2020年初中数学浙教版七年级下册1.4平行线的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，直线被所截，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据平行线的性质求出∠1=∠2，再根据邻补角互补求出∠1即可
【解答】
∵a∥b，
∴∠1=∠2，
∵∠3=3∠2，
∴∠3=3∠1，
∵∠1+∠3=180°，
∴∠1=45°，
即∠2=45°；
故答案为：B．
【解题点拨】
本题考查了平行线的性质和邻补角互补，求出∠1=∠2是解此题的关键．
2．如图，已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【解析】首先过∠3的顶点C作CD∥a，由a∥b，即可得CD∥a∥b，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠3的度数．
【解答】
解：过∠3的顶点C作CD∥a，
又∵a∥b，
∴CD∥a∥b，
∴∠ACD＝∠1＝40°，∠BCD＝∠2＝30°，
∴∠3＝∠ACD+∠BCD＝70°．
故选：C．
【解题点拨】
此题考查了平行线的性质．解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．
3．如图，已知，，平分，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据平行线的性质得出∠ABE，根据角平分线定义求出∠ABC，根据平行线的性质得出∠C＝∠ABC，代入求出即可．
【解答】
∵AB∥DC，∠BED＝，
∴∠ABE＝，
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABC＝∠ABE＝30，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠ABC＝30，
故选：D．
【解题点拨】
本题考查了平行线的性质，角平分线定义的应用，能根据平行线的性质得出∠C＝∠ABC是解此题的关键．
4．如图，若∠A+∠ABC＝180°，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠4 C．∠1＝∠3 D．∠2＝∠3
【答案】C
【解析】先根据∠A+∠ABC＝180°，可证AD∥BC，再由平行线的性质可得∠1＝∠3.
【解答】
∵∠A+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠1＝∠3．
故选：C．
【解题点拨】
本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，熟练掌握平行线的性质与判定方法是解答本题的关键.解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
5．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于
A．90° B．180° C．210° D．270°
【答案】B
【解答】
试题分析：如图，如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，
∴∠1=∠4，∠3=∠5，
∴∠1+∠2+∠3=∠2+∠4+∠5=180°，
故选B
6．如图，P是∠ABC内一点，点Q在BC上，过点P画直线a∥BC，过点Q画直线b∥AB，若∠ABC=115°，则直线a与b相交所成的锐角的度数为（ ）
A．25° B．45° C．65° D．85°
【答案】C
【解析】首先根据题意画出图形，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠1=65°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2的度数．
【解答】
解：∵b∥AB，
∴∠1+∠B=180°，
∵∠ABC=115°，
∴∠1=65°，
∵a∥BC，
∴∠2=∠1=65°，
故选：C．
【解题点拨】
本题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
7．如图，直线a∥b，直线l分别与直线a，b相交于点P，Q，
PA垂直于l于点P．若∠1=64°，则∠2的度数为
A．26° B．30° C．36° D．64°
【答案】A
【解析】
如图所示：
∵a∥b,∴∠3=∠1=64°，
∵PA⊥l，
∴∠APQ=90°，
∴∠2=90°?∠3=90°?64°=26°；
故选A.
