(共18张PPT)
第4章 因式分解
4.1 因式分解
1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A．a(m＋n)＝am＋an
B．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2
C．10x2－5x＝5x(2x－1)
D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
C
2．[2019·湖州期中]下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A．4x2＋y2＝(2x＋y)(2x－y)
B．a(4－y2)＝4a－ay2
C．x2＋3x－1＝x(x＋3)－1
D．－4x2＋12xy－9y2＝－(2x－3y)2
D
3．把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，则a，b的值分别是( )
A．a＝2，b＝3 B．a＝－2，b＝－3
C．a＝－2，b＝3 D．a＝2，b＝－3
B
【解析】 (x＋1)(x－3)＝x2－2x－3，
∴a＝－2，b＝－3.
4．分解因式1－49x2的结果是( )
A．(1＋7x)(1－7x)
B．(7x＋1)(7x－1)
C．(x＋7)(x－7)
D．(7＋x)(7－x)
A
5．分解因式8a3b2＋12ab3c的结果是( )
A．4ab2(2a2＋3bc) B．4ab(2a2＋3bc)
C．8ab2(2a2＋3bc) D．2a2b(2a2＋3bc)
A
6．下列因式分解中正确分解的个数是( )
①2x2－xy＋x＝x(2x－y＋1)；
②x2－4y2＝(x＋2y)(x－2y)；
③x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)；
④2x2－4x＋1＝(2x－1)2.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C
【解析】 ④(2x－1)2＝4x2－4x＋1，错误，①②③正确．
D
8．(1)计算：(2x＋3)(2x－3)＝__________，反过来分解因式__________＝(2x＋3)(2x－3)．
(2)计算：(4x＋3)2＝___________________，反过来分解因式__________________＝(4x＋3)2.
4x2－9
4x2－9
16x2＋24x＋9
16x2＋24x＋9
9．利用因式分解的变形方法计算：
(1)2 0192－2 019×19＝__________ ；
(2)782－222＝__________．
4038000
5600
【解析】 (1)2 0192－2 019×19＝2 019×(2 019－19)＝2 019×2 000＝4 038 000；
(2)782－222＝(78＋22)×(78－22)
＝100×56＝5 600.
10．如图4－1－1，把左、右两边相等的代数式用线连起来：
图4－1－1
解：如答图所示．
第10题答图
12．(1)把x2＋3x＋c分解因式得(x＋1)(x＋2)，求c的值；
(2)已知二次三项式2x2＋3x－k＝(2x－5)(x＋a)，求a和k的值
13．找规律：
1×3＋1＝4＝22；
2×4＋1＝9＝32；
3×5＋1＝16＝42；
4×6＋1＝25＝52；
…
请你把找出的规律用公式表示出来．
解：n×(n＋2)＋1＝(n＋1)2.
14．[2019·鄞州区期末]若多项式x2－mx＋n(m，n是常数)分解因式后，有一个因式是x－3，求3m－n的值．
解：设另一个因式为x＋a，
则(x＋a)(x－3)＝x2＋(－3＋a)x－3a，
∴－m＝－3＋a，n＝－3a，∴m＝3－a，
∴3m－n＝3(3－a)－(－3a)＝9－3a＋3a＝9.
(共22张PPT)
第4章 因式分解
4.2提取公因式法
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1．若代数式x2＋ax可以分解因式，则常数a不可以取( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
B
2．[2019春·怀柔区期末]将2x2a－6xab＋2x分解因式，下面是四位同学分解的结果，其中，正确的是( )
①2x(xa－3ab)；
②2xa(x－3b＋1)；
③2x(xa－3ab＋1)；
④2x(－xa＋3ab－1)．
A．① B．②
C．③ D．④
C
3．[2019·杭州期末]多项式x2y(a－b)－xy(b－a)＋y(a－b)提公因式后，另一个因式为( )
A．x2－x＋1 B．x2＋x＋1
C．x2－x－1 D．x2＋x－1
B
【解析】 原式＝(a－b)y(x2＋x＋1)，公因式是(a－b)y，则另一个因式为
x2＋x＋1.
4．把12a2b3c－8a2b2c＋6ab3c2因式分解时，应提取的公因式是( )
A．－2 B．2abc
C．2ab2c D．2a2b3c
C
【解析】 12a2b3c－8a2b2c＋6ab3c2
＝2ab2c·6ab－2ab2c·4a＋2ab2c·3bc
＝2ab2c(6ab－4a＋3bc)．故选C.
5．把多项式－7ab－14abx＋49aby分解因式，提公因式－7ab后，另一个因式是
( )
A．1＋2x－7y B．1－2x－7y
C．－1＋2x＋7y D．－1－2x＋7y
A
6．多项式x(x－3)＋2(3－x)因式分解的结果是( )
A．x＋2 B．x－2
C．(x－3)(x－2) D．(x＋2)(x－3)
C
【解析】 x(x－3)＋2(3－x)＝x(x－3)－2(x－3)＝(x－3)(x－2)．故选C.
7．因式分解：
(1)[2018·温州]a2－5a＝__________；
(2)[2018·舟山]m2－3m＝__________；
(3)[2018·怀化]ab＋ac＝__________．
a(a－5)
m(m－3)
a(b＋c)
8．(1)多项式2x2y－6xy2的公因式是__________；
(2)多项式3a2b2－6a3b3－12a2b2c的公因式是__________．
2xy
3a2b2
9．在等号右边的括号内填上适当的项：
(1)2a＋3b－c＝2a＋(__________)；
(2)2a－3b＋c＝2a－(__________)；
(3)2a－3b－c＝2a－(__________)；
(4)2a＋3b＋c＝2a－(__________)．
3b－c
3b－c
3b＋c
－3b－c
10．因式分解：(1)[2018·杭州](a－b)2－(b－a)＝_________________；
(2)[2018·潍坊](x＋2)x－x－2＝________________．
(a－b)(a－b＋1)
(x＋2)(x－1)
11．因式分解：
(1)2a2－4a；
(2)8a3b2c＋6ab2；
(3)(x＋y)2－3(x＋y)；
(4)3x(y－z)＋(z－y)．
解：(1)原式＝2a(a－2)；
(2)原式＝2ab2(4a2c＋3)；
(3)原式＝(x＋y)(x＋y－3)；
(4)原式＝3x(y－z)－(y－z)
＝(y－z)(3x－1)．
12．若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n 的值是( )
A．3 B．2
C．1 D．－1
A
【解析】 ∵m－n＝－1，
∴原式＝(m－n)2－2(m－n)＝1＋2＝3.故选A.
13．[2019·金华期中]已知a，b分别是长方形的长和宽，它的周长为16，面积为10，那么a2b＋ab2的值为__________．
80
【解析】 ∵a，b分别是长方形的长和宽，它的周长为16，面积为10，∴2(a＋b)＝16，ab＝10，则a＋b＝8，a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝10×8＝80.
14．计算：
(1)5392－439×539＝__________；
(2)573×2 019－473×2 019＝__________．
53900
201900
【解析】 (1)原式＝539×(539－439)
＝539×100＝53 900；
(2)原式＝2 019×(573－473)
＝2 019×100＝201 900.
15．因式分解：
(1)12a(x2＋y2)－18b(x2＋y2)；
(2)(2a＋b)(3a－2b)－4a(2a＋b)．
解：(1)原式＝(x2＋y2)(12a－18b)
＝6(x2＋y2)(2a－3b)；
(2)原式＝(2a＋b)(3a－2b－4a)
＝(2a＋b)(－a－2b)
＝－(2a＋b)(a＋2b)．
16．先因式分解，再求值：
(1)5x(a－2)＋4x(2－a)，其中x＝0.4，a＝102；
(2)已知b－a＝6，ab＝7，求a2b－ab2的值．
解：(1)原式＝5x(a－2)－4x(a－2)
＝(a－2)(5x－4x)＝x(a－2)．
当x＝0.4，a＝102时，
原式＝0.4×(102－2)＝40；
(2)原式＝ab(a－b)．
当b－a＝6，ab＝7时，
原式＝7×(－6)＝－42.
17．如图4－2－1，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1＋IR2＋IR3.当R1＝19.7，R2＝32.4，R3＝35.9，I＝2.5时，求U的值．
图4－2－1
解：U＝IR1＋IR2＋IR3
＝I(R1＋R2＋R3)
＝2.5×(19.7＋32.4＋35.9)
＝2.5×88＝220.
答：U的值为220.
18．已知(19x－31)(13x－17)－(17－13x)(11x－23)可因式分解成(ax＋b)(30x＋c)，其中a，b，c均为整数，求a＋b＋c的值．
解：(19x－31)(13x－17)－(17－13x)(11x－23)
＝(19x－31)(13x－17)＋(13x－17)(11x－23)
＝(13x－17)(30x－54)
＝(ax＋b)(30x＋c)，
∴a＝13，b＝－17，c＝－54，
∴a＋b＋c＝－58.
19．认真阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：
1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2
＝(1＋x)[1＋x＋x(1＋x)]
＝(1＋x)2(1＋x)
＝(1＋x)3.
