5.5.1 分式方程的解法(知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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浙江版2019﹣2020学年度下学期七年级数学下册第5章分式
5.5 分式方程—分式方程的解法
【知识清单】
1．分式方程：
像，，这样，只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程.
2．解分式方程的一般步骤：
(1)去分母：当分式方程含有若干个分式时，通常可用各个分式的公分母同乘方程的两边进行去分母；方程两边同乘公分母，公分母为分母的系数的最小公倍数和各分母所有字母的最高次幂的积．注意：①不要漏乘单独的数字．②分子是多项式的要用括号括起来．
(2)去括号：注意符号和不要漏乘．
(3)移项，合并同类项：注意移项要变号．
(4)两边同时除以未知数的系数：注意不要颠倒分子分母．
(5)检验：解分式方程，一定要验根，把所求的根代入原分式方程，或者代入公分母，判断方程中的分式有无意义．使公分母的值不为零的根，是原方程的根，使分母为零的根我们说它是增根，增根使方程无意义，应舍去.
(6)写出结论．一般写法：经检验，x=___是原方程的根；或者：经检验，x=___是原方程的增根，所以原方程无解．
【经典例题】
例题1、下列方程：①；②；③；④；
⑤.其中是分式方程的有______________．
【考点】分式方程定义，分式方程的解法，分式方程解的判定．?
【分析】分母里含有未知数的方程叫做分式方程.因此本题可以根据分式方程的概念，对每个小题逐一判定即可.
【解答】①分母为3x－1含有未知数x，是分式方程，故①正确；②分母为3π是常数，不是分式方程，故②错误；③分母为y－1与y2－1，含有未知数y，是分式方程，故③正确；④分母为5与6，不含有未知数，不是分式方程，，故④错误；⑤分母为5与5y，含有未知数y，是分式方程，故⑤正确.
故填答案为①③⑤.
【点评】本题属于基础应用题，需要学生熟练掌握分式方程的定义，即可完成.
例题2、下列解分式方程的步骤中，
(1)去分母，得4(x－3)－30=－5(x+3)
(2)去括号，得4x－12－30=－5x－15
(3)移项、合并同类项，得9x=27
(4) 方程两边同除以9，得x=3
(5)所以原分式方程的解是x=3
问题：(1)此题的步骤中错在哪一步 ；
(2)此题的正确答案是 .
【考点】分式方程的解法．
【分析】本题考查了分式方程的解法(1)去分母；(2)去括号；(3)移项，合并同类项；
(4)系数化1；(5)检验：对原方程有无根作出判断(尤其是増根)；(6)写出结论．
【解答】(1)此题的步骤中错在哪一步 (5) ；
(2)此题的正确答案是 x=3是原方程的增根 .
【点评】本题考查了分式方程的解法；正确的求出方程的解并作出准确的判断是解题的关键．
【夯实基础】
1．下列各式子中，不是分式方程的是( )
A. B. C. D.
2．，去分母得( )
A．x(x+3)－3(x－2)=1 B．x(x+3)+3(x－2)=1
C．x(x+3)－3=(x－2)(x+3) D．x(x+3)－3(x－2)=(x－2)(x+3)
3．如果解关于x的分式方程无解，那么m的值为( )
A．－9 B．－8 C．－7 D．－6
4．定义一种新的运算“△”，a△b=，如4△2=，则方程x△(－12)= 的
解为( )
A．x=2 B．x=－2 C．x=－1 D．x=1
5．已知实数a，b，满足ab=1，，则的值为 ．
6．已知关于方程的解为x=－18，则的值 .
7．解方程：
(1) . (2) .

(3) (4) .

8．若实数a、b、c满足，，，求a、b、c的值.