8．如图所示，已知直线AB//ED，则∠B、∠C、∠D之间的关系为( )
A．∠B+∠C=∠D B．∠C+∠D-∠B=180°
C．∠B+∠C+∠D=180° D．∠B+∠D-∠C=90°
【答案】B
【解析】如图（见解析），过点C作，再根据平行线的性质、角的和差即可得．
【解答】
如图，过点C作，则
，即
即
故选：B．
【解题点拨】
本题考查了平行线的性质、角的和差，熟记平行线的性质是解题关键．
9．定义：平面内的直线l1与l2相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为a、b，则称有序非负实数对（a，b）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，距离坐标为（2，1）的点的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】首先根据题意，可得距离坐标为（2，1）的点是到l1的距离为2，到l2的距离为1的点；然后根据到l1的距离为2的点是两条平行直线，到l2的距离为1的点也是两条平行直线，可得所求的点是以上两组直线的交点，一共有4个，据此解答即可．
【解答】
解：如图1，
，
到l1的距离为2的点是两条平行直线l3、l4，到l2的距离为1的点也是两条平行直线l5、l6，
∵两组直线的交点一共有4个：A、B、C、D，
∴距离坐标为（2，1）的点的个数有4个．
故选C．
【解题点拨】
此题主要考查了点的坐标，以及对“距离坐标”的含义的理解和掌握，解答此题的关键是要明确：到l1的距离为2的点是两条平行直线，到l2的距离为1的点也是两条平行直线．
10．如图，已知AB∥CD，BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，2∠E-∠F=48°，则∠CDE的度数为( )．
A．16° B．32° C．48° D．64°
【答案】B
【解析】已知BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，根据角平分线分定义可得∠ABE=∠ABF，∠CDF=∠CDE；过点E作EMAB，点F作FNAB，即可得EMFN，由平行线的性质可得∠ABE=∠BEM，∠MED=∠EDC，∠ABF=∠BFN，∠CDF=∠DFN，由此可得∠BED=∠BEM+∠DEM=∠ABE+∠CDE=∠ABF+∠CDE，∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=∠ABF +∠CDE， 又因2∠BED-∠BFD=48°，即可得2（∠ABF+∠CDE）-（∠ABF +∠CDE）=48°，由此即可求得∠CDE=32°.
【解答】
∵BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，
∴∠ABE=∠ABF，∠CDF=∠CDE，
过点E作EMAB，点F作FNAB，
∵，
∴EMFN，
∴∠ABE=∠BEM，∠MED=∠EDC，∠ABF=∠BFN，∠CDF=∠DFN，
∴∠BED=∠BEM+∠DEM=∠ABE+∠CDE=∠ABF+∠CDE，
∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=∠ABF +∠CDE，
∵2∠BED-∠BFD=48°，
∴2（∠ABF+∠CDE）-（∠ABF +∠CDE）=48°，
∴∠CDE=32°.
故选B.
【解题点拨】
本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质确定有关角之间的关系是解决问题的关键.
二、填空题
11．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于A，B，若∠1=45°，则∠2=________．
【答案】135
【解析】直接利用平行线的性质结合邻补角的性质得出答案．
【解答】
解：
∵直线a∥b，∠1=45°，
∴∠3=45°（两直线平行，同位角相等），
∴∠2=180°-45°=135°（邻补角的性质）．
故答案为135．
【解题点拨】
此题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
12．如果两个角的两边互相平行，且一个角的等于另一个角的，则这两个角的度数分别是______．
【答案】，
【解析】如果两个角的两边互相平行，则这两个角相等或互补，根据题意，得这两个角只能互补，然后列方程求解即可．
【解答】
解：两个角的两边互相平行，则这两个角相等或互补，根据题意，得这两个角只能互补，
设其中一个角是x，则另一个角是180-x，
根据题意，得，
解得：，
则180-72=108°，
故答案为：72°，108°.
【解题点拨】
本题考查了平行线的性质，运用“若两个角的两边互相平行，则两个角相等或互补”，而此题中显然没有两个角相等这一情况是解决此题的突破点．
13．如果∠A的两边分别与∠B的两边平行，且∠A比∠B的3倍少40°，则这两个角的度数分别为______________．
【答案】20°,20°或125°,55°
【解析】解：设一个角为x°，则另一个角为（3x-40）°，
∵这两个角的两边平行，
∴x°=（3x-40）°，
解得x=20°，
或x°+（3x-40）°=180°，
解得x=55°，（3x-40）°=125°，
综上所述，这两个角的度数分别为20°、20°或55°、125°；
故答案是20°、20°或55°、125°。
14．如图,把含30°角的直角三角板的直角顶点C放在直线a上,其中∠A=30°,直角边AC和斜边AB分别与直线b相交,如果a∥b,且∠1=25°,则∠2的度数为____
【答案】35°
【解析】先过点B作BD∥b，由直线a∥b，可得BD∥a∥b，由两直线平行，内错角相等，即可求得答案∠4的度数，又由△ABC是含有60°角的三角板，即可求得∠3的度数，继而求得∠2的度数．
【解答】
过点B作BD∥b，
∵直线a∥b，
∴BD∥a∥b，
∴∠4=∠1=25°，
∵∠ABC=60°，
∴∠3=∠ABC?∠4=60°?25°=35°，
∴∠2=∠3=35°.
