到方程组的解；
（2）①将方程组第一个方程变形表示出x2+4y2，第二个方程变形后代入即可求出xy的值，进而可求出x2+4y2的值；②利用完全平方公式及平方根的定义求出x+2y的值，再由xy的值，即可求出所求式子的值.
解题过程：（1）由②得3x+6x-4y=19，即3x+2（3x-2y）=19③，
把①代入③，得3x+2×5=19，∴x=3.
把x=3代入①，得y=2.
∴方程组的解为
（2）①由5x2-2xy+20y2=82，得5（x2+4y2）-2xy=82，即x2+4y2=.
由2x2-xy+8y2=32，得2（x2+4y2）-xy=32，即2×=32，得xy=4.
∴x2+4y2===18.
②∵x2+4y2=18，xy=4，
∴（x+2y）2=x2+4y2+4xy=18+4×4=34，即x+2y=±，
则.
方法归纳：本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.解决问题的关键在于整体代换.
易错误区：注意要认真阅读材料，理解整体代换的意义和思路，特别是第（2）题要将x2+4y2和xy分别看成整体求解.
走进重高
1.【台湾】若二元一次方程组的解为则a+b的值为（ ）.
A. B. C.7 D.13
2.【南充】已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是 .
3.观察下列方程组，解答问题：
①②③…
（1）在以上3个方程组的解中，你发现x与y有什么数量关系？（不必说明理由）
（2）请你构造第④个方程组，使其满足上述方程组的结构特征，并验证（1）中的结论.
4.【六盘水】为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码a，b，c时，接收方对应收到的密码为A，B，C.双方约定：A=2a-b，B=2b，C=b+c，例如：发出1，2，3，则收到0，4，5.
（1）当发送方发出的一组密码为2，3，5时，则接收方收到的密码是多少？
（2）当接收方收到的一组密码为2，8，11时，则发送方发出的密码是多少？
高分夺冠
1.已知方程2x-3y=z与方程x+3y-14z=0（z≠0）有相同的解，则x∶y∶z= .
2.用S（n）表示自然数n的各位数字之和，如S（1）=1，S（12）=3，S（516）=12等，试问：是否存在这样的自然数n，使得n+S（n）=2008？请说明理由.
3.岳飞是我国古代宋朝的民族英雄，曾任通泰镇抚史兼泰州知州，据说在泰州抗击金兵期间，有一次他向将领们讲了如下一个布阵图.如图是一座城池，开始时在城池的四周设了八个哨所，一共有24个卫士把守，按直线算，每边都有11人，后来由于军情发生变化，连续四次给哨所增添兵力，每次增加4人，但要求在增加人员后，仍然保持每边11人把守.请问：兵力应如何调整？
(第6题)
第十讲 分 式
思维导图
重难点分析
重点分析：
1.分式表示两个整式的商，分式的分子可含有字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母，这是整式与分式的根本区别.
2.对于分式，当B=0时分式没有意义；当B≠0时，分式有意义；当A=0且B≠0时，分式的值为零.
3.分式的基本性质：分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变.
4.分式的基本性质的应用：（1）分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变；（2）分式的分子、分母的系数化整；（3）分式的约分和通分.
难点分析：
1.判断一个代数式是不是分式的关键是看分母中是否含有字母，只有分式的分子为零且分母不为零时分式的值才为零，在分式的分母不为零的条件下，分式才有意义.
2.对于分式的基本性质，要充分理解“都”和“同”两个关键字的含义，避免犯只乘分子或分母一项的错误，分子、分母都是乘积形式才能约分.
例题精析
例1、下列各式中：(x2+1),,(x-y)，是分式的共有（ ）.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
思路点拨：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，若分母中含有字母则是分式，若分母中不含有字母则不是分式.
解题过程：(x-y)这三个式子分母中含有字母，因此是分式.其他式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式.故选C.
方法归纳：本题考查分式的定义.注意分式必须分母中含有字母，且分子、分母都是整式，即代数式中若出现根号，则根号内不能出现字母.
易错误区：π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式.
例2、（1）当x取何值时，分式的值为零？无意义？
（2）当m为何值时，分式的值为零？
思路点拨：（1）分式的值为0，则分子｜x｜-3=0，分母x2-6x+9≠0；分式无意义，则分母x2-6x+9=0；（2）分式的值为0，则分子(m-1)(m-3)=0，分母m2-3m+2≠0.
解题过程：（1）要使分式的值为0，则解得x=-3.
要使分式无意义，则x2-6x+9=0，解得x=3.
（2）要使分式的值为0，则解得m=3.
方法归纳：本题考查了分式的值为零的条件和分式无意义的条件，特别是分式的值为零时，注意分子为零，分母不为零.
易错误区：｜x｜-3=0是一个含绝对值的方程，根据绝对值的定义可得x=±3，不要漏解.
例3、读下列解题过程，然后解题：
题目：已知（a，b，c互不相等），求x＋y＋z的值.
解：设＝k，则x＝k（a－b），y＝k（b－c），z＝k（c－a），
∴x＋y＋z＝k（a－b＋b－c＋c－a）＝k·0＝0.∴x＋y＋z＝0.
依照上述方法解答下列问题：
已知：，其中x＋y＋z≠0，求的值.
思路点拨：参考题中的阅读材料，设比例系数为k，然后利用分式的性质可将分式转化为整式，再根据等式的性质可得到k的值，从而求得结果.
解题过程：设＝k，
则①y＋z＝kx，②z＋x＝ky，③x＋y＝kz.
①＋②＋③，得2x＋2y＋2z＝k(x＋y＋z)，
∵x＋y＋z≠0，∴k＝2.∴原式＝.
方法归纳：本题主要是利用比例系数k进行计算，体现了转化思想，同时要注意灵活应用等式的性质、分式的性质.
易错误区：由2x＋2y＋2z＝k(x＋y＋z)得到k＝2一定要有x＋y＋z≠0这一条件，否则就要分类讨论.
例4、甲、乙两辆汽车分别从相距1000km的A，B两地同时出发，相向而行.甲车比乙车每小时多走20km.由于甲车中途出现故障，就地停车修理，结果两车恰好在A，B两地的中点相遇.
（1）如果甲车每小时走a（km），那么甲车在中途停车多少小时？
（2）当a=100时，求甲车在中途停车多少小时.
思路点拨：甲车每小时走a（km），则乙车每小时走（a-20）km，两车在中点相遇，即两车的行驶路程均为500km.根据路程÷速度=时间可用分式表示出两车的行驶时间.乙、甲两车行驶时间的差就是甲车中途停车的时间.
解题过程：（1）据题意得甲车在中途停车h.
（2）当a=100时，原式==1.25（h）.
∴甲车在中途停车1.25h.
方法归纳：本题是用分式表示行程问题中的数量关系，解题的关键是弄清题中路程、速度、时间各量之间的关系.
易错误区：注意两个时间的大小，，可以根据分母越小值越大判断，大小不要搞反.
例5、已知x+=3，求的值.
思路点拨：先将所求分式的分子、分母互换位置可得，然后利用分式的基本性质可得=x2+1+，再利用完全平方公式可得x2+2+=(x+)2，于是可以求得答案.
解题过程：∵=x2+1+=(x+)2-1=32-1=8，
∴=.
方法归纳：倒数法、因式分解法、配方法等方法都是处理代数式的常用方法.对于代数式的求值问题，要仔细研究算式特征，灵活运用上述方法.
易错误区：注意x2+2+=(x+)2，而不是x2+=(x+)2.
探究提升
例、我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数.类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式；反之，则称为假分式.对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：.