(1)上述分解因式的方法是____________________；
(2)分解因式：1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋x(1＋x)3；
(3)猜想：1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n分解因式的结果．
提取公因式法
(共18张PPT)
微专题五因式分解的应用
(教材P111目标与评定第10题)
把偶数按从小到大的顺序排列，相邻的两个偶数的平方差(较大的减去较小的)一定是4的倍数吗？为什么？
解：设两个连续偶数为2n，2n＋2(n为自然数)．
∵(2n＋2)2－(2n)2＝(2n＋2＋2n)(2n＋2－2n)＝(4n＋2)×2＝4(2n＋1)，
4(2n＋1)能被4整除，
∴相邻两个偶数的平方差(较大的减去较小的)一定是4的倍数
【思想方法】 利用因式分解把所求的代数式进行变形，从而使计算简化．
按要求解答下列各小题．
(1)利用完全平方公式计算：5012；
(2)利用因式分解计算：9992－9982.
解：(1)原式＝(500＋1)2＝250 000＋1 000＋1＝251 001；
(2)原式＝(999＋998)×(999－998)＝1 997.
[2019春·苏州期中]若x＋y＝3，且(x＋2)(y＋2)＝12.
(1)求xy的值；
(2)求x2＋4xy＋y2的值．
解：(1)∵(x＋2)(y＋2)＝12，x＋y＝3，
∴xy＋2(x＋y)＋4＝xy＋2×3＋4＝12，
解得xy＝2；
(2)∵x＋y＝3，xy＝2，
∴x2＋4xy＋y2＝(x＋y)2＋2xy＝32＋2×2＝9＋4＝13.
[2019春·海淀区校级月考]阅读下列材料：
已知实数x满足x2＝2x＋1，则x3＝x·x2＝x(2x＋1)＝__________x＋2.
(1)请在上面的空格内填上适当的实数；
(2)结合上述阅读材料，解决问题：已知实数x满足x2－3x＋1＝0，求x3－8x的值．
解：(1)由题意，得x3＝x·x2＝x(2x＋1)＝2x2＋x＝2(2x＋1)＋x＝4x＋2＋x＝5x＋2；
(2)∵x2－3x＋1＝0，∴x2＝3x－1，
∴x3－8x＝x·x2－8x＝x(3x－1)－8x＝3x2－9x＝3(3x－1)－9x＝－3.
5
发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证 (1)(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的几倍？
(2)设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸 (3)任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
解：(1)(－1)2＋02＋12＋22＋32＝1＋0＋1＋4＋9＝15，15÷5＝3，即(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的3倍；
(2)设五个连续整数的中间一个为n，则其余的4个整数分别是n－2，n－1，n＋1，n＋2，它们的平方和为(n－2)2＋(n－1)2＋n2＋(n＋1)2＋(n＋2)2＝n2－4n＋4＋n2－2n＋1＋n2＋n2＋2n＋1＋n2＋4n＋4＝5n2＋10，
∵5n2＋10＝5(n2＋2)，又∵n是整数，
∴n2＋2是整数，∴五个连续整数的平方和是5的倍数；
(3)设三个连续整数的中间一个为n，则其余的2个整数是n－1，n＋1，它们的平方和为(n－1)2＋n2＋(n＋1)2＝n2－2n＋1＋n2＋n2＋2n＋1＝3n2＋2，
∵n是整数，∴n2是整数，∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2.
[2019·椒江区期末]阅读理解：整体代换是一个重要的数学思想方法．例如：计算4(a＋b)－7(a＋b)＋(a＋b)时可将(a＋b)看成一个整体，合并同类项得－2(a＋b)，再利用分配律去括号得－2a－2b.同时，我们也知道：代数的基本要义就是用字母表示数使之更具一般性．所以，在计算a(a＋b)时，同样可以利用分配律得a2＋ab.
(1)请你尝试着把(a－2)或(b－2)看成整体，计算：(a－2)(b－2)
(2)创新应用：如果两个数的乘积等于它们的和的两倍，则我们称这两个数为“积倍和数对”．即：若ab＝2(a＋b)，则a，b是一对积倍和数对，记为(a、b)．例如：因为3×6＝2(3＋6)，所以3和6是一对积倍和数对，记为(3、6)．请你找出所有a，b均为整数的积倍和数对．
解：(1)将(a－2)看成一个整体，
则(a－2)(b－2)＝(a－2)b－(a－2)×2
＝ab－2b－2a＋4；
将(b－2)看成一个整体，
则(a－2)(b－2)＝a(b－2)－2(b－2)
＝ab－2a－2b＋4；
(2)∵ab＝2(a＋b)，∴(a－2)(b－2)＝4，
∵a，b均为整数，∴a－2＝1，－1，2，－2，4，－4，
b－2＝4，－4，2，－2，1，－1，
∴(a、b)＝(3、6)；(1、－2)；(4、4)；(0、0)；(6、3)；(－2、1)
[2018春·济南期末]下面是某同学对多项式(x2－4x－3)(x2－4x＋1)＋4进行因式分解的过程．
解：设x2－4x＝y，
原式＝(y－3)(y＋1)＋4(第一步)
＝y2－2y＋1(第二步)
＝(y－1)2(第三步)
＝(x2－4x－1)2(第四步)．
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的__________；
A．提取公因式法
B．平方差公式法
C．完全平方公式法
C
(2)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2＋2x)·(x2＋2x＋2)＋1进行因式分解．
阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2－x－3的方法．
(1)二次项系数2＝1×2；
(2)常数项－3＝－1×3＝1×(－3)；
验算“交叉相乘之和”：
①1×3＋2×(－1)＝1；
②1×(－1)＋2×3＝5；
③1×(－3)＋2×1＝－1；
④1×1＋2×(－3)＝－5.
(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果为－1，等于一次项系数．
即：(x＋1)(2x－3)＝2x2－3x＋2x－3＝2x2－x－3，则2x2－x－3＝(x＋1)(2x－3)．
像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法分解因式：3x2＋5x－12.
解：∵3×3＋1×(－4)＝5，
∴3x2＋5x－12＝(3x－4)(x＋3)．
[2018春·鄞州区期末]教科书中这样写道：“我们把多项式a2＋2ab＋b2及a2－2ab＋b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如，分解因式：x2＋2x－3＝(x2＋2x＋1)－4＝(x＋1)2－4＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1)；求代数式2x2＋4x－6的最小值：2x2＋4x－6＝2(x2＋2x－3)＝2(x＋1)2－8，可知当x＝－1时，2x2＋4x－6有最小值，最小值是－8.根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：m2－4m－5＝___________________
(m＋1)(m－5)
(2)当a，b为何值时，多项式a2＋b2－4a＋6b＋18有最小值，并求出这个最小值；
(3)当a，b为何值时，多项式a2－2ab＋2b2－2a－4b＋27有最小值？并求出这个最小值．
解：(2)∵原式＝(a－2)2＋(b＋3)2＋5，
∴当a＝2，b＝－3时，多项式a2＋b2－4a＋6b＋18有最小值5.
(3)∵原式＝a2－2a(b＋1)＋(b＋1)2＋(b－3)2＋17＝(a－b－1)2＋(b－3)2＋17，
∴当a＝4，b＝3时，多项式a2－2ab＋2b2－2a－4b＋27有最小值17.
(共28张PPT)
第4章质量评估试卷
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一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是( )
A．(a－1)(a－2)＝a2－3a＋2
B．a2－3a＋2＝(a－1)(a－2)
C．(a－1)2＋(a－1)＝a2－a
D．a2－3a＋2＝(a－1)2－(a－1)
B
2．用提公因式法分解因式正确的是( )
A．12abc－9a2b2c2＝3abc(4－3ab)
B．3x2y－3xy＋6y＝3y(x2－x＋2y)
C．－a2＋ab－ac＝－a(a－b＋c)
D．x2y＋5xy－y＝y(x2＋5x)
C
【解析】 A．12abc－9a2b2c2＝3abc(4－3abc)，故本选项错误
B．3x2y－3xy＋6y＝3y(x2－x＋2)，故本选项错误；
C．－a2＋ab－ac＝－a(a－b＋c)，故本选项正确；
D．x2y＋5xy－y＝y(x2＋5x－1)，故本选项错误．
A
A
5．利用因式分解计算2 0192＋2 019－2 0202的结果是( )
A．2 020 B．－2 020
C．2 019 D．－2 019
B
6．将4x2＋1再加上一项，不能成为(a＋b)2的形式的是( )
A．4x B．－4x
C．4x4 D．16x4
D
【解析】 4x2＋1＋4x＝(2x＋1)2，
4x2＋1－4x＝(2x－1)2，
4x2＋1＋4x4＝(2x2＋1)2.D不符合题意，故选D.
