4.3.1 用平方差公式分解因式(知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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浙江版2019﹣2020学年度下学期七年级数学下册第4章因式分解
4.3 用乘法公式分解因式(1)——平方差公式
【知识清单】
1．平方差公式:
(1)文字叙述：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.
(2)字母表示：a2－b2=(a+b)(a－b)
利用公式把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法，公式中的a、b可以是数，也可以是整式(单项式、多项式).
2．能用平方差公式分解因式的多项式的特点：
(1)只有两项(或两个整体)；
(2)两项都能用完全平方表示，即：字母的指数是偶数，系数是完全平方数或写成它的算术平方根的完全平方)；
(3) 两项符号相反(一项为正，一项为负).
【经典例题】
例题1、下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是(　　)
A．x2－9y2 B．－4x2－25y2 C．4x2－y2 D．－81+y2
【考点】因式分解——运用公式法．?
【分析】根据平方差公式的结构特点，两平方项的符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】A、x2－9y2符合平方差公式，故本选项错误；
B、－4x2与－25y2符号相同，不能运用平方差公式，故本选项正确；
C、4x2－y2符合平方差公式，故本选项错误；
D、－81+y2，符合平方差公式，故本选项错误．
【点评】本题主要考查了运用公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解本题的关键，是基础题．
例题2、分解因式
(1) 1－16a4?； (2) a5－9a3；
(3) 25y 2－(5x －3y ) 2； (4) －4(4x+3y ) 2+9(2x－5y ) 2
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．．
【分析】(1)原式两次利用平方差公式分解即可；(2)原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；(3)原式变形利用平方差公式分解，然后再合并同类项即可；(4)原式变形利用平方差公式分解，然后必须合并同类项.
【解答】(1)原式=1－( 4a2)2=(1+4a2)(1－4a2)= (1+a2)(1+2a) (1－2a)；
(2)原式=a3(a2－9)=a3(a+3)(a－3)；
(3)原式=(5y)2－(5x－3y ) 2=[5y+(5x－3y)][ 5y－(5x－3y)]
=(5y+5x－3y) (5y－5x+3y)
=(5x+2y) (8y－5x)；
(4)原式=9(2x－5y) 2－4(4x+3y) 2
=[3(2x－5y)] 2－[2(4x+3y)] 2
=[3(2x－5y)+2(4x+3y)] [3(2x－5y)－2(4x+3y)]
=(6x－15y+8x+6y)( 6x－15y－8x－6y)
=－(14x－9y)( 2x+21y).
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【夯实基础】
1．下列多项式能用平方差公式分解因式的是( )
A．x2+1 B．x2－4x+4 C．x2－9x D．－4x2+25
2．若16－k2x4=(4+ 9x2)(2+3x)(2－3x)，则k的值为( )
A．－9 B．9 C．±9 D．±3
3．xm－xm-2分解因式的结果是( )
A．xm (x－1) B．xm-1 (x－1) C．xm-2 (x－1) (x+1) D．xm－xm-2
4．(1)如图1，边长为a的大正方形剪下来
一块边长为b的小正方形；
(2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，
重新拼成一个矩形；
(3)由图1到图2两图的阴影部分面积，
可以得到公式为( )(用式子表达)．
A．(a+b)(a－b) =a2－b2 B．a2－b2=(a+b)(a－b)
C．(a－b)2=a2－2ab+b2 D．(a+b)2=a2+2ab+b2
5． 判断：下列各式能不能写成平方差的形式(能画“√”，不能的画“×”)
(1)－x2+72 ( )； (2)－4x2－9y ( )
(3)4x2－25y4 ( )； (4)－25x6+16n2 ( )
(5)－16x2－(－2y )2 ( )； (6)－49x2+(－2y )2 ( )
(7)(－3x )2－4y2 ( )； (8)(－5x )2－(－3y )2 ( )
6．直接写出分解因式的结果：
①a3－9a= ； ②x－xy2= ．
③3x2－75y2= ； ④(a－b)3－(a－b) = ．
⑤(a+b)2－(a+c)2= ； ⑥(a+b)2020－9(a+b)2018= ．
7．分解因式：
(1)(3m+2n )2－(m－n )2； (2)4a2－9a4；
(3)3(4x－3y )2－48y2； (4)－ma8+m.