（1）下列分式中，属于真分式的是（ ）；
A. B. C. D.
（2）将假分式化成整式和真分式的和的形式,并求出当m取何整数时，分式的值也是整数.
思路点拨：（1）根据分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式得到只有是真分式；（2）先把m2+3化为m2-1+4得到=，然后分成两个分式，其中前面一个分式约分后化为整式m-1，后面一个是真分式.所以只要考虑真分式何时取整数即可.
解题过程：（1）根据题意得是真分式.故选C.
（2）===m-1+.
∵当是整数时，分式的值也是整数，
∴m+1=±1，±2，±4，即m=0，-2，1，-3，3，-5.
方法归纳：本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变.重点要关注拆分分式的方法.
易错误区：研究分式的值何时为整数，只判断分母与分子的整除关系有很大的局限性，容易漏解，所以一般要将分式拆分成真分式再进行判断.
走进重高
1.【眉山】已知x2-3x-4=0，则代数式的值是（ ）.
A.3 B.2 C. D.
2.【贵阳】给出三个整式x2-1，x2+2x+1，x2+x，请你从中任意选择两个，将其中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个分式进行化简，再求当x=2时分式的值.
3.点A在数轴上，点A所表示的数为，把点A向右平移1个单位得到的点所表示的数为m，把点A向左平移1个单位得到的点所表示的数为n.
（1）直接写出m，n的值：m= ，n= ；
（2）求代数式的值.
高分夺冠
1.若n为整数，则能使也为整数的n的个数有（ ）.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.略
3.已知两个整数a，b满足0＜b＜a＜10，且是整数，那么数对（a，b）有 个.
4.已知x2-x-1=0，求x4+的值.
5.问题探索：
（1）已知一个正分数nm（m＞n＞0），若分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论；
（2）若正分数nm（m＞n＞0）中分子和分母同时增加2，3，…，k（整数k＞0），情况如何？
（3）请你用上面的结论解释下面的问题：
建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好.问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由.
第二讲 平行线的性质及平移
思维导图
重难点分析
重点分析：
1.平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补.
2.平移的概念：一个图形沿着某个方向运动，在移动过程中，原图形上的每一个点都沿着同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移.
3.平移的性质：平移不改变图形的形状和大小，一个图形和它经过平移所得到的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等.
难点分析：
1.注意平行的性质与判定的区别与联系：区别是条件与结论不同，联系是条件与结论互换位置；性质是由平行线得到角的关系，判定是由角的关系得到平行线.
2.确定平移有两个要素：一是平移的方向；二是平移的距离.
3.连结平移前后两个图形的对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等，注意一定要对应点相连，连线的平行是指它们的位置关系，相等是指它们的数量关系.
例题精析
例1、如图，把边长为2的正方形的局部进行图1～图4的变换，拼成图5，则图5的面积是（ ）.
A.18 B.16 C.12 D.8
思路点拨：根据平移的基本性质，平移不改变图形的形状和大小，即图形平移后面积不变，则图5的面积可求.
解题过程：一个正方形的面积为4，而把一个正方形从图1~图4进行变换，面积并没有改变，图5由4个图4构成，故图5的面积为4×4=16.
故选B.
方法归纳：本题考查图形拼接与平移的变换.解决本题的关键是要知道平移不改变图形的形状和大小，即面积没有改变.
易错误区：图5由4个图4构成，没有多也没有少，本题易误认为图5有残缺.
例2、如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，∠DGC=105°，∠BCG=75°.试说明∠1+∠2=180°.
思路点拨：由∠DGC=105°，∠BCG=75°，得出∠DGC+∠BCG=180°，判定DG∥BC，得出∠1=∠DCB，由CD⊥AB，EF⊥AB，判定CD∥EF，得出∠DCB+∠2=180°，等量代换即可.
解题过程：∵∠DGC=105°，∠BCG=75°，
∴∠DGC+∠BCG=180°.
∴DG∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.
∴∠1=∠DCB（两直线平行，内错角相等）.
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF（在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行）.
∴∠DCB+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
∴∠1+∠2=180°（等量代换）.
方法归纳：本题考查了平行线的判定与性质，解答本题的关键是平行线的性质与判定定理的正确运用.
易错误区：注意平行线的判定与性质的区别，填写理由时不要填错.
例3、某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），已知这种地毯的批发价为每平方米40元，升旗台的台阶宽为3米，其侧面如图所示.请你帮助测算一下，买地毯至少需要多少元？
思路点拨：根据题意，结合图形，先把楼梯的横、竖分别向上向左（右）平移，构成一个长方形，先求得地毯的长度再求其面积，则购买地毯的钱数可求.
解题过程：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖分别向上向左（右）平移，构成一个长方形，长宽分别为6.4m，3.8m.
∴地毯的长度为6.4+3.8+3.8=14（m），
地毯的面积为14×3=42（m2）.
∴买地毯至少需要42×40=1680（元）.
方法归纳：本题考查了平移的性质，属于基础应用题，解答本题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算.
易错误区：地毯面积等于地毯长度乘以台阶宽度，注意计算时不能将地毯长度误作面积.
例4、珠江流域某江段江水流向经过B，C，D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，求∠CDE的度数.
思路点拨：由已知可得AB∥DE，过点C作CF∥AB，则CF∥DE.由平行线的性质可得∠BCF+∠ABC=180°，所以能求出∠BCF，继而求出∠DCF.又由CF∥DE，所以∠CDE=∠DCF.
解题过程： 如图，过点C作CF∥AB.
∵珠江流域某江段江水流向经过B，C，D三点拐弯后与原来相同，
∴AB∥DE.
∴CF∥DE.∴∠BCF+∠ABC=180°.
∵∠ABC=120°,
∴∠BCF=60°.
又∵∠BCD=80°,∴∠DCF=∠BCD-∠BCF=20°.
∴∠CDE=∠DCF=20°.
方法归纳：本题考查的知识点是平行线的性质，关键是过点C先作AB的平行线，由平行线的性质求解.
易错误区：作辅助线只能作其中一条直线的平行线，然后利用传递性说明三条直线平行，不能出现过点C作CF∥AB∥DE的错误.
例5、已知直线l1∥l2，点A是l1上的动点，点B在l1上，点C，D在l2上，∠ABC，∠ADC的平分线交于点E（不与点B，D重合）.
（1）若点A在点B的左侧，∠ABC=80°，∠ADC=60°，过点E作EF∥l1，如图1，求∠BED的度数；
（2）若点A在点B的左侧，∠ABC=α°，∠ADC=60°，如图2，求∠BED的度数（直接写出计算结果）；
（3）若点A在点B的右侧，∠ABC=α°，∠ADC=60°，如图3，求∠BED的度数.
图1 图2 图3
思路点拨：（1）由平行线的性质得出∠BEF=∠ABE，同理可得出∠DEF=∠CDE，再由∠BED=∠BEF+∠DEF即可得出结论；（2）过点E作EF∥AB，同（1）可求∠BED的度；（3）过点E作EF∥l1，根据BE，DE分别是∠ABC，∠ADC的平分线可知∠ABE=∠ABC=α°，∠CDE=∠ADC，再由EF∥l1可知∠BEF=(180-α)°.易知EF∥l2，故∠DEF=∠CDE=30°，所以∠BED=∠BEF+∠DEF.
解题过程：（1）∵BE，DE分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
∴∠ABE=∠ABC=×80°=40°，∠CDE=∠ADC=×60°=30°.
∵EF∥l1，∴∠BEF=∠ABE=40°(两直线平行，内错角相等).
∵l?1∥l?2,∴EF∥l2.
∴∠DEF=∠CDE=30°(两直线平行，内错角相等).
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=40°+30°=70°.
