5.5.2 列方程解决实际问题(知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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浙江版2019﹣2020学年度下学期七年级数学下册第5章分式
5.5 分式方程(2)—列方程解决实际问题
【知识清单】
列分式方程解应用题的一般步骤：
(1)审：审清题意，弄清题中的已知量、未知量；
(2)找：找出题目中的等量关系；
(3)设：根据题意设出未知数；
(4)列：依据题中的已知量与未知量之间的等量关系，列出分式方程；
(5)解：解这个分式方程，求出所列方程中未知数的值；
(6)验：检验，既要检验所求的解是否为所列分式方程的解，又要检验所求的解是否符合实际意义；
(7)答：写出答案.
【经典例题】
例题1、一条长1100米水渠挖掘任务由某工程队承包.工程队在完成400米挖掘任务后，增加了新设备，每天的工作效率比原来提高了25%，结果共用24天完成了挖掘任务，问增加新设备前工程队每天挖掘水渠多少米？
(1) 审：审清题意，弄清题意，本题中包含两个等量关系：①增加新设备后每天挖掘水渠的米数=增加新设备前每天挖掘水渠的米数× ；②增加新设备前挖掘水渠 米数所用时间+增加新设备后挖掘水渠 米数所用的时间=24天.
(2)设：增加新设备前工程队每天挖掘水渠x米，则增加新设备后工程队每天挖掘水渠 米．
(3)列：依据题中的已知量与未知量之间的等量关系，列出分式方程 ．
(4)解：解这个分式方程，得x= .
(5)验：检验，既要检验所求的解 是否为所列分式方程的解，又要检验所求的解是否符合题目的实际意义；
(6)答：写出答案(不要遗漏).答：增加新设备前工程队每天挖掘水渠 米.
【考点】分式方程的实际应用．?
【分析】首先设增加新设备前工程队每天挖掘水渠x米，则增加新设备后工程队每天挖掘水渠(1+25%)x米，由题意得等量关系：增加新设备前挖掘水渠400米数所用时间+增加新设备后挖掘水渠 (1100-400)米数所用的时间=24天.根据等量关系列出方程，再解即可．
【解答】增加新设备前工程队每天挖掘水渠x米，则增加新设备后工程队每天挖掘水渠(1+25%)x米.
由题意得：
解得：x=40，
经检验：x=40是所列分式方程的解，且符合题意.
答：增加新设备前工程队每天挖掘水渠40米.
【点评】此题主要考查了分式方程列法，关键是让学生理解列分式方程的一般步骤如何在一道应用体现出来．
例题2、甲、乙两人同时分别从A、B两地沿同一条公路骑自行车相向而行，在C地相遇，已知乙骑自行车的平均速度比甲慢2千米/时；A、C两地间的距离为130千米，B、C两地间的距离为120千米，求两人骑自行车的平均速度．
【考点】分式方程的应用．
【分析】首先设乙的平均速度为x千米/时，则甲的平均速度为(x+2)千米/时，根据题意可得：甲行驶130千米的时间=乙行驶120千米的时间，根据等量关系列出方程，再解即可．
【解答】(设乙的平均速度为x千米/时，由题意得：，
解得：x=24，
经检验：x=24是原分式方程的解，且符合题意.
x+2=26，
答：甲的平均速度为26千米/时，乙的平均速度为24千米/时．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意分式方程不要忘记检验．
【夯实基础】
1．老张和老李住在同一个小区，并且他们俩都有早晨锻炼的习惯，某天早晨，老张和老李分别于6点40分、6点50分离开家跑步锻炼，刚好在广场相遇，已知老李跑步的速度是老张的1.2倍，他们所在的小区距离广场为2700米，为了求他们各跑步的速度，设老张师跑步的速度是x米/分，则可列得方程为( )
A． B．
C． D．
2．某小区计划清理720米的排污管道，为了让排污管道尽快使用，工程队提高了工作效率，实际工作效率是原计划工作效率的2倍，结果提前3天完成任务，若设原计划每天清理管道x米，则下面所列方程正确的是( )
A． B． C． D．
3．某人去超市买苹果两次，第一天与第二天同样花90元钱，但第一天比第二天多买5斤，已知第二天的价格比第一天提高20%，则第一天的苹果单价是( )
　　 A．2元/斤 　 B．2.5元/斤　　 C．3元/斤　　 D．3.5元/斤
4．一个数与8的和的倒数，与这个数的倒数互为相反数，设这个数为x，列方程得(　　 )
　　 A．　 B．　　　 C．　　 D．

5．轮船顺水航行60千米所需的时间与逆水航行50千米所需的时间相同.已知水流速度为2千米/时，设轮船在静水中的速度为x千米/时，可列方程为 .
6．动车的开通为A市市民的出行带来了方便．从A市到B市路程为320千米，某趟动车的平均速度比普通列车快60%，所需时间比普通列车少1小时．求该动车的平均速度．由甲、乙两位同学进行了解答，但都不完整，请你补充完整.
(1)①甲同学设 为x，列出尚不完整的方程：
②乙同学设 为y，列出尚不完整的方程：
(2)请选择其中一名同学的设法，写出完整的解答过程．



