高中数学人教新课标A版选修3-3第六讲 球面多边形与欧拉公式(共34张PPT)

(共34张PPT)
上节我们主要讨论了球面上三角形的全等判定定理．在这基础上，我们可以了解到，球面几何有很多应用．
用球面多边形的内角和公式证明拓扑学中的著名公式——欧拉公式就是一个重要的应用．
本讲我们首先在球面三角形的基础上介绍球面多边形，然后推导球面多边形的内角和公式，最后用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式．
　　 1．在熟悉球面三角形的基础上充分理解球面多边形的定义；掌握其内角和公式．
　　 2．熟悉简单多面体的欧拉公式．
知识与能力
　　1．通过球面多边形的学习，理解和掌握球面多边形的概念和其内角和公式．
2．培养通过已学过球面三角形的知识，推导出球面多边形的内角和公式．
过程与方法
　　1．通过球面三角形与球面多边形的比较，能够体会数学中由简到繁的思想，有利于理解和掌握．
2．通过课堂学习培养敢于结合以前所学知识，推导出新的知识或性质，有利于深刻理解．
情感态度与价值观
　　球面多边形的定义、内角和公式，以及对欧拉公式的初步应用．
重点
　 欧拉公式的推导．
难点
一、球面多边形及其内角和公式
与先学平面三角形再学平面多边形一样，我们在球面三角形的基础上，引进球面多边形的概念．
我们知道，在平面上，n(n≥3)条收尾相接且互不相交的线段围成的封闭图形叫做n边形．类似地，如图6-1中，在球面上有n个点：A1，A2,A3,. . . An，且任意三点不在同一个大圆上，经过这n个点中任意两点做大圆，首尾顺次相接劣弧A1A2,A2A3,. . .An-1An．
如果这些劣弧互不相交，那么就把这些劣弧组成的封闭图形叫球面n边形．记为球面n边形A1A2A3. . .An-1An .点A1，A2，. . .，An称为球面n边形的顶点，∠A1，∠A2，. . .，∠An称为球面n边形的内角．
类似平面凸多边形，如果球面n边形A1A2A3. . .An-1An总在它的每一条边所在大圆的半个球面内，那么这个球面多边形称为球面凸n边形．我们重点研究球面凸n多边形．
在平面几何中，我们知道平面多边形的内角和为(n-2)π，单位球面上球面三角形△ABC的面积S?=（A+B+C-π），因此得到球面三角形的内角和为S?+π．
我们大胆猜想，单位球面上，球面n（n≥3）边形的内角和等于（n-2）π+S,其中S为球面n边形的面积．事实上猜测是正确的．
那么下面的结论是成立的
设单位球面上的n(n≥3)边形A1A2. . .An-1An的n个内角分别为∠A1,∠A2. . .∠An ，其弧度数分别为A1,A2. . .An，S为这个球面n边形的面积，则
A1+A2+...+An=（n-2）π+S．
分析：当n=3时，就是球面三角形的面积公式，结论显然成立．当n=4时，如图6-2，我们总可以把两个不相邻的顶点用大圆弧连接起来，由于这两个不相邻的顶点都在一个大圆的半个球面内，所以这段圆弧是劣弧，因此这段劣弧把球面四边形分为两个球面三角形，而这两个球面三角形面积的和等于球面四边形的面积，依次类推，便可得到球面n边形的面积公式，进而得到球面n边形的内角和公式．
二、简单多面体的欧拉公式
为什么可以用球面多边形的内角和公式证明简单多面体的欧拉公式呢？两者之间有什么样的联系？
为了解决这个问题，我们首先回顾简单多面体的欧拉公式．
我们知道，多面体是由若干个平面多边形围成的封闭几何体，如果一个多面体在它的每一个面所在的平面的同一侧，那么这个多面体称为凸多面体．
如果把多面体想象成由橡皮膜组成的，对这个橡皮膜充气，如果能变成一个球面，就把这样的多面体叫做简单多面体．
如果用V 表示简单多面体的顶点数，E 表示简单多面体的棱数，F表示简单多面体的面数，通过计算，得出： V﹣E﹢ F=2．
这个结论被称为简单多面体欧拉公式
三、用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式
从橡皮变换角度看，简单多面体与球等价，简单多面体的表面与球面等价．这时，我们大胆想象，橡皮膜变成球后，组成简单多面体的每个面的各条边可以与球面多边形建立一定的联系．
下面我们给出欧拉公式的证明．
欧拉公式 如果用V 表示简单多面体的顶点数，E 表示简单多面体的棱数，F表示简单多面体的面数，那么：
V﹣E﹢F=2.
证明：我们设想简单多面体 的表面是由橡皮膜围成的，所以它是可以任意变形的，它的各个棱长可以任意伸长、缩短或弯曲．
在多面体 中吹入足够的空气，使它变成一个单位球面 ，在变形中，保证橡皮膜不被吹破，这样，简单多面体 的一个顶点变成单位球面 的一个点， 的一条棱变成 上的一段曲线，此时 的各边变成 上的一个“网络”．
调整“网络”，使其上的每一条曲线都变成 上的一段大圆弧，那么简单多面体 就变成整个球面 ，且 的一个面变成 上的多边形， 的顶点数、棱数、面数与 上的顶点数、棱数、面数完全相同.这样就只研究 上的顶点数、棱数、面数的关系就行了．
把的各面编号：1，2，…，F， 的第一个面变成 的第一个球面多边形，设此球面多边形有 条边，它的内角的弧度数分别为 ，其面积为 ，由球面多边形的内角和公式得：
(1)
同理， 的第二个面变成 的第二个球面多边形，设此球面多边形有 条边，它的内角的弧度数分别为 ，其面积为 ，由球面多边形的内角和公式得：
　 (2)
的第F个面就变成 的第F个球面多边形，设此球面多边形有 条边，它的内角弧度数分别为 ，其面积为 ，由球面多边形的内角和公式得：
(F)
将这F个式子相加,左边就是球面上F个多边形的内角和,即围绕每个球面多边形的顶点球面多边形内角的和,而每个顶点处球面多边形的内角和为 ,由于球面上“网络”的“顶点”数与 的顶点数是相同的，均为 ，因此相加后，左边= .
另一方面,
右边


.
其中 ，S表示球面的面积，那么 , 而 表示球面上F个球面多边形变数总和的2倍，即 ．
因此，
即
这个证明是法国数学家勒让德首先给出的，简单多面体的欧拉公式是拓扑学中的重要公式，证明说明了球面几何与拓扑学有着紧密的联系．
1. 球面多边形的概念；
2. 球面多边形的内角和公式；
3. 简单多面体的欧拉公式．