图4
（2）过点E作EF∥l1,如图4.
∵BE，DE分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
∴∠ABE=∠ABC=α°，∠CDE=∠ADC=×60°=30°.
∵EF∥l1，∴∠BEF=∠ABE=12α°.
∵l1∥l2，∴EF∥l2.
∴∠DEF=∠CDE=30°(两直线平行，内错角相等).
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=α°+30°，即∠BED=(α+30)°.
图5
（3）过点E作EF∥l1，如图5.
∵BE，DE分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
∴∠ABE=∠ABC=α°，∠CDE=∠ADC=×60°=30°.
∵EF∥l1，∴∠BEF=(180-α)°.
又∵l1∥l2,∴EF∥l2.
∴∠DEF=∠CDE=30°.
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=(180-α+30)°=(210-α)°.
方法归纳：本题考查的是平行线的性质，根据题意作出平行线，再由平行线的性质得到角之间的倍分关系和和差关系，从而可得出结论.
易错误区：图中角与角之间的关系比较复杂，要注意区别，特别是第（3）题需要通过添平行线将问题转化为“三线八角”下的角度关系.
探究提升：
例、探究：（1）如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠E，你能说明为什么吗？
（2）反之，若∠B+∠D=∠E，直线AB与CD有什么位置关系？请证明；
（3）若将点E移至如图2所示位置，此时∠B，∠D，∠E之间有什么关系？请证明；
（4）若将点E移至如图3所示位置，情况又如何？
（5）如图4，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系？
（6）如图5，若AB∥CD，又得到什么结论？
图1 图2 图3 图4 图5
思路点拨：已知AB∥CD，连结AB，CD的折线内折或外折、或改变点E的位置、或增加折线的条数，通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论，给我们创造性的思考留下了极大的空间.解题的关键是过点E或点F作AB（或CD）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形中.
解题过程：（1）过点E作EF∥AB，如图6，则∠B=∠BEF.
∵AB∥CD，∴EF∥CD.∴∠D=∠DEF.
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D.
图6 图7 图8 图9
（2）如图6，若∠B+∠D=∠BED，由EF∥AB可得∠B=∠BEF.
∵∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D，
∴∠D=∠DEF.
∴EF∥CD.∴AB∥CD.
（3）若将点E移至如图2所示位置，过点E作EF∥AB，如图7.
∵AB∥CD,∴EF∥CD.
∴∠D+∠DEF=180°，
∠B+∠BEF＝180°.
∴∠BED+∠B+∠D=360°.
（4）如图8，∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD.
∵∠D+∠E=∠BFD，∴∠D+∠E=∠B.
（5）如图9，过点F作FH∥AB，则由（1）的结论可知∠E=∠B+∠EFH,∠G=∠HFG+∠D.
又∵∠EFG=∠EFH+∠HFG,∴∠E+∠G=∠B+∠EFG+∠D.
（6）由以上可知∠E1+∠E2+…+∠En=∠B+∠F1+∠F2+…+∠Fn-1+∠D.
方法归纳：本题考查了平行线的性质与判定，关键是添加适当的辅助线，把复杂的图形化归到基本图形，使问题得以简化.
易错误区：为了合理应用平行线的性质定理，过折点作平行线时画射线比较好，但要注意射线的方向，尽量避免添加辅助线后的图形复杂化.
专项训练
拓展训练
A组
1.如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，∠BEF的平分线交CD于点G，若∠EFG=52°，则∠EGF等于（ ）.
A.26° B.64° C.52° D.128°
(第4题) (第5题)
2.如图，∠1=83°，∠2=97°，∠3=78°，则∠4的度数为 .
3.如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2 m，则绿化的面积为 m2.
(第8题)
4.如图，AB∥DE，∠1=∠2，求AE与DC的位置关系，并说明理由.
(第10题)
5.潜望镜中的两面镜子MN和PQ是互相平行的，如图所示，光线AB经镜面反射后，∠1=∠2，∠3=∠4.射入的光线AB与射出的光线CD平行吗？为什么？
(第11题)
6.如图，已知AB∥CD.
（1）判断∠FAB与∠C的大小关系，并说明理由；
（2）若∠C=35°，AB是∠FAD的平分线.
①求∠FAD的度数；
②若∠ADB=110?°?，求∠BDE的度数.?
(第13题)
B组
7.如图，有a，b，c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线（ ）.
A.a户最长 B.b户最长 C.c户最长 D.一样长
(第14题) (第16题)
8.如图，长方形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小长方形的周长之和为.
9.如图，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2.求证：∠E=∠F.
(第18题)
10.在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD和∠BCD的内（或外）角平分线分别为AE和CF.
（1）当AE，CF都为内角平分线时，不难证明AE∥CF.过程如下：（如图1）
∵∠BAD+∠BCD=∠1+∠2+∠3+∠4=360°-（∠B+∠D）.而∠B=∠D=90°.∠1=∠2，∠3=∠4，
∴2（∠2+∠4）=360°-180°=180°，
则∠2+∠4=90°.
又∵∠B=90°，∴∠2+∠5=90°，则∠4=∠5.∴AE∥CF.
（2）当AE，CF都为外角平分线时（如图2），AE与CF的位置关系怎样？请给出证明；
（3）当AE是内角平分线，CF是外角平分线时（如图3），请探索AE与CF的位置关系，并给出证明.
图1 图2 图3
(第20题)
走进重高
11.【广州】如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12cm，点D在AC上，DC=4cm.将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则△EBF的周长为 cm.
(第3题) (第4题)
12.【绵阳】如图，AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=130°，则∠F= .
13.【赤峰】如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连结EA，ED.
（1）探究猜想：
①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？
②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？
③猜想图1中∠AED，∠A，∠D的关系并证明你的结论.
（2）拓展应用：
如图2，射线FE与长方形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界)，其中区域③④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求证明）.
图1 图2
(第6题)
高分夺冠
1.一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而行，如果第一次拐角∠A是110°，第二次拐角∠B是150°，第三次拐角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数是（ ）.
A.100° B.150° C.110° D.140°
(第1题) (第2题) (第3题)
2.如图，甲船从北岸码头A向南行驶，航速为36km/h；乙船从南岸码头B向北行驶，航速为27km/h.两船均于7：15出发，两岸平行，水面宽为18.9km，则两船距离最近时的时刻为（ ）.
A.7：35 B.7：34 C.7：33 D.7：32
3.如图，在4×4的正方形网格中，∠1，∠2，∠3的大小关系是 .
4.略
5.已知E，F分别是AB，CD上的动点，P也为一动点.
（1）如图1，若AB∥CD，求证：∠P=∠BEP+∠PFD；
（2）如图2，若∠P=∠PFD-∠BEP，求证：AB∥CD；
（3）如图3，AB∥CD，移动点E，F使得∠EPF=90°，作∠PEG=∠BEP，求的值.
图1 图2 图3
(第5题)
基础巩固篇
第一讲 平行线及其判定
思维导图
重难点分析
重点分析：
1.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，用符号“∥”表示.
2.“三线八角”：两条直线被第三条直线所截，构成八个角，称为“三线八角”，这八个角中，同位角有四对，内错角有两对，同旁内角有两对.
3.平行线的判定方法：（1）根据定义判定；（2）三个判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；（3）平行的传递性；（4）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
难点分析：
1.平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也不一定平行.
2.过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，这一性质指出了过直线外一点作这条直线的平行线的“存在性”和“唯一性”，要注意“直线外一点”这一条件.
3.平行线的判定定理是通过角的关系说明直线的位置关系，实现了几何条件之间的转化，应用定理时要注意正确判断角的位置特征.
