4.3.2 用完全平方公式分解因式(知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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浙江版2019﹣2020学年度下学期七年级数学下册第4章因式分解
4.3 用乘法公式分解因式(2)——完全平方公式
【知识清单】
1．完全平方公式：
(1)文字叙述：两数的平方和，加上(或者减去)这两数的积的2倍，等于这两数和(或者差)的平方.
(2)字母表示：a2±2ab + b2 = (a ±b)2
2．能用完全平方公式分解因式的多项式的特点：
(1)要有两个符号相同的平方项和一个交叉项.
?(2)交叉项要等于两个平方项底数的积的2倍.?????
(3)完全平方式的形式为：
①首2+2首×尾+尾2=(首+尾)2?，②首2－2首×尾+尾2=(首－尾)2?.
(4)分解的结果是和的平方还是差的平方，取决于交叉项的符号.?当交叉项的符号是“+”时，分解结果就是和的平方.?当交叉项的符号是“－”时，分解结果就是差的平方.
【经典例题】
例题1、代数式x4－81，－5x2+15x与x2－6x+9的公因式为(　　)
A．x+3 B．(x+3)2 C．x－3 D．x2+9
【考点】运用公式法分解因式．?
【分析】首先将各多项式分解因式，再观察3个多项式，都可以运用公式法进一步因式分解
【解答】x4－81=(x2+9)(x2－9)，
=(x2+9)(x+3)(x－3)；
－5x2+15x =－5(x－3)；
x2－6x+9=(x－3)2．
因此3个多项式的公因式是x－3．故选：C．
【点评】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式分解因式，先对每个多项式进行因式分解，然后即可找出两个多项式的公因式．
例题2、把下列各式分解因式．
(1)a2+12a+36； (2)3(3a－2b)2－18(3a－2b)+27；
(3)x2－2xy+3y2； (4)20mn－25m2－4n2．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】(1) 直接用完全平方公式分解即可；(2)把(3a－2b)看作一个整体，先提取公因式，再利用用完全平方公式分解即可；(3)提出原式变形为(x2－6xy+9y2)，再利用完全平方公式分解即可；
(4)先提出“－”，原式变形利用完全平方公式分解即可.
【解答】(1)原式= a2+12a+36= (a +6)2；
(2)原式=3[(3a－2b)2－6(3a－2b)+9]=3(3a－2b－3)2；
(3)原式=(x2－6xy+9y2 )=(x－3y)2；
(4)原式=－25m2+20mn－4n2=－(25m2－20mn+4n2)=－(5m－2n)2.
【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式法的结构特点是解题的关键．
【夯实基础】
1．下列多项式不能用完全平方公式分解的是( )
A．a2+ab+b2 B．a2－8a+16
C．－9x2+15xy－25y2 D．x2－x+
2．若9x2－4(m－5)xy+16y2是一个完全平方式，则m=( )
A．11 B．－1 C．±12 D．－1或11
3．下列多项式不含因式(a+b)的是( )
A．a2+2ab+b2 B．a2+b2 C．a4－b4 D．－3a2b3－3a2b3
4．下列分解因式正确的是( )
A．(x－1)2－4y2=x2－2x+1－4y2， B．a2－8b2=(a+4b)(a－4b)
C．4x10－1=(4x5+1)(x5－1)， D．4xy－2x2－2y2=－2(x－y)2
5．直接写出因式分解的结果：
①a2－14a+49= ； ②x2y－xy2+y3= ．
③－3x2y2+30xy－75= ； ④(a－b)2－6(a－b) +9= ．
6．多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可能是____(把符合要求的都写出来3个)．
7．分解因式：
(1) (x－7)(x+1)+16； (2) (m+n)2－4(m+n－1)；


(3) (x2+y2)2－4x2y2； (4)(x－3y)2－x(3x+2y)+(2x+y)(2x－y)


8．运用公式进行简便计算：
(1) 20192+2019×1962+9812； (2)6.572－2×6.57×4.57+4.572；


(3).
9．(1)已知设a(a－1)－(a2－2b)=6，求的值；



(2)已知a2+b2+c2－2a+4b－6c+14=0，求a+b+c的值；



【提优特训】
10．3x2－4xy+4y2－12x+21的最小值为( )
A．21 B．7 C．3 D．1
11．若a>b>0，a2+b2－4ab=0，则的值为( )
A．6 B．3 C．2 D．
12．已知(7a－3b)2－14a+6b+1=0，则(7a－3b)2021=( )
A．1 B． 0 C. －1 D．无法求值
13．若a+2b=5，则a2－4b2+20b的值 ( )
A．5 B．－5 C．25 D．－25
14．已知：x2－10x+(k－2)2可分解为只关于x－5的因式，则k的值为 .
15．已知：x2－18xy=41，2xy+64y2=59.则x－8y的值为 .
16．若2a+7b=6，则2a2+7ab+21b= .
17．已知a=2019x+2022，b=2019x+2019，c=2019x+2021，求a2+b2+c2－ab－bc－ca的值.