7．[2018秋·南平期末]对于任何整数m，多项式(4m＋5)2－9都能( )
A．被8整除 B．被m整除
C．被(m－1)整除 D．被(2m－1)整除
【解析】 (4m＋5)2－9＝(4m＋5)2－32＝(4m＋8)(4m＋2)＝8(m＋2)(2m＋1)，∵m是整数，∴该多项式肯定能被8整除．
A
8．不论x，y为何实数，x2＋y2－4x－2y＋8的值总是( )
A．正数 B．负数
C．非负数 D．非正数
【解析】 x2＋y2－4x－2y＋8
＝x2－4x＋4＋y2－2y＋1＋3
＝(x－2)2＋(y－1)2＋3，
∵(x－2)2≥0，(y－1)2≥0，
∴(x－2)2＋(y－1)2＋3＞0，
∴不论x，y为何实数，x2＋y2－4x－2y＋8的值总是正数．
A
A
10．[2019·句容期中]已知a＝2 019x＋2 018，b＝2 019x＋2 019，c＝2 019x＋2 020.则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．因式分解：(1)[2018·沈阳]3x3－12x＝______________；
(2)[2018·宜宾]2a3b－4a2b2＋2ab3＝______________．
3x(x＋2)(x－2)
2ab(a－b)2
12．[2018·宁夏]已知m＋n＝12，m－n＝2，则m2－n2＝_________．
24
13．[2018·苏州]若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)2－(b－1)2的值为__________．
12
【解析】 原式＝(a＋b)(a－b＋2)＝4×3＝12.
14．已知a－b＝5，ab＝3，则a3b－2a2b2＋ab3的值等于__________．
【解析】 ∵原式＝ab(a2－2ab＋b2)
＝ab(a－b)2，而a－b＝5，ab＝3，
∴原式＝3×52＝75.
75
15．若二次三项式x2＋6x＋m有一个因式是(x＋3)，则m＝__________．
9
16．将关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0变形为x2＝－px－q，就可将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”，已知x2－x－1＝0，可用“降次法”求得x4－3x＋2 018的值是__________．
【解析】 ∵x2－x－1＝0，
∴x2＝x＋1，∴x4－3x＋2 018
＝(x＋1)2－3x＋2 018
＝x2＋2x＋1－3x＋2 018
＝x2－x＋2 019
＝x＋1－x＋2 019＝2 020.
2020
18．(8分)利用因式分解计算：
(1)1 200÷(1522－1482)；
(2)98.52－2×98.5×78.5＋78.52.
19．(8分)把下列各式因式分解：
(1)x2(x＋y)＋2xy(x＋y)＋y2(x＋y)；
(2)(a＋b＋1)2－(a＋b－1)2.
解：(1)原式＝(x＋y)(x2＋2xy＋y2)
＝(x＋y)(x＋y)2
＝(x＋y)3；
(2)原式＝(a＋b＋1＋a＋b－1)(a＋b＋1－a－b＋1)
＝(2a＋2b)×2
＝4(a＋b)．
20．(8分)[2019春·沙坪坝区校级月考]已知x2＋x－1＝0，求x4＋2x3－x2－2x＋2 021的值．
解：∵x2＋x－1＝0，∴x2＋x＝1，x2－1＝－x，
∴x4＋2x3－x2－2x＋2 021＝(x4－x2)＋(2x3－2x)＋2 021
＝x2(x2－1)＋2x(x2－1)＋2 021＝x2·(－x)＋2x·(－x)＋2 021
＝－x3－2x2＋2 021＝－[(x3＋x2)＋x2]＋2 021＝－[x(x2＋x)＋x2]＋2 021
＝－(x＋x2)＋2 021＝－1＋2 021＝2 020.
21．(10分)先阅读，再因式分解：
x4＋4＝(x4＋4x2＋4)－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2－2x＋2)(x2＋2x＋2)，
按照这种方法把多项式x4＋324分解因式．
解：x4＋324＝x4＋36x2＋324－36x2
＝(x2＋18)2－36x2
＝(x2＋18)2－(6x)2
＝(x2＋18＋6x)(x2＋18－6x)．
23．(12分)若一个整数能表示成a2＋b2(a，b是正整数)的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：∵13＝32＋22，∴13是“完美数”；
再如：∵a2＋2ab＋2b2＝(a＋b)2＋b2(a，b是正整数)，∴a2＋2ab＋2b2也是“完美
数”．
(1)请你写出一个大于20小于30 的“完美数”，并判断53是否为“完美数”；
(2)试判断(x2＋9y2)(4y2＋x2)(x，y是正整数)是否为“完美数”，并说明理由．
解：(1)25＝42＋32，
∵53＝49＋4＝72＋22，∴53是“完美数”；
(2)(x2＋9y2)(4y2＋x2)是“完美数”．
理由：∵(x2＋9y2)(4y2＋x2)
＝4x2y2＋36y4＋x4＋9x2y2
＝13x2y2＋36y4＋x4
＝(6y2＋x2)2＋(xy)2，
∴(x2＋9y2)(4y2＋x2)是“完美数”．
4.1__因式分解__
1.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A．a(m＋n)＝am＋an
B．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2
C．10x2－5x＝5x(2x－1)
D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
2.[2019·湖州期中]下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A．4x2＋y2＝(2x＋y)(2x－y)
B．a(4－y2)＝4a－ay2
C．x2＋3x－1＝x(x＋3)－1
D．－4x2＋12xy－9y2＝－(2x－3y)2
3.把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，则a，b的值分别是( )
A．a＝2，b＝3 B．a＝－2，b＝－3
C．a＝－2，b＝3 D．a＝2，b＝－3
4.分解因式1－49x2的结果是( )
A．(1＋7x)(1－7x)
B．(7x＋1)(7x－1)
C．(x＋7)(x－7)
D．(7＋x)(7－x)
5.分解因式8a3b2＋12ab3c的结果是( )
A．4ab2(2a2＋3bc) B．4ab(2a2＋3bc)
C．8ab2(2a2＋3bc) D．2a2b(2a2＋3bc)
6.下列因式分解中正确分解的个数是( )
①2x2－xy＋x＝x(2x－y＋1)；
②x2－4y2＝(x＋2y)(x－2y)；
③x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)；
④2x2－4x＋1＝(2x－1)2.A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
7.下列计算不正确的是( )
A．642＋64×36＝64×100＝6 400
B．1782－782＝(178＋78)×(178－78)＝256×100＝25 600
C．492＋49＝49×(49＋1)＝49×50＝2 450
D.－＝×＝81
8.（1）计算：(2x＋3)(2x－3)＝____，反过来分解因式____＝(2x＋3)(2x－3)．
（2）计算：(4x＋3)2＝____，反过来分解因式____＝(4x＋3)2.
9.利用因式分解的变形方法计算：
（1）2 0192－2 019×19＝____；
（2）782－222＝____．
10．如图4－1－1，把左、右两边相等的代数式用线连起来：
图4－1－1
11．计算下列各题：
(1)99＋992；
(2)－；
(3)736×95＋736×5；
(4)－2.67×132＋25×2.67＋7×2.67.
12．(1)把x2＋3x＋c分解因式得(x＋1)(x＋2)，求c的值；
(2)已知二次三项式2x2＋3x－k＝(2x－5)(x＋a)，求a和k的值．
13．找规律：
1×3＋1＝4＝22；
2×4＋1＝9＝32；
3×5＋1＝16＝42；
4×6＋1＝25＝52；
…
请你把找出的规律用公式表示出来．
14．[2019·鄞州区期末]若多项式x2－mx＋n(m，n是常数)分解因式后，有一个因式是x－3，求3m－n的值．
参考答案
1．C
2．D
3．B
【解析】 (x＋1)(x－3)＝x2－2x－3，
∴a＝－2，b＝－3.
4．A
5．A
6．C
【解析】 ④(2x－1)2＝4x2－4x＋1，错误，①②③正确．
D
【解析】 (9)2－()2＝(9＋)×(9－)＝10×9＝90.故选D.
(1)4x2－9
(2)16x2＋24x＋9
9．(1)4038000
(2)5600
【解析】 (1)2 0192－2 019×19＝2 019×(2 019－19)＝2 019×2 000＝4 038 000；
(2)782－222＝(78＋22)×(78－22)
＝100×56＝5 600.
10.解：如答图所示．
第10题答图
11.解：(1)原式＝99×(1＋99)＝99×100＝9 900；
(2)原式＝×
＝10×＝65；
(3)原式＝736×(95＋5)
＝736×100＝73 600；
(4)原式＝2.67×(－132＋25＋7)＝2.67×(－100)＝－267.
12.解：(1)∵(x＋1)(x＋2)＝x2＋3x＋2，∴c＝2；
(2)由2x2＋3x－k＝(2x－5)(x＋a)，得
2x2＋3x－k＝2x2＋(2a－5)x－5a，
∴解得
∴a的值为4，k的值为20.
13.解：n×(n＋2)＋1＝(n＋1)2.
14.解：设另一个因式为x＋a，
则(x＋a)(x－3)＝x2＋(－3＋a)x－3a，
∴－m＝－3＋a，n＝－3a，∴m＝3－a，
∴3m－n＝3(3－a)－(－3a)＝9－3a＋3a＝9.