例题精析
例1、在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有一个公共点；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数为（ ）.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
思路点拨：根据直线的性质公理、相交线的定义、垂线的性质、平行公理对各小题分析判断后即可得解.
解题过程：①过两点有且只有一条直线，正确；
②两条不相同的直线若相交则有且只有一个公共点，若平行则没有公共点，故错误；
③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确；
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确；
综上所述，正确的有①③④共3个.故选C.
方法归纳：本题考查了平行公理、直线的性质、垂线的性质以及相交线的定义，属于基础概念题，熟记概念是解题的关键.
易错误区：两条不相同的直线除了平行外，如果不在同一平面内，也可能没有公共点.
例2、如图，标有角号的7个角中共有 对内错角， 对同位角， 对同旁内角.
思路点拨：根据内错角、同位角及同旁内角的定义判断即可求得本题.
解题过程：共有4对内错角：分别是∠1和∠4，∠2和∠5，∠6和∠1，∠5和∠7；
2对同位角：分别是∠7和∠1，∠5和∠6；
4对同旁内角：分别是∠1和∠5，∠3和∠4，∠3和∠2，∠4和∠2.
方法归纳：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由这两个角在图形中的相对位置决定.在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线.
易错误区：同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形.图形较为复杂，要注意从复杂的图形中分解出基本图形.
例3、（1）如图1，AB，CD，EF是三条公路，且AB⊥EF，CD⊥EF.试判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，若小路OM平分∠EOB，通往加油站N的岔道O′N平分∠CO′F，试判断OM与O′N的位置关系.
思路点拨：（1）根据在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，即可证得AB∥CD；（2）可通过构建直线OM与O′N的同位角来得出OM∥O′N的结论.
解题过程：
（1）∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴AB∥CD（在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行）.
（2）如图，延长NO′与AB交于点P.
∵OM平分∠EOB，O′N平分∠CO′F，
∴∠EOM=∠FO′N=45°.
∵∠FO′N=∠EO′P，
∴∠EOM=∠EO′P=45°.
∴OM∥O′N（同位角相等，两直线平行）.
方法归纳：本题主要考查了平行线的判定方法.解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角.
易错误区：第（2）题中虽然有∠EOM与∠FO′N相等，但它们不是同位角，不能直接用来判定两直线平行.
例4、如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，BE的延长线交CD于点F，∠1+∠2=90°.
（1）求证：AB∥CD；
（2）试探究∠2与∠3的数量关系.
思路点拨：（1）根据BE，DE分别平分∠ABD，∠BDC，且∠1+∠2=90°，可得∠ABD+∠BDC=180°，根据同旁内角互补，可得两直线平行；（2）根据∠1+∠2=90°，可得∠BED=90°，从而可得∠3+∠FDE=90°，将等角代换，即可得出∠3与∠2的数量关系.
解题过程：（1）证明：∵BE，DE分别平分∠ABD，∠BDC，
∴∠1=∠ABD，∠2=∠BDC.
∵∠1+∠2=90°，∴∠ABD+∠BDC=180°.
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）.
（2）∵DE平分∠BDC，∴∠2=∠FDE.
∵∠1+∠2=90°，∴∠BED=∠DEF=90°.
∴∠3+∠FDE=90°.∴∠2+∠3=90°.
方法归纳：本题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定，注意题中各角之间的数量关系要理清楚.
易错误区：第（2）题中的数量关系不是等量关系，不要误认为∠2=∠3.
例5、如图1，已知∠EAC=90°，∠1+∠2=90°，∠1=∠3，∠2=∠4.求证：
（1）DE∥BC；
（2）若将图形改变为图2、图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请选择一个图形予以证明；若不成立，请说明理由.
图1 图2 图3
思路点拨：（1）首先证明∠1+∠3+∠2+∠4=180°，进而证明∠D+∠B=180°，即可解决问题；（2）在图2中，连结CE，证明∠AEC+∠ACE+∠3+∠4=180°，即可解决问题.
解题过程：（1）如图1，∵∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠1+∠3+∠2+∠4=2（∠1+∠2）.
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1+∠3+∠2+∠4=180°.
∵∠D+∠B+∠1+∠3+∠2+∠4=360°，
∴∠D+∠B=180°.
∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.
（2）成立.
如图，连结EC.
∵∠1=∠3，∠2=∠4，且∠1+∠2=90°，
∴∠3+∠4=∠1+∠2=90°.
∵∠EAC=90°，
∴∠AEC+∠ACE=180°-90°=90°.
∴∠AEC+∠ACE+∠3+∠4=180°.
∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.
∴（1）中的结论仍成立.
图3用类似方法可得DE∥BC.
方法归纳：本题考查了平行线的判定问题，解题的关键是灵活运用三角形的内角度数关系（三角形三个内角和等于180°），结合平行线的判定定理来分析、判断、解答.
易错误区：图2通过连结EC将∠3和∠4的关系用三角形联系起来是本题难点.
探究提升
例、三条直线两两相交于三点（如图1），共有几对
对顶角？几对邻补角？几对同位角？几对内错角？几对同旁内角？四条直线两两相交呢（如图2）？你能发现n条直线两两相交的规律吗？
思路点拨：解题的关键在于找到每个图形中含有几个三线八角的基本图形，三条直线两两相交，共有3个三线八角的基本图形；四条直线两两相交有12个三线八角的基本图形.n条直线中任选两条有种选法，然后在剩下的（n-2）条直线中任选一条直线作为截线共有（n-2）种选法，所以n条直线两两相交共有个三线八角的基本图形.
解题过程：三条直线两两相交于三点，共有6对对顶角，12对邻补角，12对同位角，6对内错角，6对同旁内角；四条直线两两相交，共有12对对顶角，24对邻补角，48对同位角，24对内错角，24对同旁内角；n条直线两两相交，共有nn-1对对顶角，2nn-1对邻补角，2nn-1（n-2）对同位角，nn-1（n-2）对内错角，nn-1（n-2）对同旁内角.
方法归纳：对于规律题关键在于找出规律，但在找到规律的同时还需要明确基本图形的特征.
易错误区：本题通过分解图形，利用“三线八角”这一基本图形解决问题，仅利用图形找角是不容易找全的.
专项训练
拓展训练
A组
1.如图，∠1与∠2是同位角的是（ ）.
(第1题)
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④
2.如图，下列条件中，能判定DE∥AC的是（ ）.
A.∠EDC=∠EFC B.∠AFE=∠ACD C.∠3=∠4 D.∠1=∠2
(第4题) (第5题)
3.如图，请填写一个你认为恰当的条件： ，使AB∥CD.
4.如图，有下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角.其中正确的是 （填序号）.
(第7题) (第8题)
5.如图，∠A=70°，O是AB上一点，直线CO与AB所夹的∠BOC=82°，当直线OC绕点O按逆时针方向至少旋转 °时，OC∥AD.
6.如图，已知∠1=∠2，∠BAC=20°，∠ACF=80°.
（1）求∠2的度数；
（2）FC与AD平行吗？为什么？
（3）根据以上结论，你能确定∠ADB与∠FCB的大小关系吗？请说明理由.
(第11题)
B组
7.在同一平面内，有l1，l2，l3，l4四条直线，若l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则（ ）.
A.l1⊥l3，l2⊥l4
B.l1∥l3，l2⊥l4
C.l1∥l3，l1⊥l4
D.l1∥l4，l2⊥l4
8.如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3.求证：BE∥DF.
(第17题)
9.如图，BD⊥AC于点D，EF⊥AC于点F，∠AMD=∠AGF，∠1=∠2=35°.
（1）求∠GFC的度数；
（2）求证：DM∥BC.