18．试说明52021－4×52020+9×52019一定是19的倍数．




19．(1)已知P=x2－xy，Q=xy－y2，试比较P、Q的大小；
(2)求证：(x+1)( x+2)( x+3)( x+4)+1是完全平方式.


【中考链接】
20．(2019?株洲)下列各选项中因式分解正确的是( )
A．x2－1=(x－1)2 B．a3－2a2+a=a2(a－2)
C．－2y2+4y=－2y(y+2) D．m2n－2mn+n=n(m－1)2
21．(2019?潍坊)下列因式分解正确的是( )
A．3ax2－6ax=3(ax2－2ax) B．－x2+y2=(－x+y)(－x－y)
C．a2+2ab+4b2=(a+2b)2 D．－ax2+2ax－a=－a(x－1)2
22．(2019?威海) 分解因式：2x2－2x+= .






参考答案
1、C 2、D 3、B 4、D 6、4x或－4x或_4x4 10、C 11、B 12、A 13、C
14、7或－3 15、±10 16、18 20、D 21、D 22、(2x－1)2
5．直接写出因式分解的结果：
①a2－14a+49= (a－7)2 ； ②x2y－xy2+y3= y(2x－y)2 ．
③－3x2y2+30xy－75= －3(xy－5)2 ； ④(a－b)2－6(a－b) +9= (a－b－3)2 ．
7．分解因式：
(1) (x－7)(x+1)+16； (2) (m+n)2－4(m+n－1)；
(3) (x2+y2)2－4x2y2； (4)(x－3y)2－x(3x+2y)+(2x+y)(2x－y)

解：(1)原式= (x－7)(x+1)+16
=x2+x－7x－7+16
= x2－6x+9=(x－3)2；
(2)原式=(m+n)2－4(m+n)+4
=(m+n－2)2；
(3)原式=(x2+y2)2－(2xy)2
=( x2+y2+2xy)( x2+y2－2xy)
=( x+y) 2 ( x－y) 2
(4)原式=x2－6xy+9y2－3x2－2xy+4x2－y2
=2x2－8xy+8y2
=2(x2－4xy+4y2)
=2(x－2y)2.
8．运用公式进行简便计算：
(1) 20192+2019×1962+9812；(2)6.572－2×6.57×4.57+4.572
(3)
解：(1)原式= 20192+2×981×2019+9812
=(2019+981)2=9×106；
(2)原式=(6.57－4.57)2=22=4
(3)原式==.
=
=
=
=.
9．(1)已知设a(a－1)－(a2－2b)=6，求的值；
解：(1)a2－a－a2+2b=6
－a +2b=6
a－2b=－6
=.
(2)已知a2+b2+c2－2a+4b－6c+14=0，求a+b+c的值；
解：(2)∵a2+b2+c2－2a+4b－6c+14=0，
∴a2－2a +1+b2+4b +4+c2－6c+9=0，
∴(a－1)2+(b+2)2+(c－3)2=0，
∴(a－1)2=0，(b+2)2=0，(c－3)2=0，
∴a=1，b=－2，c=3.
∴a+b+c=2.
17．已知a=2019x+2022，b=2019x+2019，c=2019x+2021，求a2+b2+c2－ab－bc－ca的值.
解：∵a=2019x+2022，b=2019x+2019，c=2019x+2021，
∴a－b=3，b－c=－2，c－a=－1.
a2+b2+c2－ab－bc－ca=(2 a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ca)
=[( a2－2ab +b2)+ (b2－2bc +c2)+ (c2－2ca+ a2)]
=[( a－b) 2+ (b－c) 2+ (c－a) 2]
=[3 2+ (－2) 2+ (－1) 2]=7.
18．试说明52021－4×52020+9×52019一定是19的倍数．
解：原式=52019(52－3×5+9)=19×52019；
19被19整除，所以19×52019是19的倍数，
所以52021－4×52020+9×52019是19的倍数.
19．(1)已知P=x2－xy，Q=xy－y2，试比较P、Q的大小；
(2)求证：(x+1)( x+2)( x+3)( x+4)+1是完全平方式.
(1)解：∵P=x2－xy，Q=xy－y2，
∴P－Q=( x2－xy)－(xy－y2) ，
=x2－2xy+y2，
=(x－y)2≥0，
∴P≥Q.
(2) (x+1)( x+2)( x+3)( x+4)+1，
=[(x+1)( x+4)][( x+2)( x+3)] +1，
=(x2+5x+4)( x2+5x+6) +1，
=[(x2+5x)+4][ (x2+5x)+6] +1，
=(x2+5x)2+10 (x2+5x)+24+1，
=(x2+5x)2+10 (x2+5x)+25，
=(x2+5x+5)2.































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