第四讲 二元一次方程组的解法
【知识精讲】
消元法
消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数．这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．
消元的基本思路：未知数由多变少．
消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程．
代入消元法
通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．
要点诠释：
代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．
代入消元法的技巧是：
①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；
②若方程组中有未知数的系数为1(或?1)的方程．则选择系数为1(或?1)的方程进行变形比较简便；
③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或?1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．
加减消元法解二元一次方程组
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．
要点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；
把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．
选择适当的方法解二元一次方程组
解二元一次方程组的基本思想(一般思路)是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．
【典型例题】
用代入法解二元一次方程组
用代入法解方程组：．
解：
将①代入②得：③
去括号，移项，合并，系数化1得： ④
把④代入①得：
∴ 原方程组的解为：
若方程y＝1－x的解也是方程3x＋2y＝5的解，则x＝___3_____，y＝____-2____．
用代入法解二元一次方程组：
与方程组有完全相同的解的是( D )
A．x+y－2=0 B．x+2y=0
C．(x+y－2)(x+2y)=0 D．
若，则x=____3____，y=____2____．
加减法解二元一次方程组
直接加减：解方程组
解：①+②，得6x＝18，解得x＝3．
将x＝3代入②，得4×3-3y＝11，解得．
所以原方程组的解为．
先变系数后加减：
解：②－①×2，得13y＝65．解得y＝5．
将y＝5代入①，得2x-5×5＝-21，解得x＝2．
所以原方程组的解为．
解方程组：
解： (1)×3：6x+15y=21 (3)
(2)×2：6x+4y=10 (4)
(3)－(4)：11y=11
y=1
代入(1)：2x+5=7
2x=2
x=1
∴
建立新方程组后巧加减：解方程组
解：①+②，得7x+7y＝7，整理得x+y＝1． ③
②－①，得3x-3y＝-15，整理得x-y＝-5． ④
解由③、④组成的方程组得原方程组的解为
先化简再加减：解方程组
解：①×10，②×6，得
③×3-④，得11y＝33，解得y＝3．
将y＝3代入③，解得x＝4．
所以原方程组的解为
用适当方法解二元一次方程组
(1)(2)
(1);(2)
用两种方法解方程组
解：法Ⅰ：由（1）：2y=9－x
将其整体代入（2）：3x－(9－x)=－1
解得x=2
∴2y=9－x=7
∴原方程组的解为：
法Ⅱ：（1）+（2）：4x=8，1
x=2，
代入（1）：2+2y=9，
2y=7， ．
∴原方程组的解为：．
由解确定方程组中的相关量
方程组的解的值相等，则的值是____1___．
若方程组的解x与y相等，求k．10
若方程组的解为，试求的值．
解得.
【知识精练】
选择题
用代入消元法解方程组代入消元法正确的是( D )．
A．由①②得y＝3x+2，代入②，得3x＝11?2(3x+2)
B．由②得，代入①，得
C．由①得，代入②，得2?y＝11?2y
D．由②得3x＝11?2y，代入①，得11?2y?y＝2
已知，则的值是( D )
A．1 B．3 C．5 D．7
对于方程3x?2y?1＝0，用含y的代数式表示x，应是( D )．
A．B． C．D．
解方程组①，②比较简便的方法是( C )
A．均用代入法 B．均用加减法
C．①用代入法，②用加减法 D．①用加减法，②用代入法
一副三角板按如图摆放，∠1的度数比∠2的度数大50°，若设，，则可得到方程组为( D )．
A．B． C． D．
已知是二元一次方程组的解，则a?b的值为( B )
A．1 B．?1 C．2 D．3
填空题
解方程组若用代入法解，最好是对方程____②____变形，用含___x____的代数式表示____y____．
已知二元一次方程，用含x的代数式表示y为________．
方程组的解满足方程x+y?a＝0，那么a的值是___-5_____．
已知二元一次方程组，则x?y＝____-1____，x+y＝____5____．
小刚解出了方程组的解为，因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组中的一个数和解中的一个数，则▲＝___17_____，▇＝____9____．
如果是方程组的解，则与的关系是____________．
解答题
解下列方程组：
(1) (2)
(1);(2)
如果是方程组的解．求．
;3
m为何值时，方程组的解互为相反数?
解：由题意得x＝-y，把x＝-y代入方程得，
整理得．把②代入①，得m＝9．
所以m为9时，原方程组的解互为相反数．
【课后检测】
选择题
用加减消元法解二元一次方程组时，必须使这两个方程中( D )
A．某个未知数的系数是1 B．同一个未知数的系数相等
C．同一个未知数的系数互为相反数 D．某一个未知数的系数的绝对值相等
用代入法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是( D )．
A．由①得 B．由①得
C．由②得 D．由②得y＝2x?5
用加减消元法解二元一次方程组，下列步骤可以消去未知数x的是( D )
A．①×4+②×3 B．①×2?②×5 C．①×5+②×2 D．①×5?②×2
已知x+3y＝0，则的值为( B )．
A． B． C．3 D．?3
方程组的解是( C )
A． B． C． D．
已知是二元一次方程组的解．则a?b的值为( A )．
A．?1 B．1 C．2 D．3
填空题
用加减法解方程组时，①+②得___6x＝2_____，即________；②－①得___2y＝-10_____，即___ y＝-5_____，所以原方程组的解为________．
如果?x+3y＝5，那么7+x?3y＝____2____．
如果x=1，y=2满足方程，那么a=________．
若方程3x?13y＝12的解也是x?3y＝2的解，则x＝____-2.5____，y＝___-1.5____．
若与的和是单项式，则m＝____1___，n＝_______．
三年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，三年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，则父亲现在的年龄是____51____岁，儿子现在的年龄是____15____岁．
解答题
解下列二元一次方程组
(1) (2)
(1);(2)
小明在解方程组时，遇到了困难，你能根据他的解题过程，帮他找出原因吗?并求出原方程组的解．
解方程组
解：由②，得y＝1?6x③
将③代入②，得6x+(1?6x)＝1(由于x消元，无法继续)
解：无法继续的原因是变形所得的③应该代入①，不可代入②．
由②，得y＝1-6x ③，将③代入①，得12x-3(1-6x)＝7．
解得，将代入③，得y＝-1．所以原方程组的解为．
代数式，当x＝?2时，代数式的值为4；当x＝2时，代数式的值为10，则x＝?1时，求代数式的值．
解：由题意可得：
解得，，
∴ 代数式为，
将x＝-1代入，得.