4.2__提取公因式法__
1．若代数式x2＋ax可以分解因式，则常数a不可以取( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
2．[2019春·怀柔区期末]将2x2a－6xab＋2x分解因式，下面是四位同学分解的结果，其中，正确的是( )
①2x(xa－3ab)；
②2xa(x－3b＋1)；
③2x(xa－3ab＋1)；
④2x(－xa＋3ab－1)．
A．① B．②
C．③ D．④
3．[2019·杭州期末]多项式x2y(a－b)－xy(b－a)＋y(a－b)提公因式后，另一个因式为( )
A．x2－x＋1 B．x2＋x＋1
C．x2－x－1 D．x2＋x－1
4．把12a2b3c－8a2b2c＋6ab3c2因式分解时，应提取的公因式是( )
A．－2 B．2abc
C．2ab2c D．2a2b3c
5．把多项式－7ab－14abx＋49aby分解因式，提公因式－7ab后，另一个因式是( )
A．1＋2x－7y B．1－2x－7y
C．－1＋2x＋7y D．－1－2x＋7y
6．多项式x(x－3)＋2(3－x)因式分解的结果是( )
A．x＋2 B．x－2
C．(x－3)(x－2) D．(x＋2)(x－3)
7．因式分解：
(1)[2018·温州]a2－5a＝____；
(2)[2018·舟山]m2－3m＝____；
(3)[2018·怀化]ab＋ac＝____．
8．(1)多项式2x2y－6xy2的公因式是___；
(2)多项式3a2b2－6a3b3－12a2b2c的公因式是____．
9．在等号右边的括号内填上适当的项：
(1)2a＋3b－c＝2a＋(____)；
(2)2a－3b＋c＝2a－(_ _)；
(3)2a－3b－c＝2a－(___)；
(4)2a＋3b＋c＝2a－(___)．
10．因式分解：(1)[2018·杭州](a－b)2－(b－a)＝____；
(2)[2018·潍坊](x＋2)x－x－2＝____．
11．因式分解：
(1)2a2－4a；
(2)8a3b2c＋6ab2；
(3)(x＋y)2－3(x＋y)；
(4)3x(y－z)＋(z－y)．
12．若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n 的值是( )
A．3 B．2
C．1 D．－1
13．[2019·金华期中]已知a，b分别是长方形的长和宽，它的周长为16，面积为10，那么a2b＋ab2的值为____．
14．计算：
(1)5392－439×539＝____；
(2)573×2 019－473×2 019＝____．
15．因式分解：
(1)12a(x2＋y2)－18b(x2＋y2)；
(2)(2a＋b)(3a－2b)－4a(2a＋b)．
16．先因式分解，再求值：
(1)5x(a－2)＋4x(2－a)，其中x＝0.4，a＝102；
(2)已知b－a＝6，ab＝7，求a2b－ab2的值．
17．如图4－2－1，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1＋IR2＋IR3.当R1＝19.7，R2＝32.4，R3＝35.9，I＝2.5时，求U的值．
图4－2－1
18．已知(19x－31)(13x－17)－(17－13x)(11x－23)可因式分解成(ax＋b)(30x＋c)，其中a，b，c均为整数，求a＋b＋c的值．
19．认真阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：
1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2
＝(1＋x)[1＋x＋x(1＋x)]
＝(1＋x)2(1＋x)
＝(1＋x)3.
(1)上述分解因式的方法是____；
(2)分解因式：1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋x(1＋x)3；
(3)猜想：1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n分解因式的结果．
参考答案
B
C
B
【解析】 原式＝(a－b)y(x2＋x＋1)，公因式是(a－b)y，则另一个因式为x2＋x+1.
C
【解析】 12a2b3c－8a2b2c＋6ab3c2
＝2ab2c·6ab－2ab2c·4a＋2ab2c·3bc
＝2ab2c(6ab－4a＋3bc)．故选C.
A
C
【解析】 x(x－3)＋2(3－x)＝x(x－3)－2(x－3)＝(x－3)(x－2)．故选C.
a(a－5)
m(m－3)
a(b＋c)
_2xy
3a2b2
3b－c
_3b－c_
3b＋c_
－3b－c_
(a－b)(a－b＋1)
(x＋2)(x－1)
解：(1)原式＝2a(a－2)；
(2)原式＝2ab2(4a2c＋3)；
(3)原式＝(x＋y)(x＋y－3)；
(4)原式＝3x(y－z)－(y－z)
＝(y－z)(3x－1)．
12.A
【解析】 ∵m－n＝－1，
∴原式＝(m－n)2－2(m－n)＝1＋2＝3.故选A.
13、80
【解析】 ∵a，b分别是长方形的长和宽，它的周长为16，面积为10，∴2(a＋b)＝16，ab＝10，则a＋b＝8，a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝10×8＝80.
53900
201__900
【解析】 (1)原式＝539×(539－439)
＝539×100＝53 900；
(2)原式＝2 019×(573－473)
＝2 019×100＝201 900.
15.解：(1)原式＝(x2＋y2)(12a－18b)
＝6(x2＋y2)(2a－3b)；
(2)原式＝(2a＋b)(3a－2b－4a)
＝(2a＋b)(－a－2b)
＝－(2a＋b)(a＋2b)．
16.解：(1)原式＝5x(a－2)－4x(a－2)
＝(a－2)(5x－4x)＝x(a－2)．
当x＝0.4，a＝102时，
原式＝0.4×(102－2)＝40；
(2)原式＝ab(a－b)．
当b－a＝6，ab＝7时，
原式＝7×(－6)＝－42.
17.解：U＝IR1＋IR2＋IR3
＝I(R1＋R2＋R3)
＝2.5×(19.7＋32.4＋35.9)
＝2.5×88＝220.
答：U的值为220.
18.解：(19x－31)(13x－17)－(17－13x)(11x－23)
＝(19x－31)(13x－17)＋(13x－17)(11x－23)
＝(13x－17)(30x－54)
＝(ax＋b)(30x＋c)，
∴a＝13，b＝－17，c＝－54，
∴a＋b＋c＝－58.
19.（1）提取公因式法
解：(2)原式＝(1＋x)[(1＋x)＋x(1＋x)＋x(1＋x)2]
＝(1＋x)2
＝(1＋x)3(1＋x)＝(1＋x)4；
(3)(1＋x)n＋1.
4.3__用乘法公式分解因式__
第1课时 平方差公式
1．[2019·金华模拟]下列各式能用平方差公式分解因式的是( )
A．－x2＋1 B．x3－4
C．x2－x D．x2＋25
2．下列因式分解不正确的是( )
A．4x2－25＝(2x＋5)(2x－5)
B．a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)
C．4x2－y2＝(2x＋1)(2x－1)
D．x2y－9y＝y(x＋3)(x－3)
3．[2018·济宁]多项式4a－a3分解因式的结果是( )
A．a(4－a)2 B．a(2－a)(2＋a)
C．a(a－2)(a＋2) D．a(2－a)2
4．[2019春·沙坪坝区校级月考]分解因式3y4－3x4的结果是( )
A．3(y2＋x2)(y2－x2)
B．3(y2＋x2)(y－x)(y＋x)
C．3(y2＋x2)(y－x)2
D．3(y＋x)2(y－x)2
5．因式分解：
(1)[2018·永州]x2－1＝____；
(2)[2018·岳阳]x2－4＝____；
(3)[2018·衢州]x2－9＝____；
(4)[2018·连云港]16－x2＝____；
(5)[2018·绍兴]4x2－y2＝____．
6．因式分解：
(1)[2018·泸州]3a2－3＝__)__；
(2)[2018·内江]a3b－ab3＝____；
(3)[2018·绵阳]x2y－4y3＝___；
(4)[2018·泰州]a3－a＝___；
(5)[2018·益阳]x3y2－x3＝___．
7．因式分解：(1)[2019春·西湖区校级月考](a－b)2－1＝____；
(2)[2019·杭州模拟]4x2－(y－2)2＝____．
8．因式分解：(1)[2019·金华月考]3x 2－27；
(2)[2019·吴兴期中]4x3y－9xy3；
(3)[2019·温州期末] m2(m－n)＋n2(n－m)；
(4)[2019·杭州月考]x4－16y4.
9．先化简，再求值：(2a＋3b)2－(2a－3b)2，其中a＝.
10．[2019春·常德期中]在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如x4－y4＝(x－y)(x＋y)(x2＋y2)，当x＝9，y＝9时，x－y＝0，x＋y＝18，x2＋y2＝162，则密码为018162.对于多项式9y3－x2y，取x＝10，y＝10，用上述方法产生的密码是____．(写出一个即可)
11．[2018·宁波]已知x，y满足方程组则x2－4y2的值为____．
.
12．利用因式分解计算：
(1)8×7582－2582×8；
(2).
13．如图4－3－1，在一块边长为a cm的正方形纸板四角，各剪去一个边长为b cm 的正方形，利用因式分解计算当a＝13.2，b＝3.4时的剩余部分的面积．
图4－3－1
14．请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解：4a2，(x＋y)2，1，9b2.
15．[2019·杭州一模]认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题：
①32－12＝(3＋1)(3－1)＝8＝8×1；
②52－32＝(5＋3)(5－3)＝16＝8×2；
③72－52＝(7＋5)(7－5)＝24＝8×3；
④92－72＝(9＋7)(9－7)＝32＝8×4.
