4.1 因式分解(知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

21世纪教育网 –全国领先的中小学教育资源及组卷应用平台


浙江版2019﹣2020学年度下学期七年级数学下册第4章因式分解
4.1 因式分解
【知识清单】
1．因式分解：
(1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，或分解因式；
(2)注意：?①因式分解的对象必须是一个多项式；②因式分解的结果必须是几个整式的积的形式．?一般有两种形式：A单项式乘以多项式；?B多项式乘以多项式；?
(3)因式分解是一个恒等变形.
2．因式分解和整式的乘法的关系：
(1)因式分解和整式的乘法有互逆关系，因此，可以用整式的乘法运算来检验因式分解的正确性.
(2)从右到左是因式分解，其特点是由和差形式(多项式)转化成整式的积的形式；从左到右是整式乘法，其特点是由整式的积的形式转化成和差形式(多项式)．
.

【经典例题】
例题1、下列从左到右边的变形，是因式分解的是(　　)
A．(5﹣x)(5+x)=25﹣x?2 B．(–y+1)(y﹣7)=﹣(y ﹣7)(y﹣1)
C．4﹣y?2 +x2=(2+y)(2﹣y)+ x2 D．﹣4x?2?+4x﹣1=﹣(2x﹣1)?2
【考点】因式分解的意义．
【分析】分析：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项逐一进行判断即可．
【解答】A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
B、只是改变一个符号，故本选项错误；
C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
D、符合因式分解的定义，故本选项正确．故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解后左边和右边是相等的，可以用整式的乘法进行检验．
例题2、当k=______时，二次三项式x2﹣kx﹣10分解因式的结果是(x﹣5)(x+2)．
【考点】因式分解的意义．?
【分析】根据因式分解与多项式相乘是互逆运算，把多项式相乘展开，再利用对应项系数相等来求解．
【解答】∵(x﹣5)(x+2)=x2﹣3x﹣10，
∴﹣k=﹣3，k=3．
故应填3．
【点评】注意正确计算多项式的乘法，化为最简整式，然后根据对应项系数相等求解．
【夯实基础】
1．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为(　　)
A．2(2x﹣3y)=4x﹣6y B．(x﹣2)(x+3)=x2+x﹣6
C．mx﹣my+m=m(x﹣y) D．12x 2﹣3x=3x(4x﹣1)
2．已知多项式5x2﹣bx﹣c分解因式为(x﹣2)(5x+1)，则b+c的值为(　　)
A．﹣11? B．11?? C．14 D．16
3．一个多项式分解因式的结果是(a2+5)(5﹣a2)，那么这个多项式是( )
A．a4﹣25 B．25﹣a4 C．a4+25 D．﹣a4﹣25
4．若2a2+M +49b2=(2a﹣7b)2，则M=( )
A．﹣14ab B．14ab C．﹣28ab D．±28ab
5．在括号前面填上“+”或“﹣”号，使等式成立：
(1)(2a﹣3b)2= (3b﹣2a)2； (2)(2﹣5x)(3x﹣1)= (5x﹣2)(3x﹣1)
6．若mx2+nx﹣15能分解成( 2x+3 ) (2x – 5)，则m= ，n= .
7．分解因式(x2﹣3x+5)(x2﹣3x+k)=(x2﹣3x﹣6)2后，求k的值．




8．通过计算下列各式的值，寻找规律：
①(x﹣1)(x+1)=x2﹣1； ②(x﹣1)(x2+x+1)＝x3﹣1；
则有x2﹣1=(x﹣1)(x+1) 则有x3﹣1＝(x﹣1)(x2+x+1)
③(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4﹣1； ④(x﹣1)(x4+x3+x2+x+1)＝x5﹣1；
则有x4﹣1＝(x﹣1)(x3+x2+1)； 则有x5﹣1＝(x﹣1)(x4+x3+x2+x+1)；
……
猜想：x7﹣1＝ ；
若x2020﹣1 =(x﹣1)M，则M= .
9．已知a﹣a-1=3，求(1)a2+a-2；(2)a3﹣a-3的值.



