浙教版七年级数学下册3.1幂的运算提高讲义（含答案）

幂的运算提高讲义



【重点梳理】

重点一、同底数幂的乘法性质
(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
重点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即（都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.
类型一、同底数幂的乘法性质
例1、(2019秋﹒长春期中）已知＝＝1，求的值．
【考点】同底数幂的乘法．同底数幂的乘法【专题】整式．
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答】解：∵＝＝1，
∴＝＝5×1×8＝40．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．


【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．
（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：
．









举一反三：(2019秋﹒永春县期末）若＝则n＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】同底数幂的乘法．同底数幂的乘法【专题】整式；运算能力．
【分析】根据乘法原理以及同底数幂的乘法法则解答即可．

【解答】解：∵
＝
＝
＝
＝
∴2＋n＝6，
解得n＝4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．





重点二、幂的乘方法则
(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
重点诠释：（1）公式的推广： (，均为正整数)
（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.


类型二、幂的乘方法则
例2、计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案与解析】
解：（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．

举一反三：(2019秋﹒南岗区期末）若＝＝b,m,n为正整数，则的值等于（　　）
A． B． C． D．3a＋2b
【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【专题】整式；运算能力．
【分析】根据＝是正整数＝是正整数）进行计算即可．【解答】解：∵＝b，
∴＝b，
∴＝
∴＝＝
故选：A．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，关键是掌握计算法则．


例3、（2019春?南长区期中）已知2x＝8y＋2，9y＝3x﹣9，求x＋2y的值．
【思路点拨】根据原题所给的条件，列方程组求出x、y的值，然后代入求解．
【答案与解析】
解：根据2x=23（y+2），32y=3x﹣9，
列方程得：，
解得：，
则x+2y=11．
【总结升华】本题考查了幂的乘方，解题的关键是灵活运用幂的乘方运算法则．
举一反三：
【变式】已知，则＝ ．
【答案】－5；
提示：原式　
　　　　 ∵∴ 原式＝＝－5.



重点三、积的乘方法则
(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
重点诠释：（1）公式的推广： (为正整数).
（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：
类型三、积的乘方法则
例4、计算：
（1） （2）
【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算.
【答案与解析】
解：（1）．
（2）．
【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．
举一反三：
【变式1】下列等式正确的个数是( )．
① ② ③
④ ⑤
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A；
提示：只有⑤正确；；；；

【变式2】（2019春?泗阳县校级月考）计算：
（1）a4?（3a3）2＋（﹣4a5）2
（2）（2）20?（）21．
【答案】
（1）a4?（3a3）2＋（﹣4a5）2
=a4?9a6＋16a10
=9a10＋16a10
=25a10；
（2）（2）20?（）21．
=（×）20?
=1×
=．
例5、（2019秋?济源校级期中）已知x2m=2，求（2x3m）2﹣（3xm）2的值．
【思路点拨】根据积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得已知条件，根据已知条件，可得计算结果．
【答案与解析】解：原式=4x6m﹣9x2m
=4（x2m）3﹣9x2m
=4×23﹣9×2
=14．
【总结升华】本题考查了幂的乘方与积得乘方，先由积的乘方得出已知条件是解题关键．
　


【综合探究】
1.(2019秋﹒雨花区校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作(a,b),如果＝b，则(a,b)＝c．我们叫(a,b)为“雅对”．
例如：因为＝8，所以 (2,8)＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式 (3,3)＋(3,5)＝(3,15)成立．证明如下：
设 (3,3)＝m,(3,5)＝n，则＝＝5，
故＝＝3×5＝15，
则 (3,15)＝m＋n,
即 (3,3)＋(3,5)＝(3,15)．
（1）根据上述规定，填空：(2,4)＝22; (5,1)＝00; (3,27)＝33．
（2）计算 (5,2)＋(5,7)＝(5,14)(5,14),并说明理由．
（3）利用“雅对”定义证明：＝(2,3),对于任意自然数n都成立．


【考点】有理数的混合运算；同底数幂的乘法．同底数幂的乘法【专题】规律型．
【分析】（1）根据上述规定即可得到结论；
（2）设(5,2)＝x,(5,7)＝y，根据同底数幂的乘法法则即可求解；
（3）设＝x，于是得到＝即＝根据“雅对”定义即可得到结论．【解答】解：（1）∵＝4，
∴(2,4)＝2；
∵＝1，
∴(5,1)＝0；
∵＝27，
∴(3,27)＝3；
故答案为：2,0,3;

（2）设(5,2)＝x,(5,7)＝y，
则＝＝7，
∴＝＝14，
∴(5,14)＝x＋y,
∴(5,2)＋(5,7)＝(5,14),
故答案为：(5,14);

（3）设＝x，则＝即＝
所以＝3，即(2,3)＝x，
所以＝(2,3)．【点评】此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键．







2.(2018春﹒开福区校级期中）阅读材料：n个相同的因数a相乘，可记为如2×2×2＝＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log_(2)8(即＝3）．一般地，若＝b(a＞0且a≠1,b＞0),则n叫做以a为底b的对数，记为log_(a)b(即＝n）．如＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log_(3)81(即＝4）．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）计算以下各对数的值：＝＝＝66；
（2）根据（1）中的计算结果，写出满足的关系式；
（3）根据（2）中的关系式及4,16,64满足的关系式猜想一般性结论：
＝且a≠1,M＞0,N＞0);
（4）根据幂的运算法则说明（3）中一般性结论的正确性．


【考点】同底数幂的乘法．吴晓莉 同底数幂的乘法【专题】常规题型．
【分析】（1）根据＝b(a＞0且a≠1,b＞0),则n叫做以a为底b的对数，记为log_(a)b(即＝n），进而得出答案；
（2）利用（1）中所求进而得出答案；
（3）利用（2）中所求规律进而得出答案；
（4）利用发现的规律进而分析得出答案．
【解答】解：＝＝＝6；
故答案为：2,4,6;

（2）由（1）得：＝

（3）由（2）得：＝
故答案为：

（4）记＝＝n，
则M＝＝
所以MN＝＝
所以＝＝m＋n,
所以＝．
【点评】此题主要考查了新定义以及同底数幂的乘法运算，正确发现新定义的意义是解题关键．










PAGE