(第18题)
走进重高
1.【柳州】如图，与∠1是同旁内角的是（ ）.
A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5
(第1题) (第2题)
2.【赤峰】如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD，使其拐角∠ABC=150°，∠BCD=30°，则（ ）.
A.AB∥BC B.BC∥CD C.AB∥DC D.AB与CD相交
3.【淄博】如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由.
(第5题)
4.如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C=∠EFG，∠CED=∠GHD.
（1）求证：CE∥GF；
（2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
（3）若∠EHF=100°，∠D=30°，求∠AEM的度数.
(第6题)
高分夺冠
1.直线a，b，c在同一平面内，①如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c；②如果a∥b，b∥c，那么a∥c；③如果a∥b，b⊥c，那么a⊥c；④如果a与b相交，b与c相交，那么a与c相交.在上述四种说法中，正确的有 个.
4.将一副三角尺中的两个直角顶点C叠放在一起（如图），其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°.
（1）若∠BCD=150°，求∠ACE的度数；
（2）试猜想∠BCD与∠ACE之间的数量关系，并说明理由；
（3）若按住三角尺ABC不动，绕顶点C转动三角尺DCE，试探究∠BCD等于多少度时，CD∥AB，并简要说明理由.
备用图1 备用图2
(第4题)
第八讲 因式分解
思维导图
重难点分析
重点分析：
1.因式分解的实质是多项式的恒等变形，是将多项式转化为几个整式的积的形式，和整式乘法是互逆关系.
2.提取公因式法是因式分解的基本方法，关键在于找公因式.找公因式的方法是：一看系数，二看相同的字母或因式.
3.平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2是常用的两个公式，平方差公式适用于二项式，完全平方公式适用于三项式.
4.因式分解的一般步骤：（1）若多项式有公因式，先提取公因式；（2）若多项式没有公因式，对于二项式，可以考虑应用平方差公式；对于三项式可以考虑应用完全平方公式或十字相乘法［x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）］；（3）当多项式不能应用公式或者项数多于三项时，也就是既没有公因式也不能用公式分解时，可以尝试用分组分解法，项数较少时可通过拆项或添项后再分组.
难点分析：
1.因式分解的对象是多项式.
2.因式分解的两种常见错误：一是“提不净”，即有公因式没提干净；二是“分不清”，即分解不彻底，因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止.
3.十字相乘法和分组分解法虽然是课本上不作要求的方法，但对于整式的变形有很大的作用，建议学会这两种方法.
4.配方法、换元法、待定系数法、求根法、拆（添）项法等都是因式分解的常用方法.
例题精析
例1、下列从左到右的变形：①15x2y=3x·5xy；②（a+b）（a-b）=a2-b2；③a2-2a+1=（a-1）2；④3x3-6x2+4=3x2（x-2）+4；⑤a2-=(a+)(a-)，其中是因式分解的个数是（ ）.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
思路点拨：因式分解就是把多项式分解成几个整式的积的形式，根据定义即可进行判断.①⑤分解的对象不是多项式，所以不是因式分解；②是整式的乘法；④没有完全分解成整式的乘积形式；只有③是因式分解.
参考答案：B
方法归纳：因式分解的几个特点：（1）“和差化积”，即等式右边是整式的乘积形式；（2）分解的对象是多项式；（3）恒等变形，即等式两边恒相等.
易错误区：注意a2-=(a+)(a-)虽然是利用平方差公式将代数式分解成乘积形式，但由于分解的对象不是多项式，所以不能称为因式分解.
例2、分解因式：
（1）-4+x2；
（2）-4x2y+4xy2-y3；
（3）9（a-b）2-4（a+b）2；
（4）3a2+bc-3ac-ab；
（5）16x4-8x2y2+y4.
思路点拨：（1）交换两个加数的位置，即可运用平方差公式；（2）提取公因式-y，即可运用完全平方公式；（3）首先运用平方差公式，再对括号内的式子进行整理即可；（4）首先要合理分组，再运用提公因式法完成因式分解；（5）先运用完全平方公式因式分解，再运用平方差公式因式分解.
解题过程：（1）原式=x2-4=（x+2）（x-2）.
（2）原式=-y（4x2-4xy+y2）=-y（2x-y）2.
（3）原式=（3a-3b+2a+2b）（3a-3b-2a-2b）=（5a-b）（a-5b）.
（4）原式=（3a2-3ac）+（bc-ab）=3a（a-c）-b（a-c）=（3a-b）（a-c）.
（5）原式=（4x2-y2）2=（2x+y）2（2x-y）2.
方法归纳：本题考查了用公式法、分组分解法分解因式，熟练掌握公式结构是解答本题的关键，合理分组也很重要.
易错误区：第（2）题要先提取公因式，第（4）题要合理分组，第（5）题要分解彻底.
例3、分解因式：x2-120x+3456.
分析：由于常数项数值较大，则采用将x2-120x变为差的平方的形式进行分解，这样简便易行：
原式=x2-2×60x+3600-3600+3456
=（x-60）2-144=（x-60+12）（x-60-12）=（x-48）（x-72）.
请按照上面的方法分解因式：x2+42x-3528.
思路点拨：先把x2+42x-3528转化为x2+2×21x+441-441-3528，因为前三项符合完全平方公式，将x2+2×21x+441作为一组，然后进一步分解.
解题过程：原式=x2+2×21x+441-441-3528
=（x+21）2-3969=（x+21+63）（x+21-63）
=（x+84）（x-42）.
方法归纳：本题考查的是用分组分解法分解因式，关键是将原式转化为完全平方的形式，然后分组分解.解题时要求同学们要有构造意识和想象力.
易错误区：本题主要方法是配方法，关键是将x2+42x配成完全平方式，配上的数应该是42的一半的平方，不要配成42的平方.
例4、阅读下列材料并解答问题：
因为（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，所以对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式分解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两个数的和等于p，即若有a，b两数满足a·b=q且a+b=p，则有
x2+px+q=（x+a）（x+b）.
例如：分解因式x2+5x+6.
解：∵2×3=6，2+3=5，∴x2+5x+6=（x+2）（x+3）.
再如:分解因式x2-5x-6.
解：∵-6×1=-6，-6+1=-5，∴x2-5x-6=（x-6）（x+1）.
同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看.
分解因式：（1）x2+7x+12；
（2）x2-7x+12；
（3）x2+4x-12；
（4）x2-x-12.
思路点拨：发现规律：二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式分解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两个数的和等于p，则x2+px+q=（x+a）（x+b）.
解题过程：（1）∵3×4=12，3+4=7，∴原式=（x+3）（x+4）.
（2）∵（-3）×(-4)=12,-3+(-4)=-7,∴原式=（x-3）（x-4）.
（3）∵6×(-2)=-12，6+（-2）=4，∴原式=（x+6）（x-2）.
（4）∵（-4）×3=-12，-4+3=-1，∴原式=（x-4）（x+3）.
方法归纳：本题考查用十字相乘法分解因式，是x2+（a+b）x+ab型式子的因式分解的应用，应掌握x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）.
易错误区：注意系数的符号，将常数项分解成两个数的积的时候要将符号考虑周全.
例5、阅读下面的材料，解答下列问题：
材料1：公式法（平方差公式、完全平方公式）是因式分解的一种基本方法.如对于二次三项式a2+2ab+b2，可以逆用乘法公式将它分解成（a+b）2的形式，我们称a2+2ab+b2为完全平方式.但是对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=（x+a）2-（2a）2=（x+3a）（x-a）.
材料2：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1.
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A，则
原式=A2+2A+1=（A+1）2.
再将“A”还原，得：原式=（x+y+1）2.