…
(1)请写出：
算式⑤：____；
算式⑥：____；
(2)上述算式的规律可以用文字概括为“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n－1和2n＋1(n为整数)，请说明这个规律是成立的；
(3)你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？请说明理由．
第2课时 完全平方公式
1．[2019·温州期末]下列各式是完全平方式的是( )
A．x2－x＋ B．1＋x2
C．x＋xy＋1 D．x2＋2x－1
2．[2018·安徽]下列分解因式正确的是( )
A．－x2＋4x＝－x(x＋4)
B．x2＋xy＋x＝x(x＋y)
C．x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2
D．x2－4x＋4＝(x＋2)(x－2)
3．[2019·台州模拟]下列多项式中，能分解出因式m＋1的是( )
A．m2－2m＋1
B．m2＋1
C．m2＋m
D．(m＋1)2＋2(m＋1)＋1
4．把代数式3x3－12x2＋12x分解因式，结果正确的是( )
A．3x(x2－4x＋4) B．3x(x－4)2
C．3x(x＋2)(x－2) D．3x(x－2)2
5．[2019·合肥模拟]分解因式(a2＋1)2－4a2，结果正确的是( )
A．(a2＋1＋2a)(a2＋1－2a)
B．(a2－2a＋1)2
C．(a－1)4
D．(a＋1)2(a－1)2
6．下列因式分解不正确的是( )
A．2a2－8a＋8＝2(a－2)2
B．ax2＋2axy＋ay2＝a(x＋y)2
C．a2b－2ab＋b＝b(a－1)2
D．2x3－8x2y＋8xy2＝2x(x－4y)2
7．多项式mx2－m与多项式x2－2x＋1的公因式是( )
A．x－1 B．x＋1
C．x2－1 D．(x－1)2
8．因式分解：
[2018·盐城]x2－2x＋1＝____；
[2018 ·张家界]a2＋2a＋1＝___；
[2018·湘潭]a2－2ab＋b2＝___．
9．因式分解：
[2018·淄博改编]2x3－4x2＋2x＝____；
[2018·威海]－a2＋2a－2＝____；
[2018·德阳]2xy2＋4xy＋2x＝___；
[2018·攀枝花]x3y－2x2y＋xy＝____．
10．因式分解：
(1)[2019·吴兴区期中]4x2－12x＋9；
(2)[2019·金华期中]3m2n－12mn＋12n；
(3)[2019·吴兴区期中](a＋b)2－6(a＋b)＋9.
11．因式分解：
(1)[2019·鄞州区期中]3x2y－6xy＋3y；
(2)[2019·金华期中]x4－8x2y2＋16y4；
(3)[2019·鄞州区期中](a2＋4)2－16a2.
12．[2019春·湖州期中]若x2－2(k－1)x＋4是完全平方式，则k的值为( )
A．±1 B．±3
C．－1或3 D．1或－3
13．利用因式分解计算：
39.82－2×39.8×49.8＋49.82.
14．已知a＋b＝3，ab＝2，求代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值．
15．你能用整体的思想方法把下列式子因式分解吗？
(1)(x＋2y)2－2(x＋2y)＋1；
(2)(a＋b)2－4(a＋b－1)．
16．请看下面的问题：把x4＋4分解因式．
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用完全平方公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4＋4＝x4＋4x2＋4－4x2＝(x2＋2)2－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2＋2x＋2)(x2－2x＋2)．
人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”．请你依照苏菲·热门的做法，将下列各式分解因式：
(1)x4＋4y4；
(2)x2－2ax－b2－2ab.
参考答案
第一课时
1.A
2.C
3.B
【解析】 4a－a3＝a(4－a2)＝a(2－a)(2＋a)．故选B.
4.B
【解析】 3y4－3x4＝3(y4－x4)＝3(y2＋x2)(y2－x2)＝3(y2＋x2)(y＋x)(y－x)．
(x－1)(x＋1)
(x－2)(x＋2)
(x＋3)(x－3)
(4＋x)(4－x)
(2x＋y)(2x－y)
3(a＋1)(a－1
ab(a＋b)(a－b)
_y(x－2y)(x＋2y)
a(a＋1)(a－1)_
x3(y＋1)(y－1)_
7.(1)(a－b－1)(a－b＋1)
(2)(2x＋y－2)(2x－y＋2)
8.解：(1)原式＝3(x2－9)＝3(x＋3)(x－3)；
(2)原式＝xy(4x2－9y2)＝xy(2x＋3y)(2x－3y)；
(3)原式＝m2(m－n)－n2(m－n)＝(m－n)(m2－n2)＝(m－n)2(m＋n)；
(4)原式＝(x2＋4y2)(x2－4y2)
＝(x2＋4y2)(x＋2y)(x－2y)．
9.解：原式＝(2a＋3b＋2a－3b)·(2a＋3b－2a＋3b)＝4a·6b＝24ab.
当a＝，即ab＝时，原式＝24ab＝4.
104020
【解析】 9y3－x2y＝y(9y2－x2)＝y(3y＋x)(3y－x)，当x＝10，y＝10时，y＝10，3y＋x＝40，3y－x＝20，故密码为104020.
－15
【解析】 x2－4y2＝(x－2y)(x＋2y)＝5×(－3)＝－15
12.解：(1)原式＝8×(7582－2582)
＝8×(758＋258)×(758－258)
＝8×1 016×500＝4 064 000；
(2)原式＝
＝＝.
13.解：剩余部分的面积为a2－4b2＝(a＋2b)·(a－2b)．
当a＝13.2，b＝3.4时，
原式＝(13.2＋2×3.4)×(13.2－2×3.4)
＝20×6.4＝128.
即剩余部分的面积为128 cm2.
14.解：答案不唯一，如：
4a2－9b2＝(2a＋3b)(2a－3b)；
(x＋y)2－1＝(x＋y＋1)(x＋y－1)；
(x＋y)2－4a2＝(x＋y＋2a)(x＋y－2a)；
(x＋y)2－9b2＝(x＋y＋3b)(x＋y－3b)；
4a2－(x＋y)2＝[2a＋(x＋y)][2a－(x＋y)]
＝(2a＋x＋y)(2a－x－y)；
9b2－(x＋y)2＝[3b＋(x＋y)][3b－(x＋y)]
＝(3b＋x＋y)(3b－x－y)；
1－(x＋y)2＝[1＋(x＋y)][1－(x＋y)]
＝(1＋x＋y)(1－x－y)．(答案合理即可)
(1)算式⑤：112－92＝(11＋9)(11－9)＝40＝8×5
算式⑥：132－112＝(13＋11)(13－11)＝48＝8×6
解：(2)证明：(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝2×4n＝8n，
∵n为整数，∴两个连续奇数的平方差能被8整除；
(3)不成立．理由如下：
举反例，如42－22＝(4＋2)(4－2)＝12，
∵12不是8的倍数，∴这个说法不成立．
第二课时
A
C
【解析】 A．－x2＋4x＝－x(x－4)，故此选项错误；
B．x2＋xy＋x＝x(x＋y＋1)，故此选项错误；
C．x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2，故此选项正确；
D．x2－4x＋4＝(x－2)2，故此选项错误．
C
D
D
【解析】 (a2＋1)2－4a2＝(a2＋1－2a)(a2＋1＋2a)＝(a－1)2(a＋1)2.
D
【解析】 2x3－8x2y＋8xy2＝2x(x2－4xy＋4y2)＝2x(x－2y)2.故选D.
A
【解析】 ∵mx2－m＝m(x2－1)＝m(x－1)(x＋1)，x2－2x＋1＝(x－1)2，∴公因式是x－1.故选A.
(1)(x－1)2
(2)_(a＋1)2
(3)_(a－b)2
(1)2x(x－1)2
(2)－(a－2)2
(3)2x(y＋1)2_
(4)xy(x－1)2
解：(1)原式＝(2x－3)2；
(2)原式＝3n(m2－4m＋4)＝3n(m－2)2；
(3)原式＝(a＋b－3)2.
解：(1)原式＝3y(x2－2x＋1)＝3y(x－1)2；
(2)原式＝(x2－4y2)2＝(x＋2y)2(x－2y)2；
(3)原式＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2.
C
【解析】 ∵x2－2(k－1)x＋4是完全平方式，
∴－2(k－1)＝±4，解得k＝－1或3.
解：原式＝(39.8－49.8)2＝(－10)2＝100.
【解析】 先提取公因式ab，再根据完全平方公式进行二次分解，然后代入数据进行计算即可得解．
解：原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2，
将a＋b＝3，ab＝2代入，得原式＝2×32＝18.
解：(1)原式＝(x＋2y)2－2(x＋2y)×1＋12＝[(x＋2y)－1]2＝(x＋2y－1)2；
(2)原式＝(a＋b)2－4(a＋b)＋4
＝(a＋b)2－2×(a＋b)×2＋22
＝[(a＋b)－2]2＝(a＋b－2)2.
