4.2 提取公因式法(知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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浙江版2019﹣2020学年度下学期七年级数学下册第4章因式分解
4.2 提取公因式法
【知识清单】
1．提取公因式法：
(1)定义：一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式.把公因式提取出来进行因式分解，这种分解因式的方法叫做提取公因式法.
(2)字母表示：ma+bm+cm=m(a+b+c).
2．提取公因式法的一般步骤：
(1)确定应提取的公因式；
(2)用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；
(3)把多项式写成这两个因式的积的形式.
提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式.
3．注意：(1)首相为前面为负号时：如果多项式是第一项系数是负数时，应把公因式的符号“－”提取，提出“－”号时，多项式的各项都要变号；
(2)系数公因式的取法：取多项式各项系数的最大公约数为公因数的系数；
(3)字母公因式的取法：把多项式各项都含有的相同字母(或因式)的最低次幂的积作为公因式的因式；
(4)合并化简：有的分解因式后多项式因式中有同类项的还要进行合并化简；
(5)分解要彻底：还有的提取公因式后能用其他方法继续分解.
4．口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶.
5．添括号法则：
括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都变号.
【经典例题】
例题1、把多项式6m(2n－3)－15m2(3－2n)分解因式得(　　)
A. (2n－3)(15m2+6m) B. 3m(2n－3)(5m－2)
C. 3m(2n－3)(5m+2) D. 3m(3－2n)(5m+2)．
【考点】因式分解－提公因式法．?
【分析】根把6m(2n－3)－15m2(3－2n)转化成6m(2n－3)+15m2(2n+3)，提取公因式3m(2n－3)即可．
【解答】6m(2n－3)－15m2(3－2n)，
=6m(2n－3)+15m2(2n－3)，
=3m(2n－3)(5m+2)，
故选C．
【点评】本题主要考查了对提公因式的分解因式的掌握情况，能正确变形并能找出公因式是解此题的关键．
例题2、已知x+2y=5，xy=－2，求2x2y+4xy2－2xy的值.
【考点】提公因式法的综合运用．
【分析】所求式子提取公因式变形后，将x+2y与xy的值代入计算即可求出值.
【解答】∵x+2y=5，xy=－2，
∴2x2y+4xy2－2xy=2xy(x+2y－1)
=2×(－2) ×(5－1)
=－16.
【点评】此题考查了因式分解的应用和整体代入思想，将所求式子进行提公因式分解因式，然后整体代入求值是解决问题的关键．
【夯实基础】
1．下列变形正确的是( )
A．－x+2y=－(x+2y) B．－3y+x=3y－x
C．(2a－3b)2=(3b－2a)2 D．(4m－5n)3=(5n－4m)3
2．下列从左到右的变形哪个是分解因式( )
A．x2－4x－5=(x+5)(x－1) B．m(a+2b)+n(a+2b)=(a+2b)(m+n)
C．－3ab(a－b)=－3a2b+3ab2 D．x2－9x+8=x(x－9)+8
3．多项式－18a5b2+15a3b4－6a2b3的应该提取的公因式是( )
A．3a2b2 B．－3a2b2 C．6a2b3 D．－a3b2
4．把多项式a2(x－5)2－a(5－x)分解因式正确的是( )
A．a(x－5)(ax－5a+1) B．a(5－x)(ax－5a+1)
C．a(x－5)(ax－5a－1) D．a(x－5)(ax+5a+1)
5．在括号前面填上“+”或“－”号，使等式成立：
(1)b－a= (a－b)； (2)d+c= (d+c)； (3)－z－y= (y+z)
(4)(y－x)2= (x－y)2 (5)－x2+y2= (x2－y2) (6) (y－x)3= (x－y)3
(7) (x－y)4n= (y－x)4n (8) (x－y)2n+1= (y－x)2n+1
6．计算10n+2－8×10n+1－19×10n的值为 .
7．分解因式：
(1)－6a2b3－9ab2+3ab (2) b(a－b)－ac+bc

(3)(m+n)(p+q)－(q－p)(m+n) (4)x(x+y)(x－3y)3+2x2y(3y－x)2

(5)(m－a)2+3x(m－a)+3(x－y)(a－m) (6)5an+1－15an－25an-1



8．简便运算：(1)34×3.14+410×0.314+2500×0.0314 (2)3562×2.02－2020×2.562




9．(1)一个长方形的面积为15x2y+9xy2+6xy(其中x>0，y>0)，若其中一边长为3xy，求长方形另条边长；



(2)因式分解：(x－y)2+(x+2y)2+6x2+15y2－2xy.



【提优特训】
10．计算(－2)2020－3(－2)2019的值是( )
A．－22020 B．－4 C．0 D．22021
11．分解因式(5a－2b)(a2－3ab+2b2)－3ab(2b－5a)为( )
A．(5a－2b)(a2+2b2) B．(5a－2b)(a2－6ab+2b2)
C．(5a－2b)(a+2b)2 D．(5a－2b)(a2－3ab+2b2)－3ab
12．－(3a+7b)(3a－7b)是下列哪一个多项式因式分解的结果( )
A．－9a2－49b2 B．－9a2+49b2 C. 9a2+49b2 D．9a2－49b2
13．将3a(x－y)3－9b(y－x)2分解因式，应提出的公因式是( )
A．(x－y)3 B．3(x－y)3 C．3(x－y)2 D．(ax－ay+3b)
14．已知1+x+x2+…+x2018+x2019=0，则x2020=________?．
15．若(2x2－6x) 0无意义，则x的值为 .
16．已知x－y=3，xy=－2，则x(x－y)2(7－y)－7x(y－x)2 的值为 .
17．先化简，再求值
(2x+3)2(4x－5)－(2x+3)(4x－5)2－2x(3+2x)(5－4x)(其中，)
18．72020－572019+372018是17的倍数吗？为什么？
是17的倍数，理由如下：



19．若x≠y，且x+y=0，且(x+3)2－(y+2)2=35，求x、y的值.