故答案为：35°
【解题点拨】
此题考查平行线的性质，解题关键在于作辅助线
15．镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B灯每秒转动4°．B灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是 ．
【答案】6秒或19.5秒
【解析】设A灯旋转t秒，两灯光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），推出t≤45?12，即t≤33．利用平行线的性质，结合角度间关系，构建方程即可解答．
【解答】
解：设A灯旋转t秒，两灯的光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），
∴t≤45﹣12，即t≤33．
由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：
①如图，∠MAM'＝∠PBP'，12t＝4（12+t），解得t＝6；
②如图，∠NAM'+∠PBP'＝180°，12t﹣180+4（12+t）＝180，解得t＝19.5；
综上所述，满足条件的t的值为6秒或19.5秒．
故答案为：6秒或19.5秒．
【解题点拨】
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
三、解答题
16．如图，已知∠1＝∠2，∠D＝60?，求∠B的度数．
【答案】；
【解析】首先证出∠1=∠3，从而得出AB∥CD，然后推出∠D+∠B=180°，代入求出即可．
【解答】
解：如图：
∵∠1=∠2，∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AB∥CD，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠D=60°，
∴∠B=120°．
【解题点拨】
本题考查平行线的判定与性质，难度不大．
17．完成下面的证明：已知，如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，求证：∠EGF=90°.
【答案】见解析
【解析】首先由平行线的性质得出∠1=∠3，∠2=∠4，∠BEF+∠EFD=180°，再由EG平分∠BEF，FG平分∠EFD得出∠1+∠2=90°，然后通过等量代换证出∠EGF=90°．
【解答】
证明∵HG?∥?AB（已知）
∴∠1=∠3 （两直线平行、内错角相等）
又∵HG?∥?CD（已知）
∴∠2=∠4
∵AB?∥?CD（已知）
∴∠BEF+∠EFD=180°（两直线平行、同旁内角互补）
又∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD
∴∠1=??∠BEF，∠2=??∠EFD
∴∠1+∠2=??（∠BEF+∠EFD），
∴∠1+∠2=90°
∴∠3+∠4=90° （等量代换），
即∠EGF=90°．
【解题点拨】
本题考查平行的性质，解题的关键是熟练运用平行线的性质及角平分线的性质．
18．如图，，．
（1）求证：；
（2）若是的角平分线，，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）30°．
【解析】（1）根据平行线的性质可得∠2+∠BAD=180°，根据补角的性质可得∠1=∠BAD，再根据平行线的判定即可证得结论；
（2）由角平分线的定义可得∠GDC的度数，然后根据平行线的性质即得结果．
【解答】
（1）证明：∵AD∥EF，
∴∠2+∠BAD=180°，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠1=∠BAD，
∴DG∥AB；
（2）解：∵DG是∠ADC的角平分线，
∴∠GDC=∠1=30°，
∵DG∥AB，
∴∠B=∠GDC=30°．
【解题点拨】
本题考查了平行线的判定和性质、补角的性质和角平分线的定义，属于基本题型，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
19．如图1，，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，
（1）试说明．
（2）将线段沿着直线平移得到线段，如图2，连接．若，当时，求的度数．
【答案】（1）见解析（2）15°
【解析】（1）根据平行线的性质得到∠BAE＋∠E＝180，等量代换得到∠BAE＋∠B＝180，于是得到结论；
（2）如图2，过D作DF∥AE交AB于F，根据平行线的性质与周角的性质求出∠FDQ，再根据平行的性质即可得到结论．
【解答】
（1）∵DE∥AB，
∴∠BAE＋∠E＝180，
∵∠B＝∠E，
∴∠BAE＋∠B＝180，
∴AE∥BC；
（2）如图2，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∵，
∴∠EDF＝105，
∵DE⊥DQ，
∴∠EDQ＝90，
∴∠FDQ＝360°?105°?90°＝165°，
∵线段沿着直线平移得到线段
∴DF∥AE∥PQ
∴∠Q＝180°-∠FDQ =180°?165°＝15°．
【解题点拨】
本题考查了平移的性质，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
20．问题情境：如图1，，，，求的度数．小明的思路是过点作，通过平行线性质来求．
（1）按照小明的思路，写出推算过程，求的度数．
（2）问题迁移：如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，当点在线段上时，请直接写出与、之间的数量关系．