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把c2-6c+8分解因式；
（2）结合材料1和材料2完成下面各题：
①分解因式：（a-b）2+2（a-b）+1；
②分解因式：（m+n）（m+n-4）+3.
思路点拨：（1）利用已知结合完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案；（2）①直接利用完全平方公式分解因式得出答案；②利用已知结合完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案.
解题过程：（1）c2-6c+8=c2-6c+32-32+8=（c-3）2-1=（c-3+1）（c-3-1）=（c-2）（c-4）.
（2）①（a-b）2+2（a-b）+1=（a-b+1）2.
②设m+n=t，则t（t-4）+3=t2-4t+3=t2-4t+22-22+3=（t-2）2-1=（t-1）（t-3），
∴（m+n）（m+n-4）+3=（m+n-1）（m+n-3）.
方法归纳：本题主要考查了用公式法分解因式以及整体换元思想，熟练应用公式是解题关键.
易错误区：完全平方公式是配方的基本公式，特别注意配方是根据a2+2ab+b2来配常数，即若二次项系数是1，则常数项配一次项系数一半的平方，不是一次项系数的平方.
探究提升
例、分解因式：
（1）4x3-31x+15； （2）x3+5x2+3x-9； （3）2a4-a3-6a2-a+2.
思路点拨：（1）需把-31x拆项成-x-30x，再分组分解；（2）把x3+5x2+3x-9拆项成（x3-x2）+（6x2-6x）+（9x-9），再提取公因式因式分解；（3）先分组分解因式，再用拆项法把因式分解彻底.
解题过程：（1）原式=4x3-x-30x+15
=x（2x+1）（2x-1）-15（2x-1）
=（2x-1）（2x2+x-15）
=（2x-1）（2x-5）（x+3）.
（2）原式=（x3-x2）+（6x2-6x）+（9x-9）
=x2（x-1）+6x（x-1）+9（x-1）
=(x-1)(x2+6x+9)
=（x-1）（x+3）2.
（3）原式=a3（2a-1）-（2a-1）（3a+2）
=（2a-1）（a3-3a-2）
=（2a-1）（a3+a2-a2-a-2a-2）
=（2a-1）［a2（a+1）-a（a+1）-2（a+1）］
=（2a-1）（a+1）（a2-a-2）
=（a+1）2（a-2）（2a-1）.
方法归纳：本题考查用公式法、分组分解法、十字相乘法、提取公因式法等方法进行因式分解，同时都应用了“拆项”、“添项”，所以难度较大.
易错误区：本题是通过拆项法因式分解，拆项要围绕因式分解的基本方法进行，主要是为了出现公因式或可以应用公式，不能盲目去拆.
走进重高
1.【潍坊】将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）.
A.a2-1 B.a2+a C.a2+a-2 D.（a+2）2-2（a+2）+1
2.【贺州】将m3（x-2）+m（2-x）分解因式的结果是 .
3.【大庆】已知a+b=3，ab=2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值.
4.先阅读第（1）题的解答过程，再解答第（2）题.
（1）已知多项式2x3-x2+m有一个因式是2x+1，求m的值.
解法一：设2x3-x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），
则2x3-x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b.
比较系数得解得∴m=.
解法二：设2x3-x2+m=A·（2x+1）（A为整式）.
由于上式为恒等式，为方便计算取x=-，
2×-()3-(-)2+m=0，故m=.
（2）已知x4+mx3+nx-16有因式x-1和x-2，求m，n的值.
高分夺冠
1.分解因式：
（1）x4-1-4x2-4x； （2）x5+x+1； （3）a2-b2+4a+2b+3.
2.因为（x+2）（x-1）=x2+x-2，所以（x2+x-2）÷（x-1）=x+2，这说明x2+x-2能被x-1整除，同时也说明多项式x2+x-2有一个因式为x-1，另外当x=1时，多项式x2+x-2的值为0.
利用上述阅读材料求解：
（1）已知x-2能整除x2+kx-16，求k的值；
（2）已知（x+2）（x-1）能整除2x4-4x3+ax2+7x+b，试求a,b的值.
无答案）4.已知x，y为正整数，并且xy+x+y=71，x2y+xy2=880，求3x2+8xy+3y2的值.
第九讲 因式分解的应用
思维导图
重难点分析
重点分析：
因式分解的应用极其广泛，因式分解的实质是把和或差化成积的一种代数变换.应用因式分解解决数学问题或实际问题是一种常用的数学基本方法和运算技巧，对后续分式、一元二次方程等知识有很大帮助.本节中主要涉及数的计算、多项式除法、代数的求值或恒等变形以及解一些简单的二次方程等.
难点分析：
因式分解法解方程主要是将方程分解为“A·B=0”的形式，即“若A·B=0，则有A=0或B=0”.应用因式分解法解决数学问题或实际问题时要注意结合换元法、配方法、待定系数法等重要的数学方法.
例题精析
例1、计算：
（1）［（m+n）2-4（m-n）2］÷（3n-m）；
（2）［（a-2b）2-4（a-2b）+4］÷（a-2b-2）.
思路点拨：关键在于对被除式进行因式分解，分解后与除式之间的关系就显而易见.
解题过程：（1）原式=（m+n+2m-2n）（m+n-2m+2n）÷（3n-m）=（3m-n）（3n-m）÷（3n-m）=3m-n.（2）原式=（a-2b-2）2÷（a-2b-2）=a-2b-2.
方法归纳：我们现在所接触的多项式除以多项式都是利用因式分解来解决的，都是能整除的情况.
易错误区：因式分解时，注意应用去括号或添括号法则时符号的变化.
例2、解方程：
（1）2x2-3x=0； （2）x（2x-3）=4x-6； （3）16（x+1）2=25（x-2）2.
思路点拨：借助因式分解来解一元二次方程，把所有项移到等式左边进行因式分解，再依据“如果若干个数之积为零，那么至少有一个数为零”这一性质求解.事实上就是把一元二次方程转化为两个一元一次方程，达到降次的目的，实现从未知到已知的转化.
解题过程：（1）∵2x2-3x=0,∴x（2x-3）=0.
∴x1=0，x2=.
（2）∵x（2x-3）=4x-6，∴x（2x-3）-2（2x-3）=0.
∴（x-2）（2x-3）=0.∴x1=2，x2=.
（3）∵16（x+1）2=25(x-2)2，∴16（x+1）2-25（x-2）2=0.
∴（4x+4+5x-10）（4x+4-5x+10）=0.
∴（9x-6）（14-x）=0.∴x1=，x2=14.
方法归纳：因式分解在解一元二次方程或一元高次方程中有很好的应用.对于第（3）题也可以直接用开平方的方法，这时会出现两种情况：4（x+1）=5（x-2）或4（x+1）=-5（x-2）.一般情况下，一元二次方程要有解就会有两个解，分别用x1和x2表示.
易错误区：对于方程（3），不能简单地两边同时除以2x-3得到x=2，这样会造成没有考虑2x-3=0这一情况而导致漏根.
例3、在学习中，小明发现：①32-12=9-1=8=1×8；②52-12=25-1=24=3×8；③112-12=121-1=120=15×8；④172-12=289-1=288=36×8，…
于是小明猜想：当n为任意正奇数时，n2-1的值一定是8的倍数，你认为小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由.
思路点拨：用2k+1表示奇数，再对n2-1因式分解，分析因式分解结果中的因式，判断是不是8的倍数.
解题过程：小明的猜想正确.
理由：∵n为奇数，∴可设n=2k+1（k为自然数）.
∴n2-1=（2k+1）2-1=（2k+1+1）（2k+1-1）=（2k+2）×2k=4k（k+1）.