20．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x) =(1+x)3
(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次.
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2019，则需应用上述方法 次，结果是 .
(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n为正整数).

【中考链接】
21．(2019年?苏州)因式分解：x2-xy= ．
22．(2019年?嘉兴)分解因式：x2-5x=　 　．
23．(2019年?岳阳)因式分解：ax-ay= ．
24．(2019年?宁波)分解因式：x2+xy= ．





参考答案
1、C 2、B 3、B 4、A 5、－，+ ，－，+ ，－， －，+ ，－ 6、 10n
10、D 11、A 12、B 13、C
14、1 15、x1=0或x2=3 16、18 21、x(x－y) 22、x(x－5) 23、 a(x－y) 24、x(x+y)
7．分解因式：
(1)－6a2b3－9ab2+3ab (2) b(a－b)－ac+bc

(3)(m+n)(p+q)－(q－p)(m+n) (4)x(x+y)(x－3y)3+2x2y(3y－x)2

(5)(m－a)2+3x(m－a)+3(x－y)(a－m) (6)5an+1－15an－25an-1
解：(1)原式=－3ab(2ab2+3b－1)；
(2)原式= b(a－b)－(ac－bc)
=b(a－b)－c(a－b)
=(a－b)(b－c)；
(3)原式=(m+n)(p+q)－(q－p)(m+n)
=(m+n) [(p+q)－(q－p)]
=(m+n) (p+q－q+p)
=2p(m+n)；
(4)原式= x(x+y)(x－3y)3+2x2y(x－3y)2
= x(x－3y)2 [(x+y)(x－3y)+2xy]
= x(x－3y)2(x2－2xy－3y2+2xy)
= x(x－3y)2(x2－3y2)；
(5)原式=(m－a)2+3x(m－a)－3(x－y)(m－a)
=(m－a)(m－a+3x－3x+3y)
=(m－a)(m－a+3y)
(6)原式=5an+1－15an－25an-1
=5an-1(a2－3a－5)
8．简便运算：(1)34×3.14+410×0.314+2500×0.0314 (2)3562×2.02－2020×2.562
解：(1)原式=34×3.14+41×3.14+25×3.14
=3.14×(34+41+25)
=3.14×100=314；
(2)原式=3.562×2020－2020×2.562
=2020×(3.562－2.562)=2020.
9．(1)一个长方形的面积为15x2y+9xy2+6xy(其中x>0，y>0)，若其中一边长为3xy，求长方形另条边长；
解：∵15x2y+9xy2+6xy
=3xy(5x+3y+2) ，
∴长方形另一条边长为(5x+3y+2).
(2)因式分解：(x－y)2+(x+2y)2+6x2+15y2－2xy.
解：(x－y)2+(x+2y)2+6ax2+15ay2－2xy
=x2－2xy+y2+x2+4xy+4y2－2xy+6ax2+15ay2
=2x2+5y2+6ax2+15ay2
=(2x2+5y2)+( 6ax2+15ay2)
=(2x2+5y2)+3a(2x2+5y2)
=(2x2+5y2)(3a+1).
17．先化简，再求值
(2x+3)2(4x－5)－(2x+3)(4x－5)2－2x(3+2x)(5－4x)(其中，)
解：原式=(2x+3)2(4x－5)－(2x+3)(4x－5)2+2x(2x+3)(4x－5)
=(2x+3)(4x－5)[(2x+3)－(4x－5)+2x]
=(2x+3)(4x－5)(2x+3－4x+5+2x)
=8(2x+3)(4x－5)
当时，
原式=8(2x+3)(4x－5)
=8×2×(－7)=－112.
18．72020－572019+372018是17的倍数吗？为什么？
是17的倍数，理由如下：
72020－5×72019+3×72018=72018(72－5×7+3)
=72018(72－5×7+3)
=72018×17，
∵17能被17整除，
∴72018×17也能17整除，
∴72020－572019+372018是17的倍数.
19．若x≠y，且x+y=0，且(x+3)2－(y+2)2=35，求x、y的值.
解：∵x≠y，且x+y=0，
∴x=－y，
∵(x+3)2－(y+2)2=35
∴x2+6x+9－(y2+4y+4)=35
∴x2+6x+9－y2－4y－4=35
∴(－y)2+6(－y)+9－y2－4y－4=35
∴ y2－6y+9－y2－4y－4=35
∴－10y=30
解得：y=－3，x=3.
20．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x) =(1+x)3
(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次.
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2019，则需应用上述方法 次，结果是 .
(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n为正整数).
解答问题：
(1) 上述分解因式的方法是___提取公因式___，共应用了__2___次?
(2) 若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2019，则需要应用上述方法___2019___次，结果
是__(1+x) 2020___?
(3) 分解因式： 1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n (n 为正整数)提取n次公因式
结果是(1+x) (n+1).





























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