9．阅读下面的解题过程，并解决问题：
解方程组.解：设，，则方程组变为.
就这个二元一次方程组，得，
∵，，∴.
该题通过换元将分式方程组变为整式二元一次方程组的解法叫做“换元法”， 换元法是一种
的常用的化难为简方法.请你利用“换元法”解决下面的问题：



【提优特训】
10．方程的解是(　　)
A. －4 B．－3 C．－2 D．3
11．关于x的分式方程，下列说法正确的是(　　)
A．不论m取何值时，方程总有解 B．当m≠1时，方程的解为x=
C．当m≠1且m≠0时，方程的解为x= D．当m=6时，方程的解为x=－6
12．关于x的分式方程有增根，则的值为( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
13．已知关于x的方程的解为x=－3，则a的值为( ).
A．2 B．1 C．－1 D．0
14．分式方程的解为________.
15．已知方程，计算 (1+a)( 1+a2)( 1+a4)( 1+a8)= .
16．已知实数a，b，c，满足a+b+c=1， ，则abc的值为 .
17．若关于x的方程无解，求a的值.

18．解方程.





19．阅读理解，并解决问题：
已知关于x的方程的解是x1=c，x2=；
(即)的解是x1=c，x2=－；
的解是x1=c，x2=；
的解是x1=c，x2=；
的解是x1=c，x2=；
….
解决问题：
(1)猜想关于x的方程 (m≠0)的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；
(2)利用你得到的结论解关于x的方程：①；②.


【中考链接】
20．(2019?重庆A)关于x的方程的解是 (　　)
A．x=4 B．x=3 C．x=2 D．x=1
21．(2019?绥化)分式方程计算的解是( )．
A．x=－2 B．x=2 C．x=1 D．x=1或x=2
22．(2019?衡阳)分式方程的解为 .
23．(2019?无锡) 分式方程的解为 .






参考答案
1、C 2、D 3、A 4、B 5、－1 6、 10、B 11、C 12、D
13、C 14、x=2 15、16 16、0 20、B 21、C 22、x=2 23、x=2
7． 解：(1)去分母，得2(x－4)=x+3，
去括号，得2x－8=x+3，
移项、合并同类项，得x=11，
把x=11代入公分母(x+3)(x－4)≠0，
所以x=11是原方程的解.
(2)去分母，得2x(x－2)－(x+2)=2(x+2)(x－2)，
去括号，得2x2－4x－x－2=2x2－8，
移项、合并同类项，得－5x=－6，
解得x=.
把x=代入公分母(x+2)(x－2)≠0，
所以x=是原方程的解.
(3)去分母，得5x+2(x+6)=12，
去括号，得5x+2x+12=12，
移项、合并同类项，得7x=0，
解得x=0.
把x=0代入公分母(x2+5x)=0，
所以x=1是原方程的增根.
(4)去分母，得2(x－1)+4(x+1)=5x，
去括号，得2x－2+4x+4=5x，
移项、合并同类项，得x=－2，
解得x=－2.
把x=1代入公分母x(x2－1)≠0，
所以x=－2是原方程的解.
8．若实数a、b、c满足，，，求a、b、c的值.
解：运用取倒数法求解：
∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴①+②+③，
∴.
∴④－①得，④－②，④－③，
∴a=，c=24，b=.
9．解方程组.
解：设，，则方程组变为.
就这个二元一次方程组，得，
∵=，，∴，解得.
17．若关于x的方程无解，求a的值.
解：去分母，得3(x－2)+a(x+3)=4a+8，
整理，得(a+3)x=a+14，
当a+3=0，即a=－3时，0·x=11，
此时原分式方程无解；
当a+3≠0时，x=，
当x=－3，即 =－3时，a=时，
此时原分式方程无解；
当x=2，即=2时，a=8时，
此时原分式方程无解；
所以a的值为－3或或8.
18．解方程.
解：
方程两边分别通分，得


∵分子相等，
∴分母x2+6x+5=x2+10x+21
解这个整式方程，得x=－4.
19．(1)猜想关于x的方程 (m≠0)的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；
(2)利用你得到的结论解关于x的方程：①；②.
解：(1)猜想方程 (m≠0)的解是x1=c，x2=；
验证：当x=c时，方程左边=c+，右边=c+，
左边=右边，∴x=c是方程的解；
当x=时，方程左边=+c，右边=c+，左边=右边，
∴x=是方程的解，
∴x+=c+ (m≠0)的解是x1=c，x2=　
(2) ：①由可以变形为，
即，
x－2=7－2或x－2= ，
∴x1=7，x2=4；
由，得，
∴x－3=c－3或x－3=，
∴x1=c，x2=.

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