第二讲 平行线的概念与判定
【知识精讲】
平行线及平行公理
平行线的定义
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．两直线平行，用符号“∥”表示．如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b．
要点诠释：
同一平面内，两条直线的位置关系：相交和平行．
互相重合的直线通常看作一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行．
平行线的画法
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合．
②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边．
③推：沿着直尺平移三角板，使与已知直线重合的斜边通过已知点．
④画：沿着这条斜边画一条直线，所画直线与已知直线平行．
平行公理及推论
平行公理：经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
要点诠释：
平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
“平行公理的推论”也叫平行线的传递性．
两条平行线间的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线间的距离．
要点诠释：
求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．
两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即两条平行线之间的距离处处相等．
平行线的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行．如上图，几何语言：
∵∠3＝∠2
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)
判定方法2：内错角相等，两直线平行．如上图，几何语言：
∵∠1＝∠2
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．如上图，几何语言：
∵∠4＋∠2＝180°
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)
要点诠释：
平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形．
今后我们有符号“∵”表示“因为”，用“∴”表示“所以”．
【典型例题】
平行线及平行公理
下列说法中正确的有( A )．
①一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③因为a∥b，c∥d，所以a∥d；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图，在正方体中：
与线段平行的线段____ CD、A1B1、C1D1____；
与线段相交的线段____ BC、BB1、A1A、AD ____；
与线段既不平行也不相交的线段____ A1D1、D1D 、B1C1、CC1____．
如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则( B )．
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不确定
如图，在两个一大一小的正方形拼成的图形中，小正方形的面积是10平方厘米，阴影部分的面积为____5____平方厘米．
平行线的判定
如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：
①∠1＝∠5；②∠1＝∠7；③∠2＋∠3＝180°；④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的序号是( A )．
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
如图，下列条件中，不能判断直线的是( B )．
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2＋∠4＝180°
已知，如图，BE平分ABC，CF平分BCD，1＝2，求证：AB//CD．
证明：∵ 1＝2
∴ 21＝22 ，即∠ABC＝∠BCD
∴ AB//CD （内错角相等，两直线平行）
如图所示，由(1)∠1＝∠3，(2)∠BAD＝∠DCB，可以判定哪两条直线平行．
解：(1)由∠1＝∠3，
可判定AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
(2)由∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3得：
∠2＝∠BAD-∠1＝∠DCB-∠3＝∠4（等式性质），即∠2＝∠4
可以判定AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
综上，由（1）（2）可判定：AD∥BC，AB∥CD.
在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗?为什么?
平行
已知，如图，EFEG，GMEG，1＝2，AB与CD平行吗?请说明理由．
解：AB∥CD．理由如下：如图：
∵ EFEG，GMEG (已知)，
∴ ∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定义)．
又∵ ∠1＝∠2(已知)，
∴ ∠FEQ -∠1＝∠MGE -∠2 (等式性质)，
即∠3＝∠4．
∴ AB∥CD (同位角相等，两直线平行)．
【知识精练】
选择题
下列关于作图的语句正确的是( D )．
A．画直线AB＝10厘米
B．画射线OB＝10厘米
C．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线
D．过直线AB外一点画一条直线和直线AB平行
下列判断正确的个数是( A )．
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②两条不相交的直线叫做平行线；③在同一平面内不相交的两条射线是平行线．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是( C )．
A．平行的性质
B．等量代换
C．平行于同一直线的两条直线平行
D．以上都不对
填空题
两条射线或线段平行，是指____射线或线段所在的直线平行______．
如图所示，直线a，b被c所截，∠1＝30°，，则直线a与b的位置关系是_平行．
如图，直线a和b被直线c所截，∠1＝110°，当∠2＝___70°__时，有直线a∥b成立．
解答题
读下列语句，用直尺和三角尺画出图形．
点P是直线AB外的一点，直线CD经过点P，且CD与AB平行；
直线AB与CD相交于点O，点P是AB、CD外的一点，直线EF经过点P，且EF∥AB，与直线CD相交于点E．
解：
如图所示，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝100°，要使AB∥EF，∠4应为多少度，说明理由．
【解析】
解： ∠4＝100°．理由如下：
∵ ∠1＝60°，∠2＝60°，
∴ ∠1＝∠2．
∴ AB∥CD．
又∵ ∠3＝∠4＝100°，
∴ CD∥EF．
∴ AB∥EF．
【课后检测】
选择题
下列说法中不正确的是( C )．
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角相等，两直线平行
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行
如图所示，给出了过直线l外一点P作已知直线l的平行线的方法，其依据是( A )．
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．以上都不对
如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5；②∠1＝∠7；③∠2+∠1＝180°；④∠1＝∠3．其中能判定a∥b的序号是( A )．
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
填空题
如图，已知若∠1+∠2＝180°，则∠3+∠4＝____180°____，AB____∥____CD．
小军在一张纸上画一条直线，再画这条直线的平行线，然后依次画前一条直线的平行线，当他画到第十条直线时，第十条直线与第一条直线的位置关系是____平行____．