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第四讲 二元一次方程组的解法
【知识精讲】
消元法
消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数．这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．
消元的基本思路：未知数由多变少．
消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程．
代入消元法
通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．
要点诠释：
代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．
代入消元法的技巧是：
①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；
②若方程组中有未知数的系数为1(或?1)的方程．则选择系数为1(或?1)的方程进行变形比较简便；
③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或?1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．
加减消元法解二元一次方程组
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．
要点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；
把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．
选择适当的方法解二元一次方程组
解二元一次方程组的基本思想(一般思路)是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．
【典型例题】
用代入法解二元一次方程组
用代入法解方程组：．
若方程y＝1－x的解也是方程3x＋2y＝5的解，则x＝________，y＝________．
用代入法解二元一次方程组：
与方程组有完全相同的解的是( )
A．x+y－2=0 B．x+2y=0
C．(x+y－2)(x+2y)=0 D．
若，则x=________，y=________．
加减法解二元一次方程组
直接加减：解方程组
先变系数后加减：
解方程组：
建立新方程组后巧加减：解方程组
先化简再加减：解方程组
用适当方法解二元一次方程组
(1) (2)
用两种方法解方程组
由解确定方程组中的相关量
方程组的解的值相等，则的值是________．
若方程组的解x与y相等，求k．
若方程组的解为，试求的值．
【知识精练】
选择题
用代入消元法解方程组代入消元法正确的是( )．
A．由①②得y＝3x+2，代入②，得3x＝11?2(3x+2)
B．由②得，代入①，得
C．由①得，代入②，得2?y＝11?2y
D．由②得3x＝11?2y，代入①，得11?2y?y＝2
已知，则的值是( )
A．1 B．3 C．5 D．7
对于方程3x?2y?1＝0，用含y的代数式表示x，应是( )．
A． B． C． D．
解方程组①，②比较简便的方法是( )
A．均用代入法 B．均用加减法
C．①用代入法，②用加减法 D．①用加减法，②用代入法
一副三角板按如图摆放，∠1的度数比∠2的度数大50°，若设，，则可得到方程组为( )．
A． B． C． D．
已知是二元一次方程组的解，则a?b的值为( )
A．1 B．?1 C．2 D．3
填空题
解方程组若用代入法解，最好是对方程________变形，用含_______的代数式表示________．
已知二元一次方程，用含x的代数式表示y为________．
方程组的解满足方程x+y?a＝0，那么a的值是________．
已知二元一次方程组，则x?y＝________，x+y＝________．
小刚解出了方程组的解为，因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组中的一个数和解中的一个数，则▲＝________，▇＝________．
如果是方程组的解，则与的关系是____________．
解答题
解下列方程组：
(1) (2)
如果是方程组的解．求．
m为何值时，方程组的解互为相反数?
【课后检测】
选择题
用加减消元法解二元一次方程组时，必须使这两个方程中( )
A．某个未知数的系数是1 B．同一个未知数的系数相等
C．同一个未知数的系数互为相反数 D．某一个未知数的系数的绝对值相等
用代入法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是( )．
A．由①得 B．由①得
C．由②得 D．由②得y＝2x?5
用加减消元法解二元一次方程组，下列步骤可以消去未知数x的是( )
A．①×4+②×3 B．①×2?②×5 C．①×5+②×2 D．①×5?②×2
已知x+3y＝0，则的值为( )．
A． B． C．3 D．?3
方程组的解是( )
A． B． C． D．
已知是二元一次方程组的解．则a?b的值为( )．
A．?1 B．1 C．2 D．3
填空题
用加减法解方程组时，①+②得________，即________；②－①得________，即________，所以原方程组的解为________．
如果?x+3y＝5，那么7+x?3y＝________．
如果x=1，y=2满足方程，那么a=________．
若方程3x?13y＝12的解也是x?3y＝2的解，则x＝________，y＝_______．
若与的和是单项式，则m＝_______，n＝_______．
三年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，三年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，则父亲现在的年龄是________岁，儿子现在的年龄是________岁．
解答题
解下列二元一次方程组
(1) (2)
小明在解方程组时，遇到了困难，你能根据他的解题过程，帮他找出原因吗?并求出原方程组的解．
解方程组
解：由②，得y＝1?6x③
将③代入②，得6x+(1?6x)＝1(由于x消元，无法继续)
代数式，当x＝?2时，代数式的值为4；当x＝2时，代数式的值为10，则x＝?1时，求代数式的值．
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