4.1因式分解
【学习目标】
了解因式分解的概念；
认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆变形，并会运用他们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
【课前自学，课中交流】
1、把 化成 的 的形式，叫做分解因式，也叫做 。
2、下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？
3、因式分解和整式的乘法有 关系，所以可以用 来检验因式分解的正确性。
检验因式分解是否正确，只要看
4、检验下列因式分解是否正确。
5、用简便方法计算下列各题，并说明你的算法。
【课中尝试提高】
检验下列因式分解是否正确。
2、把左、右两边相等的代数式用线连起来。
3、若能分解成，你能求出a,b的值吗？
4、已知多项式的一个因式为，则它的另一个因式为（ ）
A. b+2 B. x+2 C. a+x D. a+2
5、利用简便方法计算下列各题
6、阅读并解决下列问题：
能被100整除吗？你是怎么想的？
4.2提取公因式
【学习目标】
会用提取公因式法分解因式。
理解添括号法则。
会用整体思想解决问题。
【课前自学，课中交流】
1、（1）公因式的概念： ，叫做这个多项式各项的公因式。
（2）提取公因式法的概念：如果一个多项式的各项含有 ，那么可把该公因式 出来进行 ，这种分解因式的方法叫做 。
（3）如何确定应提取的公因式呢？
应提取的多项式各项的公因式应是各项系数的 ，与各项都含有的 字母的 的积。
（4）指出下列各式中的公因式。
① ②
2、提取公因式法的一般步骤是：
学习课本例1例2，下面因式分解对吗？如果不对，应怎样改正？
4、完成以下填空：
（1） -a+b= （b-a） （2） -a+b= （b-a）
（3）（ ） （4）（ ）
添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项 ；括号前面是“-”号，括到括号里的各项 。
【课中尝试提高】
1、把下列各式分解因式：
2、用简便方法计算下列各题，并说明你的算法。
利用因式分解计算：
把下列分解因式
4.3.1用乘法公式分解因式
【学习目标】
掌握用平方差公式分解因式。
掌握分解因式的基本步骤。
【课前自学，课中交流】
1、平方差公式：（a+b）（a-b）=
左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是
=
这个式子左边是一个多项式，右边是整式的乘积。第二个式子从左边到右边是否是因式分解？
2、观察式子的特点：是一个 项式，每项都是整式的 ，整体来看就是两个整式的平方差；如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用 公式分解因式，分解成两个整式的和与差的乘积。
（ ）2 -（ ）2=
（ ）2 -（ ）2=（ + ）（ - ）
下列多项式可以用平方差公式分解因式吗？说说你的理由。如果能，请你把它分解因式。
学习课本例1，把下列多项式因式分解。
学习课本例2，回答下列问题。
步骤： 先用 方法因式分解
再用 方法因式分解
最后务必检查是否
【课中尝试提高】
1、分解因式：
① ②
③ ④
⑤ ⑥
2、用简便方法计算下列各题，并说明你的算法。
运用本节所学知识，把9991分解成两个自然数的积。
4.3.2用乘法公式分解因式
【学习目标】
会判断多项式是否是完全平方式。
掌握用完全平方公式分解因式。
【课前自学，课中交流】
1、回顾乘法公式：
完全平方公式：
左边是整式乘法，右边是一个多项式，把上面的等式反过来就是
= =
这两个式子左边是一个多项式，右边是整式的乘积。这两个式子从左边到右边是否是因式分解？
（1）观察式子的特点：左边是一个多项式，有 项；其中两项为平方项（两数的平方和），另一项为中间项（加上这两数积的2倍）。右边为这两数和的平方。
（2）观察式子的特点：左边是一个多项式，有 项；其中两项为平方项（两数的平方和），另一项为中间项（减去这两数积的2倍）。右边为这两数差的平方。
2、填写下表（若某一栏不适用，请填入不是。）
多项式
是否是完全平方式
a ,b各表示什么
表示成或的形式
是
a表示x，b表示3
【课中尝试提高】
1、下面的因式分解对吗？为什么？
把下列各式分解因式。
回答下列问题。
是完全平方式吗？如果是，a是 ，b是
分解因式：① ②
4、用简便方法计算下列各题，并说明你的算法。
5、再加上一项，使它成为的形式，有几种方法？
6、已知，求的值。
4.4十字交叉相乘法进行因式分解
【学习目标】
会用“十字相乘”法分解某些特殊的二次三项式。
【课前预学，课中交流】
1、因式分解与整式乘法的关系： ；
2、已有的因式分解方法： ；
3、计算
左边是整式乘法，右边是一个多项式，把上面的等式反过来就是
这个式子从左边到右边就是运用“十字交叉相乘”法分解因式。
4、（1）“十字交叉相乘法”：对于二次项系数为1的二次三项式，如果能把常数项q分解成两个因数a，b的积，并且a＋b为一次项系数p，那么它就可以运用公式分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”． 公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，
（2） 把x2+3x+2分解因式
分析∵ (+1) × (+2) ＝＋2 ---------- 常数项
(+1) ＋ (+2) ＝+3 ---------- 一次项系数
---------- 十字交叉线
2x + x = 3x
解：x2+3x+2 = (x+1) (x+2)
例1 x2 + 6x – 7= （x+7）(x-1) 步骤：
①竖分二次项与常数项
②交叉相乘，和相加
③检验确定，横写因式
-x + 7x = 6x
顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。
练习1：分解因式 x2-8x+15= ；
练习2：分解因式 x2+4x+3= ； x2-2x-3= 。
小结：对于二次项系数为1的二次三项式的方法的特征是“拆常数项，凑一次项”
例2 试将 -x2-6x+16 分解因式
提示：当二次项系数为-1时 ，先提取-1，再进行分解 。