解：(1)原式＝x4＋4x2y2＋4y4－4x2y2
＝(x2＋2y2)2－4x2y2
＝(x2＋2y2＋2xy)(x2＋2y2－2xy)；
(2)原式＝x2－2ax＋a2－a2－b2－2ab
＝(x－a)2－(a＋b)2
＝(x－a＋a＋b)(x－a－a－b)
＝(x＋b)(x－2a－b)．
本章复习课__
类型之一 因式分解与整式乘法的关系
1．[2019春·滨海期中]下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是( )
A．x(x2－1)＝x3－x
B．a2－6a＋9＝(a－3)2
C．x2＋y2＝(x＋y)2
D．a3－2a2＋a＝a(a＋1)(a－1)
2．[2019·浦东新区期末]如果(x＋4)(x－3)是x2－mx－12的因式，那么m的值是( )
A．7 B．－7
C．1 D．－1
3．下列运算正确的是( )
A．3a＋2a＝5a2
B．(2a)3＝6a3
C．(x＋1)2＝x2＋1
D．x2－4＝(x＋2)(x－2)
类型之二 因式分解
4．[2019·温州一模]把多项式4a2b＋4ab2＋b3因式分解正确的是( )
A．a(2a＋b)2 B．b(2a＋b)2
C．(a＋2b)2 D．4b(a＋b)2
5．[2019春·沙坪坝区校级月考]下列因式分解不正确的是( )
A．4m－m2＝－m(m－4)
B．－4b2＋36a2＝4(3a＋b)(3a－b)
C．x2(a－b)－4(b－a)＝(a－b)(x＋2)(x－2)
D．(a2＋1)2－4a2＝(a＋1)2(a－1)2
6．因式分解：
[2018·嘉兴]m2－3m＝____；
[2018·毕节]a3－a＝____；
[2018·哈尔滨]x3－25x＝___；
[2018·东营]x3－4xy2＝____；
[2018·鄂州]3a2－12a＋12＝____；
[2018·郴州]a3－2a2b＋ab2＝____；
[2018·自贡]ax2＋2axy＋ay2＝____．
7．因式分解：
(1)6xyz－3xz2；
(2)－x3z＋x4y；
(3)36aby－12abx＋6ab；
(4)3x(a－b)＋2y(b－a)；
(5)x(m－x)(m－y)－m(x－m)(y－m)．
8．给出三个整式a2，b2和2ab.
(1)当a＝3，b＝4时，求a2＋b2＋2ab的值；
(2)在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程．
9．现有三个多项式：a2＋a－4，a2＋5a＋4，a2－a，请你选择两个进行加法运算，并把结果分解因式．
类型之三 因式分解与拼图
10．[2018春·娄星区期末]如图4－1，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n.(以上长度的单位：cm)
图4－1
(1)用含m，n的代数式表示所有裁剪线(图中虚线部分)的长度之和；
(2)观察图形，发现代数式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为____；
(3)若每块小矩形的面积为10 cm2，四个正方形的面积和为58 cm2，试求(m＋n)2的值．
类型之四 利用因式分解进行简便运算
11．利用因式分解计算：
(1)1982－2022；
(2)2022＋202×196＋982；
(3)….
12．利用因式分解说明3200－4×3199＋10×3198能被7整除．
类型之五 因式分解的应用
13．[2019春·沙坪坝区校级月考]已知496－1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是( )
A．61，63 B．63，65
C．65，67 D．63，64
14．已知a＋b＝5，ab＝3.
(1)求a2b＋ab2的值；
(2)求a2＋b2的值；
(3)求(a2－b2)2的值．
15．[2019·十堰期末]在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式x3＋2x2－x－2分解为(x－1)(x＋1)(x＋2)．当x＝19时，x－1＝18，x＋1＝20，x＋2＝21，此时可得到数字密码182021.
(1)根据上述方法，当x＝37，y＝12时，对于多项式x3－xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？(写出两个即可)
(2)将多项式x3＋(m－3n)x2－nx－21因式分解后，利用题目中所示的方法，当x＝87时可以得到密码808890，求m，n的值．
参考答案
B
D
【解析】 ∵(x＋4)(x－3)是x2－mx－12的因式，
∴(x＋4)(x－3)＝x2－mx－12＝x2＋x－12，故－m＝1，解得m＝－1.
D
B
【解析】 4a2b＋4ab2＋b3＝b(4a2＋4ab＋b2)＝b(2a＋b)2.
C
(1)m(m－3)
(2)a(a＋1)(a－1)
(3)_x(x＋5)(x－5)
(4)x(x＋2y)(x－2y)
(5)3(a－2)2
(6)a(a－b)2
(7)a(x＋y)2
解：(1)原式＝3xz(2y－z)；
(2)原式＝－x3(z－xy)；
(3)原式＝6ab(6y－2x＋1)；
(4)原式＝3x(a－b)－2y(a－b)＝(a－b)(3x－2y)；
(5)原式＝x(m－x)(m－y)－m(m－x)(m－y)＝(m－x)(m－y)(x－m)
＝－(m－x)2(m－y)．
【解析】 (1)将a2＋b2＋2ab利用完全平方公式分解因式后，把已知条件代入求值；
(2)从三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，除a2＋b2外其余都能使所得的多项式因式分解．
解：(1)当a＝3，b＝4时，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝(3＋4)2＝49；
(2)答案不唯一，例如：
若选a2，b2，则a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
若选a2，2ab，则a2±2ab＝a(a±2b)．
解：①＋＝a2＋a－4＋a2＋5a＋4＝a2＋6a＝a(a＋6)；
②＋＝a2＋a－4＋a2－a＝a2－4＝(a＋2)(a－2)；
③＋＝a2＋5a＋4＋a2－a＝a2＋4a＋4＝(a＋2)2.
解：(1)图中所有裁剪线(虚线部分)长度之和为2(m＋2n)＋2(2m＋n)＝6m＋6n＝6(m＋n)；
(m＋2n)(2m＋n)
(3)依题意得2m2＋2n2＝58，mn＝10，
∴m2＋n2＝29，
∵(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2，
∴(m＋n)2＝29＋20＝49.
解：(1)原式＝(198＋202)×(198－202)
＝400×(－4)＝－1 600；
(2)原式＝2022＋2×202×98＋982
＝(202＋98)2＝3002＝90 000；
(3)原式＝(1＋)…＝××××××…××＝×＝.
解：∵原式＝3198×(32－4×3＋10)＝3198×7，
∴3200－4×3199＋10×3198能被7整除．
B
【解析】 利用平方差公式分解该数字：496－1＝(448＋1)(448－1)＝(448＋1)(424＋1)(424－1)＝(448＋1)(424＋1)(412＋1)(46＋1)(43＋1)·(43－1)＝(448＋1)(424＋1)(412＋1)(46＋1)×65×63.
解：(1)原式＝ab(a＋b)＝3×5＝15；
(2)原式＝(a＋b)2－2ab＝52－2×3＝25－6＝19；
(3)原式＝[(a＋b)(a－b)]2
＝(a＋b)2(a－b)2＝25(a－b)2
＝25[(a＋b)2－4ab]＝25×(25－4×3)
＝25×13＝325.
解：(1)∵x3－xy2＝x(x－y)(x＋y)，
∴当x＝37，y＝12时，x－y＝25，x＋y＝49，
∴可得到数字密码372549或374925；
(2)∵当x＝87时，密码为808890，且x3的系数是1，
∴由(1)可知：x－7＝80，x＋1＝88，x＋3＝90，
∴x3＋(m－3n)x2－nx－21＝(x－7)(x＋1)(x＋3)＝x3－3x2－25x－21，
∴m－3n＝－3，n＝25，即m＝72，n＝25.
第4章质量评估试卷
[时间：90分钟 满分：120分]
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是( )
A．(a－1)(a－2)＝a2－3a＋2
B．a2－3a＋2＝(a－1)(a－2)
C．(a－1)2＋(a－1)＝a2－a
D．a2－3a＋2＝(a－1)2－(a－1)
2．用提公因式法分解因式正确的是( )
A．12abc－9a2b2c2＝3abc(4－3ab)
B．3x2y－3xy＋6y＝3y(x2－x＋2y)
C．－a2＋ab－ac＝－a(a－b＋c)
D．x2y＋5xy－y＝y(x2＋5x)
3．分解因式3y2－6y＋3，结果正确的是( )
A．3(y－1)2 B．3(y2－2y＋1)
C．(3y－3)2 D.(y－1)2
4．下列代数式是3(x＋y)3－27(x＋y)分解因式的正确结果的是( )
A．3(x＋y)(x＋y＋3)(x＋y－3)
B．3(x＋y)[(x＋y)2－9]
C．3(x＋y)(x＋y＋3)2
D．3(x＋y)(x＋y－3)2
5．利用因式分解计算2 0192＋2 019－2 0202的结果是( )
A．2 020 B．－2 020
C．2 019 D．－2 019
6．将4x2＋1再加上一项，不能成为(a＋b)2的形式的是( )
A．4x B．－4x
C．4x4 D．16x4
7．[2018秋·南平期末]对于任何整数m，多项式(4m＋5)2－9都能( )
A．被8整除 B．被m整除
C．被(m－1)整除 D．被(2m－1)整除
．
8．不论x，y为何实数，x2＋y2－4x－2y＋8的值总是( )
A．正数 B．负数
C．非负数 D．非正数
9．多项式3x2y－6y在实数范围内分解因式正确的是( )
A．3y(x＋)(x－)
B．3y(x2－2)
C．y(3x2－6)
D．－3y(x＋)(x－)
10．[2019·句容期中]已知a＝2 019x＋2 018，b＝2 019x＋2 019，c＝2 019x＋2 020.则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．因式分解：[2018·沈阳]3x3－12x＝____；
[2018·宜宾]2a3b－4a2b2＋2ab3＝____．
12．[2018·宁夏]已知m＋n＝12，m－n＝2，则m2－n2＝____．
13．[2018·苏州]若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)2－(b－1)2的值为____．
14．已知a－b＝5，ab＝3，则a3b－2a2b2＋ab3的值等于____．
15．若二次三项式x2＋6x＋m有一个因式是(x＋3)，则m＝____．
【
16．将关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0变形为x2＝－px－q，就可将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”，已知x2－x－1＝0，可用“降次法”求得x4－3x＋2 018的值是___．
三、解答题(共66分)
17．(10分)因式分解：
(1)2a2b＋3a2c; (2)25－16x2；
(3)4x2－2xy＋y2; (4)(a2＋1)2－4a2；
(5)(a2＋b2－2ab)－1.
