第2章 二元一次方程组单元能力测试卷（解析版+学生卷）

【单元双测卷——能力测】
第2章 二元一次方程组
说明：全卷满分120分，有三大题，共24小题.
班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________
一、填空题（本题有10小题，每题3分，共30分. 请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．用加减法解方程组，下列解法不正确的是（　　）
A．①×2-②，消去x B．①×2-②×5，消去y
C．①×（-2）+②，消去x D．①×2-②×（-5），消去y
2．已知是二元一次方程组的解，则的值为（　　）
A．－1 B．1 C．2 D．3
3．二元一次方程2x+y=7的正整数解有多少组（　　）
A．2 B．3 C．5 D．4
4．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．如果，其中，那么等于（　　）
A．1：2：3 B．2：3：1 C．4：3：1 D．3：2：1
6．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（　　）
A． B．
C． D．
7．小明在学习之余去买文具，打算购买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，期间他与售货员对话如图：1支笔和1本笔记本应付（　　）
A．10元 B．11元 C．12元 D．13元
8．根据如图给出的信息，计算放入体积相同的大球、体积相同的小球各2个，水面将上升到（　　）
A．35 cm B．36 cm C．37 cm D．39 cm
9．如图，宽为50cm的长方形团由10个形状大小完全相同的小长方形拼成，其汇总一个小长方形的面积为（　　）
A．400cm2 B．500cm2 C．600cm2 D．4000cm2
10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密后传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为，明文a，b对应的密文为a＋2b，2a－b，例如：明文1，2对应的密文是5，0，当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是（　　）
A．3，－1 B．1，－3 C．－3，1 D．－1，3
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．若|a－b＋1|与互为相反数，则a＝_________，b＝_________．
12．已知关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，则k的值是_________．
13．解方程组时，一学生把 a 看错后得到，而正确的解是 ，则 a+c+d=___________．
14．对于X，Y定义一种新运算“*”：X*Y＝aX＋bY，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知：3*5＝15，4*7＝28，那么2*3＝_____________．
15．如图所示，在长为10m、宽为8m的长方形空地上，沿平行于各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃则其中一个小长方形花圃的周长是___________m.
16．魔术师刘谦第一次用2元钱买了2个桃子，1个橘子；第二次用4元钱买了3个橘子，1个苹果；第三次用6元钱买了2个桃子，3个苹果,则他要买一个桃子，一个橘子，一个苹果总共得花_____元.
三、解答题（本题有8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（9分）解方程组:
（1）(代入法) （2）(加减法)
（3）
18．（3分）关于，的方程组
若的值比的值小，求的值；
若方程与方程组的解相同，求的值．
19．（6分）阅读下列解方程组的部分过程，回答下列问题
解方程组
现有两位同学的解法如下：
解法一；由①，得x＝2y+5，③
把③代入②，得3(2y+5)﹣2y＝3．……
解法二：①﹣②，得﹣2x＝2．……
(1)解法一使用的具体方法是________，解法二使用的具体方法是______，以上两种方法的共同点是________．
(2)请你任选一种解法，把完整的解题过程写出来
20．（6分）某车间有工人56名，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓24个或螺母36个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套？
21．（10分）为了组织一个50人的旅游团开展“乡间民俗”游，旅游团住村民家，住宿客房有三人间、二人间、单人间三种，收费标准是三人间每人每晚20元，二人间每人每晚30元，单人间每人每晚50元，旅游团共住20间客房，旅游团如何安排住宿才能够使得住宿费最低，并说明理由．
22．（10分）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：
(1)甲，乙两组工作一天，商店各应付多少钱?
(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少?
(3)若装修完后，商店每天可贏利200元，你认为如何安排施工更有利于商店?请你帮助商店决策.(可用(1)(2)问的条件及结论)
23．（10分）宏远商贸公司有A、B两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如下表所示：
体积（m3/件）
质量（吨/件）
A型商品
0.8
0.5
B型商品
2
1
（1）已知一批商品有A、B两种型号，体积一共是20m3，质量一共是10.5吨，求A、B两种型号商品各有几件？
（2）物流公司现有可供使用的货车每辆额定载重3.5吨，容积为6m3，其收费方式有以下两种：
①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费600元；
②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费200元．
要将（1）中的商品一次或分批运输到目的地，宏远商贸公司应如何选择运送、付费方式运费最少并求出该方式下的运费是多少元？
24．（12分）某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元，其中每支毛笔比钢笔贵4元．
（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？
（2）①学校仍需要购买上面的两种笔共105支（每种笔的单价不变）．陈老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领2447元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么帐肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的帐算错了．
②陈老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔的单价为小于10元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为　 　元．
答案及解析
1．D
【解析】根据方程组中各项系数的特点结合各选项给出的解法逐一进行验证即可得.