7．某儿童文化用品商店用8000元钱购进一批开发智力的儿童玩具，大受家长的欢迎，很快售完，接着又用9000元购进第二批玩具，已知第二批所购玩具的个数是第一批所购玩具个数的1.2倍，且每个玩具的进价比第一批的进价少3元，求第一批玩具每个进价是多少？



8．(1)某次列车平均提速40km/h，用相同的时间，列车提速前行驶150km，提速后比提速前多行驶50km，设提速前列车的平均速度为x km/h，则依题意列方程得 ；(2)若列车平均提速a km/h，用相同的时间，列车提速前行驶b km，提速后比提速前多行驶50km，求提速前列车的平均速度为多少？



9．甲，乙二人分别从相距32千米的A，B两地同时出发，相向而行，甲从A地出发2千米时，发现有物品遗忘在A地，便立即返回，取了物品又立即从A地向B地行进，这样甲，乙二人恰好在A，B两地的中点处相遇，又知甲比乙每小时多走1千米，求甲乙二人的速度.


【提优特训】
10．甲、乙两个工程队共同承包某河道加宽工程，已知甲队单独完成这项工程需要25天，若由甲队先做7天，剩下的工程由甲、乙两队合作8天完成．问乙队单独完成这项工程需要多少天？若设乙队单独完成这项工程需要x天．则可列方程为( )
A． B．7+8+x＝25 C． D．
11．某人骑自行车锻炼身体，经过一个上坡和一个下坡，上坡路程和下坡路程相等，如果他的上坡速度a，下坡速度为b，则这位锻炼者经过这段路程的平均速度用含有a和b的代数式表示为( ).
A． B． C． D．
12．甲、乙去同一家超市买米两次，但两次米价格不同，两人购买方式也不同，一次米价为x元/千克，第二次米价为y元/千克，若甲每次买数量相同的米，乙每次买米的钱数相同，哪种购买方式更省钱( ).
A．甲 B．乙 C．甲和乙同样省钱 D．无法判断
13．有一件工作，甲乙两人合作需a小时完成，甲单独做需b小时完成，则乙单独做需( ) 小时完成.
A． B． C． D．千米/时
14．某绿化公司承包一批植树任务，因工期的需要现在平均每天比原计划每天多植树50棵，根据统计现在植树800棵所需时间与原计划植树600棵所需时间相同．设原计划平均每天植树x棵，根据题意，则所列方程的是 .
15．某工厂有甲、乙两个生产小组加工同一种工件，甲小组加工300个工件与乙加工240个工件所用的时间相同．已知甲每小时比乙每小时加工4个工件，问甲、乙两人每小时各加工多少个工件？
某同学是这样解答的：
设甲小组加工300个工件需要x小时，
根据题意，得(1)
解得：x=15．
经检验x=15是所列方程的解．(2)
答：甲小组每小时加工15个工件，小组每小时加工11个工件．(3)
(1)请从(1)、(2)、(3)三个步骤说明这位同学的解答过程是否正确，若有不正确的步骤改正过来．
(2)请你用直接设未知数列方程的方法解决这个问题．



16. 为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元．
(1)求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？
(2)若单独租用一台车，租用哪台车合算？
17．某项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队款2000元，付乙工程队工程款1600万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案，(1)甲队单独完成此项工程刚好如期完工；(2)乙队单独完成此项工程要比规定工期多用7天；(3)若甲乙两队合作5天，剩下的工程由乙队单独做也正好如期完成.?
试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款??请说明理由：




【中考链接】
18．(2019?本溪) 为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元．若设甲型机器人每台x万元，根据题意，所列方程正确的
是( )
A． B．
C． D．
19．(2019?济南莱芜区)为提高市民的环保意识，某市发出“节能减排，绿色出行”的倡导，某企业抓住机遇投资20万元购买并投放一批A型“共享单车”，因为单车需求量增加，计划继续投放B型单车，B型单车的投放数量与A型单车的投放数量相同，投资总费用减少20%，购买B型单车的单价比购买A型单车的单价少50元，则A型单车每辆车的价格是多少元？设A型单车每辆车的价格为x元，根据题意，列方程正确的是(　　)
A. B.
C. D.
20．(2019?鞍山)为了美化校园环境，某中学今年春季购买了A，B两种树苗在校园四周栽种，已知A种树苗的单价比B种树苗的单价多10元，用600元购买A种树苗的颗数恰好与用450元购买B种树苗的颗数相同.若设A种树苗的单价为x元，则可列出关于x的方程为 .
21. (2019?山东济南)为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍.其中购买A种图书花了3000元，购买B种图书花了1600元，A种图书的单价是B种图书的1.5倍，购买A种图书的数量比B种图书多20本.
(1)求A和B两种图书的单价；
(2)书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了A种图书
20本和B种图书25本，共花费多少元？