【答案】（1）108°；（2）∠APC=α+β，理由见解析；（3）∠APC=β-α．
【解析】（1）过P作PE∥AB，先推出PE∥AB∥CD，再通过平行线性质可求出∠APC；
（2）过P作PE∥AB交AC于E，先推出AB∥PE∥DC，然后根据平行线的性质得出α=∠APE，β=∠CPE，即可得出答案；
（3）过点P作PE∥AB交OA于点E，同（2）中方法根据平行线的性质得出α=∠APE，β=∠CPE，即可得出答案．
【解答】
解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=128°，∠PCD=124°，
∴∠APE=52°，∠CPE=56°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=108°；
（2）∠APC=α+β．理由如下：
如图2，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β；
（3）∠APC=β-α．理由如下：
过点P作PE∥AB交OA于点E，
同（2）可得，α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠CPE-∠APE=β-α．
【解题点拨】
本题主要考查了平行线的性质与平行公理，解题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质解决问题．
试卷第1页，总3页
试卷第1页，总3页
2020年初中数学浙教版七年级下册1.4平行线的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，直线被所截，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．如图，已知，，平分，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，若∠A+∠ABC＝180°，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠4 C．∠1＝∠3 D．∠2＝∠3
5．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于
A．90° B．180° C．210° D．270°
6．如图，P是∠ABC内一点，点Q在BC上，过点P画直线a∥BC，过点Q画直线b∥AB，若∠ABC=115°，则直线a与b相交所成的锐角的度数为（ ）
A．25° B．45° C．65° D．85°
7．如图，直线a∥b，直线l分别与直线a，b相交于点P，Q，
PA垂直于l于点P．若∠1=64°，则∠2的度数为
A．26° B．30° C．36° D．64°
8．如图所示，已知直线AB//ED，则∠B、∠C、∠D之间的关系为( )
A．∠B+∠C=∠D B．∠C+∠D-∠B=180°
C．∠B+∠C+∠D=180° D．∠B+∠D-∠C=90°
9．定义：平面内的直线l1与l2相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为a、b，则称有序非负实数对（a，b）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，距离坐标为（2，1）的点的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，已知AB∥CD，BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，2∠E-∠F=48°，则∠CDE的度数为( )．
A．16° B．32° C．48° D．64°
二、填空题
11．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于A，B，若∠1=45°，则∠2=________．
12．如果两个角的两边互相平行，且一个角的等于另一个角的，则这两个角的度数分别是______．
13．如果∠A的两边分别与∠B的两边平行，且∠A比∠B的3倍少40°，则这两个角的度数分别为______________．
14．如图,把含30°角的直角三角板的直角顶点C放在直线a上,其中∠A=30°,直角边AC和斜边AB分别与直线b相交,如果a∥b,且∠1=25°,则∠2的度数为____
15．镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B灯每秒转动4°．B灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是 ．
三、解答题
16．如图，已知∠1＝∠2，∠D＝60?，求∠B的度数．
17．完成下面的证明：已知，如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，求证：∠EGF=90°.
18．如图，，．
（1）求证：；
（2）若是的角平分线，，求的度数．
19．如图1，，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，
（1）试说明．
（2）将线段沿着直线平移得到线段，如图2，连接．若，当时，求的度数．
20．问题情境：如图1，，，，求的度数．小明的思路是过点作，通过平行线性质来求．
（1）按照小明的思路，写出推算过程，求的度数．
（2）问题迁移：如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，当点在线段上时，请直接写出与、之间的数量关系．
试卷第1页，总3页
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