第五讲 球面三角形全等

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全等图形
形状、大小完全相同的图形是全等图形．
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全等是图形的重要性质之一．在欧氏几何中，我们对全等的研究是从平面三角形开始的，先讲全等的定义，在讲判定三角形全等的公理，最后运用三角形全等证明一些命题．我们对球面三角形的研究也遵循同样的思路．
类似于平面上研究全等的思路，首先给出球面上全等的定义．
两个球面三角形全等：两个图形完全相等，即球面三角形的六个要素——三条边、三个角分别相等．
由于球面的半径不同，球面的大小也不一样，所以研究球面三角形的全等问题只能在同一球面上或者是半径相等的球面上．
注意
下面讨论两个球面三角形全等的判定
1、“边边边”（s.s.s）判定定理
我们知道，如果平面三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等．
如果两个球面三角形的三对边对应相等，则两个球面三角形全等．
类似地，我们可以得到：
分析： 由球面△ABC与三面角O-ABC的对应关系可知，由于球面三角形的三条边对应相等，所以与球面三角形对应的两个三面角相等．这时，如果能够证明这两个三面角中每两个面所成的二面角也相等，那么就证明了球面三角形中的角对应相等，也即两个球面三角形全等．
证明：
如图5-1，在两个三面角O-ABC和O-A?B?C?中，连结AB，BC，CA，A?B?，B?C?，C?A?，
因为球面△ABC与球面△A?B?C?的三条边对应相等，即
又因等弧上的弦相等，
所以AB=A?B?,BC=B?C?,CA=C?A?．
因为三对面角∠AOB=∠A?O?B?,∠BOC=∠B?O?C?,
∠COA=∠C?O?A?．
又因为OA=OB=OC=OA?=OB?=OC?,
所以△AOB≌△A?OB?,△BOC≌△B?OC?,
△COA≌△C?OA?．
所以∠OAB=∠OA?B?,∠OBC=∠OB?C?,
∠OCA=∠OC?A?．
又因为△AOB≌△A?OB?，
所以∠BAC=∠B?A?C?.
在OA和OA?上分别取点D和D?，使AD=A?D?，再过点D在平面OAB和OAC上作OA的垂线，分别交AB和AC于点E和F；同样地，过点D?在平面OA?B?和OA?C?上作OA?的垂线，分别交A?B?和A?C?于点E?和F?，容易证明：
∠EDF=∠E?D?F?.
又因为EDF和E?D?F?分别是二面角B-OA-C和B?-OA?-C?的平面角，所以这两个二面角相等．
同理可证，另外两对二面角也相等．
由球面三角形的内角与三面角中二面角的对应关系，可得：
球面△ABC的和球面△A?B?C?的三对内角对应相等．
所以，球面△ABC≌球面△A?B?C?．
2、“边角边”（s.a.s）判定定理
如果两个球面三角形的两对边对应相等，且它们的夹角也相等，那么这两个球面三角形全等．
借助三面角这个“脚手架”，我们还可以证明下面一些球面三角形全等的判定定理．
3、“角边角”（a.s.a）判定定理
如果两个球面三角形的两对角对应相等，且夹边相等，则两个球面三角形全等．
4、“角角角”（a.a.a）判定定理
在平面上，我们知道，三对角对应相等的两个三角形不一定全等．也就是说，平面三角形全等的一个必要条件是至少有一对边对应相等．在球面上，三对角对应相等的两个球面三角形是否也有类似的结论呢？
答案是否定的.我们知道，半径为r的球面上，
球面△ABC的面积=（A+B+C-π）r2．
因此，若两个球面三角形的三对内角相等，那么它们的面积一定相等．所以，若两个球面三角形的三对内角相等（可以理解为一样），则它们的面积必相等，形状和大小一样的两个三角形当然全等．
如果两个球面三角形的三对角对应相等，则两个球面三角形全等．
所以，在球面上有两个球面三角形全等的“角角角（a.a.a）”判定定理．
下面我们给出它的证明．
分析：由于已经学过三个判定球面三角形全等的判定定理，我们尝试把球面三角形中角的关系转化为边的关系，由边的关系判定球面三角形全等．由于球面三角形与它的球极三角形之间存在定量的边角关系，因此我们设法通过构造球面三角形的球极三角形，实现球面三角形和球极三角形之间边角的转换，进而证明结论．
证明：设球面△ABC和△DEF的极对称三角形分别为球面△A?B?C?和△D?E?F?，且这四个球面三角形的边长分别为a，b，c；d，e，f；a?，b?，c?；d?，e?，f?．根据球面三角形和球极三角形之间的边角关系，有：
a?=π-∠A，d?=π-∠D，
b?=π-∠B，e?=π-∠E，
c?=π-∠C，f?=π-∠F.
又因为∠A=∠D，∠B=∠E，∠ C=∠F，
所以a?=d?,b?=e?,c?=f?．
因此，球面△A?B?C?≌球面△D?E?F?.
所以∠A?=∠D?,∠B?=∠E?,∠C?=∠F?.
又根据球面三角形和球极三角形之间的边角关系，有：
a=π-∠A?，d=π-∠D?，
b=π-∠B?，e=π-∠E?，
c=π-∠C?，f=π-∠F?.
所以a=d,b=e,c=f．
因此，球面△ABC≌球面△DEF．
从第四个判定定理可以看出，平面几何与球面几何有显著不同之处：
1.平面几何中，如果两个三角形的三个角对应相等，那么两个三角形相似，不一定全等．
2.球面几何中，在同一球面上，如果两个球面三角形的三对角对应相等，那么它们全等．
由1、2知道，在同一个球面上不存在相似三角形．
课堂小结
球面三角形全等的判定定理：
边边边（s.s.s.）
边角边（s.a.s）
角边角（a.s.a）
角角角（a.a.a）