解：A. ①×2-②得，-8y=-2，消去x，故A选项正确，不符合题意；
B. ①×2-②×5得，-16x=-34，消去y，故B选项正确，不符合题意；
C. ①×（-2）+②得，8y=2，消去x，故C选项正确，不符合题意；
D. ①×2-②×（-5）得，24x-20y=46，没有消去任何未知数，故D选项错误，符合题意，
故选D.
2．A
【解析】∵已知是二元一次方程组的解，
∴
由①+②，得a=2，
由①-②，得b=3，
∴a-b=-1；
故选A．
3．B
【解析】把x看做已知数表示出y，即可确定出正整数解．
解：方程2x＋y＝7，
解得：y＝?2x＋7，
当x＝1时，y＝5；x＝2时，y＝3；x＝3时，y＝1，
则方程的正整数解有3组，
故选：B．
4．B
【解析】将k看做已知数求出用k表示的x与y，代入2x+3y=6中计算即可得到k的值．
解：，
①②得：，即，
将代入①得：，即，
将，代入得：，
解得：．
故选：B．
5．B
【解析】把z当作已知数求出x、y的值，再代入求出即可．
解：整理得：
∵①×2?②得：7y=21z，
∴y=3z，
把y=3z代入①得：x+6z=8z，
解得：x=2z，
∴x:y:z=2z:3z:z=2:3:1，
故选B.
6．D
【解析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．
解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，
由题意得：，
故选：D．
7．C
【解析】设1支签字笔的价格为x元，1本笔记本的价格为y元，根据小明与售货员的对话，列出关于x和y的二元一次方程组，解之即可．
解：设1支签字笔的价格为x元，1本笔记本的价格为y元，
根据题意得：，
解得： ，
8＋4＝12（元），
即1支笔和1本笔记本应付12元，
故选：C．
8．B
【解析】根据题意建立方程组，并解方程组进行作答.
解：设大球体积为x，小球体积为y，根据题意建立方程组，解方程组，得到x，y的值，再计算得到2x＋2y的值为36，所以，选B.
9．A
【解析】设小长方形的长为xcm，小长方形的宽为ycm，根据图示，找出等量关系，列方程组求解．
解：设小长方形的长为xcm，小长方形的宽为ycm，
由题意得，，
解得：，
小长方形的面积为：40×10=400（cm2）．
故选：A．
10．A
【解析】根据题意可得方程组，再解方程组即可．
解：由题意得：，
解得：，
故选A．
11．－2,－1
【解析】先根据互为相反数的和等于0列式，再根据非负数的性质列出二元一次方程组，最后解二元一次方程组求出、的值.
解：与互为相反数，
，
，
②?①得，，
解得，
把代入①得，，
解得.
故答案为；.
12．－1
【解析】解：∵关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，
∴x=-y③，
把③代入②得：-y+2y=-1，
解得y=-1，所以x=1，
把x=1，y=-1代入①得2-3=k，
即k=-1.
故答案为-1
13．5
【解析】将x=5，y=1代入第二个方程，将x=3，y=-1代入第二个方程，组成方程组求出c与d的值，将正确解代入第一个方程求出a即可．
解：将x=5，y=1；x=3，y=-1分别代入cx-dy=4得： 解得：，将x=3，y=-1代入ax+2y=7中得：3a-2=7，解得：a=3，则a=3，c=1，d=1，把a=3，c=1，d=1代入a+c+d=3+1+1=5．
14．2
【解析】利用题中的新定义列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，代回到新定义的式子中，然后再根据新定义计算2*3即可．
解：∵X*Y=aX+bY， 3*5=15，4*7=28，
∴，
解得，
∴X*Y=-35X+24Y，
∴2*3=-35×2+24×3=2，
故答案为2.