参考答案
1、A 2、C 3、C 4、D 5、 10、C 11、D
12、B 13、C 14、 18、A 19、A 20、
6．动车的开通为A市市民的出行带来了方便．从A市到B市路程为320千米，某趟动车的平均速度比普通列车快60%，所需时间比普通列车少1小时．求该动车的平均速度．由甲、乙两位同学进行了解答，但都不完整，请你补充完整.
(1)①甲同学设 为x，列出尚不完整的方程：
②乙同学设 为y，列出尚不完整的方程：
(2)请选择其中一名同学的设法，写出完整的解答过程．
①甲同学设普通列车的速度为x，列出完整的方程应该为：
②乙同学设动车所花的时间为y，列出完整的方程应该为：
故答案为：普通列车的速度，1；动车所花的时间，y+1；
(2)设普通列车的速度为为xkm/h，动车的平均速度为1.6xkm/h，
由题意得，
解得：x=120，
经检验，x=120是原分式方程的解，且符合题意．
所以120×1.6=192，
答：该动车的平均速度为192千米/时.
7．某儿童文化用品商店用8000元钱购进一批开发智力的儿童玩具，大受家长的欢迎，很快售完，接着又用9000元购进第二批玩具，已知第二批所购玩具的个数是第一批所购玩具个数的1.2倍，且每个玩具的进价比第一批的进价少3元，求第一批玩具每个进价是多少？
解：设第一批玩具的进价是x元/个，
依题意得：，
解得x=48．
经检验x=48是所列方程的解，且符合题意．
答：第一批玩具每个进价是48元.
8．(1)某次列车平均提速40km/h，用相同的时间，列车提速前行驶150km，提速后比提速前多行驶50km，设提速前列车的平均速度为x km/h，则依题意列方程得 ；(2)若列车平均提速a km/h，用相同的时间，列车提速前行驶b km，提速后比提速前多行驶50km，求提速前列车的平均速度为多少？
(1)设提速前列车的平均速度为x km/h，则依题意列方程得：；
(2)设提速前列车的平均速度为x km/h，则依题意列方程得：，
解得：x=
9．甲，乙二人分别从相距32千米的A，B两地同时出发，相向而行，甲从A地出发2千米时，发现有物品遗忘在A地，便立即返回，取了物品又立即从A地向B地行进，这样甲，乙二人恰好在A，B两地的中点处相遇，又知甲比乙每小时多走1千米，求甲乙二人的速度.
解：设甲每小时行x千米，则乙每小时行x1千米，32÷2=16
根据题意，得，解得x=5，
验根：经检验，x=5是所列原方程的根，且符合题意
x1=51=4
答：甲速度为每小时5千米，乙速度为每小时4千米.
15．某工厂有甲、乙两个生产小组加工同一种工件，甲小组加工300个工件与乙加工240个工件所用的时间相同．已知甲每小时比乙每小时加工4个工件，问甲、乙两人每小时各加工多少个工件？
某同学是这样解答的：
设甲小组加工300个工件需要x小时，
根据题意，得(1)
解得：x=15．
经检验x=15是所列方程的解．(2)
答：甲小组每小时加工15个工件，小组每小时加工11个工件．(3)
(1)请从(1)、(2)、(3)三个步骤说明这位同学的解答过程是否正确，若有不正确的步骤改正过来．
(2)请你用直接设未知数列方程的方法解决这个问题．
解：(1)这位同学的解答过程中第(3)步不正确．
应为：甲小组每小时加工工件(个)．
乙小组每小时加工工件204=16(个)．
答：甲小组每小时加工20个工件，小组每小时加工16个工件．
(2)设甲小组每小时加工x个工件，则乙小组每小时加工x4个工件．
根据题意得：．
解得：x=20．
经检验：x=20是所列方程的解，且符合题意.
∴204=16(个)．
答：甲小组每小时加工20个工件，小组每小时加工16个工件．
16. 为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元．
(1)求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？
(2)若单独租用一台车，租用哪台车合算？
解：(1)设乙车单独运的趟数为x趟，则甲车单独运的趟数为2x趟。由题意可得以下方程：
，
解得：x=18，2x=36.甲车单独运完需36车，乙车单独运完需18车.
??? (2)设甲车每趟运费为y元，则乙车每趟运费为了(y200)元.由题意有：12(y+y200)=4800，解得：y=300，
则乙车每一趟的费用是：300200=100(元)，
单独租用甲车总费用是：18×300=5400(元)，
单独租用乙车总费用是：36×100=3600(元)，
3600<5400，
故单独租用一台车，租用乙车合算．
17．根据题意，得，?
解方程得：x=35(天)?
方案一：工程款=2000×35=70000(元)?
方案三：工程款=(2000+1600)×5+1600×30=66000(万元)?
因为70000>66000,
所以应该采取方案三.
21. 解：(1)设B种图书的单价为x元，则A种图书的单价为1.5元，
依据题意，得：解得x=20，
经检验，x=20是所列分式方程的解，且符合题意，
所以1.5x=30，
答： A种图书的单价为30元，B种图书的单价为20元；
(2)30×0.8×20+20×0.8×25=880(元)
答：共花费880元.

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