【提优特训】
10．若x2+(k+3)x﹣8有一个因式是(x+2)，则k的值是( )
A．5 B．﹣5 C．﹣2 D．±5
11．如果2a2﹣3b3=5，那么18﹣8a2+12b3=( ).
A．28 B．13 C．2 D．﹣2
12．已知a2+16a+64=25，则a=( )
A．﹣3 B．﹣13 C．﹣3或 ﹣13 D．±8
13．(3x+2a)(4x﹣5a)是多项式( )分解因式的结果．
A．12x2﹣10a2 B．3x2﹣7ax﹣6a2 C．3x2+7ax﹣6a2 D．3x2﹣7ax+6a2
14．若x2﹣ax﹣15可以分解为(x﹣3)(x+b)，则a________ ，b=________?．
15．若，那么m=________.
16．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x﹣2)(x﹣3)；乙看错了a，分解结果为(x+6)(x﹣1)，则a+b=　________?
17．先阅理解，再解答问题．
(1)已知多项式3x3+5x2+a有一个因式是3x﹣4，求a的值．
解法一：设3x3+5x2+a=(3x﹣4)(x2+mx+n)，
则：3x3+5x2+a =3x3+(3m﹣4)x2+(3n﹣4m)x﹣4n
比较系数得， 解得， ∴a=﹣16.
解法二：设3x3+5x2+a =A?(3x﹣4)(A为整式)
由于上式为恒等式，为方便计算了取x=，
3×=0，故 a=﹣16．
根据上面的做法，解答问题：
(2)已知x4﹣2mx3+3nx﹣6有因式(x﹣2)和(x﹣3)，求m、n的值．





【中考链接】
18．(2019年?模拟)已知多项式x2+mx+7能分解成( x+7 ) (x +n)，则m= ， n= .
19．(2019年?模拟)已知(2x﹣21 ) ( 3x﹣7) ﹣(3x﹣7) (x﹣13)可以分解为(3x+a)(x+b)，且a，b均为整数则a+3b= .






参考答案
1、D 2、B 3、B 4、C 5、＋，－ 6、 4，－4 10、B 11、D 12、C 13、C
14、－2，5 15、7 16、－11 18、8，1 19、－31
7．分解因式(x2﹣3x+5)(x2﹣3x+k)=(x2﹣3x﹣6)2后，求k的值．
解：将x2﹣3x看作一个整体，
∵(x2﹣3x+5)(x2﹣3x+2)+k=(x2﹣3x﹣5)2
∴(x2﹣3x)2+7(x2﹣3x)+10+k=(x2﹣3x)2﹣10(x2﹣3x)+25
∴k=﹣17(x2﹣3x)+15=﹣17x2+51x+15.
8．通过计算下列各式的值，寻找规律：
①(x﹣1)(x+1)=x2﹣1； ②(x﹣1)(x2+x+1)＝x3﹣1；
则有x2﹣1=(x﹣1)(x+1) 则有x3﹣1＝(x﹣1)(x2+x+1)
③(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4﹣1； ④(x﹣1)(x4+x3+x2+x+1)＝x5﹣1；
则有x4﹣1＝(x﹣1)(x3+x2+1)； 则有x5﹣1＝(x﹣1)(x4+x3+x2+x+1)；
……
猜想：x7﹣1＝_ x6+x5+x4+x3 +x2 +x +1___；
若x2020﹣1 =(x﹣1)M，则M= x2019+x2018+…+x4+x3 +x2 +x +1 .
9．已知a﹣a-1=3，求(1)a2+a-2；(2)a3﹣a-3的值.
解：①∵a﹣a-1=3，
∴ (a﹣a-1)2=32，
∴a2﹣2aa-1+a-2=9，
即a2﹣2+a-2=9，
a2+a-2=11；
②(a2+a-2)(a﹣a-1)=11×3，
∴a3﹣a2a-1+a-2a﹣a-3=33，
∴a3﹣a+a-1﹣a-3=33，
∴a3﹣3﹣a-3=33，
∴a3﹣a-3=36.
17．先阅理解，再解答问题．
(1)已知多项式3x3+5x2+a有一个因式是3x﹣4，求a的值．
解法一：设3x3+5x2+a=(3x﹣4)(x2+mx+n)，
则：3x3+5x2+a =3x3+(3m﹣4)x2+(3n﹣4m)x﹣4n
比较系数得， 解得， ∴a=﹣16.
解法二：设3x3+5x2+a =A?(3x﹣4)(A为整式)
由于上式为恒等式，为方便计算了取x=，
3×=0，故 a=﹣16．
根据上面的做法，解答问题：
(2)已知x4﹣2mx3+3nx﹣6有因式(x﹣2)和(x﹣3)，求m、n的值．
解：设x4﹣2mx3+3nx﹣6 =A?(x﹣2)(x﹣3)(A为整式)
由于上式为恒等式，；令 x=2，x=3，代入①得：
，
解这个方程组得.















整式乘法









ab+ac+ad

(3) a(b+c+d)

因式分解



21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）



HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)