15．12
【解析】由图形可看出：小矩形的2个长+一个宽=10m，小矩形的2个宽+一个长=8m，设出长和宽，列出方程组解之即可求得答案．
解：设小长方形花圃的长为xm，宽为ym，由题意得，解得，所以其中一个小长方形花圃的周长是.
16．3
【解析】设买一个桃子，一个橘子，一个苹果价格的未知数，建立方程组，整体求解．
解：设一个桃子x元，一个橘子y元，一个苹果z元，
根据题意得： ，
把这三个方程相加得： ，
∴
所以买一个桃子，一个橘子，一个苹果总共得花3元.
17．(1)；（2）；（3）
【解析】（1）把第二个方程用含有y的字母把x表示出来 ，然后代入第一个方程求出y，再把y代入求出x，方程组的解即可求出
（2）把第一个方程左右两边都乘以2，第二个方程左右两边都乘以3，然后相减消掉y求出x，然后把x代入求出y,方程组的解即可求出.
（3）先把三元一次方程组转换成二元一次方程组，然后求解即可
解：（1）解： ， 由②得x=13﹣4y ③，
将③代入①得2（13﹣4y）+3y=16，解得：y=2，
将y=2代入②得：x=5，
∴原方程组的解为
（2）解：用加减消元法求解：，
①×2得：10x﹣12y=﹣6 ③
②×3得：21x﹣12y=27④
④﹣③得：21x﹣12y﹣10x+12y=33，解得：x=3，
将x=3代入①得：y=3，
∴原方程组的解为
（3）解： ， ②﹣①得：x﹣2y=﹣1 ④
①×3得，3x+3y+3z=12 ⑤
⑤+③得6x+y=7 ⑥
⑥×2，得：12x+2y=14 ⑦
⑦+④得13x=13，解得：x=1，
将x=1代入④得y=1，
将x=1、y=1代入①得z=2，
∴原方程组的解为
18．
【解析】（1）由x的值比y的值小5，可得x-y=-5，即得9m=-5，从而求出m；
（2）由方程3x+2y=17与方程组的解相同，可得三元一次方程组，解此方程组即可求出m．
解：由已知得：，
∴，
∴；
已知方程与方程组的解相同，
所以得：三元一次方程组，
①-②得：y=-2m；
③-①得：x=（17-3m）；
把y=-2m，x=（17-3m）代入②得：（17-3m）+2m=9m
解得：．
19．(1)代入消元法；加减消元法；基本思路都是消元；(2).
【解析】（1）分析两种解法的具体方法，找出两种方法的共同点即可；
（2）将两种方法补充完整即可．
解：(1)解法一使用的具体方法是代入消元法，解法二使用的具体方法是加减消元法，以上两种方法的共同点是基本思路都是消元(或都设法消去了一个未知数，使二元问题转化为了一元问题)；
故答案为：代入消元法，加减消元法，基本思路都是消元(或都设法消去了一个未知数，使二元问题转化为了一元问题)；
(2)方法一：由①得：x＝2y+5③，
把③代入②得：3(2y+5)﹣2y＝3，
整理得：4y＝﹣12，
解得：y＝﹣3，
把y＝﹣3代入③，得 x＝﹣1，
则方程组的解为；
方法二：①﹣②，得﹣2x＝2，
解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入①，得﹣1﹣2y＝5，
解得：y＝﹣3，
则方程组的解为．
20．应分配24人生产螺栓，32人生产螺母．
【解析】题目中有两个相等关系：生产螺栓人数+生产螺母人数=56，生产的螺母数量=2×生产的螺栓数量；据此设未知数列出方程组，再求解方程组即可.
解：设应分配x人生产螺栓，y人生产螺母，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套，
根据题意得，
解得.
答：应分配24人生产螺栓，32人生产螺母.
21．三人间，二人间，单人间分别住了15、0、5间时总费用最低，理由见解析
【解析】可根据题意设三人间，二人间，单人间分别住了x，y，z间，再根据三人间人每晚20元，二人间每人每晚30元，单人间每人每晚50元，旅游团共住20间客房，列出两个方程，再根据x，y，z都是自然数，求出费用最低的选择．
解：设三人间，二人间，单人间分别住了x，y，z间，其中x，y，z都是自然数，
则解得
∵x，y，z都是自然数
∴或或或或或
∴住宿的总费用为60x＋60y＋50z＝－10z＋1 200，
∴即z的取值越大，总费用越低，
∴当z＝5时，即x＝15，y＝0，z＝5时，住宿的总费用最低.