5、例3 把2x2-7x+3因式分解。
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。
分解二次项系数（只取正因数）：
2=1×2=2×1；
分解常数项：
3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1 1 3 1 -1 1 -3
2 3 2 1 2 -3 2 -1
1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1） 1×（-1）+2×（-3）
=5 =7 = -5 =-7
经过观察，第四种情况是正确的。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。
∴ 2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。
补充“十字交叉相乘法”：对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：
a1 c1
a2 c2
a1c2 + a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）
练习3 用十字相乘法分解因式：
（1）2x2-2x-12 （2） 12x2-29x+15
提炼：对于二次项系数不是1的二次三项式它的方法特征是“拆两头，凑中间”。
【巩固提升】
1、把下列各式分解因式：
（1）= ； (2) 。
2、若(m＋a)(m＋b)，则 a和b的值分别是 。
3、(x－3) (__________)。
4、分解因式：
（1）； (2) ；
(3) (4)
5、先阅读学习，再求解问题：
材料：解方程：0。
解：原方程可化为 （x+5）（x-2）=0
∴x+5=0或 x-2=0
由x+5=0得x=-5
由x-2=0得x=2
∴x=-5或 x=2为原方程的解。
问题：解方程：x2-2x=3。
十字相乘法因式分解
姓名
(1)6x2－13xy+6y2； (2)8x2y2+6xy－35；
(3)18x2－21xy+5y2； (4)2(a+b) 2+(a+b)(a－b)－6(a－b) 2.
(5)2x2+3x+1； (6)2y2+y－6；
(7)6x2－13x+6； (8)3a2－7a－6；
(9)6x2－11xy+3y2； (10)4m2+8mn+3n2；
(11)10x2－21xy+2y2； (12)8m2－22mn+15n2.
(13)4n2+4n－15； (14)6a2+a－35；
(15)5x2－8x－13； (16)4x2+15x+9
(17)15x2+x－2； (18)6y2+19y+10；
(19)20－9y－20y2； (20)7(x－1) 2+4(x－1)(y+2)－20(y+2)2
朝晖初中七年级数学2014年5月假期练习
因 式 分 解
一、选择题： 班级 姓名
1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+3）（x－2）=x2+x－6 B．ax－ay－1=a（x－y）－1
C．8a2b3=2a2·4b3 D．x2－4=（x+2）（x－2）
2．下列各式中，不能继续分解因式的是（ ）
A．8xy－6x2=2（4xy－3x2） B．3x－xy=x（6－y）
C．4x3+8x2+4x=4x（x2+2x+1） D．16x2－4=4（4x2－1）
3．下列添括号错误的是（ ）
A．－x+5=－（x+5） B．－7m－2n=－（7m+2n）
C．a2－3=+（a2－3） D．2x－y=－（y－2x）
4．若x2+mx+16是完全平方式，则m的值等于（ ）
A．－8 B．8 C．4 D．8或－8
5．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）。
A、x2＋4y2 B、x2－2y＋1 C、－x2＋4y2 D、－x2－4y2
6．利用因式分解计算22015－22014，则结果是（ ）
A．2 B．1 C．22014 D．－1
7.把代数式分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（a>b），把剩下
的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的
等式是（ ）
A.a2－b2=（a+b）（a－b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a－b）2=a2－2ab+b2 D．a2－ab=a（a－b）
9．已知多项式4x2－（y－z）2的一个因式为2x－y+z，则另一个因式是（ ）
A．2x－y－z B．2x－y+z C．2x+y+z D．2x+y－z
10.若x2－3x=1，则x2y－3xy－y的值为（ ）
A．1 B．0 C．2y D．－2y
二、填空题：
11．若x2+ax+b=（x+5）（x－2），则a=_____，b=______．
12．（4a2－b2）÷（b－2a）=________． 13.
15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．
三、解答题：
16.把下列各式分解因式:
(1) (2) (3)
(5) (6)
(7) (8) (9)
(11) (12)
(13) （14）
（15） （16） （17）
17.要使二次三项式x2+mx－6能在整数范围内分解因式，求整数m的值．
18．若多项式是一个完全平方式，求的值是多少？
19. 已知,,求的值;
20. 已知求的值;
21. 已知求的值;
22. 已知,求的值;
23.先化简，再求值：(4ab3－8a2b2)÷4ab＋(2a＋b)(2a－b)，其中a＝2，b＝1．
24.已知，求代数式的值．
25.先化简,再求值: ,其中.
26.已知，求的值.
27．利用因式分解计算：
（1）
（2） （3）
28.利用因式分解求值
（1）已知，，求的值.
（2）已知的值为0，求的值。
（3）已知，求的值。
（4）已知a、b互为相反数，且求的值。
29.已知是△ABC的三边的长，且满足，试判断此三角形的形状。
30.已知是△ABC的三边的长，试比较与的大小。
31.已知：，求的值。