18．(8分)利用因式分解计算：
(1)1 200÷(1522－1482)；
(2)98.52－2×98.5×78.5＋78.52.
19．(8分)把下列各式因式分解：
(1)x2(x＋y)＋2xy(x＋y)＋y2(x＋y)；
(2)(a＋b＋1)2－(a＋b－1)2.
20．(8分)[2019春·沙坪坝区校级月考]已知x2＋x－1＝0，求x4＋2x3－x2－2x＋2 021的值．
21．(10分)先阅读，再因式分解：
x4＋4＝(x4＋4x2＋4)－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2－2x＋2)(x2＋2x＋2)，
按照这种方法把多项式x4＋324分解因式．
22．(10分)已知两实数a与b，M＝a2＋b2，N＝2ab.
(1)请判断M与N的大小，并说明理由；
(2)请根据(1)的结论，求＋＋3的最小值(其中x，y均为正数)．
23．(12分)若一个整数能表示成a2＋b2(a，b是正整数)的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：∵13＝32＋22，∴13是“完美数”；
再如：∵a2＋2ab＋2b2＝(a＋b)2＋b2(a，b是正整数)，∴a2＋2ab＋2b2也是“完美数”．
(1)请你写出一个大于20小于30 的“完美数”，并判断53是否为“完美数”；
(2)试判断(x2＋9y2)(4y2＋x2)(x，y是正整数)是否为“完美数”，并说明理由．
参考答案
B
C
【解析】 A．12abc－9a2b2c2＝3abc(4－3abc)，故本选项错误；
B．3x2y－3xy＋6y＝3y(x2－x＋2)，故本选项错误；
C．－a2＋ab－ac＝－a(a－b＋c)，故本选项正确；
D．x2y＋5xy－y＝y(x2＋5x－1)，故本选项错误．
A
A
B
D
【解析】 4x2＋1＋4x＝(2x＋1)2，
4x2＋1－4x＝(2x－1)2，
4x2＋1＋4x4＝(2x2＋1)2.D不符合题意，故选D.
A
【解析】 (4m＋5)2－9＝(4m＋5)2－32＝(4m＋8)(4m＋2)＝8(m＋2)(2m＋1)，∵m是整数，∴该多项式肯定能被8整除
A
【解析】 x2＋y2－4x－2y＋8
＝x2－4x＋4＋y2－2y＋1＋3
＝(x－2)2＋(y－1)2＋3，
∵(x－2)2≥0，(y－1)2≥0，
∴(x－2)2＋(y－1)2＋3＞0，
∴不论x，y为何实数，x2＋y2－4x－2y＋8的值总是正数．
A
C
【解析】 ∵a＝2 019x＋2 018，b＝2 019x＋2 019，c＝2 019x＋2 020，∴a－b＝－1，a－c＝－2，b－c＝－1，则原式＝(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc)＝[(a2－2ab＋b2)＋(a2－2ac＋c2)＋(b2－2bc＋c2)]＝ [(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2]
＝×[1＋4＋1]＝3.
(1)3x(x＋2)(x－2)
(2)2ab(a－b)2
24
12
【解析】 原式＝(a＋b)(a－b＋2)＝4×3＝12.
75
【解析】 ∵原式＝ab(a2－2ab＋b2)
＝ab(a－b)2，而a－b＝5，ab＝3，
∴原式＝3×52＝75.
9
解析】 设另一个因式为(x＋n)，
由题意，得x2＋6x＋m＝(x＋3)(x＋n)，则x2＋6x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n，
∴解得m＝9.
_2__020
【解析】 ∵x2－x－1＝0，
∴x2＝x＋1，∴x4－3x＋2 018
＝(x＋1)2－3x＋2 018
＝x2＋2x＋1－3x＋2 018
＝x2－x＋2 019
＝x＋1－x＋2 019＝2 020.
解：(1)原式＝a2(2b＋3c)；
(2)原式＝(5＋4x)(5－4x)；
(3)原式＝；
(4)原式＝(a2＋1＋2a)(a2＋1－2a)
＝(a＋1)2(a－1)2；
(5)原式＝(a－b)2－1＝(a－b＋1)(a－b－1)．
解：(1)原式＝
＝＝1；
(2)原式＝(98.5－78.5)2＝400.
解：(1)原式＝(x＋y)(x2＋2xy＋y2)
＝(x＋y)(x＋y)2
＝(x＋y)3；
(2)原式＝(a＋b＋1＋a＋b－1)(a＋b＋1－a－b＋1)
＝(2a＋2b)×2
＝4(a＋b)．
解：∵x2＋x－1＝0，∴x2＋x＝1，x2－1＝－x，
∴x4＋2x3－x2－2x＋2 021＝(x4－x2)＋(2x3－2x)＋2 021
＝x2(x2－1)＋2x(x2－1)＋2 021＝x2·(－x)＋2x·(－x)＋2 021
＝－x3－2x2＋2 021＝－[(x3＋x2)＋x2]＋2 021＝－[x(x2＋x)＋x2]＋2 021
＝－(x＋x2)＋2 021＝－1＋2 021＝2 020.
解：x4＋324＝x4＋36x2＋324－36x2
＝(x2＋18)2－36x2
＝(x2＋18)2－(6x)2
＝(x2＋18＋6x)(x2＋18－6x)．
解：(1)M≥N.理由：
∵M－N＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴M≥N；
(2)由(1)，∵≥0，
即＋≥2··＝2，
∴＋＋3的最小值为5.
解：(1)25＝42＋32，
∵53＝49＋4＝72＋22，∴53是“完美数”；
(2)(x2＋9y2)(4y2＋x2)是“完美数”．
理由：∵(x2＋9y2)(4y2＋x2)
＝4x2y2＋36y4＋x4＋9x2y2
＝13x2y2＋36y4＋x4
＝(6y2＋x2)2＋(xy)2，
∴(x2＋9y2)(4y2＋x2)是“完美数”．
(共21张PPT)
第4章因式分解
4.3用乘法公式分解因式
第1课时 平方差公式
1．[2019·金华模拟]下列各式能用平方差公式分解因式的是( )
A．－x2＋1 B．x3－4
C．x2－x D．x2＋25
A
2．下列因式分解不正确的是( )
A．4x2－25＝(2x＋5)(2x－5)
B．a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)
C．4x2－y2＝(2x＋1)(2x－1)
D．x2y－9y＝y(x＋3)(x－3)
C
3．[2018·济宁]多项式4a－a3分解因式的结果是( )
A．a(4－a)2 B．a(2－a)(2＋a)
C．a(a－2)(a＋2) D．a(2－a)2
【解析】 4a－a3＝a(4－a2)＝a(2－a)(2＋a)．故选B.
B
4．[2019春·沙坪坝区校级月考]分解因式3y4－3x4的结果是( )
A．3(y2＋x2)(y2－x2)
B．3(y2＋x2)(y－x)(y＋x)
C．3(y2＋x2)(y－x)2
D．3(y＋x)2(y－x)2
【解析】 3y4－3x4＝3(y4－x4)＝3(y2＋x2)(y2－x2)＝3(y2＋x2)(y＋x)(y－x)．
B
5．因式分解：
(1)[2018·永州]x2－1＝________________；
(2)[2018·岳阳]x2－4＝_______________；
(3)[2018·衢州]x2－9＝_______________；
(4)[2018·连云港]16－x2＝_______________；
(5)[2018·绍兴]4x2－y2＝_______________．
(x－1)(x＋1)
(x－2)(x＋2)
(x＋3)(x－3)
(4＋x)(4－x)
(2x＋y)(2x－y)
6．因式分解：
(1)[2018·泸州]3a2－3＝______________________；
(2)[2018·内江]a3b－ab3＝_________________；
(3)[2018·绵阳]x2y－4y3＝_________________；
(4)[2018·泰州]a3－a＝_________________；
(5)[2018·益阳]x3y2－x3＝_________________．
3(a＋1)(a－1)
ab(a＋b)(a－b)
y(x－2y)(x＋2y)
a(a＋1)(a－1)
x3(y＋1)(y－1)
7．因式分解：(1)[2019春·西湖区校级月考](a－b)2－1＝____________________；
(2)[2019·杭州模拟]4x2－(y－2)2＝______________________．
(a－b－1)(a－b＋1)
(2x＋y－2)(2x－y＋2)
8．因式分解：(1)[2019·金华月考]3x 2－27；
(2)[2019·吴兴期中]4x3y－9xy3；
(3)[2019·温州期末] m2(m－n)＋n2(n－m)；
(4)[2019·杭州月考]x4－16y4.