22．（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付300元和140元；（2）单独请乙组需要的费用少；（3）甲乙合作施工更有利于商店.
【解析】（1）设甲组单独工作一天商店应付x元，乙组单独工作一天商店应付y元，根据总费用与时间的关系建立方程组求出其解即可；（2）由甲乙单独完成需要的时间，再结合（1）求出甲、乙两组单独完成的费用进行比较就可以得出结论；（3）先比较甲、乙单独装修的时间和费用谁对商店经营有利，再比较合作装修与甲单独装修对商店的有利经营情况，从而可以得出结论．
解：(1)设：甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店付y元.
由题意得：
解得：
答：甲、乙两组工作一天，商店各应付300元和140元
(2)单独请甲组需要的费用：300×12=3600元.
单独请乙组需要的费用：24×140=3360元.
答：单独请乙组需要的费用少.
(3)请两组同时装修，理由：
甲单独做，需费用3600元，少赢利200×12=2400元，相当于损失6000元；
乙单独做，需费用3360元，少赢利200X24=4800元，相当于损失8160元；
甲乙合作，需费用3520元，少赢利200×8=1600元，相当于损失5120元；
因为5120<6000<8160，所以甲乙合作损失费用最少，
答：甲乙合作施工更有利于商店.
23．（1）A型商品5件，B型商品8件；（2）先按车收费用3辆车运送18m3，再按吨收费运送1件B型产品，运费最少为2000元．
【解析】（1）根据A、B两种型号，体积一共是20m3，质量一共是10.5吨，列方程组求解，等量关系式为：0.8×A型商品件数+2×B型商品件数=20，0.5×A型商品件数+1×B型商品件数=10.5．
（2）①付费=车辆总数×600；②付费=10.5×200；③按车付费之所以收费高，是因为一辆车不满．∴由于3辆车是满的，可按车付费，剩下的可按吨付费，三种方案进行比较．
解：（1）设A型商品x件，B型商品y件．根据A、B两种型号，体积一共是20m3，质量一共是10.5吨，
列方程组可得．
解之得．
所以A型商品5件，B型商品8件；
（2）①若按车收费：每辆额定载重3.5吨，所以10.5÷3.5=3（辆），但车辆的容积6×3=18＜20，所以3辆汽车不够，需要4辆车．4×600=2400（元）．
②若按吨收费：200×10.5=2100（元）．
③先用3辆车运送18m3，剩余1件B型产品，付费3×600=1800（元）．再运送1件B型产品，付费200×1=200（元）．共需付1800+200=2000（元）．
∵2400＞2100＞2000，
∴先按车收费用3辆车运送18m3，再按吨收费运送1件B型产品，运费最少为2000元．
24．(1) 钢笔的单价为21元，毛笔的单价为25元；(2)①见解析；②签字笔的单价可能为2元或6元．
【解析】（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x＋4）元．根据买钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元建立方程，求出其解即可；
（2）①根据第一问的结论设单价为21元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为（105?y）支，求出方程的解不是整数则说明算错了；
②设单价为21元的钢笔为z支，单价为25元的毛笔则为（105?y）支，签字笔的单价为a元，根据条件建立方程求出其解就可以得出结论．
解：(1)设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为(x+4)元．由题意得：
30x+45(x+4)＝1755，
解得：x＝21，
∴毛笔的单价为：x+4＝25．
答：钢笔的单价为21元，毛笔的单价为25元．
(2)①设单价为21元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为(105﹣y)支．根据题意，得
21y+25(105﹣y)＝2447．
解之得：y＝44.5 (不符合题意)．
∴陈老师肯定搞错了．
②设单价为21元的钢笔为z支，签字笔的单价为a元，则根据题意，得
21z+25(105﹣z)＝2447﹣a．
∴4z＝178+a，
∵a、z都是整数，
∴178+a应被4整除，
∴a为偶数，又因为a为小于10元的整数，
∴a可能为2、4、6、8．
当a＝2时，4z＝180，z＝45，符合题意；
当a＝4时，4z＝182，z＝45.5，不符合题意；
当a＝6时，4z＝184，z＝46，符合题意；
当a＝8时，4z＝186，z＝46.5，不符合题意．
所以签字笔的单价可能2元或6元．
故答案为2元或6元．