已知直线a、b都过点M，且直线a∥l，b∥l，那么直线a、b是同一条直线，根据是___过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行_____．
解答题
已知如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，那么CD与AB平行吗?写出推理过程．
【解析】
解：CD∥AB．理由如下：
∵ BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线，
∴ ∠3＝∠ADC，∠2＝∠ABC．
∵ ∠ABC＝∠ADC，
∴ ∠3＝∠2．
又∵ ∠1＝∠2，
∴ ∠3＝∠1．
∴ CD∥AB(内错角相等，两直线平行)．
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第二讲 平行线的概念与判定
【知识精讲】
平行线及平行公理
平行线的定义
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．两直线平行，用符号“∥”表示．如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b．
要点诠释：
同一平面内，两条直线的位置关系：相交和平行．
互相重合的直线通常看作一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行．
平行线的画法
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合．
②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边．
③推：沿着直尺平移三角板，使与已知直线重合的斜边通过已知点．
④画：沿着这条斜边画一条直线，所画直线与已知直线平行．
平行公理及推论
平行公理：经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
要点诠释：
平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
“平行公理的推论”也叫平行线的传递性．
两条平行线间的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线间的距离．
要点诠释：
求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．
两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即两条平行线之间的距离处处相等．
平行线的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行．如上图，几何语言：
∵∠3＝∠2
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)
判定方法2：内错角相等，两直线平行．如上图，几何语言：
∵∠1＝∠2
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．如上图，几何语言：
∵∠4＋∠2＝180°
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)
要点诠释：
平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形．
今后我们有符号“∵”表示“因为”，用“∴”表示“所以”．
【典型例题】
平行线及平行公理
下列说法中正确的有( )．
①一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③因为a∥b，c∥d，所以a∥d；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图，在正方体中：
与线段平行的线段________；
与线段相交的线段________；
与线段既不平行也不相交的线段________．
如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则( )．
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不确定
如图，在两个一大一小的正方形拼成的图形中，小正方形的面积是10平方厘米，阴影部分的面积为________平方厘米．
平行线的判定
如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：
①∠1＝∠5；②∠1＝∠7；③∠2＋∠3＝180°；④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的序号是( )．
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
如图，下列条件中，不能判断直线的是( )．
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2＋∠4＝180°
已知，如图，BE平分ABC，CF平分BCD，1＝2，求证：AB//CD．
如图所示，由(1)∠1＝∠3，(2)∠BAD＝∠DCB，可以判定哪两条直线平行．
在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗?为什么?
已知，如图，EFEG，GMEG，1＝2，AB与CD平行吗?请说明理由．
【知识精练】
选择题
下列关于作图的语句正确的是( )．
A．画直线AB＝10厘米
B．画射线OB＝10厘米
C．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线
D．过直线AB外一点画一条直线和直线AB平行
下列判断正确的个数是( )．
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②两条不相交的直线叫做平行线；③在同一平面内不相交的两条射线是平行线．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是( )．
A．平行的性质
B．等量代换
C．平行于同一直线的两条直线平行
D．以上都不对
填空题
两条射线或线段平行，是指_________________________________．
如图所示，直线a，b被c所截，∠1＝30°，，则直线a与b的位置关系是________．
如图，直线a和b被直线c所截，∠1＝110°，当∠2＝________时，有直线a∥b成立．
解答题
读下列语句，用直尺和三角尺画出图形．
点P是直线AB外的一点，直线CD经过点P，且CD与AB平行；
直线AB与CD相交于点O，点P是AB、CD外的一点，直线EF经过点P，且EF∥AB，与直线CD相交于点E．
如图所示，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝100°，要使AB∥EF，∠4应为多少度，说明理由．
【课后检测】
选择题
下列说法中不正确的是( )．
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角相等，两直线平行
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行
如图所示，给出了过直线l外一点P作已知直线l的平行线的方法，其依据是( )．
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．以上都不对
如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5；②∠1＝∠7；③∠2+∠1＝180°；④∠1＝∠3．其中能判定a∥b的序号是( )．
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
填空题
如图，已知若∠1+∠2＝180°，则∠3+∠4＝________，AB________CD．
小军在一张纸上画一条直线，再画这条直线的平行线，然后依次画前一条直线的平行线，当他画到第十条直线时，第十条直线与第一条直线的位置关系是________．
已知直线a、b都过点M，且直线a∥l，b∥l，那么直线a、b是同一条直线，根据是________．
解答题
已知如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，那么CD与AB平行吗?写出推理过程．
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