8．运用平方差公式进行简便计算：
(1)3892－2892； (2)1.222×9－1.332×4；
(3).



9．分解因式：(1)a2－b2－a+b;


(2)(x－2y)2+(3x+2y)2－8y(x+6y).



【提优特训】
10．把1－(4a－3b)2分解因式的结果是
A．(1+4a+3b)(1－4a+3b) B．(1+4a－3b)(1－4a+3b)
C．(1+4a+3b)(1－4a－3b) D．(1+4a－3b)(1－4a－3b)
11．在有理数范围内把a－a9分解因式，若结果中有n个因式，则n=( )，
A．3 B．4 C．5 D．6
12．在实数范围内分解因式x4－49的结果为( )
A．(x2+7)(x2－7) B． (x2+7) (x+) (x－) C. (x2+7) 2 (x－) D．(x2－7)2
13．已知248－1可以被60至70之间的两个整数整除，则这两个数为( )
A．62，63 B．63，64 C．63，65 D．65，61
14．分解因式x2(x+y)(x－y)+y2(y+x)(y－x)=(x－y)2( )．
15．已知一个长方形的面积是36a2－25b2(a>b)，其中长边为6a+5b，则短边长是_______，
16．已知a+b=8，且a2－b2=48，则式子a－3b的值是__________．
17．先化简，再求值
已知： mn=－4，求(2m+n)2－(m－n) 2－3m(m－n)的值；


18．计算：(1)；

(2)20202－20192+20182－20172+…+42－32+22－1；

(3).


19．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
观察下列等式
12－02=1 22－12=3 32－22=5 42－32=7 …
(1)根据以上计算，你发现了什么规律，请用含有n的式子表示该规律；
(2)请你推导出此公式并用推导出来的公式计算：
①1+3+5+7+9+…+99；
②11+13+15+17+…+101；
③1+3+5+…+2019．



【中考链接】
20．(2019?无锡市)分解因式4x2－y2的结果是 ( )
A.(4+)(4－) B.4(+)(－)
C.(2+)(2－) D.2(+)(－)
21．分解因式：
(2019?广元) a3－4a= ； (2019?长沙)am2－9a= .
(2019?衡阳)2a2－8= ； (2019?黄冈)3x2－27y2= .
(2019?陇南)xy2﹣4x= ； (2019?怀化)a2－b2= .
(2019?攀枝花)a2b－b= ； (2019?自贡)2x2－2y2= .
(2019?湖州)x2－9= ； (2019?台州) ax2－ay2= .
22．(2019?江西?杭州?绍兴?盐城?淮安)因式分解：x2－1= .