解：(1)原式＝3(x2－9)＝3(x＋3)(x－3)；
(2)原式＝xy(4x2－9y2)＝xy(2x＋3y)(2x－3y)；
(3)原式＝m2(m－n)－n2(m－n)＝(m－n)(m2－n2)＝(m－n)2(m＋n)；
(4)原式＝(x2＋4y2)(x2－4y2)
＝(x2＋4y2)(x＋2y)(x－2y)．
10．[2019春·常德期中]在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如x4－y4＝(x－y)(x＋y)(x2＋y2)，当x＝9，y＝9时，x－y＝0，x＋y＝18，x2＋y2＝162，则密码为018162.对于多项式9y3－x2y，取x＝10，y＝10，用上述方法产生的密码是__________．(写出一个即可)
【解析】 9y3－x2y＝y(9y2－x2)＝y(3y＋x)(3y－x)，当x＝10，y＝10时，y＝10，3y＋x＝40，3y－x＝20，故密码为104020.
104020
【解析】 x2－4y2＝(x－2y)(x＋2y)＝5×(－3)＝－15.
－15
5.2分式的基本性质110
解：剩余部分的面积为a2－4b2＝(a＋2b)·(a－2b)．
当a＝13.2，b＝3.4时，
原式＝(13.2＋2×3.4)×(13.2－2×3.4)
＝20×6.4＝128.
即剩余部分的面积为128 cm2.
14．请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解：4a2，(x＋y)2，1，9b2.
解：答案不唯一，如：
4a2－9b2＝(2a＋3b)(2a－3b)；
(x＋y)2－1＝(x＋y＋1)(x＋y－1)；
(x＋y)2－4a2＝(x＋y＋2a)(x＋y－2a)；
(x＋y)2－9b2＝(x＋y＋3b)(x＋y－3b)；
4a2－(x＋y)2＝[2a＋(x＋y)][2a－(x＋y)]
＝(2a＋x＋y)(2a－x－y)；
9b2－(x＋y)2＝[3b＋(x＋y)][3b－(x＋y)]
＝(3b＋x＋y)(3b－x－y)；
1－(x＋y)2＝[1＋(x＋y)][1－(x＋y)]
＝(1＋x＋y)(1－x－y)．(答案合理即可)
15．[2019·杭州一模]认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题：
①32－12＝(3＋1)(3－1)＝8＝8×1；
②52－32＝(5＋3)(5－3)＝16＝8×2；
③72－52＝(7＋5)(7－5)＝24＝8×3；
④92－72＝(9＋7)(9－7)＝32＝8×4.
…
(1)请写出：
算式⑤：___________________________________；
算式⑥：___________________________________；
(2)上述算式的规律可以用文字概括为“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n－1和2n＋1(n为整数)，请说明这个规律是成立的；
(3)你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？请说明理由．
112－92＝(11＋9)(11－9)＝40＝8×5
132－112＝(13＋11)(13－11)＝48＝8×6
解：(2)证明：(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝2×4n＝8n，
∵n为整数，∴两个连续奇数的平方差能被8整除；
(3)不成立．理由如下：
举反例，如42－22＝(4＋2)(4－2)＝12，
∵12不是8的倍数，∴这个说法不成立．?
(共19张PPT)
第4章因式分解
4.3用乘法公式分解因式
第2课时 完全平方公式
A
2．[2018·安徽]下列分解因式正确的是( )
A．－x2＋4x＝－x(x＋4)
B．x2＋xy＋x＝x(x＋y)
C．x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2
D．x2－4x＋4＝(x＋2)(x－2)
C
【解析】 A．－x2＋4x＝－x(x－4)，故此选项错误；
B．x2＋xy＋x＝x(x＋y＋1)，故此选项错误；
C．x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2，故此选项正确；
D．x2－4x＋4＝(x－2)2，故此选项错误．
3．[2019·台州模拟]下列多项式中，能分解出因式m＋1的是( )
A．m2－2m＋1
B．m2＋1
C．m2＋m
D．(m＋1)2＋2(m＋1)＋1
C
4．把代数式3x3－12x2＋12x分解因式，结果正确的是( )
A．3x(x2－4x＋4) B．3x(x－4)2
C．3x(x＋2)(x－2) D．3x(x－2)2
D
5．[2019·合肥模拟]分解因式(a2＋1)2－4a2，结果正确的是( )
A．(a2＋1＋2a)(a2＋1－2a)
B．(a2－2a＋1)2
C．(a－1)4
D．(a＋1)2(a－1)2
【解析】 (a2＋1)2－4a2＝(a2＋1－2a)(a2＋1＋2a)＝(a－1)2(a＋1)2.
D
6．下列因式分解不正确的是( )
A．2a2－8a＋8＝2(a－2)2
B．ax2＋2axy＋ay2＝a(x＋y)2
C．a2b－2ab＋b＝b(a－1)2
D．2x3－8x2y＋8xy2＝2x(x－4y)2
【解析】 2x3－8x2y＋8xy2＝2x(x2－4xy＋4y2)＝2x(x－2y)2.故选D.
D
7．多项式mx2－m与多项式x2－2x＋1的公因式是( )
A．x－1 B．x＋1
C．x2－1 D．(x－1)2
【解析】 ∵mx2－m＝m(x2－1)＝m(x－1)(x＋1)，x2－2x＋1＝(x－1)2，∴公因式是x－1.故选A.
A
(x－1)2
(a＋1)2
(a－b)2
2x(x－1)2
2x(y＋1)2
xy(x－1)2
10．因式分解：
(1)[2019·吴兴区期中]4x2－12x＋9；
(2)[2019·金华期中]3m2n－12mn＋12n；
(3)[2019·吴兴区期中](a＋b)2－6(a＋b)＋9.
解：(1)原式＝(2x－3)2；
(2)原式＝3n(m2－4m＋4)＝3n(m－2)2；
(3)原式＝(a＋b－3)2.
11．因式分解：
(1)[2019·鄞州区期中]3x2y－6xy＋3y；
(2)[2019·金华期中]x4－8x2y2＋16y4；
(3)[2019·鄞州区期中](a2＋4)2－16a2.
解：(1)原式＝3y(x2－2x＋1)＝3y(x－1)2；
(2)原式＝(x2－4y2)2＝(x＋2y)2(x－2y)2；
(3)原式＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2.
12．[2019春·湖州期中]若x2－2(k－1)x＋4是完全平方式，则k的值为( )
A．±1 B．±3
C．－1或3 D．1或－3
【解析】 ∵x2－2(k－1)x＋4是完全平方式，
∴－2(k－1)＝±4，解得k＝－1或3.
C
13．利用因式分解计算：39．82－2×39.8×49.8＋49.82.
解：原式＝(39.8－49.8)2＝(－10)2＝100.
14．已知a＋b＝3，ab＝2，求代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值．
【解析】 先提取公因式ab，再根据完全平方公式进行二次分解，然后代入数据进行计算即可得解．
解：原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2，
将a＋b＝3，ab＝2代入，得原式＝2×32＝18.
15．你能用整体的思想方法把下列式子因式分解吗？
(1)(x＋2y)2－2(x＋2y)＋1；
(2)(a＋b)2－4(a＋b－1)．
解：(1)原式＝(x＋2y)2－2(x＋2y)×1＋12＝[(x＋2y)－1]2＝(x＋2y－1)2；
(2)原式＝(a＋b)2－4(a＋b)＋4
＝(a＋b)2－2×(a＋b)×2＋22
＝[(a＋b)－2]2＝(a＋b－2)2.
16．请看下面的问题：把x4＋4分解因式．
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用完全平方公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4＋4＝x4＋4x2＋4－4x2＝(x2＋2)2－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2＋2x＋2)(x2－2x＋2)．
人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”．请你依照苏菲·热门的做法，将下列各式分解因式：
(1)x4＋4y4；
(2)x2－2ax－b2－2ab.
解：(1)原式＝x4＋4x2y2＋4y4－4x2y2
＝(x2＋2y2)2－4x2y2
＝(x2＋2y2＋2xy)(x2＋2y2－2xy)；
(2)原式＝x2－2ax＋a2－a2－b2－2ab
＝(x－a)2－(a＋b)2
＝(x－a＋a＋b)(x－a－a－b)
＝(x＋b)(x－2a－b)．