∵k为自然数，∴k，k+1是两个相邻的自然数.
∴k，k+1中必有一个是偶数，一个是奇数.
∴k（k+1）必定是2的倍数.∴4k（k+1）必定是8的倍数.
故当n为任意正奇数时，n2-1的值一定是8的倍数.
方法归纳：本题考查了因式分解的应用，先猜想结论，再进行验证.数的奇偶性判断是本题的难点.
易错误区：k与k+1是相邻的两个整数，必定是一奇一偶，所以4k（k+1）不仅仅是4的倍数还是8的倍数.
例4、如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的小长方形，且m＞n.
（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为；
（2）若每块小长方形的面积为10，四个正方形的面积之和为58，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和.
思路点拨：（1）据图由长方形面积公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可；（2）根据四个正方形的面积之和为58，以及每块小长方形的面积为10，得出等式求出m+n，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可.
解题过程：（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）.
（2）依题意，得2m2+2n2=58，mn=10，∴m2+n2=29.
∵（m+n）2=m2+2mn+n2，
∴（m+n）2=29+2×10=49.
∵m+n＞0，∴m+n=7.
∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为2(m+2n)+2(2m+n)=6(m+n)=42.
方法归纳：本题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图形得出是解题关键.
易错误区：解题时要注意（m+n）2=49时，m+n是49的平方根，结果有两个，但涉及实际问题，要将负的值舍去，要明确平方根与算术平方根的区别与联系.
例5、如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，我们就把这样的自然数叫做“和谐数”.例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是6，4，7，4，6，所以64746是“和谐数”.再如：33，181，212，4664等都是“和谐数”.
（1）请你直接写出3个四位数的“和谐数”，猜想任意一个四位数的“和谐数”能否被11整除，并说明理由；
（2）已知一个能被11整除的三位数的“和谐数”，设个位上的数字为x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，写出y与x之间的关系式（用x表示y).
思路点拨：（1）根据“和谐数”的定义写出3个四位数的“和谐数”；设任意四位数的“和谐数”的形式为：（a，b为自然数），则这个四位数为a×103+b×102+b×10+a=1001a+110b，通过提取公因式可判断任意四位数的“和谐数”都可以被11整除；（2）设能被11整除的三位数的“和谐数”为：x×102+y×10+x=101x+10y，由于=9x+y+，根据整数的整除性得到2x-y=0，于是可得y与x之间的关系式.
解题过程：（1）四位数的“和谐数”：1221，1331，1111，6666.
任意一个四位数的“和谐数”都能被11整除，理由如下：
设任意四位数的“和谐数”的形式为：（a，b为自然数），则a×103+b×102+b×10+a=1001a+110b.
∵1001a+110b=11(91a+10b)，
∴四位数的“和谐数”能被11整除.
∴任意四位数的“和谐数”都可以被11整除.
（2）设能被11整除的三位数的“和谐数”为：，则x×102+y×10+x=101x+10y，
则=9x+y+.
∵1≤x≤4，101x+10y能被11整除，
∴2x-y=0.
∴y=2x（1≤x≤4）.
方法归纳：本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题.灵活利用整数的整除性.
易错误区：一要注意十进制多位数的正确表示方法，二要注意x，y的取值.
探究提升
例、已知整数a，b满足6ab=9a-10b+16，求a+b的值.
思路点拨：运用因式分解法把原来的等式变形为（3a+5）（2b-3）=1，再根据两个整数的乘积是1，只有1×1和（-1）×（-1）两种情况，再进一步解方程组即可.
解题过程：由6ab=9a-10b+16，得6ab-9a+10b-15=16-15.
∴（3a+5）（2b-3）=1.
∵3a+5，2b-3都为整数，∴或∴或
∵a，b为整数，∴故a+b=-1.
方法归纳：因式分解法是解高次不定方程的重要方法，要注意本题的方法与因式分解解一元二次方程的方法的区别，解一元二次方程一般方程右边变为零，而解不定方程的右边只要为整数，然后分析整数的约数即可.
易错误区：A·B=1且A和B均为整数，则有A=1，B=1或A=-1，B=-1，不要漏掉两个都是-1这种情况.
专项训练
走进重高
1.【杭州】设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2-（a-b）2，则下列结论：①若a@b=0，则a=0或b=0;②a@（b+c）=a@b+a@c;③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2;④设a，b是长方形的长和宽，若长方形的周长固定，则当a=b时，a@b最大.其中正确的是（ ）.
A.②③④ B.①③④ C.①②④ D.①②③
2.数348-1能被30以内的两位数（偶数）整除，这个数是 .
3.【遂宁】阅读下面的文字与例题.
将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.
例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（a+b）（m+n）；
（2）x2-y2-2y-1=x2-（y2+2y+1）=x2-（y+1）2=（x+y+1）（x-y-1）.
试用上述方法分解因式：a2+2ab+ac+bc+b2= .
4.【杭州】设y=kx，是否存在实数k，使得代数式（x2-y2）（4x2-y2）+3x2（4x2-y2）能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由.
高分夺冠
1.已知a2（b+c）=b2（a+c）=2015，且a，b，c互不相等，则c2（a+b）-2014的值为（ ）.
A.0 B.1 C.2015 D.-2015
2.x2-3xy-4y2-x+by-2能分解为两个关于x，y的一次式的乘积，则b= .
3.求方程5x2+5y2+8xy+2y-2x+2=0的实数解.
4.若x为整数，则x（x+1）（x-1）（x+2）+1是一个整数的平方.请说明理由.
5.已知正实数a，b，c满足方程组求a+b+c的值.
第五讲 整式的乘法
思维导图
重难点分析
重点分析：
1.幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方是将几个因数分别乘方再相乘.
2.单项式乘单项式结果还是单项式，相乘时把系数和相同字母分别相乘，即转化为数的运算和同底数幂的运算.
3.单项式乘多项式、多项式乘多项式，实际上是运用了乘法的分配律，转化为单项式的乘法，其结果还是多项式，所以幂的运算法则是单项式相乘的基础，而单项式相乘的法则是整式乘法运算的基础.
难点分析：
1.幂的运算法则中的底数a既可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项式，即应该把它看作一个“整体”.
2.幂的运算法则中的同底数幂的个数、幂的指数个数、积中的因数个数都可以推广，如［（am）n］p=amnp.
3.几个单项式相乘，积的符号由负因式的个数决定.单项式与多项式、多项式与多项式相乘时，根据乘法分配律不要漏乘.对于整式的混合运算，其运算顺序与数的运算顺序相同，先乘方和开方，再乘除，后加减.
例题精析
例1、计算：
（1）（y4）3（y2）5；
（2）-（-2a2b）3；
（3）2·（24）3-（23）4；
（4）[-2(x-y)2]2·(y-x)3.
思路点拨：利用幂的运算法则运算，计算时注意选择合适的法则，注意系数及系数的符号.若不是同底数，则应先进行适当的变形化成同底数幂.
解题过程：（1）原式=y12·y10=y22.
（2）原式=-(-8a6b3)=8a6b3.
（3）原式=2·212-212=212.
（4）原式=4(x-y)4·(y-x)3=4(y-x)4·(y-x)3=4(y-x)7.
方法归纳：在进行同底数幂的乘法运算时要注意以下几点：（1）先确定是否是同底数幂相乘，若是，则直接用法则进行计算；若不是，则应先化为同底数幂，再相乘；（2）同底数幂中底数可以是单项式也可以是多项式；（3）当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可以推广.
易错误区：要熟练掌握幂的运算法则，避免出现y3·y4=y12，213-212=2这一类错误.