参考答案
1、D 2、C 3、C 4、B 10、B 11、C 12、B 13、C 14、(x+y)2
15、6a－5b 16、4 20、C
5． 判断：下列各式能不能写成平方差的形式(能画“√”，不能的画“×”)
(1)－x2+72 ( √ )； (2)－4x2－9y ( × )
(3)4x2－25y4 ( √ )； (4)－25x6+16n2 ( √ )
(5)－16x2－(－2y )2 ( × )； (6)－49x2+(－2y )2 ( √ )
(7)(－3x )2－4y2 ( √ )； (8)(－5x )2－(－3y )2 ( √ )
6．直接写出分解因式的结果：
①a3－9a= a(a+3)(a－3) ； ②x－xy2= x(1+y)(1－y) ．
③3x2－75y2= 3(x+5y)(x－5y) ； ④(a－b)3－(a－b) = (a－b)(a－b+1)(a－b－1) ．
⑤(a+b)2－(a+c)2= (2a+b+c)(b－c) ； ⑥(a+b)2020－9(a+b)2018= (a+b)2018(a+b+3) (a+b－3) ．
7．分解因式：
(1)(3m+2n )2－(m－n )2 (2)4a2－9a4
(3)3(4x－3y )2－48y2 (4)－ma8+m
解：(1)原式=[(3m+2n )+ (m－n )][(3m+2n )－(m－n )]
=(3m+2n + m－n)( 3m+2n – m+n )
=(4m+n)(2m+3n)；
(2)原式=a2(4－9a2)= a2(2+3a) (2－3a)；
(3)原式=3 [(4x－3y )2－16y2]=3(4x－3y+4y) (4x－3y－4y)
=3(4x+y) (4x－7y)；
(4)原式=－m(a8－1)=－m(a4+1)(a4－1)
=－m(a4+1)(a2+1) (a2－1)
=－m(a4+1)(a2+1) (a+1)(a－1).
8．运用平方差公式进行简便计算：
(1)3892－2892 (2)1.222×9－1.332×4
(3)
解：(1)原式=(389+289)(389－289)=67800；
(2)原式=(1.22×3) 2－(1.33×2) 2
=3.662－2.662
=(3.66+2.66)(3.66－2.66)=6.32；
(3)原式=
=
=.
9．分解因式：(1)a2－b2－a+b
解：原式=(a2－b2)－( a－b)
=(a+b)(a－b)－(a－b)
=(a－b)(a+b－1)
(2)(x－2y)2+(3x+2y)2－8y(x+6y)
解：原式=x2－4xy+4y2+9x2+12xy+4y2－8xy－48y2
=10x2－40y2
=10(x2－4y2)
=10(x+2y)(x－2y).
17．先化简，再求值
已知： mn=－4，求(2m+n)2－(m－n) 2－3m(m－n)的值；
解：原式=(2m+n+m－n)(2m+n－m+n)－3m2+3mn
=3m(m+2n) －3m2+3mn
=3m2+6mn－3m2+3mn
=9mn
当mn=－4时，原式=9mn=9×(－4)=－36.
18．计算：(1)；
(2)20202－20192+20182－20172+…+42－32+22－1；
(3).
解：(1)原式=
=
=.
(2)原式=20202－20192+20182－20172+…+42－32+22－1
=(20202－20192)+ (20182－20172)+…+(42－32)+(22－1)
=(2020－2019)( 2020+2019)+ (2018－2017)( 2018+2017)+…+(4－3) (4+3)
+(2－1) (2+1)
= ( 2020+2019)+ ( 2018+2017)+…+ (4+3)+ (2+1)
=(2020+1)×1010=2021×1010.
(3) 原式=
=
=
=
==5.
19．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
观察下列等式
12－02=1 22－12=3 32－22=5 42－32=7 …
(1)根据以上计算，你发现了什么规律，请用含有n的式子表示该规律；
(2)请你推导出此公式并用推导出来的公式计算：
①1+3+5+7+9+…+99；
②11+13+15+17+…+101；
③1+3+5+…+2019．
解：(1)由已知条件分析如下：
12－02=(1+0)(1－0)=1+0=1，
22－12=(2+1)(2－1)=2+1=3，
32－22=(3+2)(3－2)=3+2=5，
42－32=(4+3)(4－3)=4+3=7，
52－42=(5+4)(5－4)=5+4=9，
…
规律如下：
n2－(n－1)2=2n－1．
故答案为：2n－1．
(2)将这n个等式左、右两边分别相加，可推导出前n个正奇数和的公式:
1+3+4+5+7+9+…+(2n－1)=n2；
(1)1+3+5+7+9+…+99=502=2500；
(2)11+13+15+17+…+101=512－52=2576；
(3)1+3+5+…+2019=10102．
21．分解因式：
(2019?广元) a3－4a= a(a+2)(a－2) ； (2019?长沙)am2－9a= a(m+3)(m－3) .
(2019?衡阳)2a2－8= 2(a+2)(a－2) ； (2019?黄冈)3x2－27y2= 3(x+3y) (x－3y) .
(2019?陇南)xy2﹣4x= x(y+2)(y－2) ； (2019?怀化)a2－b2= (a+b)(a－b) .
(2019?攀枝花)a2b－b= b(a+1)(a－1) ； (2019?自贡)2x2－2y2= 2(x+y)(x－y) .
(2019?湖州)x2－9= (x+3)(x－3) ； (2019?台州) ax2－ay2= a(x+y)(x－y) .
22．(2019?江西?杭州?绍兴?盐城?淮安)因式分解：x2－1= (x+1)(x－1) .


























第4题图1?????????????第4题图2



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