例2、计算：
（1）-5ab2·(-a2bc)；
（2）(ab-b2+)·(-2a)2；
（3）5x(x2-2x+4)-x2(5x-3)；
（4）(2a2-b)(a-4b)-(a+3b)(a-4b).
思路点拨：根据运算法则运算，对于多项式乘多项式或混合运算，先根据法则去括号，再合并同类项.
解题过程：（1）原式=(5×)(a·a2)(b2·b)c=a3b3c.
（2）原式=(ab-b2+)·4a2=2a3b-4a2b2+3a2.
（3）原式=5x3-10x2+20x-5x3+3x2=-7x2+20x.
（4）原式=2a3-8a2b-ab+4b2-（a2-4ab+3ab-12b2）
=2a3-8a2b-ab+4b2-a2+4ab-3ab+12b2
=2a3-8a2b-a2+16b2.
方法归纳：单项式相乘时，要注意运算顺序，先算幂的乘方，再相乘.单项式与多项式、多项式与多项式相乘时，不要漏乘，混合运算注意符号.
易错误区：加减乘除混合运算时，要注意积是一个整体，要加括号，然后根据去括号法则去括号后再合并同类项.
例3、（1）已知ax=5，ax+y=25，求ax+ay的值；
（2）已知10α=5，10β=6，求103α+2β的值.
思路点拨：（1）先根据同底数幂乘法运算的逆运算得出ax+y=ax·ay=25，根据ax=5可得ay=5，代入即可求解；（2）将原式利用同底数幂乘法运算的逆运算变形为（10a）3·（10β）2，即可求解.
解题过程：（1）∵ax+y=ax·ay=25，ax=5，∴ay=5.
∴ax+ay=5+5=10.
（2）103α+2β=（10a）3·（10β）2=53×62=4500.
方法归纳：本题主要考查的是整数指数幂的逆运算，掌握整数指数幂的运算公式是解题的关键.
易错误区：ax+y=ax·ay而不是ax+ay，幂运算与指数运算之间的转化关系一定要正确.
例4、设m=2100，n=375，为了比较m与n的大小.小明想到了如下方法：m=2100=（24）25=1625，即25个16相乘的积；n=375=（33）25=2725，即25个27相乘的积，显然m＜n.现在设x=430，y=340，请你用小明的方法比较x与y的大小.
思路点拨：根据题意先把x，y分别写成（43）10，（34）10，然后比较底数的大歇オ?
解题过程：由阅读材料知x=（43）10=6410，y=（34）10=8110.
又∵64＜81，∴x＜y.
方法归纳：本题考查了幂的乘方这一性质的运用，确定指数是关键.两个底数不同、指数相同的数比较大小时，底数大的值比底数小的值要大.
易错误区：将幂转化为同指数幂的问题往往需要逆向运用法则，所以熟练掌握幂的运算法则是解本题的关键.
例5、阅读下文，寻找规律：
已知x≠1，计算：
（1-x）（1+x）=1-x2;
（1-x）（1+x+x2）=1-x3;
（1-x）（1+x+x2+x3）=1-x4;
（1-x）（1+x+x2+x3+x4）=1-x5;
…
（1）观察上式猜想：（1-x）（1+x+x2+x3+…+xn）= ；
（2）根据你的猜想计算：
①1+2+22+23+24+…+22016； ②2+22+23+24+…+2n.
思路点拨：（1）由式子的规律可得出（1-x）（1+x+x2+x3+…+xn）的计算结果；（2）①原式乘（1-2）即可利用（1）中得到的规律计算；③原式加1再乘（1-2）即可利用（1）中得到的规律计算.
解题过程：（1）观察上式可得：（1-x）（1+x+x2+x3+…+xn）=1-xn+1.
故答案为：1-xn+1.
（2）①∵（1-2）×（1+2+22+23+24+…+22016）=1-22017，
∴1+2+22+23+24+…+22016=（1-22017）÷（1-2）=22017-1.
②∵（1-2）×（1+2+22+23+24+…+2n）=1-2n+1，
∴2+22+23+24+…+2n=（1-2n+1）÷（1-2）-1=2n+1-2.
方法归纳：本题主要考查了多项式与多项式相乘，解题的关键是总结所给式子的特点.
易错误区：第（2）题①，②两个算式要注意联系与区别，尤其②式的结果要减1.
例6、我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面积表示.
（1）请你写出图3所表示的一个等式： ；
（2）试画出一个图形，使它的面积能表示（a+b）（a+3b）.
图1 图2 图3
思路点拨：（1）由题意得长方形的面积=长×宽，即可将长和宽的表达式代入，再进行多项式的乘法，可得出等式；（2）已知图形面积的表达式，可根据表达式得出图形的长和宽的表达式，从而即可画出图形.
解题过程：（1）∵长方形的面积=长×宽，
∴图3的面积=（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2.
故图3所表示的一个等式为（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2.
（2）∵图形的面积为（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2，
∴长方形的面积=长×宽=（a+b）（a+3b）.
可画出的图形如图4.
图4
方法归纳：本题考查了多项式的乘法的运用，是一道多项式的乘法与图形的面积相结合的创新题型.
易错误区：图形中有正方形和长方形几种形状、大小不同的图形，每个图形的边长都有一定的关系，要理清楚.
探究提升：已知（2x-3）（x2+mx+n）的展开项不含x2和x项，求m+n的值.
思路点拨：多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.本题可先利用多项式乘法法则把多项式展开，由于展开后不含x2和x项，则含x2和x项的系数为0，由此可以列出关于m，n的方程组，解方程组即可求出m，n的值，从而得到m+n的值.
解题过程：原式=2x3+2mx2+2nx-3x2-3mx-3n
=2x3+（2m-3）x2+（-3m+2n）x-3n.
由题意得解得
∴m+n=1.5+2.25=3.75.
方法归纳：本题考查了多项式的乘法法则以及多项式的展开项的定义.应用的数学方法是待定系数法，待定系数法的一般步骤：（1）设出待定系数（题中的m和n）；（2）根据恒等条件列出关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程（组）求出待定系数.本题注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0，这是本题列出方程组的依据.
易错误区：本题含有字母系数（待定系数），展开后找同类项是易错点，要注意2mx2与-3x2，2nx与-3mx是同类项，可以合并.
专项训练
走进重高
1.【福州】下列算式中，结果等于a6的是（ ）.
A.a4+a2 B.a2+a2+a2 C.a2·a3 D.a2·a2·a2
2.【临夏】计算：（-5a4）·（-8ab2）= .
3.【铜仁】请看杨辉三角如图，并观察下列等式：
(a+b)1=a+b;
(a+b)2=a2+2ab+b2;
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4; (第5题)
…
根据前面各式的规律，则（a+b）6= .
4.【内江】（1）填空：
（a-b）（a+b）= ；
（a-b）（a2+ab+b2）= ；
（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）= ;
（2）猜想：
（a-b）（an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1）= （其中n为正整数，且n≥2）;
（3）利用（2）猜想的结论计算：29-28+27-…+23-22+2.
高分夺冠
1.若多项式x2+ax+8和多项式x2-3x+b相乘的积中不含x2，x3项，求（a-b）3-（a3-b3）的值.
2.已知6x2-7xy-3y2+14x+y+a=（2x-3y+b）（3x+y+c），试确定a，b，c的值.
3.对任意有理数x，y定义运算如下：x△y=ax+by+cxy，这里a，b，c是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算.如当a=1，b=2，c=3时，1△3=1×1+2×3+3×1×3=16.现已知所定义的新运算满足1△2=3，2△3=4，并且有一个不为零的数d，使得对任意有理数x，都有x△d=x，求a，b，c，d的值.
